CC BY
55
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIV ЛГвЗ
№ 1
УДК 629.7.02.34
О НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЯХ ОПТИМИЗАЦИИ ФОРМЫ КРЫЛА В ПЛАНЕ ПО УСЛОВИЯМ ПРОЧНОСТИ
Г. В. Украинцев, В. М. Фролов
Рассматриваются два частных случая определения оптимальной по условиям прочности формы крыла в плане при сохранении постоянной его площади.
Посчитано, что в результате оптимизации заметно снижается масса силового материала крыла вследствие существенного уменьшения распределенных по размаху величин расчетных изгибающих моментов и рационального распределения по сечениям приведенных толщин силового материала.
В работах [1] и [2] исследовался вопрос об оптимизации (с точки зрения прочности, жесткости и массы конструкции) распределения силового материала и относительной толщины профиля по размаху крыла большого удлинения. За счет указанной оптимизации удается достигнуть уменьшения массы силового материала не более чем на 8 — 10% от исходной.
В данной работе поиск оптимальных геометрических соотношений распространяется на форму крыла в плане. В работах [3] и [4] при достаточно приближенных предпосылках исследовалось влияние сужения трапециевидного крыла на массу его силового материала.
Было получено, например, что при увеличении сужения т] с 2-х до 4-х можно ожидать уменьшения массы силового материала до 20—25%. Несмотря на приближенность полученных в [3] оценок, существенное влияние сужения трапециевидного крыла на массу его конструкции не вызывает сомнений.
Ниже рассматривается возможность дальнейшей минимизации массы конструкции крыла за счет поиска рациональной с точки ■ зрения прочности формы крыла в плане, отличающейся от традиционной трапециевидной.
Предложенные методики предназначены для начального этапа проектирования, поэтому выбор способа решения оптимизационной задачи определялся желательностью получения окончательных результатов в виде простых аналитических зависимостей между основными проектными параметрами при обеспечении достаточной для данного этапа прочности.
1. Исходные предпосылки и соотношения. Рассматриваются крылья, работа которых в основном моделируется тонкостенной
упругой балкой. К их числу относятся стреловидные крылья большого удлинения и поворотные части крыльев изменяемой стреловидности. Силовой кессон заменяется эквивалентной тонкостенной балкой прямоугольного поперечного сечения, ширина которой а(г)Ь(г) равна ширине силового кессона, а высота [^(2)• Ь (2) -с (2) — средней высоте силового кессона. Здесь Ь(г), с(2) —хорда и относительная толщина крыла, а (г)—отношение ширины кессона к хорде крыла, ¡3(2) — отношение средней высоты кессона к его максимальной высоте.
Направим ось 2 вдоль оси жесткости кессона. Площади верхней и нижней панелей принимаются равными. При этих условиях можно получить следующие формулы.
Для момента инерции сечения /(2);
I (г) = 4" а (2) В* (г) Ьг (г) с2 (2) 8* (г), (1)
где 8* (2) — средняя приведенная толщина панели.
Для нормальных напряжений а (г) с учетом (1)
а(г)=—-----------------------, (2)
«(г) р (г) й* (г) с (*)«,(*)
где Л4изг(г)— суммарный изгибающий момент, на который производится расчет крыла на прочность.
Для массы продольного набора крыла б:
в = ^а(г)Ь&)Ъх(г)с1г, (3)
0
где I — длина крыла вдоль оси жесткости, р — плотность силового материала.
Ддя внутреннего объема крыла 1/вн;
^вн = | а (*) Р (2) ь2 (г) С (2) ¿/2. (4)
о
Для потенциальной энергии деформации изгиба с использованием (1) и (2)
и = 4- Г--------^изг(г)-г-------. (5)
£ J а(г)рз (2)&з(г)с2(г)Мг)
О
2. Методика оптимизации формы крыла в плане. В ряде случаев для получения аналитических решений при оптимизации силовых конструкций по условиям прочности, жесткости и массы используются функционалы потенциальной энергии деформации или объема силового материала. Такой подход был применен в работах [1] и [2]. В работе [2] минимизировался функционал потенциальной энергии деформации (5) при варьировании значениями с(2) и 8^(2) и выполнении условий:
' 1
Кг= Г а (2) 6(2)8* (2)^2 —<2* = 0; (6)
о | .
У2= \Ь(г)[с{г)\п(1г— Тп = 0, (7)
О
где Ga —объем силового материала панелей [согласно (3), (6) G*=G/р], Тп -V- параметр, имеющий размерность площади (при п —.1 — мидель полукрыла).
Аэродинамическое ограничение (7), приближенно соответствующее постоянству волнового сопротивления при варьировании относительной толщиной, введено Р. И. Штейнбергом.
Параметры G* и Тп определяются по значениям bucx(z), cncx(z) и 8*„cx(z) исходного прототипа. В результате минимизации функционала потенциальной энергии (5) при условии (6) получается конструкция, обладающая более высокой обобщенной жесткостью, при этом действующие в ней напряжения будут ниже исходных напряжений.
Чтобы вновь перейти к конструкции, удовлетворяющей условию прочности
0 iZ) ~ аДОП (Z)> (8)
следует пропорционально в соответствии с выражением (2) уменьшить значения 8... (z) и, следовательно, уменьшить вес силового материала. Окончательная корректировка объема силового материала с помощью выражений (2) и (8J не влияет на предшествующий процесс оптимизации.
В данной работе в число варьируемых включается распределение хорд по размаху b(z), на которое накладывается ограничение
Vs = $b(z)dz-S0~ 0, (9)
о
выражающее условие постоянства площади S0 полукрыла.
В общем случае задачи оптимизации крыла предполагают определение таких значений функций c(z), b(z) и 8^ (z), которые реализуют минимум функционала потенциальной энергии (5) при условиях (6), (7) и (9). Если это необходимо, возможна последующая корректировка приведенных толщин силового материала 8* (z) по условию (8). Следует отметить, что решение данной задачи в значительной степени осложняется отсутствием аналитической зависимости суммарного (с учетом разгрузки инерционными силами) изгибающего момента Мивг(г) от варьируемой функции b(z).
Из рассмотрения функционалов (6), (7) и (9) можно усмотреть частный случай, когда варьирование функцией b (z) для минимизации функционала (5) может производиться независимо от функций с (г) и 8^(2). Если положить
«(2) 8* (2) = 80 и 'c (z) = c0, (10)
где 80 и с0 постоянные, то интегралы в (6), (7) и (9) с точностью до постоянных множителей совпадут. Таким образом, условие (10) определяет один из классов конструкций, для которых возможна оптимизация функционала (5) по b(z). Этот класс характеризуется постоянством по размаху крыла осносительной толщины профиля c(z) и условием a (z) 8S (z) = 80, которые являются вполне реальными для современных компоновок и конструктивно-силовых схем крыльев большого удлинения.
Возможна независимая от ограничений (6) и (7) минимизация функционала (5) по b (z) и для другого класса конструкций, в которых заранее заданы распределения по z относительных толщин
c{z) и допускаемых напряжений адоп(;г). Очевидно, что эти условия проектирования силовых конструкций крыла также являются реальными. В этом случае выражение для потенциальной энергии (5) имеет вид:
и _ JL Г 1 ^изrCg) I °Д0П И dz (! !)
Е J р (г) ft (г) с (г) '
0
Если проектировать равнонапряженную конструкцию, когда адоп {z) = <з0 = const, то на основании (2) и (3) масса продольного набора определяется интегралом
1
G = " Г 1 ^изг С?) I §г_
1 .) $ (г) Ь (г) одоп (г) с (г) о
с точностью до постоянного множителя, совпадающим с функционалом (11). С учетом сказанного далее будет рассматриваться задача выбора функции b(z), т. е. формы крыла в плане, доставляющей минимум функционалу (5) при изопериметрическом условии (9). При найденном оптимальном распределении хорд по размаху b{z) изопериметрические условия (6) и (7) удовлетворяются выбором постоянных 30 и с0 в (10). Ниже будет приведено решение задачи для указанных двух частных классов конструкций. Выражение (5) при условиях (10) и выражение (12) при заданных с(z) и адоп можно записать в виде одного общего функционала:
Ф /? (z)dz, (13)
о
М2 [z, b (г)]
где R(z) = Ri (z) =-----——-————для первого класса конструк-
W Ер (г) V (г) с20 о0 F
ций, R (z) = Ra (z) = ■ М"ЗГ ^г’ Ь (г)!доп ^ — для второго класса конст-
Р (z) b (г) с (2)
рукций.
Необходимое условие минимума функционала (13) при интегральном ограничении (9) записывается в виде следующего уравнения:
ТГ+Х = 0' <14>
которое является условием стационарности функции Лагранжа
L = u + \V3, Х= const.
Решение уравнения (14) имеет вид:
R (z) + \b (z) + с = 0, (15)
где с const.
При z = l функции R(l)~ 0, так как изгибающий момент
на конце консольного крыла, как правило, равен нулю:/Иизг(/) = 0. Если величина концевой хорды задана из компоновочных соображений, b(l) = bu то постоянная интегрирования с = — ~kbx.
Для конструкций первого класса оптимальная функция Ь(г) при заданном моменте Л/изг(;г) определяется из уравнения четвертой степени:
і М (г)
ЬЦг)[(Ь)Цг)-Ь1Ь(г)} + -і-----------^^ = 0. (16)
1 п х Ер (г)с0Ь0
Множитель Лагранжа находится в результате учета ограничения (9):
і
х== (17)
.) Р2 (г) 4 о0
О
I
где У* = | й4 (г) йг.
о
Для конструкций второго класса имеем соответственно квадратное уравнение
1 1 Мизг (^) I сдоп (¿~)
Р (г)
Ь2 (г) - М (г) + ~т =0 (18)
и следующее выражение для многожителя Лагранжа:
х= Г _| АГизг (г) |^доп (г) с1г ( $ - У„)-\ (19)
Л Р {г) с (г)
о
I
где 1^** = | Ь2 (г) йг. о
Наиболее простой вид решения уравнений (16) и (18) имеют при = В этом случае для конструкций первого класса
Ь {г) = 50 [■ 1^)1 ]2 • {( [ 1МГ(1()г)1 ]'2 Ц , ' (20)
а для конструкций второго класса
Мизг (г) I сдоп и
Ьп (г) =5,
с (г) а (г)
( ГГ Ии?Г.іг)І°Д«п,(£> І2 (21)
|Л с(г)Нг) \ \
Входящие в формулы (16), (18), (20) и (21) изгибающие моменты УИизг должны находиться в соответствии с определяемыми функциями Ь(г). В численных расчетах, некоторые результаты которых приведены ниже, эти уравнения решались итерационным методом. Во всех рассмотренных примерах практическая сходимость процесса итераций (с точностью до 1%) достигалась за 5—6 приближений.
3. Результаты расчетов. Для проведения расчетов" были выбраны стреловидные крылья большого удлинения, имеющие значительную разгрузку инерционными силами. Такие крылья применяются на современных пассажирских самолетах.
При пользовании формулами (16), (18), (20) и (21), определяющими функцию Ь(г), некоторые трудности вызывает пересчет изгибающих моментов Мизг(2) при изменении формы крыла в плане.
Изгибающий момент Mmr(z) равен разности моментов аэродинамических и инерционных (разгружающих) сил
^изг (Z) = Маэр (Z)-Mp(z). (22)
Для пересчета Маэр(г) могут применяться различные методы, устанавливающие зависимость распределения аэродинамических сил по размаху крыла от распределения хорд b(z). В проведенных расчетах использовалась программа, базирующаяся на методе присоединенных вихрей С. М. Белоцерковского [5]. Разгружающий момент от инерционных сил Мр (z) в общем случае также изменяется при варьировании b(z) за счет:
— изменения массы конструкции и ее распределения по размаху крыла;
— изменения распределения полезных внутренних объемов V{z) и, следовательно, величины и распределения массы топлива., если оно размещается в крыЛе.
Доля МР (z), зависящая от сосредоточенных грузов (двигателей, шасси и др.), при варьировании b(z) во многих случаях может не изменяться. Момент Мр (z) должен пересчитываться на каждой итерации.
На рис. 1 сплошными линиями показана исходная форма в плане расчетной модели одного из рассматривавшихся крыльев.
В результате оптимизаций формы крыла в плане по соотношениям для первого и второго классов конструкции получены
схемы крыльев, обозначенные на рис. 1 соответственно как I и II варианты.
Задние кромки оптимизированных крыльев показаны штрихо-' вой линией. Передние кромки исходного и оптимизированных крыльев совпадают.
Оптимизация формы крыла в плане привела к уменьшению массы продольного набора крыла по сравнению с исходным вариантом: для / варианта — на Дб = 29%, для II варианта—на ДО —17%.
Уменьшение массы крыла в / и II вариантах является следствием показанного на рис. 2 уменьшения в поперечных сечениях крыла площади продольного набора Я(г), что в свою очередь объясняется уменьшением изгибающих моментов и лучшим соответствием строительных высот Н{г) изгибающим моментам. На рис. 2 и 3 г = гЦ, индексы соответствуют: „исх“— исходному крылу, / и II — вариантам оптимизированных крыльев.
Из графиков рис. 2 видно, что в исходном варианте строительные высоты на участке 0,2 г -<0,4 существенно занижены,
что вызывает резкое увеличение на этом интервале площадей ^исх(2) И особенно приведенных ТОЛЩИН панелей §пр(2).
В / и II вариантах строительные высоты в зоне 2 = 0,2 -$-■ 0,5 значительно превышают строительные высоты исходного варианта, вследствие чего функции /^(г), Рп (г), опр}(г) и 8прп(2) изменяются достаточно плавно, что дает этим вариантам преимущество с точки зрения технологичности и возможности приближения практически реализуемых значений Р(г) и ЗпрО2) к потребным теоретическим значениям, полученным в результате расчета.
На рис. 3 приводятся относительные значения жесткостных характеристик: моменты инерции 7(2), прогибы МУ (г), девиации Ш' (г) сечений для оптимизированных крыльев отнесены к соот-
0 0,1 0,2 0,3 0,4- 0,5 0,5 0,1 0,0 0,0 г
ж ■л Вариант!! %
\
и/в 10
0,6
лл
0,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,1
Рис. 3
0,9 г
ветствующим величинам для исходного крыла. Из рассмотрения графиков на рис. 3 следует, что хотя моменты инерции сечений для оптимизированных вариантов меньше, чем для исходного варианта (кроме участка 2 = 0,3 Ч- 0,4), прогибы от расчетных нагрузок в / и II вариантах меньше, чем для исходного крыла (кроме сечения 2 = 1 для / варианта), а девиации в / и II вариантах превышают девиации для исходного крыла лишь в концевых сечениях (при 2>0, 77). Таким образом, по жесткостным характеристикам оптимизированные крылья не уступают исходному.
Кроме рассмотренного примера, был проведен ряд других I расчетов по оптимизации формы крыла в плане. В каждом случае получено существенное снижение массы крыла.
Из приведенных примеров расчета видно, что влияние формы крыла в плане на массу его силовой конструкции происходит за счет воздействия формы крыла на внешние нагрузки и на внутреннюю геометрию крыла (его абсолютные толщины). Существенное влияние формы крыла в плане на внешние нагрузки и массу было ранее изучено для трапециевидных крыльев в ряде работ (см. [3] и [4]). В данной работе показана дальнейшая возможность снижения массы крыла за счет перехода к более сложной, чем трапециевидная, форме в плане.
Изменение формы крыла в плане по-разному влияет на моменты аэродинамических и инерционных сил (от топлива). Если первые силы изменяются примерно так же, как изменяется по размаху площадь крыла, то вторые — примерно как внутренние объемы (4), поэтому окончательный результат оптимизации зависит от распределения этих сил.
Результаты расчетов свидетельст.вуют также о том, что при задаваемых малых значениях концевой хорды 6(/) = (0,1 -г-0,15)6(0) расчеты можно вести по простым формулам (20), (21), соответствующим случаю Ьг — 0. После получения оптимальной функции Ь(г) можно несколько изменить геометрическую форму конца
крыла на участке 0,85 < <; 1,0, приняв концевую хорду в виде
указанной выше малой величины. Изменение массы крыла (3) и нарушение интегральных ограничений (6), (7) и (9) при этом не превысят 1—2% значений соответствующих интегралов для оптимального закона распределения хорд.
В заключение заметим, что в настоящей работе оптимальная форма крыла в плане подбиралась только по условиям его статической прочности.
Для окончательного выбора оптимальной формы крыла в плане следует рассмотреть также влияние ее на явления аэроупругости: флаттер и реверс элеронов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Украинцев Г. В., Фролов В. М. Метод оптимизации силовой конструкции крыла по жесткости при варьировании распределением относительной толщины профиля. „Ученые записки ЦАГИ“, т. III, № 4, 1972.
2. Украинцев Г. В., Фролов В. М. Приближенный метод оптимизации распределения силового материала по размаху крыла большого и среднего строительного удлинения по условиям прочности, жесткости и веса. Труды ЦАГИ, вып. 1569, 1974.
3. Синицын В. Ф. Выбор оптимальных панелей, жесткостей и веса крыла. Труды ЦАГИ, вып. 1682, 1975.
4. Шейнин В. М. Весовая и транспортная эффективность пассажирских самолетов. М., Оборонгиз, 1962.
5. Белоцерковский С. М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М., „Наука“. 1965.
Рукопись поступила 15/Х 1980 г. Переработанный вариант поступил 24\УШ 1982 г.
5—.Ученые записки“ № 1
