Определение потребных жесткостных характеристик крыла большого удлинения по условиям статической прочности и эффективности элерона Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том XVI 1985

№ 6

УДК 629.735.33.015.4.025.1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТРЕБНЫХ ЖЕСТКОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК КРЫЛА БОЛЬШОГО УДЛИНЕНИЯ ПО УСЛОВИЯМ СТАТИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ И ЭФФЕКТИВНОСТИ ЭЛЕРОНА

В. С. Войтышен, В. М. Фролов

Рассмотрена задача оптимального проектирования крыла большого удлинения при ограничениях по прочности и эффективности элерона с использованием приближенного способа определения деформаций крыла в потоке воздуха. Получены оптимальные функции изгибной и крутильной жесткостей крыла в виде кусочно-гладких функций. На основе предложенной методики рассмотрен пример проектировочного расчета и весового анализа крыла с типичными геометрическими параметрами.

1. Построение расчетной модели крыла и формирование ограничений. Жесткостные характеристики крыла большого удлинения, моделируемого балкой, связаны с осью жесткости, составляющей угол % с осью 01, перпендикулярной плоскости симметрии самолета. Ось 0| направлена по оси жесткости крыла (рис. 1).

Масса продольного силового набора крыла может быть представлена в виде ......... ...

1 ,/МЕ)

4р /е,_ В (9

£Я*(£) ’ Тз(і°~РОЯ(£)Як(Є)

(1.1)

где El (I), G/K(l)—положительные ограниченные функции изгибной и крутильной жесткостей крыла соответственно; р, Е, G — плотность и модули упругости силового материала, /(£), ^к(|)—экваториальный и бредтовскйй моменты инерции сечения крыла; #К(Ю> В(|)—высота и ширина кессона; I — полуразмах крыла.

Данное представление массы силового набора крыла будет использовано в дальнейшем в качестве минимизируемого функционала.

Максимальное нормальное напряжение, действующее в панелях

обшивки для расчетного изгибающего момента МГИзг(Е), равно

_/с\ ЕМазт (?) с (5) b (£) /1 о\

з(^ =---ШЩ)------------’ (L2)

где с('|)—относительная толщина профиля крыла, Ь(Ь)—аэродина-

мическая хорда крыла.

При заданных максимальных напряжениях в панели 0 = оДОп(|) с помощью выражения (1.2) получим ограничение на функцию изгибной жесткости крыла:

£/(5)>/ш(5), (1.3)

где

/ _ (S) b (S) м

/ш(Е)~ 2одоп(|) М»зт (')•

Пусть минимально допустимая приведенная толщина обшивки кессона, определяемая конструкционными требованиями, равна 8“р1п(Е). Тогда получаем еще одно ограничение на функцию изгибной жесткости крыла:

£/(S)>/i8 (*), (1.4)

где

Объединение требований (1.3) и (1.4) дает окончательное ограничение на функцию изгибной жесткости крыла:

,(Е), (1.5)

где

/,(£) = max [/ш(&), /и(Е)].

£€10.1\

Аналогично, на основании расчетного крутящего момента, а также максимального касательного напряжения в контуре кессона и минимально допустимой толщины его стенок, может быть получено ограничение на функцию крутильной жесткости крыла:

G/k(E)>/2(5). (1.6)

Воздействие элерона на упругое крыло может рассматриваться как действие сосредоточенной силы Р в точке |=/э, которая соответствует положению аэродинамического фокуса элерона. При отклонении элерона на угол бэ крыло деформируется так, что в каждом поточном сечении крыла появляется дополнительный угол атаки Да(£).

Согласно [1] эффективность элерона характеризуется параметром £*:.

СЛ.==М,//И* (1.7)

где для абсолютно жесткого крыла изгибающий момент в корневом сечении равен

i

М* = J qc\ к Ь (6) W6 = Р1Э cos х,

О

для упругого крыла

Мх= j qc\ (8, - Да) b (6) Ы\ — J qc* Да (?) Ь (?) Ы\,

о о

q — скоростной напор, сьу — производные коэффициента подъемной силы по углам а и 8 соответственно.

В действительности Да (£)<С6Э, что позволяет переписать (1.7) в виде:

i

J qc*y Да (?) Ь (?) Ы\ = (1 -С,) Pla cos х. (1 -8)

При задаваемых скоростном напоре параметре эффективности элерона ^х, а также геометрических параметрах крыла равенство (1.8) имеет смысл изопараметричёского условия, накладываемого на распределение дополнительного угла атаки Ла(£).

Дополнительные прогиб у (£) и угол закручивания ср (|) упругого крыла при отклоненном элероне описываются уравнениями

/0)=^1(?).

ртч ^1°, 4-ОЦ ....

£/(6)^(9 — ( 0) ?£[/э + о,/].} (1-9)

У (0) ~У \ (0) = 0;

PXf, ^ [0,

о, &£[/» + 0, /],

гт m \PXr’ ^°’ /э“01’ I /1 ,m

GIK (?)<?'(?)= n- іґп Ln n (1Л°)

где Хґ — расстояние от оси жесткости крыла до фокуса элерона (рис. 1).

При этом не учитывается влияние на прогиб и угол закручивания крыла аэродинамических сил, обусловленных дополнительным углом атаки Да(|), которое, как показывают более точные расчеты, мало. Производная прогиба крыла г/і(|), угол закручивания <р(|) и дополнительный угол атаки Да(£) связаны геометрическим соотношением

Да (?) = «р (?) соэ х — .у^іп*. (1.11)

В данной работе использовалась также известная статистическая зависимость между функциями изгибной и крутильной жесткостей крыла большого удлинения [2]

где к= 1,2-г- 1,4.

Следует отметить, что соотношение (1.12) не является принципиальным для излагаемого ниже метода решения, однако позволяет существенно сократить объем выкладок и расчетов.

2. Постановка задачи оптимизации. Сформулируем следующую задачу оптимизации распределения силового материала по размаху крыла: найти функции изгибной Е1(1) и крутильной б/к(1) жесткостей крыла, обеспечивающие минимум функционала—массы крыла (1.1) при ограничениях по прочности (1.5), (1.6), по эффективности элерона

(1.8), при удовлетворении уравнениям изгиба (1.9) и кручения (1.10) крыла, а также с учетом условий связи (1.11) и (1.12).

Существование и единственность искомых функций ЕЩ) и б/к(|), удовлетворяющих непротиворечивым ограничениям (1.5) — (1.12), в этой задаче очевидны из физических соображений. Исходя из этого для получения оптимального решения в данной задаче ограничимся рассмотрением только необходимых условий стационарности.

Решение задачи методом неопределенных множителей Лагранжа [3] требует задания всех ограничений в виде равенств. Преобразование ограничений (1.5) и (1.6) производится введением дополнительных управляющих функций №1(1) и а>2(|), определенных на отрезке [0, /] равенствами [3]

Преобразование условий (1.8) и (1.11) производится введением новой переменной ■Х'(Е) на отрезке [0, /] удовлетворяющей уравнению [3]:

Граничное условие для Х(|) получается непосредственно из

Рассматриваемая задача является задачей оптимального управления с разрывными правыми частями уравнений (1.9) и (1.10) в точке |=/э и возможными разрывами управляющих функций Е1(1), яМЕ), о>г(Е) или их производных в точках, называемых далее угловыми точками.

Если М|), 5 = 0. 1, 2, 3 и V*(Е), =0, 1, 2 — неопределенные множители Лагранжа, то гамильтониан задачи имеет вид

£/(?) = АС/, (6),

(1-12)

£/(£)-/, (Е)-да? (6) = 0. о/(б)_/а(£)_да *(?) = 0. (2.1)

X' (?) = с“ [<р (Е) соэ х - у 1 (Е) эт х] Ь (Е) Е.

(1.8):

хц.) — х(0) =-(1—сх) -цС05Х

н = — ЪЕ1~ ак + >о^1 +х

Е £ [0, 1Э —0] 0 Ев/э + 0, /]

+

х2 О/к ’ ’ 3 + Х3С“ (срсозх — у181пх)*Е +

1 0, *£[/. +0, Ф

+ (Е1-Ю1К) + Ь (Е1 -/, - + N2 (С/к ~/2 -™\).

(2.2)

Уравнения Эйлера на участке [О, /э—О]

ъ ю - >■, т +’• <Е>+’■ <Е>=°-

Ь (£) + \ (Е)

РХК

-Ь0(Е) + va(6) = 0,

Gil (5)

Mi)-О,

xi (?) + *0 (6) - хз (6)c5 b{%) E sin x = o,

X2 (?) + X3 (E)4 b (E) E cos x = 0, Хз(Е)=0, vi (S) «4 (E) = 0, v2 (I) te>2 (E) = 0;

на участке [4 + 0, /]

Tt (6) 4- Vo (S) -+-V, (6) == 0,

TaW —fcvo(S) + v2(S) = 0,

Xo(E) = 0,

h (5) + X0 (E) - X3 (E)cay b (E) E sin x = 0, + Wcosx=0,

^(5) = 0,

(5) (5) = 0, v2 (E) w2 (6) = 0.

Краевые условия для множителей Лагранжа

Хо(/) = Х1(/) = Ха(/) = 0, 1 Х3(0)=Х3(/). ]

(2.3)

(2.4)

(2.5)

Из условий Вейерштрасса—Эрдманна в точке разрыва правых частей уравнений (1.8), (1.9) следует, что {3]:

V

М4-0) = ХД/9 + 0), 5 = 0, 1, 2, 3;

(2.6)

2) переменные у(1), ^(1), ф(|), ^(1) в точке 1='1Э непрерывны;

3) гамильтониан (2.2) в точке |=4 в общем случае может терпеть разрыв.

3. Анализ структуры оптимального решения. Пусть отрезку [0, /] принадлежит система угловых точек (см. п. 2) {|г, 1 = 2, 3,..., га}, пронумерованных в порядке возрастания их координат (за исключением, быть может, таких Е;й, что 1) и делящих отрезок [0, /] на

га + 1 интервалов разбиения.

В каждой из угловых точек должны быть выполнены следующие условия Вейерштрасса—Эрдманна для множителей Я,«(|), 5 = 0, 1, 2, 3 и для гамильтониана (2.2) [3]:

1) Х,(Е/^0) = Х,(?1 + 0), 5 = 0, I, 2, 3, i = 2, 3, ..., га;

2) //|е=5,-0 = ^/’|е = £,+0.

}<3.

I)

Заметим, что дифференциальные уравнения для А,в(|), « = 0, 1, 2, 3 согласно (2.3) и (2.4) имеют вид, общий для всех интервалов разбиения отрезка [0, /]. Интегрирование этих уравнений на каждом интервале с последующим использованием условйй (2.5), (2.6) и (3.1) даст решения для Х8(|), в = 0, 1, 2, 3 на всем отрезке [0, /]:

Х0 = 0,

(?) = I* эш г ] с* Ь (•»]) 7} йт\,

I

£

Х2 (?) = — Р сое х с“ Ь (т)) 1)<Ь],

Хз —

(3.2)

где (л — неизвестная константа.

Действительные управляющие функции хю\(%) и ку2(|) на каждом из интервалов разбиения отрезка [0, I] должны, согласно (1.12) и (2.1), удовлетворять одному из двух условий

1) ?е>2(?) = 0 или (и) (£) == 0,

2) ®/2(?)>0, ®2(?)>0.

(3.3)

В первом случае искомые функции £/(|) и 0/к(|) получаются непосредственно из (1.12) и (2.1): если ЫЕ)>£ЫЕ), то

если

£/(&) = /,(?), О/к (?)= 4-/1 (*)••

к

/.(?)<Л/2(?), то

Е1(%) = А/2(6), ОШ^Ш-

(3.4)

Пусть на некотором интервале разбиения, принадлежащем участку [о, 4—0], выполнено второе из условий (3.3). Тогда на этом интер1-вале, согласно двум последним уравнениям системы (2.3), VI (|) ~0,

У2(%)=0. Два первых уравнения (2.3) с учетом (3.2) и условия (1.12)

дают искомые функции изгибной и крутильной жесткостей, в этом случае обозначаемые через £7* (|) и б/к (|):

яг*7» I и к К4 -- ?) зт г - кХр сое -/.] с ]1/2

О/к (6)

Е1* (?).

(3.5)

Можно показать, что участок [4+0, /] не содержит ни одной угловой точки 1г, 1 = 2, 3т. Действительно, согласно двум последним уравнениям системы (2.4) и ограничениям (2.1), в каждой точке участка [4+0, /] выполняются условия:

[Ъ (?)-*«(?)][£/(?)-/,(?)] = 0, Ы?)-ь0(?)][е/к (?)-/,(?)]

(3.6)

Существование хотя бы одной угловой точки |j(;[^+0, /], согласно ее определению, означало бы выполнение справа или слева от нее второго условия (3.3), что при произвольном задании yi{Q и уг(Е) противоречит (3.6).

Далее используются обозначения gi = 0, |m+i = 4-

Итак, на любом интервале Ци Ъ+i), t= 1, 2,,т участка [0, 4—0] оптимальные решения для функций изгибной и крутильной жесткостей являются либо решениями (3.4), либо решениями (3.5). Оптимальные решения для функций £7(1) и G/K(|) на участке [4+0, /] имеют вид (3.4).

Далее для определенности полагается fi(|) >fef2(S) всюду на [0, /].

4. Построение общего решения. Рассмотрим преобразование плоскости (tt/), |) в плоскость (Ф, |) следующего вида:

Ф (Wi) =*=

1, w\ > О,

— 1, да2 = 0.

Согласно определению последовательности {£*, 1 = 2, 3,..., т}, для любого 8>0 и такого, что

— 8, ?, + 8<е,+ь (4.1)

образ Ф(ш1) в б — окрестности точки удовлетворяет условиям

ф (^1^-8)) = (-!)*.+*•, ■Ф(да,(5|+;8))=(-1)*гН', (4.2)

где вектор е

принимает всего два значения:

или

1 '

Условия для точек %ік и £/й+1 (см. п. д) —получаются заменой в первых строках (4.1) и (4.2) і на'»'к, а во вторых строках і на гк+1.

Таким образом, два значения вектора є охватывают все возможные варианты поведения о>і(|) в окрестности точки | = 0 (см. рис. 2). Поведение И»1|(|) в окрестности ТОЧКИ 1 = 4 полностью определяется заданием параметров ей т.

Следовательно, связанные с (Е) функции оптимальной изгибной и крутильной жесткостей крыла на любом интервале (|г, Е1+1), » = = 1,2,... ,т участка (0, 13—0] имеют вид:

£/'(*) = ^-[1 + (- 1)£‘+']/1 («)+ [1 + (- 1 У^]Ш* (5),

С/‘к($)=4-^(^ к

(4.3)

На участке [/э + 0, /], как было показано в п. 3,

(4.4)

Прогиб и угол кручения крыла на интервале (£г-, |г-н) 1=1, 2, ... ,т участка [О, /э—0] получаются интегрированием (1.9) и (1.10) для функций жесткостей (4.3) и с учетом непрерывности деформаций в угловых точках:

/—1

'г+1

р*.

(4.5>

ч .

о

где полагается У*. = 0.

ге1

Для определения т(\) и ф(|) на участке [4+0, /] путем интегрирования (1.9) и (1.10) следует использовать условия непрерывности деформаций в точке |=/э. В этом случае

£г+1

.Уг

т Е':И РХ

Е1Г Оч)

<1г1,

>'+1 5’

£— (п)

(4.6)

Подстановка (4.5) и (4.6) в (1.8) с учетом (1.11) приводит к уравнению, содержащему неизвестную константу ц:

А (/.) + -рЦг Л (&) = (1 - У ,

V рР Ч

(4.7)

где функция §1(|) введена согласно соотношению

и функционал Jn(u{%)), п — 1, 2, имеет вид

р±!2К^я+1 6

L J с (4 — Т]) sin X + kXF C0SX

e;6(5)6 |

/=1 ^/+i

M(1))

+

j. 2 J « *•

Л(«)= Z f с%ьт f

y=l Ц]-гн

f'iklVl £

- c I 2 J 4/-sB+l

+ S 2 f (/3 — -»l) sin x + kXpCOsi

i= 1 £ /=1 J M(l) '

*2y-.„

■+fe;ft(s)6rfs 2 f

/=1 '«2/-.

(4 — ttj) sin x + kXp cosx

M^jj

й'ц.

(4.8)

Согласно (4.8) функционалы Ji и /2 не могут одновременно обращаться в ноль. Однако при соответствующих условиях задачи возможны случаи обращения в ноль одного из них. Отмечая чертой сверху значение второго функционала в этих случаях, запишем вытекающие из (4.7) два условия:

1Э cos х

(4.9)

(4.10)

Физический смысл условий (4.9) и (4.10) будет раскрыт в п. 5 при обсуждении на рис. 3.

g=const

В общем случае, согласно (4.7), получим

„ = _L (__________________Шй________)*.

Р | (1_Сх) 4cosx j

(4.11)

Как было показано (п. 3), угловые точки функций £/(|) и б/к(|) могут находиться только на участке [0, /э—0].

Преобразование второго .условия Вейерштрасса—Эрдманна (3.1) для гамильтониана (2.2) приводит к соотношению, которое должно выполняться в каждой угловой точке |г, 1 = 2, 3,,т:

Из ЭТОГО соотношения при положительных функциях VI (5) и Уг(?) (см. п. 1) следует, что

(функции /х (?), согласно (1.5), и Е1* (|), б/Д?), согласно (3.5), непрерывны на [О, /э — 0]).

Таким образом, угловые точки оптимальных функций £/(£) и 0/к(|) являются точками разрыва их производных. Сами эти функции на участке [0, 4—0] непрерывны.

Подстановка (4.11) в первое уравнение (4.12) приводит к системе уравнений для определения угловых точек .

На участке [4+0, /] оптимальные функции жесткостей изгиба и кручения согласно (4.4) также непрерывны.

В точке $ = /э могут иметь разрыв как сами функции £/(£) и 0/к(?), так и их производные. Например:

ЕЦ1Э — 0)-----------1)..+*] /, (4) + ± [1 + (_ 1 )••+»] Е1* (/3),

Последнее является следствием используемой в работе замены воздействия элерона на крыло действием сосредоточенной силы. Р, приложенной в аэродинамическом фокусе элерона.

Определим также значение скоростного напора = при котором наступает явление реверса элерона, чему соответствует значение £х = 0. Для этого заметим, что условие (1.8) на основании (1.11), а также (4.5) и (4.6) может быть переписано в виде:

где функция £2(|) =Да (%)/Р от силы Р не зависит.

Таким образом, левая часть (4.14) определяется только конструкционными параметрами крыла. Рассматривая одно и то же оптимальное крыло, получим согласно (4,14) для него условие,

Т1 (У (У ~ А &)]2 (6,) [С/* в) - -у Л &)] = 0.

£/*&)=/1(5,). ОВД = -г/,($,) г=2, 3, . . . , т (4.12)

К

(1 - с,) _*»С0|,г - ^ (Л)

•М&)

Я/(/, + 0) =/,(/,).

(4.14)

(}

1-С« _ '

Ч Чр

откуда скоростной напор реверса элерона равен

где — заданное значение параметра эффективности элерона при скоростном напоре q.

5. Численный пример. Разработанная методика была использована для получения функций изгибной и крутильной жесткостей крыла с типичными геометрическими параметрами (см. рис. 1). Программа расчета была написана на языке ФОРТРАН, расчеты проводились на ЭВМ ЕС-1040. Для получения угловых точек функций £7(5) и б/кШ система уравнений (4.13) решалась методом Ньютона.

Для представления результатов использованы безразмерные

параметры г = 1)1, 7Э = /э//, <7 = <7/<7реВ и Функции

т& = Е1{1-)/Е1(0), /(г) = /1 (6)//, (0), М = М/М0,

где М0 — масса крыла, удовлетворяющего только условиям (1.5) и (1.6).

На рис. 3 показана характеристическая область задачи в_коорди-натах £ж, 4 при <7 = 0,39. Зоны I и II разделены кривой Ъс=1х{к), которая задается условием (4.9) и соответствует крылу, удовлетворяющему только условиям (1.5) и (1.6). Кривая, задаваемая условием (4.10) и разделяющая зоны II и III, соответствует предельному варианту крыла со столь большим что угловые точки исчезают и функции жесткостей всюду на [0, /э—0] имеют вид (3.5), определяемый требованиями аэроупругости. Попадание точки (^х, q, /э) в зону I означает отсутствие решения задачи, так как это влечет за собой нарушение ограничений по прочности (1.5) и (1.6); зона II, включая ее нижнюю и верхнюю границы, соответствует решениям, имеющим угловые точки; попадание точки (£*, q, 1Э) в зону III свидетельствует о том, что функции жесткостей всюду на [0, /э—0] должны иметь вид (3.5).

Четыре характерные для данного крыла решения для функции изгибной жесткости Е1(г) при различных значениях параметров £*, ц, 1Э приведены на рис. 4. Штриховой линией показана граница по прочности там, где она проходит ниже функции жесткости, обеспечи-

вающей требуемую эффективность элерона. Первое и четвертое решения имеют по одной угловой точке с координатами 2 = 0,38 и 0,92 соответственно. Третье решение имеет две таких точки: 21 = 0,12, 22 = 0,97. Второе решение угловых точек не имеет.

Для полученных вариантов крыла с оптимальными функциями жесткостей были определены массы силового набора. На рис. 5 показана зависимость относительной массы силового набора крыла М от положения элерона /э при различных значениях параметра и скоростном напоре д = 0,58. Штриховая линия соответствует относительной массе крыла, удовлетворяющего одним только ограничениям по прочности (1.5), (1.6).

Для нескольких полученных вариантов крыла с оптимальными функциями жесткостей и имеющих требуемые значения параметра были определены значения параметра эффективности СI по более точной методике, в которой аэродинамические нагрузки на крыло определялись методом дискретных вихрей и с учетом конечности размеров элерона. На рис. 6 показана зависимость величины Д£*/£*, где Д£ж = = С, — С от исходного значения £*. Результаты расчета по точной методике отмечены кружками. Кривая на рис. 6 проведена через средние значения величины Д^Д* при каждом фиксированном Проведен-

те

ное сравнение свидетельствует 6 целесообразности использования предложенной методики для решения задач оптимизации крыла большого удлинения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бисилингхофф Р., Эшли X., Халфмэн Р. Аэроупругость. — М.: Изд. Иностр. лит., 1968.

2. Б и р ю к В. И., Л и п и н Е. К., Фролов В. М. Методы проектирования конструкций самолетов. — М.: Машиностроение, 1977.

3. Т р о и ц к ий В. А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. — М.: Машиностроение, 1976.

Рукопись поступила 25/VI 1984 г.