CC BY
13
УДК 539.371
Л. О. Рак
Запорiзький нацюнальний ушверситет, м. Запорiжжя
МОДЕЛЮВАННЯ ДЕФОРМ1ВНОГО СТАНУ СКЛАДЕНОГО Т1ЛА З ДВОХ ПЛАСТИН, З'СДНАНИХ П1Д ДОВ1ЛЬНИМ КУТОМ, ЗА ДОПОМОГОЮ МАТРИЦЬ ТИПУ ГР1НА
Робота присвячена розв 'язанню задач1 про напружено-деформований стан конструкцИ, складено'1 з двох пластин, з 'еднаних м1ж собою тд дов1льним кутом I жорстко затиснутих на 1нших краях у перемщеннях та подальшш побудовI матриць типу Грта зурахуванням граничних умов та умов з 'еднання пластин.
Ключовi слова: напружено-деформований стан, складена конструкц1я з двох пластин з'еднаних тд дов1льним кутом, розв 'язоку перемгщеннях, матриця типу Гргна.
Вступ
Сучасний процес розвитку промисловосп, бущв -ництва, рiзних форм транспорту та шших галузей еко-номiки вимагае створення все бшьш складних техшч-них конструкцш. З урахуванням вимог до умов роботи та ускладнень вони набувають структури, часто скла-дено! з елеменпв, як1 вiдрiзняються фiзичними параметрами.
Матриця Грiна, побудована для систем елштичного типу для дослiдження статичного деформування скла-дених тiл, дозволяе виразити розв'язок крайово! задачi для вказаних систем виглядi iнгегралiв вщ добутку мат-рицi Грiна на вектори правих частин.
Метод побудови матриць типу Грша е ефективним iнструменгом розв'язку задач теори пружносп для скла-дених тiл довшьно! геометрп з рiзними граничними умовами i умовами з'еднання секцiй. У робот розра-хунок напружень та перемщень у зонi локального на-вантаження мiж двома прямокутними пластинами, з'еднаними пiд довiльним кутом мгж собою та жорстко затисненими з шших бошв, виконано запропонованим методом.
Матерiали та методика досл1джень
Задана складена конструкщя з двох прямокутних пластин, жорстко затиснутих на краях та з'еднаних мгж собою шд довшьним кутом а, який тд час деформацл конструкцп вважаеться незмiнним. Потрiбно дослiдити напружено-деформований стан ще! конструкци п1д дiею нормального навантаження.
Розв'язок задачi подамо в перемщеннях шляхом розкладу шуканого розв'язку у виглящ тригонометрич-них рядiв з наступною побудовою матрицi типу Грша за допомогою врахування як граничних умов жорстко-го затиснення кра1в пластин, так i умов з'еднання пластин одна з одною.
Введення для кожно1 пластини власно1 прямокутно1 декартово1 системи координат так, як вказано на рисун-
ку 1, дозволяе записати кожну фiзичну характеристику пластин та зв'язок м1ж ними.
Модель пружно1 рiвноваги кожно1 iз пари пластин, з яких складаеться конструкцiя, описуеться системою диференцiальних рiвнянь у перемiщеннях [1-2]
... Хп +ц„ д АП„ +———-
д хп
АГ„ п д
дУп
дип +
д хп д Уп
дип +дУп
= Хп
дхп дУп
= у„
ААWn = гп.
(1)
Тут ип = ип (хп, Уп ), V = V (хп, Уп ), = Wn ( , Уп ), -проекци вектора перемiщень Тп (хп, уп), на вщповвдт осi декартово1 системи координат кожно1 пластини,
Рис. 1. Складена конструкщя з двох пластин, з'еднаних тд довшьним кутом
М-
п
п
© Л. О. Рак, 2014
146
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРПТ ТА МАШИНОБУДУВАНН1
а х- 12(а"-1) а у - - 1 а 7 = ^ -°П) _
п [,з ЧпХ' уп =—— апу> 7п =——з—
.3 Чпу? п
ряди Фур' е дозволяе записати И розв'язок у такому виг-лод
прав1 частини системи р1внянь, що враховують штен-сившсть зовшшнього поверхневого навантаження та ф1зичш характеристики пластини, компоненти штенсив-ност1 навантаження апх , апу, ап2, Еп - модуль Юнга, кп - товщина пластин, стп - коефщент Пуассона,
ип (хп, Уп )-Еи
пт
(Хп ) со$,(туп ),
т
Кп (хп, Уп )-ЕКпт (хп )sin(mУn ), т
Ч(хп,Уп) = ЕЧпт (хп)с08(тУп) (5)
Xп,цп - коефщенти Ламе, А-—2 + —2 - диференц-
д хп д У2
1альний оператор Лапласа. В записаних формулах 1 дал п -1,2 1 позначае номер пластинки у складенш конст-рукцл, яка дослщжуеться.
Крайов1 умови жорстко затиснених кра!в, де вщсутт прогини 1 неможливий поворот крайового перер1зу ввдносно оа ординат, мають вигляд
Пп
- о, чп I = о,
- о,
пХп-о
№п
дхп
- 0.
(2)
Внаслвдок постановки (5) 1 вщповщних розкладав для складових вектор1в зовшшнього поверхневого наванта-ження у систему (1), одержимо систему звичайних ди-ференщальних р1внянь з сталими коефщентами
^Л]¥пт - 2т2 " Чпт , „А
dХ4
2 d Ч
dх
+ т Ч - 7
2 пт пт
(1 + а )) Ппт _т2и + а т ^пт - X
п 2 пт п пт
dх2
■_ т 2 (1 + ап )
dUnm V а т-- У
пт п пт
dхn
(6)
Умови з'еднання пластин на меж1 спшьного ребра можуть бути представлеш у вигляд1
1х2-а2 , дх1
х1 -Й1 1х2-Й2
дЧ2
дх2
Ч1 -1 -((п а+ а)х2-„2 , ^-в1 - V
х -а - (2соэ а- Ч~2 з1п а)
61х| х1 -а1 -(ТТ2х ^ а+ 62х С08 а)| х2-Т1х| ч -а1 - (Т2х С08 а _ 62х з1п а) х2 = а2
01ху - 02ху , М2хх -а, - М1хх, -а, ,
I х1 -11 ■/1х2-12 1х2-а2 1х1 -а1 '
де 6пх- поперечш сили вщносно оа абсцис, Тпх - роз-тягувальт сили, як1 дють вздовж оа абсцис, О - зсувт зусилля у серединних площинах пластин, Мпх - зги-нальш моменти вщносно оа абсцис.
Причому, !х вирази через пох1дш вектора змщень мають вигляд [3-4]
т - ЕИ^К
пх - | п дуп
1 1дхп
'-пх . „С. ^^ [л" п ,
бпх -■
121
о
дх п
о - Е„К [ дПп , дКп
пху - 2(1 + ап))дУп дхп
ЕЙ3 ^2 м -_ ЕпИп
12
га
2
д2Чп д2Чп + а
дх,2
ду,
2
п У
(4)
Теорiя i амал1з отриманих результат1в
Розклад кожно! функцИ Пп,Уп,Чп { правих частин в1дпов1дно Хп ,Уп, 7п системи (1) в тригонометричш
Крайов1 умови жорстко затиснених кра!в (2) п1сля перетворень приймуть вигляд
и - 0 Ч - о
пт1хп-о ' пт1хп-о '
V
дЧ
, о пт
дхп
- о.
(7)
а умови з'еднання пластин (3) - набудуть такого вигля-
ду
Ч1т|х1-а1 -(П2т 31П а + Ч2т С08 а) П1т|х1-а1 -((2т С08 а_ Ч2т 81П а)
х2 - а2 '
х2 -а2 '
- V,,
дЧ,„
ечо,
"1 12
( dЧщ т2 Чт
-г--т -
dх,
dх,
дх2
^и2т ?2 _ ^ гл I ■ -— + —-тК2т I-81Па-
йх2 2а2
И22 I d3Ч2т 2 dЧ2m
21 _ т -^ I- С08 а
121 ах3
^ + тК1т 2а1
12
^ d3Ч2m т2 Чт -т
dх,
dхr,
-_ тиъ
dх,
х^-О!
¿Кт
dх,
¿П 2т а 2 _ 1 тл I -Т^ -тК2т I-С08 а +
¿Х2 2а2 у
-- тП 2
, 2 о 1т
2а1
' - т2Ч2т
2а2
х1-а1
- о.
(8)
т
п
Х„-о
X..-о
х -о
И
81п а
1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2014
147
Систему звичайних диференщальних р1внянь з1 ста-лими коефщентами (6) будемо розв'язувати методом вар1ацл довшьних сталих звщки одержимо наступну систему р1внянь з коефщентами С1г-(х1),(i = 1,8), що е невщомими функщями зм1нно! х1 для першошластини:
Wlm (x1) = Cn (x1 ^(х)+ C12 (x1 ^ +
С14 (Л"1 Wl{m)(xl), U 1m (х) = ^ (х ^(х )+ Cl6 (xl ^(х) +
+ С17 (x1 )U1(i3)(x1 ) +
С18 (Х )Ulm)(xl), ^ (х )=с^15 (х кт^х)+ (xl Х^Х) +
+ С17 (х1 Х^Х ) + С18 (х1 М(«)(Х). (9)
де
М"!2!(Х1) = С^ТПХу ) , wm)(xl ) = 2X1), wtKx) = Х1СН(ЖХ1), и12(х1) = СН(ЖХ1), и1;2)(Х1) = *к(шх1), и(;2)(Х1) = Х1СН(ШХ1),
и1(т)(х1) = х1^^(тх1), ^2)(х1) = х^И((2х1),
*й(х) = -^К), ^(х) = -ск(тх1),
К1(2)(х1 ) = - 2 + 41 ск(тх1)-х^(тх1), Ч1т
уЦ(х,) = - 2 + 41 sh(mx1)-х1ск(тх1). д;
При цьому розв'язок системи (1) отримаемо в вид1
Wnm (хп ) = У nmWnm(xn )+ У nmWnm(xn ) + У 4mWnm(xn ) +
+ 1 ^пт ^-—3-^
О 2т
и пт (хп ) = У птиПт(хп )+У п^иПт(хп )+У пти1а;п((хп ) +
2т(1 + Чп )
-1 ^пт ((-Хп )■ ^ ,
О 2(1 + Чп )
V (х ) = у6 V(2)(х )+у7 V(з)(х )+у8 V(4)(х )-пт\ п/ ' пт пт V п / ' пт птх п) ' пт птх^п/
1 Хпт (| )
2(1 + Чп )
((- хп)■shа d| -
(11)
О 2т(1 + Чп )
Щоб побудувати аналттичний розв'язок задач1 пруж-но! р1вноваги потр1бно вщшукати нев1дом1 стал1 коеф1 -
ЩОТШ у2пт . У4т, 17пт, Упт п = 1,2 , використовуючи
умови з'еднання пластин (7), (8).
З умов жорсткого затиснення кожно! пластини вип-ливае, що делю коефщенти системи (11) пов'язаш за-
лежн1стю
У3т = -тУ1т
У2т = -тУ2т ^
V 6 =- 2 + Ч1 „ 7 . ^ 6 =- 2 + Ч1 „ 7
У1т _ У1т 1 ¡2т ~ У2т . Виконавши
Ч1т ч1т
потр1бш перегрупування доданк1в вщносно функцш Хпт (| ), Упт (| ), 2пт (| ), можна отримати розв'язок системи диференщальних р1внянь (1) у вигляд
а
^пт (Хп ) = 1®пт (Хп, |)фпт +
О
+ К (Хп ,1)Фпт (() ,
О
де ® пт = (с° 1т ), ■=1
У=1,2,3 ®пт пт }, у=1
■=1,2,3 ^
ипт (хп ) Хпт
^пт (хп ) ^пт (хп ) Ф (е) = ' птх?/ у (I) птхъ/
^пт (хп ) ^ пт (|)
Причому а = (т(|- хп )).
Шдставляючи отримаш вирази в формули (5) оста-точний розв'язок задач1 про статичне деформування складено! конструкцп в умовах нормального наванта-ження в анал1тичному вигляд1
^п (Хп, Уп ) =
аз
= 1 1"п ((, Уп, п)Фп (, п)) dn +
- аз О аз а2
+ 1 1©п (хп, Уп, I, п)Фп (, п)) dп , (12)
-аз О
де ^п (хп, Уп, п), ©п (хп, Уп, П) - шукаш матриц1 типу Гр1на.
Поданий п1дх1д до побудови матриць типу Грша доз-воляе отримувати значення необх1дних компонент з ви-сокою точшстю.
Результати розрахунку основних характеристик деформування розглянутого вище з'еднання двох пластин продемонстроваш в граф1чному вигляд1 для двох вар1анпв зосередженого нормального зовн1шнього на-вантаження, локал1зованого у точках з координатами
Д (2,325; О) на першш пластин1, А2 (О,775; О) на другш пластин1 (перший вар1ант навантаження); £>1 (1,55; О) на
Ч
п
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРПТ' ТА МАШИНОБУДУВАНН1
першш пластит, В2 (1,55; о) на другш пластит (другий вар1ант навантаження). Ц граф1ки дозволяють спостер-тати вплив з' еднувального ребра складено! конструкцй на И деформ1втсть при р1зних вщдаленнях прикладено-го навантаження в1д ребра. Щкаво ввдзначити, що мак-симуми нормальних прогишв не ствпадають з точками прикладення навантаження, особливо у випадку В .
62-1о-1, Н
1,о2
о,41
о,21
У л
/ м
у л
// \ \ \А
/ В \
х-1о2, м
о 1,5555 3,1 1,555 о
о,82
о,56
о,3о
о,о4
-о,22
-о,48
в \
4 д
а/ 1/ *
/
■-1С?,,
о
1,5555 3,1
1,55
о
Рис. 2. Деформований стан складено! конструкцй при локал1зацй навантаження в точках А 1 В
При розрахунках було прийнято: Е - 2 -1о5 МПа; V- о,25 ; И - о,о1 м; а1 - а2 - о,о31 м; т - 1;
- а2г - 1о3 МПа, а1х- а2х - а1у - а2у - о, а - 9о°.
Результати розрахунку основних характеристик де-формування складеного тша з двох пластин, жорстко затиснених на краях, з'еднаних щд розгорнутим кутом при нормальному поверхневому навантаженш за зап-ропонованим методом пор1внювалися з результатами, отриманими при розв'язанш задач1 Лев1 для пластини, два протилежних боки яко! шартрно оперп, а два шш1 -вшьт [6].
59,8
35,7
11,5
-12,6
-36,8
59,1
39,3
19,7
-о,13
-19,9
-39,4
У А
А/ В
\-
В V
\\ В Ч
х-Ю2, м
о 1,5555 3,1 1,55 о
В У
/
1 В
■2
А
х-Ю2, м
1,5555 3,1 1,55 о
Рис. 3. Напружений стан складено! конструкцй при локал1зац!! навантаження в точках А ! В
Висновки
У робот сформульовано 1 розв'язано статичну задачу про напружено-деформований стан складено! кон-струкцп з двох прямокутних пластин, з'еднаних щд до-вшьним кутом, жорстко затиснутих на краях методом, який було запропоновано в робот1 [3]. Показано, що розроблений метод дозволяе ефективно розв'язувати задач1 про напружено-деформований стан складених конструкцш з пластин, яш з'еднат щд дов1льним кутом 1 жорстко затиснул на шших краях. У подальшому роз-глянуту задачу плануеться узагальнити на випадок уск-ладненого навантаження конструкцй.
Список лiтератури
1. Биргер М. А. Прочность, устойчивость, колебания : в 3-х т. / М. А. Биргер, Я. Г. Пановко. - М. : Машиностроение, 1968. - Т. 1. - 832 с.
Т1 -1о-1, Н
А -1о6,м
а-ю-1, н
-1
Т -1о ', н
П -1С, м
Ч -1С, м
о
/ББМ 1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2014
149
2. Гавеля С. П. Матрица типа Грина задачи об упругом деформировании составной конструкции из двух пластин / С. П. Гавеля, С. А. Левчук, Н. В. Чирка. - Запоро-жье,1992. - 15 с. - Деп. в УкрИНТЭИ 17.12.92, №2оо2 -Ук92.
5. Левчук С. А. Моделювання статичного деформування складено! конструкцй з двох пластин за допомогою мат-риць типу Грша / С. А. Левчук, Л. О. Рак // Проблеми обчислювально! механки i мщносп конструкцiй. - 2012. -
з'еднаних тд прямим кутом за допомогою матриць типу Грша / С. А. Левчук // Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудуванш. - 2010. - № 2. - С. 116— 120.
3. Левчук С. А. Матриц Грша рiвнянь та систем елштич-ного типу для дослщження статичного деформування складених тш : дiс. ... кандидата фiз.-мат. наук : 01.02.04 / Левчук Сергш Анатолiйович. - Запорiжжя : ЗДУ, 2002. -150 с.
6. Самуль В. И. Основы теории упругости и пластичности / В. И. Самуль - М. : Высшая школа, 1982 - 264 с.
Вип. 19. - С. 212-219.
4. Левчук С. А. Моделювання симетричного напружено-деформованого стану складеного тша з двох пластин,
Одержано 18.06.2014
Рак Л. А. Моделирование деформированного состояния тела, состоящего из двух пластин, соединенных под произвольным углом с помощью матриц типа Грина
Работа посвящена решению задачи про напряженно-деформированное состояние составной конструкции из двух пластин, соединенных между собой под произвольным углом и жестко защемленными краями в перемещениях и дальнейшем построении матриц типа Грина, с учетом граничных условий и условий соединения пластин.
Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, составная конструкция из двух пластин, соединенных под произвольным углом, решение в перемещениях, матрица типа Грина.
Rak L. Modeling of static deformation of the complicated constraction with two plate with help the Green's matrix
The work is devoted to research of strainly-deformed state of the complicated construction. Construction is made of two plate. Plates are united under an arbitrary angle. Solution is given in the form of trigonometry rows. Green's matrix is built for this problem.
Key words: strainly-deformed state, complicated construction with two plate, solved in displaces, Green's matrix.
