Відновлення щільності заряду лінійного провідника за відомим розподілом потенціалів Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.3

Величко О. В.1, Кондратенко К. Г.2

1Канд. фiз.-мат. наук, доцент, Таврйський державний агроmехнологiчний yHieepcumem, Украна, E-mail: [email protected]

2CmydeHm, Тав^йський державний агротехнологчний yHieepcumem, Украна

В1ДНОВЛЕННЯ Щ1ЛЬНОСТ1 ЗАРЯДУ Л1Н1ЙНОГО ПРОВ1ДНИКА ЗА В1ДОМИМ РОЗПОД1ЛОМ ПОТЕНЦ1АЛ1В

В cmammi розглядаеться задача eidHoeneH^ лттног щiльностi заряду в прямолтшному npoeidHUKy за eido-мим потенщалом на поверхт уявного цилтдру з в^сю, яка ствпадае з npoeidHUKOM. Отримане ратше ттег-ральне рiвняння Фредгольма 1 роду е некоректною задачею. Пропонуеться наближений cnoci6 визначення не-вiдoмoi функцп, який спираеться на квадратурн формули Гауса та ттерполяцт. Наведено чисельж результа-ти розрахунку щiльнoстi заряду для випадку постшного потенщалу, синусогдального потенщалу та потенщалу, який е лттною функщею вiд координати.

Ключов1 слова: електричний потенщал, лшшна щыьтсть заряду, штегральне рiвняння Фредгольма 1 роду, квадратурн формули Гауса, ттерполящя.

АКТУАЛЬН1СТЬ ТЕМИ ТА ОГЛЯД ДОСЛ1ДЖЕНЬ

Одшею з прямих задач електростатики е задача зна-ходження поля електричних потенцiалiв, яке виникае в просторi тд дiею системи електричних зарядiв. Розв'я-зок прямо! задачi дозволяе зрозушти поведанку об' екта в заданих умовах. Однак часто потдобно розв'язувати кон-структивт задачi, в яких потрiбно так пiдiбрати парамет-ри об'екта, щоб вiн мiг оптимально виконувати потрiбнi технологiчнi функци. Це призводить до необхщносп роз-в'язувати оберненi задачi. З точки зору математики обернет задачi е бшьш складт, нiж прямi осюльки вони, заз-вичай, зводяться до розв'язання штегральних рiвнянь [1].

Формулювання обернено! задачi вщновлення щiльностi заряда за вiдомим розподiлом потенцiалiв на заданш по-верхнi взято авторами з роботи [2], в якш, по всш види-мостi, вона сформульована i розв'язана вперше. В нш показано И акгуальнiсть у зв'язку з методом Хоу для розрахунку часткових емностей системи провщниюв. Авто-ри використовують фактично метод коллокаци, при яко-му результати суттево залежать ввд вибору точок коллокаци. В данш статтi розглядаеться iнший споаб розв'язання задачi, сформульовано! в назв^ який е бiльш стшким i може буди застосований до бшьш загального випадку. Актуальнiсть дослвджень пов'язана з удосконаленням ма-тематичного апарату електростатики.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ1

Якщо поле утворюеться зарядженим провiдником сшнчених розмiрiв, тобто зарядами, розподшеними вздовж лшп Ь, то потенщал в точцi М визначаеться за формулою [3]

ф(м )=-L- di.

V 7 4ле0 L R

Тут iнтеrрування здшснюеться вздовж контуру Ь, х(/) - лшшна щiльнiсть заряду, I - натуральний параметр, який вщраховуеться вздовж контуру, к - вщстань мiж точкою М та точкою контуру, яка визначаеться зна-ченням параметру I.

Нехай проввдник е прямолiнiйним i мае довжину 2а. Виберемо так систему координат, щоб напрямок оа аб-сцис спiвпадав з напрямком провiдника i початок системи координат ствпадав з центром провщника. В цьому

випадку для точки М (х, у, 2) будемо мати вираз:

ф( y,z ) =

т(( )

4лб(

-a^y2 + Z 2 +(x - t)2

Потенщал, який утворюеться прямолшшним про-ввдником, мае осьову симетрш. Будемо вивчати потенц-1ал на поверхт уявного цилшдра радиусу r > 0, вюсю яко-

го е в1сь абсцис. Вш описуеться р1внянням y2 + z2 = r 2. Для точок на цьому цилшдр1 потенщал е функщею лише координати x:

(x ) = — J

V ' Л'П-О- J

т(( )dt

4ле0

,Vr 2 +(x -1 )2

В цiй статтi розв'язуеться обернена задача: якою повинна бути лшшна щшьшсть заряду т(() для того, щоб

функщя ф(х) при х е(- а, а) мала заданий вигляд. По-дiбна задача розглядалась в стат [2]. В нiй автори обме-жились випадком, коли функцiя ф(х) е постiйною. Ми розглядаемо випадок довшьно! функцп та застосовуемо дещо шший математичний апарат.

© Величко О. В., Кондратенко К. Г., 2013

56 ISSN 1607—6761. Елекгротехтка та електроенергетика. 2013. № 1

ф

МЕТОД РОЗВ'ЯЗАННЯ

Для зручносп будемо вважати, що ми обрали лшшш одиницi таким чином, що а = 1, ^ отже, штегрування

здiйснюeться по промiжку (-1,1). В результат отримае-мо наступне iнгегральне рiвняння:

Таким чином маемо наступну систему для визначен-ня невщомих Бк:

БкЬк] = с], ] = 1 п.

1к=1

Ф,

.(х)=х|

т(( )(

К- 1Д)

вiдносно неведомо! функци т(().

Записане iнтегральне рiвняння е рiвнянням Фредголь-ма першого роду з регулярним ядром [4]. Рiвняння з такими ядрами ввдсутт в фундаментальному довiднику [5]. Осюльки ядро е обмеженою функщею без особливостей, то ця задача е некоректною [6]. Це означае, о^м iншого, i

той факт, що не для вах функцш ф(х) вона мае розв'язок. Тому будемо шукати таку функцш у((), при як1й функщя

ф(х) = х Г, У(()(

-1д/Г 2 + (( - ()2

найменше вiдхиляеться вiд задано! функци в сенсi метрики простору ¿[_11]:

х) - фг (х))2 ёх

^ Ш1П.

Для обчислення функци ф(х) скористаемося квадратурами Гауса [7]

Ф(х) = Фк . ) „ =1-

к=1 у) г 2 +(х - (к )2 кг 2 +(х - (к )2

Тут Бк = XАкт((к), Ак - ваги Гауса, п - порядок точ-ностi формули Гауса. Значення функци в вузлах Гауса (к -

величини ) вважаються шуканими.

З урахуванням цього отримаемо наступний вираз для ввдхилення:

^ ( Б2,..., Бп )= Г

Бк

_

кг2 +(х - (к)

"Ф,

(х)

ёх ^ Ш1П.

Знаходимо частиннi похвдш i прирiвнюемо 1х до нуля

, ( \

^ = 2 Г Б -

Б

к

^ г 2 +(х - (к )2 ФГ )у/ г 2 + ( - (] )

&

Тут

= 1

ёх

1 фг (х)ох

с] = Г-

-1^г2 +(х-(] )

1д/ г 2 +(х - (к )2д/г 2 +(х - (} )2

] = 1, п .

Дiагональнi елементи можна обчислити точно:

_ /• ёх

Ькк = .) ~2—7-

-1г 2 +(х - (к )2

1 х - (к

= — ат^--

гг

1 Г 1 - (к 1 + (к \ _

= -1 -^ + шю^-^ |, к = 1, п .

г I г г

Для обчислення позадiагональних елеменпв магрицi системи та правих частин знову скористаемося квадра-турними формулами Гауса:

Ьк] = 1

А,

Ч г 2 + (( - (к )2у/ г 2 +(( - (])2

= 1

А, ф((,)

Ч г 2 +(( - (] )

Шсля розв'язання системи визначаемо величини

У((к ) =

Б,

к

ХА

а попм, за допомогою iнтерполяцiйноl

к

формули Лагранжа або за допомогою сплайнiв, вщнов-люемо шукану функцiю у(х) на iнтервалi х е (-1,1).

Зауважимо, що з ростом г попршуеться обумов-ленiсть матриц системи. Наприклад при п = 5, г = 0,5 визначник матрищ дорiвнюе и 0,005. Для великих зна-чень г похибки обчислення можуть стати надто великими. В цьому випадку для розв'язку iнтегрального рiвнян-ня потрiбно застосовувати методи регуляризаци [6].

ЧИСЕЛЬН1 РЕЗУЛЬТАТИ ТА IX ОБГОВОРЕННЯ

При проведенш чисельних експериментiв викорис-товували квадратури Гауса з 5 вузлами. Якщо функцiя

фг (х) е парною, то очевидно, що функщя у(х) також е

г = 0, ] = 1, п. парною, а це означае, що Бк = Бп-к+1.

к

2

Були доведет чисельнi poзpaxyнки для Функци Фг (x) = l пpи r = 0,25 та r = 0,45. ^и poзpaxyнкax вва-жалось, що Х = l. На pис. l наведено ^афти функци y(x) та вiдпoвiднi функци ф(x).

y(x)

i i.a-

\ IG

1 1.4

i 12 2

\ B-«

\ \ l

ÜÜ

V-____

\ tt.8 tt.5 «М в? 0 «2 №4 06 i

x

а) cp(x)

б)

Рис. 1. Гpaфiки фyнкцiй для значень пapaметpy r = 0,25 (лтя l) та r = 0,45 (лтя 2) для функци pr (x) = l. а) - функщя y(x), б) - функщя p(x)

На p^. 2 наведено вiднoвленi гpaфiки функцш y(x) та p(x) пpи rax же значеннж пapaметpiв для випадку, коли потенщал точок на цилiндpi e лiнiйнoю фyнкцieю: pr (x)= 2 + x.

V(x )

а) p(x)

б)

Рис. 2. ^афки фyнкцiй для значень пapaмеrpy r = 0,25 (лтя l) та r = 0,45 (лтя 2) для функци pr (x) = 2 + x . а) - функщя y(x), б) - функщя p(x)

58

ISSN l607—676l. Елекrpoтеxнiкa та елекrpoенеpгетикa. 20l3. № l

На рис. 3 наведено вщновлет графши функц1й т(х) та ф(х) при тих же значеннях параметрiв для випадку, коли потенцiал точок на цмнда е функцiею фг (х) = со8(лх).

у(х)

а) ф(х)

б)

Рис. 3. Графжи функцш для значень параметру г = 0,25 (шшя 1) та г = 0,45 (шшя 2) для функцй фг(х) = со$(ях) . а) - функщя у(х), б) - функщя ф(х)

Як бачимо з наведених графшв, для тригонометрич-но! функци побудоване наближення е бiльш близьким до заданого розподiлу потенцiалiв, нiж для постшного та лiнiйного розподiлiв.

ВИСНОВКИ

В статп запропоновано спосiб наближеного визна-чення щiльностi заряду в обмеженому прямолiнiйному неск1нченно тонкому провщнику, при як1й розподiл по-тенцiалiв на уявному цилiндрi, для якого цей проводник е вiссю, найменше вiдрiзняеться вiд теоретично заданого. Чисельний аналiз проведено для рiзних радiусiв цилвд-ру та для рiзноманiтних випадках розподiлу потенцiалiв на цилщдрг

В результатi чисельних експериментiв встановлено, що рiзниця мiж заданими функщями розподiлу потенц-

iалiв на цилiндрi ф(х) та ввдповвдними функцiями фг (х), як1 отриманi в результат! розв'язання задачi, у всiх випадках досягае найб№ших значень бшя к1нц1в проввдника, i вона тим бшьша, чим менше значения параметру г -радiусу вiдповiдного цилiндру. Цього ефекту можна поз-

бавитися, якщо замiсть простору 1] розглядати, на-

приклад, проспр _1,1]. Це плануеться зробити в наступ-

них дослвдженнях авторiв.

СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ

1. Тумашев Г. Г. Обратные краевые задачи и их приложения / Г. Г. Тумашев, М. Т. Нужин. - Казань, Изд-во Казанск. ун-та, 1965. - 333 с.

2. Пентегов И. В. Усовершенствование метода Хоу для расчета частичных емкостей системы проводников / И. В. Пентегов, А. Л. Приступа // Електротехтка i електромехатка. - 2012. - № 1. - С. 57-59.

3. Павловская М. В. Электростатика. Диэлектрики и проводники в электрическом поле. Постоянный ток / М. В. Павловская, А. И. Мамыкин // Электронное пособие по общему курсу физики. Режим доступу http://phys1cslet1.narod.ru/fiz.

4. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1974. - 832 с.

5. Манжиров А. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения / А. В. Манжиров, А. Д. Полянин. - М. : Изд-во «Факториал Пресс», 2000. - 384 с

6. Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - М. : Бином. Лаборатория знаний, 2003. - 632 с.

7. Крылов В. И. Справочная книга по численному интегрированию / В. И. Крылов, Л. Т. Шульгина. - М. : Наука, 1966. - 370 с.

Стаття надiйшла до редакцп 14.01.2013.

Пiсля доробки 28.01.2013.

Величко Е. В.1, Кондратенко К. Г.2

'Кандидат физико-математических наук, доцент, Государственный агротехнологический университет, Украина

2Студент, Таврического государственного агротехнологического университета, Украина

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ЗАРЯДА ЛИНЕЙНОГО ПРОВОДНИКА ПО ИЗВЕСТНОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ПОТЕНЦИАЛОВ

В статье рассматривается задача восстановления линейной плотности заряда в прямолинейном проводнике по известному потенциалу на поверхности виртуального цилиндра с осью, которая совпадает с проводником. Полученное интегральное уравнение Фредгольма 1 рода есть некорректной задачей. Предлагается приближенный способ определения неизвестной функции, который опирается на квадратурные формулы Гаусса и интерполяцию. Приведены численные результаты для случая постоянного потенциала, синусоидального потенциала и потенциала, который есть линейной функцией координат.

Ключевые слова: электрический потенциал, линейная плотность заряда, интегральное уравнение Фредгольма 1 рода, квадратурные формулы Гаусса, интерполяция.

Velichko H. V.1, Kondratenko K. G.2

'Candidate of Physico-mathematical Sciences, Associate Professor, Taurida Starte University of Agrotechnological, Ukraine

2Student, Taurida Starte University of Agrotechnological, Ukraine

RECOVERY OF THE CHARGE DENSITY LINEAR CONDUCTOR ON KNOWN POTENTIAL DISTRIBUTION

The paper considers the problem of the linear charge density reconstruction in a straight conductor according to the known potential on the surface of a virtual cylinder with an axis which coincides with the conductor. The resulting Fredholm integral equation of one kind is the ill-posed problem. The approximate method of determining the unknown function, which is based on Gauss quadrature formulas and interpolation is proposed. The expressionsfor the coefficients of the system of linear algebraic equations defining the values of the unknown function at the nodes of Gauss are given. The limits of this method applicability are explored. The numerical results of the problem solution for the case when the cylinder is set in a virtual permanent capacity, the sinusoidal potential and the potential with a linear function of the coordinates are presented. It is shown that the greatest deviation from the predetermined received function is observed near the ends of the cylinder.

Keywords: electric potential, the linear charge density, Fredholm integral equation one kind Gauss quadrature formulas, interpolation.

REFERENCES

1. Tumashev G. G., Nuzhin M. T. Obratnye kraevye zadachi i ih prilozhenija. Kazan', Izd-vo Kazansk. Un-ta, 1965, 333 p.

2. Pentegov I.V., Pristupa A.L. Usovershenstvovanie metoda Hou dlja rascheta chastichnyh emkostej sistemy provodnikov, Elektrotehnika i elektromehanika, 2012, No. 1, pp. 57-59.

3. Pavlovskaja M. V., Mamykin A. I. Jelektrostatika. Dijelektriki i provodniki vjelektricheskom pole. Postojannyj tok. Jelektronnoe posobie po obshhemu kursu fiziki. Rezhim dostupu http://physicsleti.narod.ru/fiz.

60 ISSN 1607—6761. Електротехтка та електроенергетика. 2013. № 1

4. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlja nauchnyh rabotnikov i inzhenerov. Moscow, Nauka, 1974, 832 p.

5. Manzhirov A., Poljanin A. D. Spravochnik po integral'nym uravnenijam: Metody reshenija. Moscow, Izd-vo «Faktorial Press», 2000, 384 p.

6. Bahvalov N. S., Zhidkov N. P., Kobel'kov G. M. Chislennye metody Moscow, Binom, Laboratorija znanij, 2003, 632 p.

7. Krylov V. I., Shul'gina L. T. Spravochnaja kniga po chislennomu integrirovaniju, Moscow, Nauka, 1966, 370 p.