CC BY
49
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том VIII 1977 № 2
УДК 629.7.015.46.24.07
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ РЕШЕНИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ СИЛОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Т. Г. Зураев, В. М. Фролов
Рассматривается задача проектирования силовой конструкции при необходимости оптимизации ее по нескольким критериям. Для этого предлагается использовать обобщенный критерий в виде произведения частных критериев. Решена задача в случае минимизации произведения потенциальной энергии на прогиб и девиацию крыла большого удлинения при наличии ограничений на объем силового материала и аэродинамические нагрузки.
1. Под многокритериальными задачами понимают такие, в которых искомые параметры, удовлетворяющие определенным ограничениям, определяются в результате разнородных целей (критериев). Например, требуется определить
такие значения распределения силового материала 5(г) и относительных толщин крыла с(г), которые одновременно для крыла большого удлинения (г—координата вдоль размаха) являются решениями задач:
min и, V— const, Тп = const. (1)
5, с
min у, V — const, Тп = const, (2)
5, с
min у, V = const, Тп = const, (3)
« ,с
min <р, V = const, Тп = const, (4)
8, с
где и — потенциальная энергия деформации крыла; у—прогиб крыла в заданном сечении; у' —величина угла девиации; ср,—угол закручивания; V—объем силового материала [см. (1) и (2)]; Тп — ограничение на аэродинамические нагрузки, пропорциональные в каждом сечении с” (г) (л = 1 при учете нагрузки от лобового сопротивления и п = 2 при учете нагрузки от волнового сопротивления [см.
(13)]).
Естественно, что в результате решения каждой из четырех задач получим различные значения распределения силового материала и относительных толщин 8/(г), Cj(z); (г = 1, 2, 3, 4). Каждое из этих решений будет оптимальным с точки зрения одного критерия и неоптимальным с точки зрения других критериев. В силу этого возникает необходимость постановки компромиссной(многокритериальной) задачи. В данной статье эта задача формулируется следующим образом: определить такие значения 6(z), с (г), которые являются решением задачи:
min Ф, V = const, Тп = const, (5)
S, с
где Ф = иуу' у — произведение величин разнородных критериев. На число критериев не накладывается ограничение сверху. ■
Постановка задачи (5) может быть обоснована следующими соображениями. Известно [1], что минимизацию нескольких функционалов можно свести к минимизации их суммы с весовыми коэффициентами. Для задачи (1)—(4) имеем
Ф = рхи + р2у + р3у' + р4 <f>, (6)
где рх, ръ, Рз, р\ — весовые коэффициенты. Из теории размерности следует, что слагаемые в (6) должны совпадать по размерности. Это требование может быть удовлетворено путем выбора размерности [pi], например, f^] = [уу'у], [рг] = [глу’ср] и т. п. Решение компромиссной задачи будет зависеть от соотношения величин Рь Pit Рз, Pi- Если положить pi — p2 = p3 = pi= 1, то решение задачи (5) с использованием функционала (6) в силу того, что и > у, и > <f, и > у', почти совпадает
с решением задачи (1). Если же положить Р\— Рз= Pi = а р2 > и, то решение
задачи (5) почти совпадаете решением задачи (2). Исходя из этих соображений, приходим к выводу, что слагаемые в функционале (6) должны быть по величине одного порядка. Это требование можно выполнить, полагая Р\ = уу'ч, Рг — и.у'ч, Рз = иуу, Pi = uyy'. В результате приходим к постановке задачи (5). Отметим,
что в [2] предложен аналогичный критерий для расчета консольной балки,
у которой произведение веса на концевой прогиб минимально.
Заметим, что степень важности той или иной цели можно учесть введением .степеней важности*:
Ф = и*‘ у k3 (у')кз <р'к>. (7)
2. Ниже решаются конкретно следующие две двухкритериальные задачи:
min иу, V = const, Тп — const; (8)
8, с
min иу', V = const, Тп = const. (9)
8, с .
Для решения задач (8), (9) используется метод неопределенных множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа
L = Ф + Xjip! + Х2ф2, (10)
где Ф = иу, или Ф — иу'-, (11)
' е
h=V — jb(z)b(z)-dz = 0; (12)
о *
ф,= Tn-$ca(z)b{z)dz = 0. (13)
0
Необходимые условия оптимальности запишем в виде
^ + ^ + 1,^ = 0. (14)
дв (55
дФ (Ж дФэ
1Г + х‘й+^ = °- (15)
Ниже при конкретном исследовании крыльев большого удлинения предполагается, что крыло является упругой балкой. В этом случае значения и, у, у’ определяем по формулам
1 ,г М*
Г ---------dz; (16)
у ^'изг
— f ——pj——— dz\ ■ (17)
п £*изг
м,
где МКЗГ(г)—функция распределения изгибающих моментов по размаху;
Е1ИЗГ — функция изгибной жесткости крыла;
I — полуразмах.
Влиянием энергии кручения и сдвига пренебрегаем. Момент инерции сечения с использованием понятий средней эквивалентной высоты § (г) • Ь (г) • с (г)
и силового кессона а(г)-Ь(г), где р (г) < 1, а (г)<С 1, записываем в следующем виде:
Ат (г) = -у- а (г) р2(г) (г) С2 (г). 5 (г). (19)
Используя уравнения (14), (15), условия (12), (13), выражения (16)— (19> и опуская индекс у изгибающего момента, получим решения для задач (8), (9)
5 (г) =-----------------Х!У-ААр------------------; (20>
VА (г) йг
1 1
“ (г)>2 (г) *2 (г) с (г) Г -
] ^ (2.) ь (г) с (г)
О
Г 4 [Л (*)]я+2
с(2) =---------------------------------,“7----------------------------------“ЦП--------------’ (21>
1 ■ > - ' т я + 2
[а (г) З2 (г) Ь4 (г) й (г)] л+2 1 /*[-----------Л(г)-1” Ь (г) йг\
и [ а(г)?»(г)М(г)Ь(г) ] )
о
где для задачи (8)
А(г) = М‘2(г)у + 2и(1 — г)М(г) (22>
и для задачи (9)
А (г) = М2 (г) у’ + 2 иМ (г). (23>
Систему уравнений (20), (21) не удается разрешить аналитически относительно 8 (г), с (г) подобно тому, как это сделано в [3]. Поэтому система уравнений (20), (21) решается методом последовательных приближений. Для оста-
новки процесса вычислений используется выполнение условия
фт+1 -фя
< е, (24)
где в—достаточно малое положительное число.
Хотя прием, примененный в [3], не позволяет разрешить систему уравнений (22), (23) аналитически, однако в некоторых случаях (например, когда число критериев меньше или равно числу искомых функций) он дает возможность заменить исходную систему уравнений эквивалентной системой, содержащей меньшее число уравнений.
Поделим обе части равенств (22), (23) соответственно на у и у'.
а{г) = -у- = МЦг) + 2)х1М{г)(1-гу, (25)
а (г)
а (г) = -у = М2 (г) + 2 |НМ (г), (26>
где (1! = И/у, [12 = и/у'.
Подставляя (25), (26) соответственно в (20), (21) и преобразуя подобно тому, как это делается в [3], получим формулы, аналогичные формулам [3] [см. (19),
(20)]. В этих формулах вместо момента М(г) будем иметь У М2 + 2 )хМ (/ — 2}
для задачи (8) и 4-2 [лМ для задачи (9). В результате
,м_._________________Нл(*)]2(п+1)
1 (*) — 2 п I п 1— п > (27}
Ьа+1 (г)J [а (г)]2п+1 Ьп+1 йг
О
1 1
_ Т" [а (г)]2 *л+
с (г) — г I г п 1— п А 1/л ’
6П+1 (г) Ц[а (г)]2<я+1) 6П+1 (г)йг
где а (г) = М2 (г) + 2\>-1М (г) (I — г) для задачи (8) и а (г) = М2 (г) + 2 |х2М (г) для задачи (9).
-----------Ф = у, ----------Ф = у и,
-----— ф-и
Фиг. 1
-----------ф = у, ---------- ф = уи,
----------Ф = И
Фиг. 2
-----.•---- Ф = у----------- Ф = у'«,
Фиг. 3
Таким образом, искомые функции будут выражены через известные параметры М (г) и Ь (г) и неизвестный коэффициент (д.. Значение коэффициента ц находится из решения уравнений и (ц) — ^у (р) для задачи (8) и и (н-г)—(^2) Для задачи (9). В данном случае решение двух уравнений (20) и (21) заменяется решением одного, которое имеет следующий вид:
I
Г М2 Лг
\ [М*{г] +НМ (г)]т П=~1-------------------------. « = 1,2,..., (29)
Г________М (г) йг
[МЦг) + ИМ (г)]3'4
где М (г) = 2 М (г) (/ — г) для задачи (8) и М(г)=2М(г) для задачи (9). В функционале (13) принято п= 1 (постоянство лобового сопротивления).
3. В качестве примера рассмотрим крыло большого удлинения с заданными параметрами /(г), а (г), Р(г), V, Тп, нагруженное изгибающим моментом. На ■фиг. 1—3 приведены результаты решения задач (1), (2) и (8) в виде зависимости' с(г) (фиг. 1), 8 (г) (фиг. 2), а (г) (фиг. 3), где <з(г)— максимальное нормальное напряжение в сечении крыла.
Решение задачи (8) заключено между решениями задач (1) и (2). На фиг. 4 показан график, иллюстрирующий сходимость процесса последовательных приближений в зависимости от номера приближения N. В таблице приведены вели-
№ по пор. Вид задачи и, даН/см У> см Ф, даН/см2 шах а, даН/см2
0 Исходный вариант 120-105 437 526-107 4000
1 Ф — иу 90,2-105 393 354-1О7 3100
2 Ф = и 86,0-105 475 409-107 2660
3 Ф = у 96,5-105 380 367-10? 3650
чины потенциальной энергии деформации и, максимального прогиба на конце крыла у и их произведения, максимального нормального напряжения в крыле з, соответствующих решениям задач (1), (2) и (8). Максимальное значение произведения иу получается при решении задачи (8), что следовало ожидать. На фиг. 5 приведены результаты решения задач (1), (3) и (9). Здесь наблюдается та же характерная картина, что и выше.
Фиг. 5
4. Следует отметить, что в рассмотренных выше конкретных задачах (I)—(4} критерии и, у, у', 9 связаны с искомыми функциями 8 (г), с (г) соотношениями (16) — (18). Если критерии и искомые функции связаны между собой соотношениями более сложными, чем (16) —(18) (например, эти связи имеют вид интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра второго рода [4]), то решение задачи существенно усложняется и оно не может быть получено с помощью данного метода. Если предположить, что значения и, у, у', у заданы, то для определения 8(г), с (г) получатся уравнения Фредгольма или Вольтерра первого рода. При этом многокритериальную задачу можно трактовать как переопределенную систему уравнений [4] (число уравнений больше, чем число неизвестных).
Заметим, что если критерии имеют противоположный смысл (шш, шах), как это имело место в [4], то в качестве обобщенного критерия следует брать не их произведение, а их отношение.
ЛИТЕРАТУРА
1. Волкович В. Л. Многокритериальные задачи и методы их решения. .Кибернетика и вычислительная техника". Киев, 1969.
2. Диксон Дж. Проектирование систем: изобретательство, анализ и принятие решений. М., „Мир*, 1969.
3. Украинцев Г. В., Фролов В. М. Метод оптимизации силовой конструкции крыла по жесткости при варьировании распределением относительной толщины профиля. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 3, № 4, 1972.
4. 3 у р а е в Т. Г. О решении некоторой переопределенной системы операторных уравнений. Труды ЦАГИ, вып. 1303, 1971.
Рукопись поступила 30\1111976 г.
