Оптимизация инвестиционного портфеля на основе многокритериальной математической модели на фондовом рынке способом линейной свертки Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

отражения информации о расходах по оплате труда в финансовой отчётности, с учётом российской специфики, на наш взгляд, было бы весьма полезным.

Список литературы

1. Трудовой кодекс Российской Федерации от 30.12.2001 №197-ФЗ (ред. от 05.02.2018). [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34 683/ (дата обращения: 24.04.2018).

2. Вещунова Н.Л. Бухгалтерский и налоговый учет / Н.Л. Вещунова. Изд. 5-е, перераб. и доп. М.: Проспект, 2014.

3. Дружиловская Т.Ю., Коршунова Т.Н. Современные проблемы учета изменений в учетной политике // «Бухгалтерский учёт в бюджетных и некоммерческих организациях», 2015. № 10 (370).

4. Захарьин В. Системы оплаты труда в бюджетных учреждениях / В.Захарьин. М. Экзамен, 2014.

5. Международные стандарты финансовой отчетности - 1999: издание на русском языке. М.: Аскери-АССА, 1999. 1136 с

6. Мосина Л. Премии, доплаты и надбавки в бюджетной сфере / Л. Мосина, В. Сковпень // Кадровик. Трудовое право для кадровика, 2012. № 5.

7. Семенова Ф.З., Килба А.А. Сущность заработной платы и ее стимулирующая функция // Economics, 2016. № 12 (21). С. 101-103.

8. Федеральный стандарт «Учет вознаграждений» / проект Минфина России // Бухгалтерский учет. № 12, 2011.

9. ЧаяВ.Т. Бухгалтерский учет. 2-изд. / В.Т. Чая, О.В. Латыпова. М.: КноРус, 2015.

ОПТИМИЗАЦИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ НА ОСНОВЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НА ФОНДОВОМ РЫНКЕ СПОСОБОМ ЛИНЕЙНОЙ СВЕРТКИ Мамедова Л.М.1, Казимов Ш.Э.2

'Мамедова ЛейлаМаздек кызы - кандидат физико-математических наук, доцент;

2Казимов Шаиг Эльдар оглы - магистр, кафедра математической экономики, Бакинский государственный университет, г. Баку, Азербайджанская Республика

Аннотация: в данной статье предложен метод уменьшения числа критериев задачи многокритериальной оптимизации. Результатом являются два реально конфликтующих критерия, в которых улучшение любого из них с неизбежностью приводит к ухудшению других. Рассмотрена модель Марковица, модифицированная добавлением двух критериев сведения их однокритериальной задачи оптимизации с помощью линейной свертки критериев. В статье анализируются биржевые бумаги Американского фондового рынка в реальном времени.

Ключевые слова: линейная свертка, многокритериальная оптимизация, модель Марковица, эффективная граница, метод Лагранжа, ковариация, доходность портфеля, портфель ценных бумаг.

УДК 336.767

Рынок ценных бумаг формирует механизм для привлечения в экономику инвестиций, выстраивая взаимоотношения между теми, кто испытывает потребность в дополнительных финансовых ресурсах, и теми, кто хочет инвестировать избыточный доход. Портфельное инвестирование позволяет планировать, оценивать, осуществлять контроль за конечными результатами всей инвестиционной деятельности в различных секторах фондового рынка.

Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг является одной из наиболее важных задач принятия решений в инвестиционной деятельности на фондовом рынке. Целью оптимизации портфеля ценных бумаг является формирование такого портфеля ценных бумаг, который бы соответствовал требованиям инвестора, предприятия, как по доходности, так и по возможному риску, что достигается путем распределения ценных бумаг в портфеле. В целом оптимизация

портфеля касается не только формирования портфеля инвестиционных проектов, кредитного портфеля и т.д. Суть портфельной оптимизации состоит в том, чтобы выбрать из совокупности альтернативных объектов то подмножество, которое в течение заданного периода принесёт владельцу портфеля оптимальный, то есть наилучший исход. Критериев оптимизации может быть несколько, тенденции их улучшения могут противоречить друг другу. Под оптимальным результатом в разных случаях понимается или максимальная прибыль, или заданный уровень прибыли при минимальном риске, возможно, с учётом дополнительных ограничений внешней среды и предпочтений лица, принимающего решение.

Рис. 1. Эффективная граница

Каждый инвестор стремится составить такой портфель ценных бумаг, который обеспечивал бы максимально возможный доход с минимальным риском. Возникают две проблемы: как спрогнозировать доход на основе исторических данных и как измерять риск.

В классической постановке Марковица проблема выбора оптимального портфеля сводится к теории об эффективном наборе портфелей, или о так называемой эффективной границе. Суть теории в том что если инвестору доступны п ценных бумаг, каждая со своей ожидаемой доходности Е( г1), где i=1,2,...., п, то найдется одна комбинация ценных бумаг в портфеле, минимизирующая риск портфеля при каждом заданном значении ожидаемой доходности портфеля. Рис. 1 показывает, что какую бы величину ожидаемой доходности ни определил инвестор (например Е(гт)), всегда путем перебора весов ценных бумаг портфеля можно найти такой портфель, при котором уровень риска достигает минимального значения (на рис. 1 - точка В) [1].

Ожидаемая доходность ценной бумаги в модели Марковица рассчитывается как математическое ожидание ее доходностей за предшествующий отрезок времени, риск - как среднеквадратическое отклонение этих доходностей, а ковариация - по формуле , где

Уу - коэффициент парной линейной корреляции между доходностями двух активов [2].

Задача инвестора в модели Марковица сводится к следующему: из набора портфелей с ожидаемой нормой рентабельности Е(гр) необходимо найти такой, который обеспечивал бы минимальный уровень риска. Иными словами, задачу инвестора можно свести к решению следующей системы:

у у Ьу -> тт, Ьу = сог?(й; , Д,),

-1 7 — 1

II

ъ

= 1

I

= тр

01 > 0, ,...,вп > О где

тр - выбранное инвестором значение эффективности портфеля; 6 - доля г-й ценной бумаги в портфеле;

т1 - математическое ожидание эффективности Яг 1-й ценной бумаги

Перейдем от однокритериальной модели Марковица к модели многокритеритериальной оптимизации, то есть в нашем случие - к модели двухкритериальной оптимизации [3], [4] :

п п

^^didjbij -> min, btj = cov{Ri ,Rj),

i=ij=i

I

mlel^>max в = (в^ ...,0n).

I'

= 1

(2)

Здесь будем применять метод линейной свертки для многокритериальной оптимизации портфеля. Методом линейной свертки критериев от модели (2) с двумя критериями можно перейти к модели с одним критерием. Наиболее простым и часто используемым способом сведения многокритериальной задачи к однокритериальной является линейная свертка. Задаются весовые неотрицательные коэффициенты , обозначающие степень важности каждого критерия, и максимизируется линейная комбинация целевых функций [5], [6], т.е. решается задача:

g M = ^ ос, /;(х)

¡=1 ХЕХ

ос;> 0,i = 1, ос;= 1

Эта задача предполагает объединение критериев из вышеупомянутой задачи путем построения линейной комбинации (построения взвешенной суммы частных

критериев) и перехода к однокритериальной задаче:

I

ос; /-(х) -> min

(3)

ос;= const > 0,i = 1,2, ос;= 1

где определяются экспертами. Однако такой подход определения , основанный на субъективном мнении экспертов, приводит в конечном итоге к тому, что решение задачи (2), (3) будет в значительной степени субъективным. В данном пункте предлагается другой способ определения ос = 1 , 2 ,. . ,,т. Вначале будем допускать, что все критерии из (1) не ранжированы. В этом случае предлагается следующий способ свертки критериев Л (х) из (1). Пусть заданы точки Вычислим значения

у[к) = /¡(х(,с)),( = 1,2.....т,к = 1.....г, (4)

Построим линейную комбинацию:

УО......«жД«) =«1/1 С*00) +ос2/2(хМ)+-+ос т/т(х®),

к = 1,..,г, (5)

Здесь предлагается выбрать задачи нелинейного программирования:

^[(У(«1,«2.....«т,*(1)) -У^)2 + (у(>1,ОС2.....

¡=1

+ (y(oc1,oc2, ...,ocm,x(r))-у[)2] -> min

<Хт-Х(2))-у')2 + -(6)

lit 1

<*;= 1

¡=1

ос;> 0,i = 1, ...,т.

Для ее численного решения можно использовать различные инструментальные средства, например, офисное приложение электронных таблиц Excel.

Пусть теперь критерии (х) , i = 1,2 ,. . ., т, ранжированы следующим образом:

А О) >= /2 О) >= ••• >= /т(х)

(7)

где

/р(х) >= /Р.ц(х),р = 1, ...,т - 1,

означает что критерий не менее предпочтителен, чем критерий . Однако

степень предпочтительности по отношению к не указана. В подобном случае,

очевидно должны удовлетворять дополнительному условию

ОС! >ос2> • • > осп ( 8) .

Тогда задача приближенного вычисления ос ( = 1 ,2 ,. . .,т, в случае их ранжирования согласно (7) с решением [7][8] сводится к решению оптимизационной задачи (4)-(6), (8).

Для решения задачи оптимизации инвестиционного портфеля необходимо целостное рассмотрение всех показателей формируемого портфеля. При целостном рассмотрении необходимо учитывать, что максимизация значений одних показателей может сопровождаться минимизацией значений других. Частными критериями многокритериальной оптимизации инвестиционного портфеля являются:

I Максимизация прогнозируемой доходности портфеля ценных бумаг;

Минимизация риска сформированного портфеля; Учитывая две вышеуказанные цели, наша задача приводится к двухкритериальной

оптимизации. После определения приближенных квадратичного программирования [9]:

значений ос г ,ос 2 решается задача

<1 С^^ЩЬц ) -<*2 ) ^ min

1=1 7 = 1 1=1 i,j = 1,....,п, btj = cov(Rt,Rj )

= 1

(9)

> 0, ...,0n > 0 oq> 0,oc2> 0,0^+0^= 1 Приведём пример портфельной задачи Марковица с акциями Американского фондового рынка на начало 2016 года: Procter & Gamble, Walmart, Chevron, McDonalds и Boeng. В расчёте ожидаемой доходности портфеля будем использовать реальные данные, отражающие стоимости индексов за период 01.01.2015 - 01.01.2018 (155 торговых недель) [10]: Доходность каждой ценной бумаги можно рассчитывать по правилам:

R £ = ——— х 1 0 0 % (доходность как процент к инвестированной сумме).

Pt-i

Здесь P, - цена ценной бумаги в период t.

Средняя доходность E(r) определяется как среднеарифметическое исторических доходностей за 155 недель. Далее найдем дисперии и стандартные отклонения данных индексов. В результате получим 5-мерные векторы: r = {0.024, 0.104, 0.145, 0.425, 0.599} а2 = {3.419, 6.279, 7.712, 4.372, 9.556} а = {1.849, 2.506, 2.777, 2.091, 3.0913} Составим коварияционной матрицы данных акций:

Таблица 1. Коварияционная таблица

Proct & G Walmart Chevron McDonalds Boeng

Proc & G 3.396551 1.072877 1.824 0.853765 1.252108

Walmart 1.072877 6.238159 0.447881 0.802548 0.835353

Chevron 1.824 0.447881 7.662605 1.641741 2.796947

McDonalds 0.853765 0.802548 1.641741 4.344222 1.412154

Boeng 1.252108 0.835353 2.796947 1.412154 9.494421

Воспользовавшись способом определения , , описанным выше , ,

% = - 1.5 7, 04 = 2. 19, 0! = - 0 . 7 9 находим ах = 0 . 5; а2 = 0 . 5.

Определим стационарных точек. Найдем экстремум функции [14]:

Р(0) = 0.5 * (3.419 * в1 + 6.279 * 0| + 7.712 * 0| + 4.372 * 042 + 9.556 * 0| + 2.146 * в1 *

02 + 3.648 * в1 * в3 + 1.708 *в1*в4 + 2.504 *в1*в5+ 0.896 * в2 * в3 + 1.606 * 02 * 04 + 1.670 * 02 * 05 + 3.282 * 03 * в4 + 5.594 * 03 * 05 + 2.824 * в4 * 05) - 0.5 * (0.024 * + 0.104 * в2 + 0.145 * в3 + 0.425 * 04 + 0.599 * 05)

Перепишем ограничение задачи в неявном виде:

<^(0) = 1-(в1+в2+в3+в4 + в5) = 0

Составим вспомогательную функцию Лагранжа: Цв.Х.ц) = 0.5 * (3.419 * в\ + 6.279 * 0| + 7.712 * 0| + 4.372 * 042 + 9.556 * 0| + 2.146 * в1 *в2 + 3.648 * в1 * в3 + 1.708 *в1*в4 + 2.504 * в1 * 05 + 0.896 * в2 * в3 + 1.606 *в2*в4 + 1.670 * 02 * 05 + 3.282 * 03 * 04 + 5.594 * 03 * 05 + 2.824

* 04 * 05) - 0.5

* (0.024 *в1 + 0.104 * 02 + 0.145 * в3 + 0.425 * 04 + 0.599 * 05) + Л1

* (1 - (0! + 02 + 03 + 04 + 05)) Продифференцировав функцию, составим систему уравнения:

г 3,419 * 0! + 1,0 7 3 * 02 + 1,824 * 03 + 0,8 54 * 04 + 1,2 52 *в5—Я1 — 0,012 = 0 1,073 * в1 + 6,2 79 * 02 + 0,448 * 03 + 0,80 3 * 04 + 0,8 3 5 *в5—Л1 — 0,052 = 0 1,824 * в1 + 0,448 * 02 + 7,712 * 03 + 1,641 * 04 + 2,797 * 05 - ^ - 0,0725 = 0 ' 0,854 * в1 + 0,803 * 02 + 1,641 * 03 + 4,372 * 04 + 1,412 *в$-Х1- 0,2125 = 0 1,252 * в1 + 0,835 * 02 + 2,797 * 03 + 1,412 * 04 + 9,556 *в$-Х1- 0,2995 = 0 1 - (0! + 02 + 03 + 04 + 05) = 0 Решая систему уравнений методом обратной матрицы, в итоге получим: 0( ^=(0.3408, 0.1866, 0.05333, 0.318, 0.1013), ^=1.8491. Данная точка удовлетворяет всем условиям. Значение функции: F (0)=0.8668

5

5У, = 0.231

¡=1

В портфеле ЛПР получится следующая комбинация акций: 0! = 34,085 02 = 18,66%

03 = 5,34%

04 = 31,80% 04 = 10,13

А доходность всего портфеля гр = 2 3 . 10%

По сравнению с предыдущим решением, учитывая субъективные решения ЛПР, можно задать другие комбинации критериев и, решая задачи, получим следующие результаты: Если о ± = 0, 7 5 ос2= 0,2 5 тогда:

0( ^=(0.3641, 0.1923, 0.06027, 0.2985, 0.08494), ^=2.8773. Данная точка удовлетворяет всем условиям. Значение функции F ( 0)=1.4117

5

5У, = 0.2152

1=1

В портфеле ЛПР получится следующая комбинация акций: в1 = 36.41%

02 = 19.23%

03 = 6.02% 04 = 29.85% 04 = 8.49%

А доходность всего портфеля гр = 21. 5 2 %

Проверим случаи, когда ос 1 = 0,2 5 ос 2= 0 , 7 5. Тогда получим результат: 0( ^=(0.2711, 0.1695, 0.06248, 0.3765, 0.1504), ^=0,8209. Данная точка удовлетворяет всем условиям. Значение функции F (0)=0,3059

5

= 0.2789

1=1

В портфеле ЛПР получится следующая комбинация акций: 0! = 27,11%

02 = 16,95%

03 = 6.25%

04 = 37,65% 04 = 15,04%

А доходность всего портфеля гр = 2 7.89°%о ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как видно из трёх случаев, когда ЛПР принимает рациональное решение (т.е. даёт больше значений критерии риска), доходность портфеля уменьшается. При агрессивном выборе (предпочтение высокой доходности) доходность всего портфеля повышается.

Список литературы

1. Фабоцци Дж. Фрэнк. Управление инвестициями: Пер. с англ. М.: ИНФРА (Серия «Университетский учебник»). С. 77-86.

2. Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг. М. Научно-техническое общество имени академика С.И. Вавилова, 2008.

3. Семенчин Е.А., Денисенко А.О. Об одном способе свертки критериев в многокритериальных задачах и его применение при решении задач оптимизации портфелей ценных бумаг. Научная статья. Научный журнал «Фундаментальные исследования». № 3, 2012. С. 181-186.

4. Семенчин Е.А, Денисенко А.О. Многокритериальные математические модели принятия решений на рынке ценных бумаг в условиях неопределенности. Научный журнал / Кубанский государственный университет. № 64 (10), 2010.

5. Шварц Д.Т. Интерактивные методы решения задачи многокритериальной оптимизации. Обзор. Научная статья: «Наука и Образование». Электронный научно-технический журнал МГТУ им. Н.Э. Баумана. С. 245-261.

6. Шапкин А.С., Шапкин В.А. Математические методы и модели исследования операций. Учебник. 6-е издание. Москва, 2016. С. 210-216.

7. Orucov E.Q. Riyazi Iqtisadiyyat. Baki Dövlst Universiteti. Riyazi-Iqtisadiyyat kafedrasi. Dsrslik. Baki, "Xszsr Universiteti" ns^riyyati, 2016. sah. 28-29.

8. Манита Л.А. Условия оптимальности в конечномерных нелинейных задачах оптимизации. Учебное пособие. Московский государственный институт электроники и математики. М., 2010. С. 64-67.

9. Лотов А.В. Поспелова И.И. Многокритериальные задачи принятия решений. Учебное пособие. МГУ им. М.В. Ломоносова. Факультет вычислительной математики и кибернетики. Москва, 2008. С. 51-63.

10. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://www.fmam.ru/profile/akcii-usa-bats/mcdonalds/export/?market=2 5 &em= 18080&code=MCD&apply=0&df= 1 &mf=0&yf=2016&f rom=01.01.2016&dt=31&mt=11&yt=2016&to=31.12.2016&p=10&f=MCD_160101_161231&e= .csv&cn=MCD&dtf=4&tmf= 1 &MSOR= 1 &mstime=on&mstimever= 1 &sep= 1 &sep2=4&datf=2& at=1&fsp=1/ (дата обращения: 15.03.2018).

11. Федосеев А.А. Модификация модели Марковица путем учитывания дополнительных характеристик ценных бумаг. Известия Тульского государственного университета. Естественные науки, 2015. Вып. 3. С. 117-126.

12. Зинченко А.С. Болквадзе И.Р. Внучков Ю.А. Применение метода линейной свертки критериев при оптимизации финансового обеспечения деятельности организации. Научная статья: журнал «Финансовый менеджмент». С. 113-117.

13. ПисарукН.Н. Исследование операций. БГУ. Минск, 2015. С. 17-24.

14. Mamedova L.M., Kazimov Sh.E. About a problem of optimal investment of the stock market. Caspian Journal of Applied Mathematics, Ecology and Economics. V. 5. № 1, 2017. July.