CC BY
11
Выводы
При прочих равных условиях в качестве критерия склонности материала отливки к короблению можно использовать коэффициент свободной линейной усадки отливки. При этом, чем меньше величина коэффициента свободной линейной усадки отливки, тем меньше склонность материала отливки к короблению в литом изделии.
Перечень ссылок
1. Heyn E. Uber bleibende Spannungen in Werkstü cken infolge Abkühlung /Heyn E. // Stahl und Eisen. - 1907. -P. 1309-1347.
2. Гиршович Н. Г. Чугунное литье / Н. Г. Гиршович. - Л. : Кубуч, 1935. - 663 с.
3. Константинов Л. С. Расчет термических напряжений и деформаций отливок постоянного сечения (метод подвижной нейтрали) / Л. С. Константинов // Литейное производство. - 1959. - № 11. - С. 27-31.
4. Гиршович Н. Г. Искривление отливок в процессе охлаждения в форме / Н. Г. Гиршович, М. П. Симанов-ский // Литейное производство. - 1963. - № 2. - С. 2226.
5. Гиршович Н. Г. К вопросу о расчете прогиба отливок в форме / Н. Г. Гиршович // Литейное производство. -1963. - № 6. - С. 47-48.
6. Константинов Л.С. Механизм возникновения температурных напряжений и деформаций в отливках / Л. С. Константинов // Литейное производство. -1963. -№ 11. - С. 25-32.
Одержано 10.10.2008
Як критерш exwbHocmi Mamepiany виливка до викривлення запропоновано використовувати коефщент вшьног лШйно1 усадки мamepiaлy виливка. Чим бшьше абсолютна величина коефщента вшьног лтшногусадки мamepiaлy виливка, тим вище схильтсть даного мamepiaлy до викривлення в лиmmi.
The coefficient of free linear shrinkage of casting material is offered to use as the criterion of casting material inclination to shrinkage. The more the absolute value of coefficient of free linear of shrinkage of casting material, the higher the propensity of this material shrinkage in foundry.
УДК 539.371
Канд. фiз.-мат наук С. А. Левчук Нацюнальний ушверситет, м. Запор1жжя
РОЗРАХУНОК НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ ПОЛОГИХ ОБОЛОНОК З ОТВОРАМИ ЗА ДОПОМОГОЮ
МАТРИЦЬ ГР1НА
Задача про статичне деформування пологих оболонок з отворами розв 'язуеться з використанням вiдповiдних матриць Грта. На прикладi оболонки з двома круговими отворами, при спещальних крайових умовах, продемонстровано ефективтсть методурозрахунку.
Запропонований у роботах [3-5] споаб побудови формованого стану рiзних об'екпв складно! структу-матриць Грша задач теорп пружносп дозволяе буду- ри. У данш робот ця можливють реалiзуeться на при-вати компактш алгоритми розрахунку напружено-де- кладах визначення характеристик напружено - дефор-
Величину сжимающих напряжении рассчитываем по формуле:
ScC
стАА = —аАА ■Е-= -0,5 • ааа •Е . (17)
SCC + S АА
Анализ формулы (15) показывает, что абсолютная величина коробления отливки рассматриваемого типа будет тем меньше, чем меньше ее длина, меньше разница коэффициентов литейной усадки материала отливки в ее элементах А и С, больше расстояние между
средними линиями (l ас ).
Коробление отливки отсутствует (f = 0) в случае равенства коэффициентов литейной усадки в ее элементах А и С. Помимо этого, из формулы (15) следует,
что при а аа = а c , где а c - коэффициент свободной линейной усадки материала отливки, и а cc = 0 решающим параметром, определяющим абсолютную величину коробления отливки, становится коэффициент свободной линейной усадки материала отливки, с увеличением которого возрастает величина коробления отливки. В случае если принять а аа = 0 и
а cc = а с , то отливка будет иметь обратную величину прогиба (коробления).
© С. А. Левчук, 2009 102
мованого стану пологих оболонок з отворами. Попе-редне розв'язання ще! проблеми було започатковано у роботах [3-7]. В данш статгi метод розрахунку пологих оболонок з отворами, викладений у [3], узагальне-но на випадок, коли умови Нав'е виконано не на зовн-iшньому контурi полого! оболонки, а на деякш вiдстанi вiд нього. На прикладi оболонки з двома круговими отворами, при спещальних крайових умовах, проде-монстровано ефективнiсть даного методу розрахунку. Розглянута задача моделюе явища, як1 вiдбуваються, зокрема, при деформуванш елеменпв вулканiзацiйного обладнання. Одержат результата дозволяють вияви-ти особливосп роботи елементiв складно! структури ^ у концевому рахунку, пiдвищити !! ефективнiсть шляхом оптимiзацi! структури складових частин.
Отже нехай мова йде про побудову матрицi Грша задачi про визначення статичного деформування пологих оболонок з отворами.
Система диференцiальних рiвнянь, що описуе пружну рiвновагу полого! оболонки у змщеннях мае вигляд [2]:
-АП1 + -
1 -V 1 + V д ( ди ди2 Л , , чдЖ ^ + з Г( +Vk2 ^ = ХЪ
2 д*1 1 д*1 дх2
1 -V , 1 + V д
-Аи2 +--
2 2 дх2
гдП дП2 Л 1 + 2
дх1 дх2
дх1
+ (2 +vkl ^ = Х 2,
дх2
((1 + vk2 )4П1 + ((2 + vkl +
дх1
дх2
( и2 Л А4 + Н- АА
12
ж = г.(1>
Тут х1, х2 - криволшшш координати точки х сере-динно! поверхнi оболонки; kl, k2 - головнi кривини; и = ^(х), и 2 = и 2 (х), Ж = Ж (х) - компоненти вектора змщень, Х1, Х2, 2 - компоненти вектора зов-нiшнього поверхневого навантаження (у деякому масштаб^; Н - товщина оболонки; V - коефщент Пуас-
Крайовi умови на контурi Ь отвору мають вигляд:
дЖ
П1 ь ^Ь и2\Ь = ^2, Щ =^3, —
= ^4. (3)
Розв 'язок системи будемо вiдшукувати у виглядi [3 ]:
и1(х)= Еи™«б!п-
т,п
I . тпх1 ппх2
II ""-кС0Б-2,
2а1 2а 2
„ ! \ ^Гтт2 тпх1 . ппх2 и2(х)= Х^п С0^~ ^БШ— —
Ж (х)=£Жт
2а1 2а2
тлх, ппх^
, С0Б-— С0Б--
2а 1 2а2
(4)
де 2а1, 2а2 - лiнiйнi розмiри оболонки.
Такий вибiр апроксимувальних функцш пояснюеть-ся тим, що якщо у виразах (4) покласти т, п = 1,2,..., то на зовшшньому контурi оболонки будуть виконаш умови шарнiрного спирання (умови Нав'е).
У вщповщт ряди Фур'е розкладемо i правi части-ни системи (1):
Х1(х)= X Хтп Б!п *т""х1с0Б ^О2,
т,п 2а1 2а2
Х 2 (х)= X хт пс0Б -^а^тппх2
т п 2а1 2а2
т,п 1 2
тпх1 ппх2
2(х)= X2тп С0Б-1С0Б
2а
2а
2
(5)
Щдставляючи (4), (5) у (1) одержимо систему лшшних алгебра!чних рiвнянь ввдносно неввдомих и1тп, итп,
д2 д2 Л сона; А =--1--- оператор Лапласа;
дх12 дх22
А4 = + k— + 2vk1k2.
Правi частини системи Х1, Х2, 2 можуть бути поданi через компоненти iнтенсивностi зовнiшнього поверхневого навантаження qxl, дх2, qz таким чином [4]:
1 -V2 1 -V2 ^ 1 -V2
Х1 =--Е^ Х2 =--2 =~lН^qz, (2)
де Е - модуль Юнга.
Жтп. Розв'язок дано! системи дозволяе побудувати мат-рицю Грша для розглянуто! задачi (1), (3).
Використовуючи далi отриману матрицю Грша, одержимо такий метод розрахунку.
Розв'язок задачi (1), (3) шукаемо у виглядi [3]:
V (х) = V 0 (х) + V *(х),
де
V (х) =
( и11
и 2
Ж
V 0 (х) =
( и0 Л и 0
Ж
V /
V *(х ) =
(и^
и 2
Ж *
V
Ь
т, п
т,п
т,п
1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2009
103
V0 (х) = Ц Г(х, - частковий розв'язок
:А4 +
¿лтп "Г
12(1 -У2 ) у2
системи (1);
V *(х )=| <2(х, Ь;
(7)
- Г32 = Г23 =- 128т8п пп втп . Гтп Гтп ~ ■
а^й 2а2 9
2 тп
е(х, ¡)=
Г11 Г12 Г13
ГГ 21 гг 22 ГГ 23
Г31 Г32 Г33
дГ
13 |
дп дГ
дп
дГ
дп
А =1 тп |2 + Г пп |2; г33 = 125т5п ААтп . тп 2а1) [2а2)' тп а1а9тп '
Г „„ |2 Г__|2
V = к
у тп "1
пп
Ч2а 2 у
+ к
тп ч2а1у
Г(Х ¡)=(Г"'), у =1,2,3. Е (¡)
Г X1
X 2
V2/
Ртп = (1 + тп + ((1 - к2 К бтп = (1 + ^)утп + ((2 - к1 К
п1 = ^(¡1,¡2) - зовнiшня нормаль до контура Ь;
Г = Г (х, ¡) - елементи побудовано! в [3] матрицi
Грша.
При цьому
Г(х, ¡)= ^ Ттп (х)ГтпТтп т.п
де Гтп = (<Гтп }, у=1,2,3;
Ттп (х) =
. тгох ппх-
вт-¡-сое-■
2а1 2а;
0 0
тга1 . ппх2 сов-¡-вт-—
2а, 2а 2
тгох япх.
сов-¡-сов-!
2а1 2а2
Г11 = 8т8» ^тп
а^2
Г 22 = 8т8п тп
12 т2п2 Рт2„ 1 1 п2п2 1
2 2 , |
й2 4а2 А2тп Ат„ 1 -V 4а2 А2„
а^Х2
12 п2п2 етп - _[__1 + V т2п2 1
"тп Атп
2 2 , |
й2 4а2 А2тп9тп Атп 1 ^ 4ах2 А2т
Г12 = Г21 = 8т8п ^тп ^тп
а^2
12 Ртпетп_ + 1 + V
й2 9тп 1^
2 1 тип 1
2
4а1а2 Атп
8 = -
(1/2, при т = 0; 11, при т > 0;
(1/2, при п = 0; 8 _I
п~ 11, при п > 0. (8)
Щшьшсть потенцiaлу (7) визначаеться штеграль-ним рiвнянням [3]
|К (п, %Ш)Ь = Т(-(п), (9)
де К (п, ¡)=«1 —|е(п, ¡);
«1-^1 = дп
Г1 0 0 1
0 1 0
0 0 1
д
0 0
V дп ^
Н«0 =
л, А
М-1
4^4 /
т(п)=
Г^11
^4 )
~ (п) =
и1
и 2
Ь
Ш 0 дШ
дп
- Г13 = Г31 = 128т8п тп Ртп Гтп Гтп 2
2а1 9т
п = п(х1, Х2) - зовнiшня нормаль до контура Ь .
9
тп
й
0
0
Ь
Ь
Нехай контур L е елшсом i, як наслiдок, задаеться рiвняннями = a cos ф §2 = b sin ф. Розглянемо на-пружено-деформований стан симетричний вщносно координатних осей, з початком координат у ^rnpi роз-глянуто! полого! оболонки. Тодi з (9) одержимо наступ-не iнтегральне рiвняння:
п/2 ,-
4 J K(((),£(ф))ц((ф)))a2 sin2 ф + b2 cos2 ф й?ф = 0
= т(п(())-v° (л(()), (10)
яке апроксимуемо системою лшшних алгебра!чних рiвнянь за схемою:
2п
n
Nil K()= §(фj))a2sm2 фj + b2cos2 фj j=0
(11)
Розв'язок системи (11) дозволяе наближено визна-чити коефщенти Ulmn, U%n, Wmn перемiщень (4).
Iншi характеристики напружено-деформованого стану обчислюються безпосереднiм диференцшван-ням за формулами [1]:
8 x1 =
5U- ^ 5 2W dU2
1 _kw-__z; 8x2 = —-
д 2W
dx-
dx2
dx2
- k2W--- z;
dxf
E E
ст x1 V-2 (8 x1 +V8 x2 ); ст x2 =-2 (8 x2 +V8 x1);
1 -v
1-v'
Tmax = (ст1 -ct3 )/2,
(12)
де 8x1, 8x2 - складовi лiнiйно! деформаци, z -
ввдстань ввд серединно! поверхнi оболонки, ст x1, ст x2 -
нормальнi напруження, Tmax - максимальне дотичне
напруження, ст1, стз - найбiльше та найменше головнi напруження вiдповiдно.
Розглянемо, як приклад, застосування викладено-го вище методу розрахунку, оболонку з двома круго-вими отворами з виконанням умов Нав'е на контурi, розташованому на деякш вiдстанi вiд зовнiшньо! меж1 оболонки, при умовi, що на меж1 контуру кругового отвору l задано умови жорсткого затиснення, тобто
U1L = 0,
U2 L = 0,
dW
WL=0, m
= 0.
Виберемо такi вхiднi параметри: v = 0,25,
E / qz =-2-10'
2a1 / h = 50,
2a2 / h = 25,
2a / h = 2b / h = 10, k1 - h = k2 - h = 0,01, qx1 = qx2 = 0.
Розраховаш за викладеною вище схемою характеристики напружено-деформованого стану дослщжува-но! оболонки зображенi на рис. 2-3. Пунктирною лiнiею на цих рисунках позначено контур оболонки, на якому за допомогою виразiв (4), i вiдповiдного вибору гар-монiк, виконуються крайовi умови Нав'е. Вщстань вiд даного контура до зовшшньо! меж1 оболонки дорiвнюе п'яти одиницям.
Аналiзуючи отриманi результата, можна помiтити, що як максимальт нормальнi, так i максимальнi дотичт напруження концентруються не тальки бшя отворiв, чого i треба було очшувати, оск1льки на !х межах обрано умови жорсткого затиснення, а i в зош, яка знаходиться по-серединi м1ж отворами (див. рис. 2-3). Це можна пояс-нити сумюним впливом геометрi!' оболонки i обраними умовами Нав'е на лiнi!, що позначена пунктиром. Най-менша ж концентращя згаданих напружень спостерь гаеться бшя лши, позначено! пунктиром, що пояс-нюеться виконанням на нiй умов шартрного спирання.
104-W / h
Рис. 1. Нормальш прогини
10 -Tmax/ qz
Рис. 2. Максимальш нормальш напруження
10 -Tmax/ qz
Рис. 3. Максимальш дотичш напруження
L
ISSN 1607-6885 Hoei Mamepia.nu i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2009
105
Вщзначимо, що застосований спосiб розрахунку статичного деформування дослвджуваного об'екта дозволяе досягнути високо! точностi при утриманнi певного числа гармошк у виразах (4), (5). А саме, точшсть виконання умов Нав' е на згаданому вище кон-турi забезпечуеться вибором m, n = 1,3,...31. При цьо-му максимальна вщносна похибка розрахунк1в не пе-ревищуе 0,8 %.
Перелiк посилань
1.
Прочность, устойчивость, колебания. Т. 2 / [под общей редакцией Й. А. Биргера, Я. Г. Пановка]. - М. : Машиностроение, 1968. - 464 с.
2. Власов В. З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике / В. З. Власов. - М., 1949. - 707 с.
3. Гавеля С. П. Решение некоторых граничных задач теории оболочек / С. П. Гавеля, Ю. А. Мельников, И. А. Давыдов. - Днепропетровск : Изд-во ДГУ, 1971. - 53 с.
4. Гавеля С. П. Метод построения матриц типа Грина для составных оболочек / С. П. Гавеля // Докл. АН УССР. -Сер. А. - 1981. - № 9. - С. 12-17.
5. Гавеля С. П. Некоторые граничные задачи для пологих оболочек с отверстиями / С. П. Гавеля // Динамика и прочность машин. - Харьков, 1966. - Вып. 3. - С. 3337.
6. Гавеля С. П. О вычислении матриц Грина статических задач теории пологих оболочек / С. П. Гавеля // Изв. ВУЗов, Математика. - 1980. - № 12. - С. З-9.
7. Гавеля С. П. Периодические задачи для пологих оболочек произвольной кривизны с отверстиями / С. П. Гаве-ля // Докл. АН УССР. - Сер. А. - 1969. - № 8. - С. 226229.
8. Левчук С. А. Расчет напряженно-деформированного состояния элементов сложных технических конструкций / С. А. Левчук. - Запорожье, 1997. - 24 с. - Деп. в УкрИНТЭИ 17.06.97, №447 - Ук97.
Одержано 03.02.2009
Задача о статическом деформировании пологих оболочек с отверстиями решается с использованием соответствующих матриц Грина. На примере оболочки с двумя круговыми отверстиями, при специальных краевых условиях, продемонстрирована эффективность метода расчета.
The problem of static deformation of the sloping shells with holes is solved using Green matrix. The efficiency of calculation method is shown on the example of the shell with two round holes in special border conditions.
УДК (531.36+539.3):534.1
Д-р фiз.-мат наук О. Д. Шамровський, А. I. Веселов Державна ¡нженерна академ1я, м. Запор1жжя
ДВОШАРОВА ДИСКРЕТНА МОДЕЛЬ НЕСТАЦ1ОНАРНИХ ХВИЛЬОВИХ ПРОЦЕС1В У СТЕРЖН1
Запропоновано покращену дискретну модель поширення нестацiонарних хвиль у стержнi, у яти дискретизацИ тддаеться не тшьки маса, але i пружнi характеристики стержня. Принциповою особливiстю моделi е два шари мас, з 'еднат трьома типами зв 'язюв, що дозволяють моделювати подовжнi i поперечт коливання.
Моделювання нестацюнарних динaмiчних про-цеав е важливою задачею теорп пружносп. Широко поширеш чисельш методи розв'язання задач мехаш-ки суцшьного середовища за допомогою дискретизацп диференщальних рiвнянь у частинних похщних [1-3]. У той же час вщомо, що щ диференщальш рiвняння неточш i грунтуються на усередненш реальних диск-ретних структур. Тому цшком природними е зусилля по створення споконвiчно дискретних моделей [4]. Добре вiдомi модел^ що складаються з нaборiв крап-кових мас, з'еднаних пружними зв'язками [5, 6]. Од-нак при використанш таких моделей виникають серй-озш проблеми, що обмежують 1хне застосування. Особливо це вщноситься до моделювання нестацюнарних хвильових процеав. Вщбуваеться це тому, що
оджмрний ланцюжок у вигляд крапкових мас, з' една-них пружинами, не дозволяе описати поширення фронту хвилг Крiм того, подiбнa модель не допускае гра-ничний перехщ до класичного хвильового рiвняння.
У данш робот пропонуються удосконалеш диск-ретш модел^ у яких дискретизаци шддаються не тшьки маси, але i жорсткосп пружних зв'язк1в. З цiею метою спочатку дискретизуеться прикладене навантаження, а попм, з тим же кроком, пружш характеристики пружин, що з'еднують крaпковi маси.
При використанш тдабно! моделi процес поширення оджтрно! нестацюнарно! хвилi здшснюеться згiдно «ефектовi домшо», тобто рiзнi маси починають рухатися по черзг У пiдсумку значно полегшуеться знаходження характеристик хвилi. Спостерiгaеться
© О. Д. Шамровський, А. I. Веселов, 2009 106
