Апроксимація статичного деформування круглих пластин різних профілів за допомогою матриць типу Гріна Текст научной статьи по специальности «Медицинские технологии»

УДК 539.371

Канд. фiз.-мат наук С. А. Левчук, А. А. Хмельницький Запор1зький нац1ональний ун1верситет, м. Запор1жжя

АПРОКСИМАЦ1Я СТАТИЧНОГО ДЕФОРМУВАННЯ КРУГЛИХ ПЛАСТИН Р1ЗНИХ ПРОФ1Л1В ЗА ДОПОМОГОЮ МАТРИЦЬ ТИПУ

ГР1НА

Робота присвячена моделюванню напружено-деформованого стану круглих пластин ргзних профшв шляхом апроксимацИ Их кшьцевими пластинами дискретно-зм1нно1 товщини. Застосування апарату функцш типу Гр1на та матрично'1 алгебри дозволило побудувати компактний обчислювальний алгоритм розв 'язання досл1джувано'1 задач! при практично довшьнш к1лькост1 секцш у складеному тш, яке застосовувалося при моделювант.

Ключовi слова: кшьцева пластина, крайова та складена задача, складена конструкцгя, матриця типу Гр1на, матрична алгебра.

Вступ

У данш робой розглянуто моделювання статичного деформування круглих пластин рiзних профшв шляхом апроксимаци !х кшьцевими пластинами дискретно-змшно! товщини. Такий щдхвд до розв'язання задач не е новим. Наприклад, вiн був викладений у [1], проте в данш робот застосування апарату функцш Грша та матрично! алгебри дозволило побудувати компактний обчислювальний алгоритм розв'язку розглянуто! задачi при практично довшьнш юлькосп секцiй у складеному тш, яке застосовувалося при моделюваннi.

Попередня розробка дано! проблеми була здшсне-на у роботi [6]. Роботи [9-11] також були присвячеш дослвдженню деяких питань розрахунку деформування круглих пластин змшно! товщини. У [9], наприклад, роз-глядався метод розв' язання задач деформування тонких пластин змшно! товщини за допомогою функцi! ком -плексно! змiнно!. За припущенням профiль пластинки е симетричним ввдносно !! серединно! площини, i вона деформуеться силами, що дшть у цш площинi. Розглянуто задачу про однобiчне розтягання нескшченно! пружно! пластини, що послаблена круговим отвором. У [10] запропоновано енергетичний пiдхiд до розв'язання нелшшних задач вигину гнучких круглих пластин змiнно!' товщини. Був отриманий вираз потенцiйно!' енергп мембранних напружень, що дозволило оцшити роль зусиль у загальнiй енерги пластинки. Показано також вплив змшно!' товщини на напружено-деформова-ний стан кругло! пластинки. У [11] було викладено об-числювальну процедуру для розрахунку юльцево! пла-стини iз неперервною змiною товщини вздовж радуса пiд дiею довiльно розподшеного поперечного наванта-ження. Гладка дааграма жорсткосп на згин апроксиму-валася за допомогою дискретно! схщчасто! функцп. Використовувався метод послiдовно!' покроково! ре-дукци.

Матерiали та методика дослщжень

Попереднiй вивiд матриць типу Грша, за допомогою яких записуеться остаточний розв'язок задачi про розрахунок статичного деформування кругло! пласти-ни дискретно-змшно! товщини, осьовий перерiз яко! зображено на рис. 1, було зроблено у [7]. При цьому, згаданий розв'язок задачi прийняв вигляд:

Рис. 1. Осьовий перер1з юльцево! складено! пластини

Ъ+1

Жк (г)=£ |Ох (г, ^ (^ , (1)

I=0 0

де

О, (г, 0 = ( Оп (г, ¡0 0,2 (г, 0].

(2)

Е (0 = Е ($ , Е (0 = Е (), ^ (0 = (((0 ^+1 (0)т , I = 1, 2, ..., п - 1 , к = 1, 2, ..., п.

Тут Ж - вюесиметричний нормальний прогин серединно! поверхш пластини, Е - права частина, що враховуе поверхневе нормальне навантаження та

фiзичнi характеристики об'екта, 01 (г, - побудованi матрицi типу Грша для розглянуто! задачi (бiльш док-ладно про матриц Грiна див. [7]), п - кшьюсть секцш у складеному об'ектi.

Дана стаття е логiчним продовженням робiт [6, 7].

Теоретичш результата та Ух аналiз

Слiд зазначити, що при обчисленнi обернено! мат-рицi А 1, елементи яко! необхщш при побудовi вщпо-

© С. А. Левчук, А. А. Хмельницький, 2015

1607-6885 Нов1 матер1али г технологи в металурги та машинобудувант №2, 2015

115

вщних матриць типу Грша, необхщно буде розв'язати 4п систем, кожна з яких складаеться з 4п алгебра!ч-них рiвнянь з 4п неввдомими, де п - кшьшсть секцiй у складеному об'ектi.

При розв'язуванш згаданих систем за допомогою одного з точних методiв (наприклад, методу Гаусса з вибором головного елемента) часто стикаемося з проблемами обчислювального характеру, оскшьки при достатньо великому п похибка обчислень невадомих стае незадовшьною. Застосування ж гтерацшних методiв розв'язку систем алгебра!чних рiвнянь вкрай утруднено, оскшьки потрiбна попередня пiдготовка матриць коефщенпв при неввдомих при великому розмiрi даних матриць.

Тому слiд звернути увагу на те, що одержанi мат-рицi мають так звану ст^чкову структуру, тобто мiстять велику юльшсть нульових елеменпв (так званi квазща-гональнi матрицi). Загальновiдомо, що при розв'язуванш системи рiвнянь iз квазiдiагональною матрицею число арифметичних операцш i об'ем задiяно! пам'ятi ЕОМ можуть бути суттево зменшенi, що тдвищуе точнiсть обчислень.

Розрахункова схема для знаходження обернено! матриц А 1 в розглянутiй задачi iз застосуванням вказа-ного вище пiдходу, може виглядати таким чином.

Виходячи з вадомо! матрично! рiвностi

А'1 А = Е,

де А-1 = Щ.. }4п - матриця, обернена до задано! мат-

^ Л',.=1

рицi А = {а.. }4п , Е - одинична матриця, бачимо, що

^ . •'/,.=1

для знаходження елеменпв обернено! матрицi А 1 не-обхiдно розв'язати 4п систем лшшних алгебра!чних рiвнянь вигляду:

((1 а2 ... а.4п)А = (0 0 1. 0 ... 0),

де ' - номер рядка обернено! матрицi (' =

1. - означае, що одиниця е ' -тою компонентою вектора вшьних члетв.

У випадку трьох секцiй у складеному об'екп (п = 3) у матричному виглядi згадана система рiвнянь подаеть-ся у такому виглядi (для кожного '):

А11С1 + АиС2 = Е\

А22С2 + А2ЪС3 = Е2,

А33С3 + А34С4 = Е3. (3)

Далi з системою (3) для визначення векторiв неввдо-мих С' (' = 1,2,3,4) можна вчинити наступне.

1з першого i другого рiвнянь системи (3) знайдемо, користуючись правилами матрично! алгебри, С2 i С3

в1дпов1дно:

с2 = (а12(е 1 - А11С1) с3 = (а23 )(е2 - А22С2)

А33С3 + А34С4 = Е3.

Щдставляючи далi вираз для С2 iз (4) у вираз для С3

iз ще! ж системи i одержанi представлення для С3 - в останне рiвняння системи (4), отримаемо:

С2 =(А12 )-1 (е 1 - А11С1) ,

С3 = (А23 )-1{Е2 - А22 (А12 )-1 (Е1 - А11С1)4, (5)

А33 (А23)-1 {е2 - А22 (А12)-1 (Е 1 - А11С1 )4+ А34С4 = Е3. Перетворивши останне з рiвнянь (5), одержимо:

А33 (А23 )-1 А22 (А12 )-1 А11С1 + А34С4 = = е3 - А33(А23)-1 Е2 + А33(А23)-1 А22 (А12)-1 Е'. (6)

Рiвняння (6) у розгорнутому виглядi е системою чотирьох лiнiйних алгебра!чних рiвнянь вщносно тако! ж кшькосп неввдомих.

П1дставляючи знайдене з (6) С 'у (5), визначимо С3

i С2 i, тим самим, зашнчимо процес розв'язання задай.

У загальному виглядi, якщо розглядати складену к1льцеву пластину, яка складаеться з п секцш, будемо мати.

Система для визначення елеменпв обернено! мат-рицi запишеться у виглядi, аналопчному (3):

АиС + АиС2 = Е1 , А22С2 + А23С3 = Е2 ,

Ап-1п —1СС п-1 + Ап-1п^п _ Еп-1

Аппс п + Апп + 1^п + 1 _ Еп

(7)

Розв'язувальна система лiнiйних алгебра!чних рiвнянь для визначення невiдомих компоненпв векторiв С1, Сп+1 запишеться у такому вигляда:

( 1)п+1 Апп (А п- ) -1 Ап-1 ((«-2п-1)-1

... А22 (А12 )-1А11С1 + Апп+1Сп+1 = = Еп - Апп(Ап-1п)-1 Еп-1 +

+ Апп (АП-1П )-1 А"-1 (Ап—2п—1 )-1 Е"-2 + +

+ ( 1)п+! АПП (А п-^п )-1 АП-1 ((п-2п-1 )-1 . . .А33 (а23 )-1 А22 (А12 )-1 Е1. (8)

Вектори С2, С3, ..., С" визначаються з рекурент-них спiввiдношень:

С2 = (л12 1 - ЛпС1), С3 =(л232 - Л22С2),

С"-1 = (л"-2"-1 К^"-2 — Л"-2"-2С"-2 )

С"_(л"-1" 1-1(("-1 Л"-1"-1С"-1) (9)

Як бачимо, при розрахунках за викладеною вище схемою доводиться мати справу не з матрицями ко-ефiцieнтiв при невiдомих розмiром 4« х 4«, а з матрицями розмiром 4 х 4. Це дозволяе уникнути певних обчислювальних складностей.

Обчислювальнi результата та Ух аналiз

1з застосуванням вказаних вище тдходав моделюва-лося статичне деформування деяких типiв круглих пластин рiзних профiлiв з отворами (рис. 2, 3). При цьому дослщжуваш пластини апроксимувалися пластинами дискретно-змшно! товщини (див. рис. 1).

Рис. 2. Осьовий перер1з кругло! пластини з отвором першого типу

, Д > < \ > ^ " м' >' ^ 4 ^'

Рис. 3. Осьовий перер1з кругло! пластини з отвором другого типу

1960

W-104, см

147(

980

490

-/ к 2

1 \

/

\

М, кг • см

1722

Деяю обчисленi характеристики напружено-дефор-мованого стану наведет на рис. 4-6 (цифрами на графах позначеш кривi для пластини першого та другого титв вiдповiдно). Розрахунок виконувався для на-ступних значень вхщних параметрiв. Рад1уси к1льцевих секцш зростали вiд 5 см до 80 см з кроком 1 см при апроксимацп обох розглянутих тишв кiльцевих пластин (див. рис. 2, 3). Товщини кшьцевих секцш зростали ввд 1 см до 1,75 см з кроком 0,01 см при апроксимацп кшьцево! пластини першого типу (див. рис. 2), та змен-шувалися ввд 1,75 см до 1 см з кроком 0,01 см при апроксимацп к1льцево! пластини другого типу (див. рис. 3). Кiльцевi пластини обох титв знаходилися тд дiею зовшшнього нормального поверхневого наванта-ження штенсившстю 1 кг /см2, при цьому Е _ 2-106 кг / см2, V _ 0,25.

Список Лтератури

1. Биргер М. А. Прочность, устойчивость, колебания : в

3-х т. / Биргер М. А., Пановко Я. Г. - М. : Машиностроение, 1968. - Т. 1. - 832 с.

2. Гавеля С. П. Экспериментальная корректировка расчета подрессоренной кольцевой пластины / С. П. Гавеля, П. Ф. Кульбашный, С. А. Левчук // Запорож. ун-т. -Запорожье, 1992. - 6 с. - Деп. в УкрИНТЭИ 17.10. 92, № 1668. - Ук 92.

3. Использование экспериментальных возможностей при расчете контактирования упругих пластин / [С. П. Гавеля, Д. Б. Головко, П. Ф. Кульбашный, С. А. Левчук] // Запорож. ун-т. - Запорожье, 1992. - 7с. - Деп. в УкрИНТЭИ 17.08.92, № 1285 - Ук92.

4. Исследование подрессоривания вулканизационной диафрагмы / [С. П. Гавеля, Д. Б. Головко, П. Ф. Кульбашный, С. А. Левчук] // Тезисы докл. Всесоюз. науч.- тех-нич. конф. «Методы потенциала и конечных элементов в автоматизированных исследованиях инженерных конструкций». - К., 1991. - 21 с.

5. Экспериментальная корректировка расчета сложного напряженно-деформированного состояния составных тонкостенных конструкций / [С. П. Гавеля, Д. Б. Головко, П. Ф. Кульбашный, С. А. Левчук] // Тезисы докл.

4-го симпозиума «Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии». -К., 1992. - 19 с.

Q, кг

123

747

5 30 55

Рис. 4. Нормальш прогини

80

-228

2 V-"

А

\\ /

А

1 у /V_ 2

0

5 30 55

Рис. 5. Згинальш моменти

80

5 30 55 Рис. 6. Поперечш сили

80

г, см

г, см

г, см

1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2015

117

6. Левчук С. А. Про деяю способи апроксимацй круглих пластин р1зних профшв / С. А. Левчук, Ю. О. Сисоев// Ксник Запор1зького нацюнального ушверситету. Сер. Ф1зико-математичш науки. - Запор1жжя : ЗНУ, 2008. -№ 1. - С. 113-117.

7. Левчук С. А. Матриця Грша задач1 про статичне де-формування складено! юльцево! пластини / С. А. Левчук // Вюник Запор1зького державного ушверситету -Сер. Ф1зико-математичш науки. - Запор1жжя: ЗДУ, 2003. -№ 1. - С. 55-60.

8. Левчук С. А. Матриц Грша р1внянь та систем елштич-ного типу для дослщження статичного деформування складених тл : дис. ... канд. ф1з.-мат. наук : 01.02.04 /

Левчук Сергш Анатолiйович. - Запорiжжя : ЗДУ, 2002. -150 с.

9. Шарафутдинов Г. З. Деформирование тонких пластинок переменной толщины / Г. З. Шарафутдинов // Соврем. пробл. мех. - М., 1999. С. 255-256.

10. Колмогоров Г. Л. Особенности поведения круглой пластины переменной толщины под нагрузкой / Г. Л. Колмогоров, В. Р. Кулиев // Вестн. ПГТУ. Динам. и проч. машин. - 2000. - №1. - С. 42-48.

11. Yeh Kai-yuan On the nonaxisymmetric loading of nonhomogeneous annular plates of variable thickness/ Yeh Kai-yuan, Kue Jien-huo, F.P.J. Rimrott// Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 1997. - 64, № 2. - Р. 307-312.

Одержано 15.02.2016

Левчук С. А., Хмельницкий А. А. Аппроксимация статического деформирования круглых пластин разных профилей при помощи матриц типа Грина

Работа посвящена моделированию напряженно-деформированного состояния круглых пластин различных профилей путем аппроксимации их кольцевыми пластинами дискретно-переменной толщины. Применение аппарата функций типа Грина и матричной алгебры позволило построить компактный вычислительный алгоритм решения исследуемой задачи при практически произвольном количестве секций в составном теле, которое применялось при моделировании.

Ключевые слова: кольцевая пластина, гранично-составная задача, составная конструкция, матрица типа Грина, матричная алгебра.

Levchuk S., Khmelnytskyi A. Approximation the statics deformation of circular plates with different profiles with help the matrix of Green type

The work is devotedfor modelling the strainly-deformed state of the circular plates with different profiles. These plates had been approximated the circular plates with discrete-variable thickness. The matrix of Green type and algebra of matrix had been used what allow had been constructed compact computing algorithm for solution of research problem. The proposed method of calculation, had been generalised on the case n section in the circular plate.

Key words: circular plate, boundary-compound problem, compound construction, matrix of Green type, algebra of matrix.