CC BY
20
Выводы
1. Предложена математическая модель активной мощности ДСП, изменяющейся во времени по резко-переменному закону, которая позволяет стабилизировать тепловой режим комплекса, повысить его эффективность и уменьшить непроизводительные потери электроэнергии.
2. Результаты моделирования мощности согласуются с измеренной в условиях реальной эксплуатации комплекса с достаточной для инженерных расчетов точностью (погрешность не превышает 9 %).
3. Разработанную модель целесообразно адаптировать к другим резкопеременным параметрам: току, напряжению, а также реактивной составляющей и коэффициенту мощности и использовать при модернизации САУ электроприводами комплекса.
Список литературы
1. Гасик М.И., Овчарук А.Н., Деревянко И.В. Выплавка стали в дуговых печах машиностроительного комплекса
с заменой чугуна углеродкарбидкремниевыми брикетами// Электрометаллургия. - 2006. - №9. - С. 2-13.
2. Лопухов Г. А. Мировое производство стали// Электрометаллургия. - 2006. - №9. - С. 36-38.
3. Зиновкин В.В., Рассальский А.Н. Особенности электротехнологических режимов энергоемких металлургических комплексов // Новi матерiали i технологи в ме-талургп та машинобудуванш. - 1998. - №2. - С. 151154.
4. Зиновкин В.В. Вероятностные параметры резкопере-менных нагрузок энергоемких электротехнологических комплексов // Пращ 1ЕД НАН Украши. - 2005. -№1(10). - С. 136-144.
5. Пугачев В.С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. - М.: Физ-матгиз, 1962. - 883 с.
6. Астапов Ю.М., Медведев В .С. Статистическая теория систем автоматического регулирования и управления. - М.: Наука, 1982. - 304 с.
7. Виленкин С.Я. Статистическая обработка результатов исследования случайных функций. - М.: Энергия, 1979. - 250 с.
Одержано 18.10.2006
Запропоновано математичну модель активное потужностi, яка змтюетьсяу час за pí3K03míhhum законом, для використання з метою ефективного управлiння електротехнологiчними режимами комплекав. Наведено порiвняльний аналiз розрахунюв потужностi з вимiреними ïï значеннями в реальних умовах роботи дугово'1 сталеплавильно'1 печi.
The mathematical model of active power which changes in time according to sharply changing law applying for the purpose of effective management of complex electrical technological regimes was given. The comparative analysis ofpower calculation with it's measured parameters in real conditions of arc steel-melting furnace were shown.
УДК 539.3
Ka4q. фiз.-мaт. нayк Г. А. Шишкaнoвa Нaцioнaльний техшчний ушверситет, м. Зaпoрiжжя
РОЗРАХУНОК КОНТАКТНОГО ТИСКУ П1Д ПРЯМОКУТНИМИ ШТАМПАМИ З УРАХУВАННЯМ ТЕРТЯ
З вuкopuсmaнням мemoдiвpeгyляpuзaцiï, пoслiдoвнuх нaблuжeнь та кyбamypнuх фopмyл ompuмaнopoзв 'язок npo^opoeux контактнш задач для плоскш ^ямокутнш двозв 'язнuх штамтв зypaхyвaнням mepmя. Знайдено poзпoдiл нopмaльнoгo тжку, фopмy oблaсmi контакту, кут нахшу та зaглuблeння штампа. Защопоновашй пiдхiд може бymu зaсmoсoвaнuй в iнжeнepнiй пpaкmuцi.
Вступ
Шдвищення надшносп та зниження металомют-косп - це одш з основних проблем сучасного маши-нобудування. Для оптимального виршення цих задач необхщно удосконалювати розрахунки мщносп при проектуванш рiзноманiтних конструкцш. Оскшьки кожна машина е сукупшстю взаемодшчих деталей, необхвдно забезпечувати !х контактну мщшсть та жорстшсть.
Контактна взаемодiя елеменпв конструкцш та деталей машин супроводжуеться тертям або можлива тшьки при його наявносп. Тому питания врахування тертя при створенш нових технологш у машинобудуванш е досить актуальним.
З аналiзу публтацш бачимо, що математична тео-рiя розв'язання контактних задач добре розвинута для кругових, елштичних та шльцевих областей контакту [1-6]. Проте, ще не досить дослщженими залишають-
© Г. А. Шишкaнoвa, 2006
94
ся задачi зi складною геометрiею областi контакту та врахуванням тертя. Так, без урахування сил тертя одержано наближенi розв'язки задач для штамшв з формою основи, близькою до прямокутно! в плаш в ро-ботi [7], для двозв'язно! основи - в робот [8], аналь тичнi розв'язки задач для штамшв з двозв'язною формою основи, близькою до квадрата в плаш, - в робот [9], до прямокутника - в робоп [10]. Чисельно-аналiтичний розв'язок задачi про штамп з квадратною двозв'язною формою основи з урахуванням сили тертя та шорсткосп пружного пiвпростору запропонова-но в робот [11].
Метою дано! роботи е розв'язання задачi про вдав-лювання штампа, що мае в плаш форму прямокутника з урахуванням тертя, а також дослщження характеристик контакту при змш геометричних розмiрiв ос-нови та впливу сили тертя.
Постановка задачi
Розглядаеться просторова квазiстатична контактна задача про рух штампа, що мае в плаш форму прямокутника, по меж1 пружного швпростору. Нехай на штамп дiе вертикальна сила Q та горизонтальна сила Т, яка урiвноважуеться силою тертя. Силу Т прикладе-но на вщсташ ё вiд основи штампа.
Введемо систему координат з вюсю г направле-ною перпендикулярно до площини пружного швпро-стору. При цьому вiсь х е паралельною напрямку руху штампа, а початок координат ствпадае з центром си-метрп областi контакту. Лiнiя дИ вертикально! сили проходить ^зь цю точку. Приймаемо, що сила тертя колшеарна напрямку руху.
Задача зводиться до розв'язку системи рiвнянь рiвноваги та основного штегрального рiвняння, яке при лтйному законi тертя [2] т = цст е рiвнянням типу Фредгольма першого роду зi слабкою особливiстю
1 -v2
nE "S
ft
p(p'. 8') I
[l + 6i cosr. x]ds' = g(p.8). (1)
~ ~ (1 _ 2 ) тут si = цХ. ц - коефщент тертя. X = ^^-4 . v -
2 Ч1 _v)
коефiцieнт Пуассона. p(p. 8) - функщя. що характе-ризуе розподiл нормального тиску пiд штампом. r 2 =p'2 +p2 _ 2p • p'cos(8 _ 8'). (p'.8') e S. (p.8) e S.
функцiя g(p. 8) - залежить вiд форми поверхш штампа. його заглиблення. купв повороту (у випадку плоского штампа g(p.8) = 5 . де 5 - заглиблення штампа).
Методика розв'язання задачi
Рiвняння (1) належить до iнтегральних рiвнянь першого роду. задача розв'язання яких е некоректною за Ж. Адамаром. хоча б з причини того. що порушуеться стiйкiсть розв'язку. О.М.Тихонов розвинув пiдхiд. який дае стшш розв'язки суттево некоректних задач. Цей
тдхвд щодо iнтегрального рiвняння першого роду по-лягае в зведенш до задачi розв'язку iнтегрального рiвняння другого роду. яка вважаеться коректною.
Регуляризацiя рiвняння (1) приводить розв'язок рiвняння (1) до розв'язку рiвняння другого роду при B = 0:
Bp(p. 8) 1 -v2
+
nE JJS
Jk^p^ + s1 cos r. x]ds' =5.
(2)
яке можна розглядати як основне iнтегральне рiвнян-ня задачi про вдавлення штампа в пружний шорсткий пiвпростiр з урахуванням тертя [11]. Вертикальними перемiщеннями мжровистушв. обумовлених дiею до-тично! сили. нехтуемо. В рiвняннi (2) B - це ко-ефiцiент. який характеризуе деформацiйнi властивостi шорсткостi поверхш пружного швпростору [2].
Шсля введення замши B1 = BnE/((1 _v2)• b);
P(p. 8)=1 _v 2 )/(nE )• p(p. 8) [2]; B1/(2n)= 1 -a [6].
при цьому вважаемо також. що b = 1 (в умовних оди-ницях довжини). тодi рiвняння (2) приймае вигляд
(1 _a)^ P(p. 8)+
P(p'. 8')
2nbr
JJS
1 + s1
p cos 8_p'cos 8'
ds' =-
2nb
(3)
При наближеному розв'язаннi iнтегрального рiвняння (3) для дискретизацп iнтегрального оператора М.М. Боголюбовим та М.М.Криловим розроблено ефективний метод замiни iнтегрального рiвняння системою алгебра!чних рiвнянь, який використовуе се-реднi значения шукано! функцп на кожнiй дiлянцi роз-биття областi iнтегрування [6]. Для усунення особли-востей запропоновано введення рiзницi значень шукано! функцi! в рiзних точках та наступна штерпо-лящя доданк1в, де спiвпадають iндекси точок [6, 11].
Застосовуючи одну з кубатурних формул за методикою, яку наведено в [11], одержуемо для чисельно-го розв'язку основного рiвняння з урахуванням сили
тертя так1 рекурентш вирази для малих В1:
р(т+1) = а р(т) - у у (р(т) - рМ Ь. -
к,д к,д V 1,1 к,д "м
( ч n p
_ P^H All +
i=11=1
l=11=1 5 2nb
(4)
де Ai,i =
1 +
S1
S! \tk cos Tq _ si cos
8,)
si Asi Д8, 2nbr
P. q =
^.Tq ).
nE U' q/'
+
5
r
r
г 2 = ^ + ^ - с°5(е/ -%ч),
р(1к , Тд )= о, , Т д )г 5 .
Аналiз результат чисельного дослвдження
Проведено чисельнi розрахунки конкретних ви-падк1в за методикою, яку наведено вище, для дослвд-ження впливу ширини к1льця, висоти прикладення горизонтально! сили та коефщента тертя на розподiл нормального тиску пiд штампом, який мае основу в формi двозв'язного, як окремий випадок, однозв'яз-ного прямокутника в плаш.
Шни рiвного тиску на рис. 1-3 при значениях без-
розмiрних параметрiв е1 = 0,057; d/Ь = 0,3; а = 0,99, показують розподш нормального тиску р (р, 0) / р *, р* = Q /(2пЬ 2) по областi контакту, зовнiшнiй контур
яко! е прямокутником з розмiрами сторiн: та, що пара-лельна осi ох дорiвнюе двом вiдносним одиницям довжини, а паралельна осi оу - мае довжину 1, 2. Внут-ршньому контуру на рис. 1 вщповщае прямокутник з розмiрами сторiн 1 та 0,6 вщповщно, а на рис. 2 - з розмiрами сторш 1,2 та 0,36. На рис. 3 зображено од-нозв'язну прямокутну область контакту.
Розраховано величину у * = у /(/(2пЬ), що харак-теризуе кут нахилу штампа. Вiдповiднi значення для рис. 1 - у *= 0,25; для рис. 2 - у *= 0,24; для рис. 3 -у *= 0,23.
1з побудованих картин кривих рiвного тиску вип-ливае несиметричтсть розподалу тиску по обласп контакту в зв'язку з присутнiстю сили тертя, а також на-явшсть пiд штампами точок з мшмальним тиском. Бiльша несиметричнiсть в розподш нормального тиску та бшьше значення кута нахилу штампа вщповщае меншiй контактнiй площi (рис. 1-3).
На рис. 4 зображено граф^ залежностей нормального тиску при рiзних значеннях висоти d прикладення горизонтально! сили Т в псрсргл 6 = 0; л для зна-
Рис. 1.
чень безрозмiрних параметрiв б! = 0,057; а = 0,7 та обласп контакту, зображено! на рис. 2. Шни 1-4 вщпо-вiдають значенням d /Ь = 0,1; 0,5; 0,7; 1; 1,5. Зростан-ня висоти прикладення горизонтально! сили призво-дить до бшьшо! несиметричносп розпод^ тиску, що може призвести до вiдриву штампа вщ поверхнi пруж-ного твпростору.
Рис. 2.
2.5-—
. 1.6-•
Т—[ 1 1 / \ \\ \
о: 1.1 / ) ) I
М.4 ( 4> / / / / / Т-
СО
- . г-
1 -0.5 0 0.5 1
Рис. 3.
-л Р/Р /\ А '/// < г ф -у '
У' У
\ .............:.........
........-9— 1 1 !
—— .-■' ! ! -1-0— - ! -!-
1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0.75 Г'Р* Рис. 4.
Висновки
За допомогою використання кубатурних формул, регуляризацп, введения рiзницi значень шукано!' функци в рiзних точках та наступно! штерполяцп до-даншв для усунення особливостей запропоновано метод розв'язання контактних задач з урахуванням тер-тя, шорсткостi пружного пiвпростору. Розглянуто задачу про вдавлювання штампа, який мае форму прямокутного шльця в планi.
Наведено числовi приклади, якi пiдтверджують правильшсть та ефективнiсть запропонованого методу розв'язання, який може бути застосований в шже-нернш практицi при проектуванш елементiв конст-рукцiй та деталей машин, а також для розрахуншв на контактну мiцнiсть та жорстшсть.
Список лiтератури
1. Гузь А.Н., Рудницкий В.Б. Контактная задача о давлении упругого штампа на упругое полупространство с начальными напряжениями // Прикладная механика.-1984. - Т. 20, №8. - С. 3-11.
2. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии.- М.: Машиностроение, 1988. - 256 с.
3. Дырда В.И., Шишканова А.А. Математическое моделирование подвижного эластостатического контакта при двучленном законе трения // Вестник Севастопольского техн. ун-та. - Механика, энергетика, экология. -1997. - Вып. 8. - С. 32-37.
4. Шишканова С.Ф. О вдавливании в упругое полупространство эллиптического штампа со скругленным кра-
ем // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1987. -№3. - С. 77-80.
5. Пожуев В.И., Зайцева Т. А. О решении пространственных контактных задач для некругового штампа // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 1994. - №4. - С. 62-70.
6. Шишканова А.А. Приближенное решение задачи о контакте кольцевого штампа с шероховатым полупространством с использованием разложения потенциала простого слоя // Проблеми обчислювально! мехашки та мщност конструкцш.- 2003. - Т. 7.- С. 123-133.
7. Моссаковский В.И., Качаловская Н.Е., Голикова С.С. Контактные задачи математической теории упругости. -К.: Наук. думка. - 1985. - 175 с.
8. Рвачев В.Л., Проценко В.С. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. - К.: Наук. думка. - 1977. - 235 с.
9. Шишканова Г. А., Зайцева Т. А. Про розвинення потен-щалу простого шару для некругового юльця та його використання // Вюник Херсонського техн. ун-та. -2003. - №3. - С. 462-466.
10. Зайцева Т.А., Шишканова А.А. Решение пространственной контактной задачи для штампа с двусвязным основанием, близким к прямоугольному, с использованием малого параметра // Прикладные задачи математики и механики: Материалы XIV междунар. научной конф. (11-15 сентября 2006 г., Севастополь). - Севастополь: Севастопольский нац. техн. ун-т, 2006. - С. 11-14.
11. Шишканова А.А. О решении контактной задачи с учетом трения и шероховатости для штампа в форме дву-связного квадрата в плане // Вюник Донецького ун-ту. Сер1я А: Природнич1 науки. - 2004. - Вип. 1.- С. 95-102.
Одержано 11.09.2006
С использованием методов регуляризации, последовательных приближений и кубатурных формул получено решение пространственных контактных задач для плоских прямоугольных двусвязных штампов с учетом трения. Найдены распределение нормального давления, форма области контакта, угол наклона и заглубление штампа. Предложенный подход можно использовать в инженерной практике.
Using the regularization method, successive approximations and cubature formulas the solving of spatial contact problems for plane rectangular doubleconnected stamp taking into consideration friction was received. The distribution ofnormal pressure, form of contact region, pitch angle and stamp deeping was found. This method can be used in engineering practice.
