CC BY
42
То м IX
197 8
№ 3
УДК 629.7.015.46.24.07
НЕКОТОРЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ КОНСТРУКЦИИ КРЫЛА БОЛЬШОГО УДЛИНЕНИЯ
В. М. Фролов
Получены зависимости для крыльев большого удлинения, прочностные свойства которых моделируются балкой. На начальной стадии проектирования таких крыльев известны расчетные величины изгибающих моментов М (г) и допускаемые напряжения о (г) определены из соображения прочности, устойчивости и ресурса. (Вопросы выбора допускаемых напряжений рассматриваются в ряде специальных работ).
Геометрия крыла в плане, т. е. b(г) — функция хорд, площадь S, размах 21 и другие геометрические характеристики также заданы. Распределение толщин потребного силового материала 8(¡z) определяется по следующей формуле:
8(z)=--------------------, (1)
a (z) Р (г) Ь'2 (г) с (г) а (г)
в которой коэффициенты a(z) и P(z) учитывают ширину кессона и его среднюю высоту.
Оптимизация конструктивных параметров консольного крыла, когда задача выбора допускаемых напряжений решается отдельно, должна проводиться по условиям прочности, жесткости, допускаемых прогибов и др. Для того чтобы видеть влияние отдельных требований или их сочетаний, необходимо уметь получать частные параметрические зависимости. Этому и посвящена настоящая работа. Из выражения (1) видно, что единственным параметром, на который можно влиять при определении приведенных толщин 8(2) является функция относительных толщин c(z). Хотя выбор функции относительных толщин является прерогативой аэродинамики, тем не менее важно исследовать, какое влияние на эту функцию оказывают требования прочности.
1. Влияние требований прочности на выбор функции относительных толщин с (г). Получим выражения для функционалов потенциальной энергии, объема (массы) силового материала, прогибов
и девиации в заданной точке и определим, какой вид функции с (г) получается при минимизации указанных функционалов.
Дадим вывод зависимости для случая минимизации функционала потенциальной энергии; зависимости для других случаев запишем по аналогии.
Функционал потенциальной энергии запишем в следующей форме:
и— 1 Г МЦг)Лг (2>
Е 3 а (г) р (2) 63 (г) ¿2 (г) 8 (г)
Подставив выражение (1) в функционал (2), получим:
и
_ _1_ г М (г) а (г) (1г Ё } Р (г) Ь (г) ~с (г)
Решим следующую вариационную задачу: из условия минимума функционала (3) определим функцию с (г), которая удовлетворяет обобщенному аэродинамическому закону постоянства сопротивления, предложенному Р. И. Штейнбергом в [1]:
I _
1/= $Ь(г)са(г)<1г- 1/0 = 0. (4)
о
Показатель степени п имеет следующие значения:
«= 1—дозвуковой режим полета;
5
« = -д---околозвуковой режим;
п = 2 — сверхзвуковой режим.
Из решения задачи методом неопределенных множителей Лагранжа имеем
№ , , дУ п
~ж+х~ж=0- <5>
После проведения ряда преобразований получим
;(г) = рМ].-
1
| п+1
\ЕЫ\п
Неопределенный множитель X определяется из условия (4). Окончательное выражение для с (г) будет иметь вид
1.(1 п \ 1
<6>
Таким образом, при заданном законе постоянства сопротивления распределение относительных толщин будет определяться выражением (6).
Подставляя формулу (6) в (3), получим новый функционал потенциальной энергии:
П П +1
м (г) о (г)
Р (г) ¿>2 (г)
Запишем функционал объема силового материала:
(
ЧГ = | ¿7 (г) 8 (2) ¿2, (8>
0Г
который после подстановки в него выражения (1) примет вид:
і
ЦТ _ (■ М(г) йг ^^
Л а (г) р (г) Ъ (г) с (г) '
Аналогичным образом с использованием выражения (1) могут быть получены функционалы прогибов
У -=■ — Г 2о (г> (/ — г)--- - ---- - (10)
Е{ тьюЦг)
и функционал углов девиации
Г = — [2а (г)--------^—. (11)
Е 0 Иг) ь (г) с (г)
Сопоставляя функционалы (3), (9), (10) и (11) видим, что они отличаются только значением весовой функции Р(г)\
Ф = Г Р(г)-------*£_— . (12)
? (г) Ь (г) с (г)
Поэтому для этого обобщенного функционала функция распределения относительных толщин будет
¿(2) =
ЬЦг) і
п
vA¡Hг)ШГdzr^ (13>
а сам обобщенный функционал Ф, с учетом (13), примет вид
Ф
V П 1о о
[ п ,«+1
Функция Г(г) имеет следующие значения: для функционала потенциальной энергии
для функционала объема силового материала
М(г) а (г)
для функционала прогибов
Р{г) = Ъ (2)-{^Л- ; для функционала углов девиации
Р(г) = ^-.
Отметим, что первое выражение для Р(г) (функционал потенциальной энергии) распространяется и на случай, когда допустимые напряжения на верхней панели в2(г), на нижней — <зх (г). Используя уравнение равновесия
аЛ*)/\ (г) = °2(2)/2(г),
где /; (2) = 8, (2) 6 (2) а (2), ¿=1,2; кинематические соотношения
0,/з2 = й^й*, А, тЬ А2 = Я=Р(г)^(2)с(2),
получим, что
7? (2) = м (г) + °2(г)Д •
здесь 8, (г) и 82(г) могут быть определены из формулы, аналогичной (1).
Решение двухкритериальных задач. Определение функции с (г) при удовлетворении сразу двум условиям будем проводить из рассмотрения нового функционала, являющегося произведением двух частных [2]:
Ф^Ф,®.,. (15)
Исцользуя условие (4), при минимизации Ф, запишем уравнение метода Лагранжа:
^•Ф2+^Ф , + Г-^- = 0. (16)
дс ас дс
Значения функционалов Ф1 и Ф2 являются числами, можно выражение (16) записать в виде
^ + ^ + ^ = 0, (17)
дс дс дс
где
Легко убедиться, что выражениюсоответствует функцио-
дс дс
нал
ф = Г 1Л (*) + ^2 (*)] тттт^-т- , (18)
Л РОг) Ь (г) с (г)
поэтому выражения (13) и (14), ранее выведенные, годны и для функционала (18), если положить, что
Так функция относительных толщин с (г) будет
■(19)
Для отыскания неизвестного параметра ^ определим значения функционалов и Ф2. Подставляя выражение (19) в функционал {12), имеем:
; п 1 1
«,,= ¡Р, (2)--------------т---------------ц*(г) (20)
ГЛИ+_^2(г)-|»+1 уп ь(г)Нг)
V ЬЦг) \
1=1, 2.
Таким образом, постоянная ^ = Ф1/Ф2 определяется из следующего выражения:
/ ^ (г) ________ь (г) 11г_______
3 Ь2 (г) -Ц
^ №М + у*а(я))1Щг)]п+1 (21)
I
Е, (г) Ь (г) <1г
- {г) —г-
0 [(Л И(г))/62 (г)]л+1
Уравнение (21) может быть решено численным способом, затем значение постоянной р. подставляется в формулу (19) для определения функции с (г).
Численный пример и анализ. Для иллюстрации применения полученных формул рассмотрим пример, соответствующий показателю п— 1. В качестве совместно минимизируемых функционалов возьмем прогиб и угол девиации, поскольку в этом случае двухкритериальная задача решается в замкнутой форме. Отметим, что при п= 1 имеем следующую девиацию на конце крыла:
у/________ _}_________¡_
Е У0
с{г) =
У* (г)
Ь(г)
Прогибы при этом будут У ;
ЕУп
I ________________________________ “12 _
| / 23 (г) (/ - г) ¿г , с (г)--
2а (е) йг
О
V2а (г)(/-*Г
Ко
г. (г)
| У2а (г) (1-2)йг
Решая двухкритериальную задачу Ф —У-У', получим для определения постоянной р, согласно (21), следующее уравнение:
у--(1 - г)
і
[[А+ (/_*)]'*'
г/г =0.
(22)
При написании выражения (22) принято а(г) — о0.
Интегралы, входящие в уравнение (22), берутся в замкнутом виде. После преобразований получаем уравнение, определяющее постоянную ¡а:
10
— 10
3 3
I — = 0.
3
(23)
Это уравнение легко преобразуется в крадратное:
3 / і 12 ~5~^+~Т5~
= 0,
корнями которого являются следующие выражения:
з ± УЖ
1*1,2
=1
ю
(24)
Для того чтобы установить, какой из двух корней (24) имеет физический смысл, подставим их в выражение для функционала Ф^Ф^Ф.,:
Ф =
2а0
(25)
Проводя вычисления, имеем Ф([а1) = 2,12, Ф(р2) = 1,36. Таким образом, физический смысл имеет корень Р2 = -^)-(з—> дающий наименьшее значение минимизируемого функционала Ф. Сравним
значения функционалов Ф,=У и Ф2 = У' при частной оптимизации и при совместной Ф = Ф!-Ф2. По результатам вычислений имеем:
Частная оп- Совместная
тимизация
4>!= Г 1 1,02
© II 1 1,08
Таким образом, оптимизируя функцию с (г) на основе произведения двух функционалов, получаем значения прогибов (Ф,), отличающиеся от частного оптимума на 2%, и функцию углов девиации (Ф2), отличающуюся от частного оптимума на 8%.
Сами функции с (г) для сравниваемых трех вариантов оптимизации показаны на фигуре.
с(г)Ь(2) 1,0
0,5
\
,по
У'
У* У'
X
'\уП0 у
ч
\
О
0,5
х/1
Для практического применения наибольший интерес представляют функционалы, являющиеся произведением прогиба или угла девиации на объем силового материала. Решение для этих случаев не удается получить в замкнутой форме и необходимо численное решение уравнения (21) и последующее вычисление функций.
2. Оценка изменения веса силового набора крыла при увеличении удлинения. Поскольку в данной оценке интересна прежде всего относительная величина приращения веса, зададим распределение напряжений по размаху о(г) = о0. В этом случае функционал потенциальной энергии и объема силового материала будут отличаться постоянным множителем:
Ч I
и = 3- с м ^ Лг ■ чг = Г
Е .) Ь (г) с (г) ’ ао J ]
М (г) йг
Ь (г) с (г)
(26)
Учитывая сказанное выше, вес силового материала можно представить в форме:
Ос.и = К
1 —Л
| [М (г)]п+1 \Ь (г)]п+г с1г
-О
п+1 п
(27)
где К — постоянная, не зависящая от исследуемых параметров. НО
Изгибающий момент, действующий в сечениях крыла, запишем в следующем виде:
2 *-г
^изг (^) —
"if
^b(z)r(z)-m(z)
dz2,
(28)
где np — расчетная перегрузка, Gq/5 — удельная нагрузка на крыло, Г (г) — циркуляция, т. (z)—распределение масс по размаху крыла, I — полуразмах крыла.
Если учесть очевидные соотношения:
i
SI - Ф, J т (г) dz = М0,
о
то для крыла с учетом массовой разгрузки, например топливом, получим следующую формулу:
Мизг (z) = Яр ]/XS F (z), (29)
где Z = zjl, X — удлинение.
Подставляя (29) в функционал (27), при условии G0 = const и ,S = const, получим выражение
Gcu = KlntW*, (30)
которое совпадает с выражениями, известными из теории размерностей.
Если изменение веса силового материала определять по формуле
Г0<-=°%,Т-1а <31>
то после обычных преобразований (ДХ=т— <^; l), которые исполь-
зуются при разложении функции в ряд Тейлора, получим:
дБс.п = -|-дх. (32)
Изменение относительного веса при учете влияния упругих деформаций. На стреловидном крыле функция изгибающего момента за счет влияния упругих деформаций будет иметь следующий вид:
М,зг (z) = яр \F(z) - Хф (z)\, (33)
G0 = const, 5 = const.
Выражение (33) получено при условии, что угол девиации, согласно (11), может быть представлен в виде:
r-=XP(i). (34)
Разгрузка крыла происходит пропорционально Y', Подставляем <33) в функционал (27); после очевидных упрощений имеем:
Gc. м = К\
г 1 _ _п_
J [Л (2) — ХВ (z)]n+1 dz
.0
п+1 ^
" V2
(35)
Изменение относительного веса определим по формуле (31):
ДОс
j [Л(лг) — X(1 + 4Х)В(г)]п+1йг
-0
п
j [A (z) - 1В (7)]л+1 dz
1.
(36)
Таким образом, по выражению (36) может быть подсчитана величина Дбс. м Если считать, что разгрузка по изгибающему моменту за счет упругости в корневом сечении не превышает 10—15%, то, проведя соответствующие преобразования, основанные на разложении выражения (25) в ряд Тейлора по малому параметру АХ и использовании неравенства ХВ (г)<^А(г), получим:
1+4-д
і
1В (г) йг
п+1
_Л_ ЛХ о [Л(г)-ХВ(г)] п + 1 і
1
п+1
| [Л (г) - Хй(г)]я+1гіг
-1. (37)
Учитывая обычный характер эпюр распределения изгибающих моментов на жестком и упругом крыле, можно для оценок положить
ХВ(г)^8А(г), (38)
где коэффициент разгрузки 8<1.
Подставляя (38) в выражение (37), получим:
ДСс
-[
1 + 7“
1
ТГ 5
■ ДХ
Я±1
п
1 — 5 п + 1
— 1.
(39)
Формулу (39) можно упростить, если принять, что Д>.8 <С 1-Тогда, производя разложение в ряд Тейлора выражения в квадратных скобках и удерживая только линейный член, получим:
Дбс
ДХ
(40)
По формуле (40) можно приближенно оценивать увеличение веса силового материала, которое произойдет за счет увеличения удлинения крыла.
Учет упругих деформаций и происходящей за ее счет разгрузки приводит к несколько меньшему, согласно (40), увеличению веса.
Выражение (40) получено при существенных упрощениях, более точное значение Д(7С.М может быть вычислено непосредственно по формуле (36). Проверка приближенной формулы (40) с непосредственным расчетом приводит в одном из рассмотренных конкретном примере к ошибке, меньшей 5%.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бреусова Р. А., Штейнберг Р. И. Определение волнового сопротивления крыльев различной толщины при околозвуковых скоростях. Труды ЦАГИ, вып. 1819, 1977.
2. Зураев Т. Г., Фролов В. М. Об одном способе решения многокритериальных задач оптимизации силовых конструкций. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 8, № 2, 1977.
Рукопись поступила 29\ VIII 1977 г.
