CC BY
77
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ОПТИМ1ЗАЦ1Я ОБЧИСЛЕНЬ В РЕГУЛЯРИЗАЦ1ИНИХ АЛГОРИТМАХ РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ1 В1ДНОВЛЕННЯ РОЗМИТИХ ЗОБРАЖЕНЬ
Гарт Людмила Лаврентивна
кандидат фiзико-математичних наук, доцент, завiдуюча науково-до^дно'Х лаборатори оптимгзаци складних систем кафедри обчислювальноХ математики та математичноХ юбернетики, Днтропетровський нацюнальний утверситет
iменi Олеся Гончара
CALCULATION OPTIMIZATION IN REGULARIZATION ALGORITHMS OF SOLVING RECONSTRUCTION BLURRED IMAGES PROBLEM
Hart L.L., candidate ofphysico-mathematical sciences, docent, chief of the complex systems optimization's laboratory of the calculating mathematics and mathematical cybernetics chair, Oles Honchar Dnipropetrovsk National University
АНОТАЦ1Я
Дослiдженi теоретичш i практичш аспекти оптимХзацИ обчислень пiд час застосування алгоритмiв регуляри-зацИ, основаних на теративному методi В.М. Фрiдмана, до розв'язання задачi вiдновлення спотворених (змазаних та дефокусованих) зображень. Створений програмний продукт дозволяе конвертувати кольорове зображення в аре, мо-делювати змазування i дефокусування отриманого зображення та шляхом зведення задачi вiдновлення цього зображення до задачi розв'язання ттегрального рiвняння Фредгольма I роду типу згортки отримувати його регуляризова-ний розв'язок. Розглянуто деяк способи суттевого зменшення обчислювальних витрат на реалiзацiю запропонованих алгоритмiв, в тому числi проекцшно-терацшний пiдхiд, який до названого класу задач застосовуеться вперше.
Ключовi слова: змазане зображення, ттегральне рiвняння Iроду, некоректна задача, метод регуляризаци Фрiд-мана, оптимiзацiя обчислень, проекцшно-терацшний алгоритм, наближенийрозв'язок, вiдновлення зображення.
SUMMARY
Theoretical and practical aspects of calculation optimization during the application of regularization algorithms based on Friedman iterative method to the solution of reconstruction blurred images problem are researched. Created software allows a user to convert color image into gray, simulate the blurring and de-blurring the obtained image and receive the regularized solution of the reconstruction this image problem as the problem of solving the Fredholm integral equation of the first kind. Some ways of essential reducing computing costs for implementation of the proposed algorithms are described, including the projection-iterative approach which is for the first time applied to this problems class.
Key words: blurred image, integral equation of the first kind, ill-posed problem, Friedman regularization method, calculation optimization, projection-iteration algorithm, approximate solution, image reconstruction.
Постановка проблеми. Будь-яка система фор- тично! моделi зображувальних систем, як правило, вико-мування, передачi та реестрацп вщеосигналу не е щеаль- ристовують лшшне штегральне piBMHra I роду, а сама заною, а тому вона вносить piзнi за сво!м фiзичним поход- дача ввдновлення формулюеться як типова обернена за-женням спотворення. Наприклад, до спотворень дача з неповними даними. Задача обробки i ввдновлення призводять аберацп в оптичних системах, турбулентнють спотворених зображень у загальному виглядi може бути середовища в астрономп та пдролокаци, вщносний рух сформульована як недовизначена обернена задача матема-системи, що рееструе, i об'екта. Зображення, яш сформо- тично! фiзики.
ваш такими системами, як правило, не шддаються штер- Вiдомi задачi вщновлення спотворених (змазаних,
претацп. Тому досить актуальною е задача вщновлення дефокусованих) зображень сформульоваш в роботах [1-5]
(реконструкцп) початкового неспотвореного зображення та ш. Вони зазвичай описуються набором одновимipних
за заданим спотвореним. В якосп досить повно! матема- штегральних piвнянь (IP) Фредгольма I роду типу згортки
ж
Aw = J h(x - = gy(x) + 5g,a < x < b,c < y < d (1)
— ж
або одним двовимipним IP Фредгольма I р оду типу згортки
ж ж
Aw = J J h(x - y - n)w(?, n)d?dn = g(x, y) + 5g,
—ж —ж
a<x<b, c<y<d, (2) роль параметра. Набip piвнянь (1) часто використовуеться
де h - ядро тегрального piвняння, що мае смисл функцп в задачi змазування, а (2) - в задачi дефокусування зобра-
розаювання точки (ФРТ), у бшьшосп випадшв просто- ження [2-5].
pово-iнваpiантно! ^зницево!); A - лшшний штегральний Дана робота присвячена дослвдженню способiв оп-
оператор; w i g - розподш штенсивносп за ютинним та тимiзацil обчислювальних витрат пвд час розв'язання за-
спотвореним зображеннями ввдповвдно; 5g - похибка. В дачi вщновлення спотворених зображень шляхом ре-
(1) вюь Ox спрямована вздовж змазування, а y вiдiгpае алiзацi! наступних етатв:
- для конкретного зображення змоделювати змазу-вання ввдповщно до (1) та дефокусування вщповвдно до (2), а саме розв'язати пряму задачу, в як1й шуканими функщями е gy(x) та g(x, у) вщповвдно;
- застосувати для розв'язання обернено! задач (1), в якш wy(x) невщома, та обернено! задач1 (2), в як1й w(x,y) неведома, обчислювальш схеми, засноваш на метод1 регуляризацп Фрщмана [6], в тому числ1 його проекцшно-ггерацшну модифжацш [7];
- дослвдити способи зменшення обчислювальних витрат на реал1зацш обчислювальних схем, зро-бити пор1вняльний анал1з отриманих результата, сформулювати висновки щодо !х ефективносп. Анал1з останшх дослщжень 1 публ1кацш. На
сьогодш юнуе багато лггератури, що присвячена розв'язанню задач1 вщновлення спотворених зображень. Однак яким би ефективним не був метод ввдновлення, усшх у розв'язанш задач1 визначаеться перш за все точ-шстю математично! модел1 формування зображення. В де-яких випадках апостерюрне визначення спотворюючого оператора досить просто реал1зуеться. В астроф1зиш за зображеннями поодиноких з1рок визначаеться функщя розсшвання точки й параметри турбулентносп атмо-сфери.
Ввдновлення змазаних зображень, як вже ввдм1ча-лось рашше, зазвичай описуеться штегральними р1внян-нями I роду. Задача !х розв'язання е некоректною. До те-першнього часу розроблено ряд ефективних метод1в стшкого розв'язання некоректних задач. Можна вид1лити групу метод1в, як1 були розвинуп радянськими вченими -методи регуляризацп Тихонова, ггеративно!', статистич-но!, локально!, дескриптивно! регуляризаци, субоптимально! ф1льтрацп та шш1, а також групу метод1в, як1 були розвинуп захвдними вченими - методи оптимально! фшь-трацп Калмана-Б'юа та Вшера, методи керовано! лшшно! фшьтрацп (Бейкуса-Пльберта) та шш1, як1 е дещо б1льш точними. Але методи першо! групи (наприклад, методи регуляризацп Тихонова та Фридмана) потребують значно менше додатково! шформацп про розв'язок 1 тому знахо-дять бшьш широке застосування при розв'язанш обер-нених прикладних задач. У задачу розробки метод1в вщновлення спотворених зображень великий внесок
ь
зробили М. Мак-Доннел, Р. Бейтс [1], А. Б. Бакушинський, О. В. Гончарський [2], В. С. Озков [3, 6, 8-12], Р. Гонса-лес, Р. Вудс, С. Еддшс [4, 5], А. М. Тихонов, В. В. Степанов, А. Г. Ягола [13] та шш1 автори.
Видшення рашше невиршених частин загально! проблеми. 1снуюч1 методи реконструкцп зображень не завжди дають позитивний результат. Це пов'язано або з неадекватним математичним описанням задачу або з тим, що на зображенш часто виникають хибш хвил1. У роботах деяких захвдних учених часто використовуються так зваш «граничш умови» для визначення штенсивностей за межами зображення, однак цей прийом е дещо штучним 1 до того ж призводить до складного математичного апа-рату. Кр1м того, залишаеться доа ввдкритим питання по-шуку ефективних способ1в зменшення обчислювальних витрат тд час реконструкцп зображень. Усе це сввдчить про актуальшсть подальшого розвитку та удосконаленню метод1в наближеного розв'язання задач1 вщновлення спо-творених зображень.
Щль статп полягае у дослщженш теоретичних 1 практичних аспекпв оптим1заци обчислень шд час застосування алгоритшв регуляризаци, основаних на ггера-тивному метод1 Фрщмана, до розв'язання задач ввднов-лення спотворених (змазаних та дефокусованих) зображень.
Моделювання спотворення зображення. Розгля-немо задачу змазування зображення розм1ру В
термшах (1) маемо [а;Ь] = [0^- 1], [c;d] = [0^- 1], функц1я розсшвання точки мае вигляд [2, 3, 8]
-«=ГО—
Д < r < О, 1накше,
(3)
де Д - величина змазування, параметр, що обираеться. Вщповщно до (3) рiвняння (1) набувае вигляду
Aw
x+Д
4/'
wy(?)d? = gy(x) + 5g,c < y < d. (4)
При a < x < b з (4) видно, що значения шгенсивно-стей початкового зображення необхщно визначити на промгжку [a; b + Д]. Вважаючи функцiю wy(x) за межами [a; b] тотожшм нулем [8], будемо мати
Aw;
= / h(x - ?)wy(?)d? = gy(x) + 5g,a < x < b,c < y < d.
(5)
Далi з використанням методу ск1нченних сум [6] можна провести дискретизацш рiвняння (5), внаслщок чого отримати систему рiвностей для визначення невщо-мо! право! частини.
Зауваження. Ввдомо, що на персональному комп'ютерi (ПК) в системi Windows на одну точку зображення выводиться 32 бiти (4 Б). 1з них перший байт (A) вщповщае за прозорiсть зображення, а три шших байти (R, G та B) мютять значення iнтенсивностей за вiдповiдними кольоровими каналами. В данш роботi розглядаеться обробка арих зображень, тому для конвертацп зображення в аре покладаемо за замовчуванням A = 255, R = G = B = (Rn04 + Gn04 + Впоч)/3. Данi про кожну точку ма-ють тип byte, значення якого належать дiапазону О-255, в той час як розв'язання прямо! та обернено! задач вщбу-ваеться з даними типу double. В зв'язку з цим для чисель-но! реалiзацi! алгоршшв початковi даиi перетворюються у формат double. При цьому для збереження дiапазоиу
О- 255 даних уводиться нормування ФРТ, пiсля чого об-числюеться згортка з нормованою ФРТ (пряма задача). Для виведення на екран отриманого спотвореного зображення здшснюеться зворотне перетворення типу double у тип byte. Дробова частина даних при цьому втрачаеться, тому числовий масив типу double зберпаеться для наступ-ного розв'язування обернено! задача
Розглянемо тепер задачу дефокусування зобра-ження розмiру sxt. У термшах (2) маемо [a; b] = [О; s — 1], [c; d] = [О; t — 1], функ^ розсшвання точки мае вигляд [2]
h(r,l) = {пД2,г2 + l2 < Д2, (6)
v 0,шакше, де Д - величина змазування, параметр, що обираеться. Так само, як i для задачi змазуваиия, будемо вважати, що за межами [a; b] x [c; d] шдштегральна функшя w(x, y) в е тотожшм нулем. Тодi (2) можна переписати у виглядi
x
a
d Ь
Аш = 11 Кх - - = g(x,y) +
(7)
a<x<b, c<y<d.
Далi з використанням методу ск1нченних сум можна провести дискретизацш рiвняння (7), внаслщок чого отримати систему рiвностей для визначення право! частини. В данш робот обчислення iнтегралiв в (5) i (7) вiдбувалось за допомогою квадратурно! формули Сiмп-сона.
Застосування методу Фрщмана до розв'язання за-дачi ввдновлення змазаного зображення. Розглянемо метод ггеративно! регуляризаци Фрiдмана для розв'язання некоректного рiвняння Фредгольма I роду. Основна щея цього методу полягае у побудовi iтерацiйно! схеми, що сходиться до точного розв'язку рiвняння за вiдсутностi помилок 5 та 0 право! частини g та оператора А
ввдповщно, i процесу ггерацш, що в перериваннi розхо-диться при п = (5,0) ^ 0 при деякому числ1 iтерацiй т = т(п) (яке виступае у рол1 параметра регуляризаци) такому, що — ^ 0 при п ^ 0.
Метод ггерацш Фрвдмана е одним iз найпростiших i достатньо ефективних. Вш належить до групи стацюнар-них ггерацшних методiв розв'язання лiнiйного операторного рiвняння першого роду
Aw = g,weн1,geн2, (8)
де А: Н1 ^ Н2 - лшшний цшком неперервний оператор, Н1 и Н2 - гiльбертовi простори. Iтерацiйна послiдовнiсть наближень будуеться за формулами [6]
с а
(т) = ш(т-1) + у^ — А*Аш(т-1)),т = 1,2, ...; ш(0)е Н1,
(9)
де ш(т) - наближений розв'язок рiвняння (8), отриманий на т-й iтерацi!, т = 0,1,..., 0 < V <
1|А*А||
- iтерацiйний
параметр, А*: Н* ^ Н* - спряжений з А оператор. При точ-них g i А схема (9) при будь-якому ш(0)е Н1 дае збiжнiсть до розв'язку ш рiвняння (8), якщо вш iснуе та единий, так що Нт ||ш(т) — = 0. Якщо ж (8) мае шлька розв'язшв,
то при рiзних ш(0)е Н1 послiдовностi {ш(т)} збиаються, взагалi кажучи, до рiзних розв'язшв. Ведомо [6], що при ш(0) = 0 або ш(0) = vg послiдовнiсть {ш(т)} збiгаеться до нормального розв'язку Ш 6 Н1 рiвняння (8) такого, що ||Ш|| = шЭД^Н: Аш = g,w6 Н1}. Якщо ж права частина g задана з похибкою: ||g — g|| < 5, а 0 = 0, то
1Ч^тах-1Г тора А*А.
сМ^т^УЕ^АУ1^ де ^тах - найбiльше власне значення опера-
де М0(т) = |Мт) — w||
1з (10) випливае, що
< ИтМ^
wl| =
v6
И/У'
(т)
w|| < М0(т) + с(т)5,
(10)
■ < те, тобто послiдовнiсть у виглядi (9)
хоча i збiгаеться до деякого розв'язку але навiть при дуже малому (але ск1нченному), зокрема обумовленому лише машинними округленнями, значеннi 5 розв'язок може досить сильно вiдрiзнятися ввд точного розв'язку w (прояв некоректностi задачi). Враховуючи, що М0(т) ^ 0 при т ^ те, та обираючи т(5) так, щоб с(т(5))5 ^ 0 при 5^0, отримаемо регуляризуючий алгоритм, при якому ит||/(т(6)) — w|| = 0.
Стосовно iнтегрального рiвняння (5) схема iтерацiй (9) набувае вигляду
wy(m)(x) = wy(m-1)(x) + V — | R(x,t)wy(m-1)(t)dt),m > 1
(11)
wy(0)(x) = 0,а < x < Ь,
де F(x) i R(x, t) даються формулами
ь
F(x)
= | h(t —x)gy(t)dt,R(x,t) = R(t,x) = | h(y — x)h(y — t)dy,
0 < V < ^,ЦА*А|| = |^М)|| < 1/аЬ/>2М^.
(12) (13)
Рис. 1. Початкове аре зображення
V
6
л
Ь
а
а
За критерш зупинки ггерацшного процесу (11)-(13) в робот було обрано правило зупинки за узагальненою нев'язкою [6].
Чисельнi експерименти i аналiз результатiв. Розгля-немо кольорове зображення розмiру 219x203, представ-лене на рис. 1 конвертованим в аре.
Для цього зображення було виконано змазування при рiзних значеннях величини змазування Д, а попм -
вгдновлення методом ггеративно! регуляризацii Фрiдмана за iтерацiйною схемою (11)-(13) з параметром у = 1,99/||А* А||. На рис. 2 подано вщповщш результати, от-риманi для значення Д= 15.
Результати дефокусування вихгдного зображення при Д= 6 i вгдновлення спотвореного зображення методом ггеративно! регуляризацii Фргдмана з параметром V = 0,02/||А* А| | стосовно до рiвняння (7) подано на рис. 3.
а) б)
Рис. 2. Змазане зображення (а); вщновлене зображення (б)
4
а) б)
Рис. 3. Дефокусоване зображення (а); вгдновлене зображення (б).
Стосовно питання про вибiр початкового набли-ження в iтерацiйному процеа вiдновлення зображення об-числення показали, що при нульовому початковому наб- 2. лиженш (яке вiдповiдаe чорному зображенню того ж розмiру, що й змазане) досягаеться цiлком прийнятна як1сть вiдновленого зображення, що тдтверджуе факт збiжностi схеми iтерацiй Фргдмана при будь-якому початковому наближенш. Але для досягнення найбiльшоi точ-ностi концевого результату слiд використовувати всю до-ступну iнформацiю про вихщне зображення i розпочинати процес iтерацiй iз зображення, найбiльш близького до вихгдного.
Розглянемо шляхи удосконалення програмно! ре-алГзацп з метою зменшення обчислювально! складностi алгоритму.
1. Реалiзацiя обчислювальних схем за методом ггеративно! регуляризацп Фридмана для штегрального рГвняння з несиметричним ядром передбачае до-сить часте звертання до процедур, яш повертають значення перетворених за формулами (12) ядра та право! частини в одних Г тих же вузлах. Тому 3. цшком доречним е оргашзащя процесу обчислень таким чином, щоб уникнути багатократного обчис-лення значень цих функци в однакових вузлах. З
цгею метою в програмг введет додатковг змгннг-словники для ядра та право! частини окремо. ДалГ, оскшьки стандартний клас Bitmap, який за-звичай використовуеться для роботи з зображен-нями (допомагае зчитувати файл зображення з жорсткого диску, отримувати даш про кожен тк-сель зображення, його колГр, компоненти цього ко-льору, змшювати зображення тим чи шшим чином, записувати зображення на жорсткий диск та ш.), е досить навантаженим, робота з ним виявляеться до-сить трудомюткою, що помино позначаеться на час роботи програми. Тому в програмГ введет до-датковГ змшш списки, куди заноситься необхщна шформащя про кожен тксель розглядуваного зображення, Г надал1 обчислення вгдбуваються з вико-ристанням цих списшв. Тшьки коли арГ компоненти для зображення (змазаного - у випадку розв'язування прямо! задачГ та вщновленого - у випадку обернено!) пораховаш, формуеться саме зображення.
Якщо звернутися до формули (3) для ядра ^г) ш-тегрального рГвняння (5), то можна побачити, що зггдно з щею формулою шдштегральш функцп у
(12) набувають ненульових значень лише на одному тдпром1жку [a; b] довжини Д. У зв'язку з цим дуже доречним е обчислення штегралу на вужчому пром1жку. З урахуванням зазначеного i того, що
поза межами [a;b] функцiя wy(x) дорiвнюе нулю, отримаемо в формулi (11)
Л/-" [Dwy(m-1)(t)dydt,a < b, a = max(a,aj, b = min(b,bx),
JabR(x,t)Wy(m-1)(t)dt={Ä a a ai = max(x,t)-A,bi = min(x,t),
0,iнакше.
,b fb
Аналогiчно
F(x) = /a h(t - x)gy(t)dt = /ХХ-Д gy(t)dt = /max(a,x-Ä) gy(t)dt.
Осшльки кожний з розглянутих штеграл1в замшюеться вщповвдною ск1нченною сумою, яка в свою чергу обчислюеться за допомогою циклу, то звуження ш-тервалу штегрування суттево зменшуе тривалють вико-нання циклу за рахунок виключення операци сумування нульових компонент.
4. Розглянемо реал1зацш методу Фридмана на послщовносп сггок за проекцшно-ггерацшним принципом [7, 14]. Основна вдея цього тдходу полягае в замш штегрального р1вняння (5) (або (7)) деякою послщовшстю бшьш простих апроксимуючих його сшнченновим1рних задач на сукупносп сггок, що подр1бнюються. Для кожно! з "наближених" задач за допомогою ггерацшно! проце-дури Фридмана будуеться лише дек1лька наближень до розв'язку, останне з яких за допомогою кусково-лшшно! штерполяци береться за початкове наближення в гге-рацшному процес для наступно! "наближено!" задача Послщовнють лшшних штерполянпв побудованих наб-лижених розв'язк1в оголошуеться послщовшстю наближень до розв'язку вихщного штегрального р1вняння.
Запропонований шдхвд, вочевидь, приводить до зменшення обчислювальних витрат на побудову набли-жень, значна шлькють яких будуеться для "наближених" задач невисоко! розм1рност1. При цьому зазвичай змен-шуеться й похибка отриманого регуляризованого розв'язку.
Зазначимо напришнщ, що без застосування вс1х розглянутих способ1в зменшення обчислювальних витрат програма виконувала вщновлення зображення приблизно за 34 години, тсля впровадження вс1х цих способ1в програма ввдновлюе зображення за 25 хвилин.
Висновки 1 пропозици. У робоп розглянуто кла-снчш 1 запропоновано нов1 ефективш обчислювальш схеми розв'язання лшшного штегрального р1вняння Фредгольма I роду з несиметричним ядром в одновим1р-ному та двовим1рному випадках, задача розв'язання якого е некоректно поставленою. За практичну задачу, що мае в1дпов1дний математичний опис, було обрано задачу вщновлення (реконструкцп) спотворених (змазаних та де-фокусованих) зображень. Одшею з важливих переваг такого вибору е в1зуальне представлення результата, що дозволяе робити в1зуальну оцшку !х похибки без застосування теоретичних формул оцшки похибки регуляризова-них розв'язк1в, використання на практищ яких е досить складним.
У робот реал1зоваш таш етапи дослщження: - для конкретного зображення проведено моделю-вання змазування в1дпов1дно до (1) та дефокусу-вання вщповвдно до (2), розв'язано прям1 задач1 з шуканими функшями gy(x) та g(x,y);
- для розв'язання обернених задач (1) i (2), з невщо-мими функцiями wy(x) i w(x,y) вiдповiдно засто-совано обчислювальнi схеми, засноваш на методi регуляризаци Фрщмана, розроблено програмний продукт, що ix реалiзуе;
- запропоновано дек1лька способiв зменшення обчислювальних витрат тд час функцiонування про-грамного продукту, що дають сутгевi переваги, в тому чи^ проекцiйно-iтерацiйний пiдxiд, який в задачах вiдновлення спотворених зображень засто-совано вперше;
- проведено порiвняльний аналiз розглянутих обчислювальних схем, сформульоваш висновки, по-даш деяк1 рекомендацп користувачевi.
Список лггератури
1. Бейтс Р. Восстановление и реконструкция изображений / Р. Бейтс, М. Мак-Доннелл. - М.: Мир, 1989. - 336 с.
2. Бакушинский А.Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения / А.Б. Бакушинский,
A.В. Гончарский. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 199 с.
3. Сизиков В.С. Математические методы обработки результатов измерений / В.С. Сизиков. - СПб: Политехника, 2001. - 240 с.
4. Гонсалес Р. Цифровая обработка изображений / Р. Гонсалес, Р. Вудс. - М.: Техносфера, 2006. - 1072 с.
5. Гонсалес Р. Цифровая обработка изображений в среде MATLAB / Р. Гонсалес, Р. Вудс, С. Эддинс. -М.: Техносфера, 2006. - 616 с.
6. Верлань А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А.Ф. Верлань, В.С. Сизиков. - К.: Наукова думка, 1986. - 544 с.
7. Гарт Л.Л. Явный проекционно-итерационный метод решения некорректных операторных уравнений / Л.Л. Гарт // Питання прикладное' математики i математичного моделювання. - Д.: Вид-во '^ра", 2015. - 61-74.
8. Сизиков В.С. Реконструкция смазанных и зашум-ленных изображений без использования граничных условий / В.С. Сизиков, М.В. Римских, Р.К. Мир-джамолов // Оптический журнал. - 2007. - Т. 76, № 5. - С. 38-46.
9. Сизиков В.С. Прием «усечение-размытие-поворот» в восстановлении искаженных изображений /
B.С. Сизиков. // Оптический журнал. - 2011. - Т. 78, № 5. - С. 18-26.
10. Сизиков В.С. Обратные прикладные задачи и MatLab / В.С. Сизиков. - СПб: Лань, 2011. - 256 с.
11. Сизиков В. С. Интегральные уравнения и MatLab в задачах томографии, иконики и спектроскопии / В.С. Сизиков. - Saarbrucken: LAP (LAMBERT Academic Publishing), 2011. - 252 с.
12. Сизиков В.С. Реконструкция смазанных и дефоку-сированных изображений методом регуляризации / В.С. Сизиков, И.А. Белов // Оптический журнал. -2000. - Т. 67, № 4. - С. 60-63.
13. Тихонов А.Н. Численные методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. - М.: Наука, 1990. -232 с.
14. Гарт Л.Л. О некоторых алгоритмах регуляризации для решения интегральных уравнений / Л.Л. Гарт, Манойло М.В. // Системш дослвдження та шфор-мацшш технологи. - 2015. - № 1. - 101-114.
