Модификация модели Марковица путем учитывания дополнительных характеристик ценных бумаг Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 117-126 = Математика

УДК 330.42:519.816

Модификация модели Марковица путем учитывания дополнительных характеристик

ценных бумаг

А. А. Федосеев

Аннотация. Рассмотрена модель Марковица, модифицированная добавлением дополнительного критерия ликвидности и методики расстановки ограничений на доли вхождения ценных бумаг, рассмотрена ее целочисленная модификация и выполнено решение.

Ключевые слова: модель Марковица, портфель ценных бумаг, ликвидность, многокритериальная оптимизация, генетический алгоритм.

Основой портфельной теории является модель Марковица, разработанная им еще в 1950-х гг. и переведшая выбор оптимального портфеля на формализованный язык математики. В общем виде она выглядит следующим образом [1]:

n

У^ ximi — max,

i=1

nn

У^ У^ cov(Ri, Rj)xixj — min,

i=1 j=1

n

= 1, xi ^ 0; i = l,n.

i=1

Здесь xi — доля актива в общем портфеле,

= kiSi(0) xi = Sn (0) •

Величина kiSi(0) есть стоимость части портфеля, состоящая из активов вида a>i] xi — доля исходного капитала, инвестируемого в ai, Si(0) — начальная цена единицы актива ai, ki — количество единиц актива ai, входящего в портфель, Sn(0) — стоимость покупки всего портфеля [3,7].

При всей своей простоте модель Марковица не учитывает еще значительное количество характеристик, которые используют инвесторы при разме-

щении своих средств и которые вносят вклад в процесс принятия решения (что является допущением, принятым при построении модели, но при этом сильно отдаляет ее от реальности). К ним относится, например, ликвидность (пожалуй, ключевая характеристика ценных бумаг после доходности и риска), общий оборот на рынке, долю бумаг в текущем обороте и т.д.

В [5] было предложено дополнить модель Марковица «недостающими» критериями:

n

У^ cixi ^ min,

i=1

_ tixi ^ max.

i=l

Здесь Ci — относительный спрэд i-го актива, ti — средний оборот i-го актива.

Однако, что касается трехкритериальной модели, она по-прежнему не учитывает остальных немаловажных характеристик при принятии решения, а четырехкритериальная модель громоздка, неудобна, ее фронт Парето невозможно визуализировать, она сложна при вычислениях; кроме того, при построении обобщенного критерия получается тяжеловесная конструкция с малопонятной экономической трактовкой. Поэтому предлагается сформировать трехкритериальную модель, а остальные критерии оценки ценных бумаг представить в виде ограничений на их долю (количество) в результирующем портфеле.

Итак, мы имеем набор ценных бумаг и совокупность их характеристик, представленных ниже.

Доходность — это прибыль, которую можно получить от владения ценной бумагой за некоторый промежуток времени t и выраженную в процентах [3]:

Cj,t+i - Cjt + Djt

Rjt = -->

Cjt

где Cjt — цена актива (ценной бумаги) j-го вида в начале периода t, Djt — дивиденды за период времени t. При этом ожидаемая доходность (математическое ожидание) портфеля будет равна линейной комбинации ожидаемых доходностей активов:

n

шж = M[Rn] = Ximi.

i=l

Риск — степень возможного отклонения доходности от среднего результата. В наиболее типичной ситуации статистическая дисперсия (или стандартное отклонение) является очень хорошей мерой степени неопределенности оценки перспектив портфеля [3]:

nn

D[Rn] = V[Rn] = аП = M[(Rn - тж)2] = ^ ^ cov(RR)XiX3.

i=l j=l

Однако более эффективным способом оценивания риска является полувариация, учитывающая только отрицательные отклонения доходности от среднего значения:

n n

c°vi/2(Ri> Rj )xixj ■

i=1 j=1

Ликвидность — это возможность в любой момент купить или продать достаточно большое количество бумаг без существенных потерь в цене. Чем ближе реальные цены покупки и продажи, тем выше ликвидность [3, 7]. Общепризнанного коэффициента для измерения ликвидности не существует. Ранее [5] для этого применялось понятие относительного спреда, а за величину средней ликвидности портфеля принималась средняя ликвидность всех бумаг, входящих в его состав, взвешенная по их долям:

n

^ ^ cixi-

i=1

Сами же ценные бумаги в портфеле можно также трактовать по-разному — как в виде доли от общего вложения, так и в виде количества приобретенных единиц. Построим оптимизационную модель на основе представления ценных бумаг как доли от общего вложения, т. е. в виде Xi:

n n n n

^2/Ximi — max; ^ X^cov1 (R^Rj)xixj- — min; ^ cixi — min; i=l i=l j=i /2 i=l

xi ^ 0 yxi} Xi ^ Xi,j Vxi, Xi,j £ [Xi,i, Xi,2, Xi,3},

n

i=1

Коэффициенты Aii1,Aii2,Aii3 определяются на основе показателей среднего оборота по рынку, коэффициента free-float (доли ценных бумаг определенного вида, находящегося в обращении) и среднего количества сделок, совершаемого на рынке по i-й ценной бумаге. Все эти характеристики так или иначе влияют на ликвидность актива и, следовательно, должны влиять на результат оптимизации. Коэффициенты задаются лицом, принимающим решение, по следующему принципу:

Ai,i — верхняя граница доли ценной бумаги, нахождение которой в портфеле должно быть минимально (либо среднее количество сделок в день по ней на рынке меньше 1000, либо ее относительный спред больше 5%, либо ее средний оборот на рынке крайне мал по сравнению с остальными акциями);

Ai,2 — верхняя граница доли ценной бумаги с низкой ликвидностью;

Ai,3 — верхняя граница доли ценной бумаги с высокой ликвидностью;

Уровень ликвидности определяется путем составления интегрального коэффициента ликвидности:

K = y/KfTt,

где Kff — коэффициент free-float, Kt — средний оборот на рынке. Ценные бумаги ранжируются по значению этого коэффициента и в зависимости от их расположения в этом ранжированном списке им присваиваются разные верхние границы (табл. 1).

Рассмотрим портфель ценных бумаг, состоящий из акций десяти крупных российских компаний: «ВТБ» VTBR (1), «Газпром» GAZP (2), «Лукойл» LKOH (3), «МТС» MTSS (4), «Роснефть» ROSN (5), «Сбербанк» SBER (6), «Ростелеком» RTKM (7), «АФК» AFKS (8). Имеем информацию о ценах акций на момент закрытия торгов, дивидендную доходность, цены покупки и продажи, объем торгов за период с начала 2013 года по декабрь 2014 года (2 года).

После обработки имеем следующие данные (расчеты основаны на параметрической модели рынка ценных бумаг с учетом дивидендных выплат) (рис. 1, 2).

Рис. 1. Схематическое представление характеристик активов в портфеле

(риск, спред, доходность)

Возьмем Агд = 0.05, А^ = 0.2, А^э = 0.3 и ограничим снизу долю активов числом 0.05.

Вначале построим область Парето. Для этого покроем достижимое множество сеткой, при этом точкой границы Парето будет наилучшее решение для каждой линии этой сетки. Предварительно решим 6 однокритериальных задач (на максимум и минимум доходности, максимум и минимум риска, максимум и минимум ликвидности) для определения граничных точек, за-

Рис. 2. Схематическое представление характеристик активов в портфеле

(оборот, free-float)

Таблица 1

Ранжирование активов по коэффициенту ликвидности

Актив Коэффициент Ограничение сверху

SBER (6) 0,360 0.3

GAZP (2) 0,292 0.3

LKOH (3) 0,196 0.3

VTBR (1) 0,123 0.3

MTSS (4) 0,098 0.2

ROSN (5) 0,072 0.2

RTKM (7) 0,070 0.2

AFKS (8) 0,043 0.2

тем зададимся некоторым шагом Нт, Нг и Нс по каждой из осей координат, в соответствии с которым производить разбиение отрезков. Чем меньше будет шаг, тем точнее будет приближена искомая поверхность. Будем решать следующие однокритериальные задачи:

п

У^ хгтг — тах;

г=1

n n n

covi, (Ri, Rj)xiXj = rk; ^ CiXi = Ck; i=1 j=1 2 i=1

У^ У] covi/ (Ri, Rj)xixj- — min;

i=1 j=i

nn

ximi — mk; / Cixi

i=1

mk; ^ ^ cixi — ck;

i=1

при ограничениях

xi ^ 0 Vxi} xi ^ Ai,j Vxi, Ai,j £ {Ai,1, Ai,2, Ai,3},

xi — i.

i=1

Полученная поверхность Парето представлена на рис. 3.

)oo38.oooT

Рис. 3. Приближенная визуализация границы Парето

Для решения поставленной задачи воспользуемся методами построения обобщенного критерия. Чтобы исключить большее или меньшее влияние критериев, надо применять либо метод мультипликативной свертки, либо предварительную нормализацию (даже несмотря на то, что значения результирующих функций являются величинами безразмерными). Решение будем проводить с помощью математического пакета Maple, используя метод ветвей и границ для нелинейного программирования. Будем считать, что весовые коэффициенты равны

ak — K Vk,

и

где K — количество частных критериев оптимальности.

Свертка мультипликативного вида применительно к поставленной задаче будет выглядеть следующим образом:

( n \а1 ( n n \ -а2 ( n \ -a3

xmij j= cov^RiR)xixjj CiXij ^ max.

Результаты ее применения к портфелю-примеру, указанному выше, приведены в табл. 2.

Таблица 2

Результаты оптимизации по методу мультипликативной свертки

Актив Доля в портфеле

SBER 0.1

GAZP 0.2

LKOH 0.3

VTBR 0.05

MTSS 0.05

ROSN 0.05

RTKM 0.05

AFKS 0.2

В качестве мультипликативной свертки с нормализацией применим метод, изложенный в [5], но заменим операцию сложения операцией умножения:

1/к - ¡к I

fmax _ f

fk Jl

min

^ mm,

где /max — максимальное значение по k-му критерию (соответственно min — минимальное), в знаменателе стоит разница между наилучшим и наихудшим значениями, / — идеальное значение по критерию (в зависимости от требований его максимизации или минимизации оно может принимать значение либо /max, либо /min). Результаты ее применения к портфелю-примеру, указанному выше, приведены в табл. 3.

Как говорилось в [6], введение целочисленных параметров позволит более точно формировать структуру оптимального портфеля и корректнее распределять средства, поскольку она лучше описывает реальную задачу инвестирования и освобождает ЛПР от дальнейших трудностей с интерпретацией результатов решения классической модели Марковица. В связи с этим, построим целочисленную модель с учетом предыдущих рассуждений.

Таблица 3

Результаты оптимизации по методу нормализованной мультипликативной

свертки

Актив Доля в портфеле

SBER 0.126

GAZP 0.05

LKOH 0.05

VTBR 0.223

MTSS 0.152

ROSN 0.2

RTKM 0.05

AFKS 0.149

Воспользуемся целочисленными переменными ki — количество активов i-го вида. Согласно [6]

n n n n

У] kimi — max; ^ ^ covi (Ri, Rj)kikj — min; ^ ciki — min;

i=1 i=1 j=1 i=1

kS

к < ks < ъ g ^E kiPi < g.

i=1

Здесь Бг — стоимость приобретения единицы актива I-го вида, G — верхняя граница для средств, которое инвестор предполагает вложить в ценные бумаги, д — нижняя граница для средств, которое инвестор предполагает вложить в ценные бумаги, А", АВ — нижние и верхние границы на долю вхождения актива I-го вида, они определяются так, как описано выше, Рг — стоимость покупки единицы {-го актива.

Для решения подобной задачи (целочисленной трехкритериальной задачи квадратичного программирования с нецелочисленными ограничениями) с акциями, перечисленными выше, воспользуемся классическим генетическим алгоритмом решения оптимизационных задач [2]. Выберем следующие параметры алгоритма:

1. Для большего разнообразия популяций операция мутации на каждой итерации алгоритма осуществляется дважды.

2. Функция пригодности каждой особи в популяции (решения во множестве решений) представляет собой обобщенный критерий в виде мультипликативной свертки с одинаковыми весовыми коэффициентами (поскольку значения критериев несоизмеримы).

3. Начальный размер популяции — 50 особей, количество итераций (жизненных циклов алгоритма) — 500.

Для проведения вычислений была написана программа Рог11о1юЕуо1и1юп, которая за приемлемое время (около 1.5 с) обсчитала поставленную выше задачу с 8 акциями. Результаты расчетов представлены в табл. 4 (максимальный размер инвестиций был взят в размере 1 000 000 руб., минимальный 900 000 руб.).

Таблица 4

Результаты оптимизации генетическим алгоритмом целочисленной задачи

Актив Количество единиц в портфеле

SBER 1804234

GAZP 811

LKOH 51

VTBR 425

MTSS 415

ROSN 977

RTKM 1289

AFKS 4399

Представленная выше модель (в том числе ее целочисленная модификация) позволяет учесть большое количество значимых характеристик активов для построения оптимального портфеля, в том числе, ликвидность. Однако, пожалуй, стоит сделать замечание по поводу использования генетических алгоритмов, которые не всегда обеспечивают нахождение глобального экстремума, однако это компенсируется быстрым проведением расчетов (даже с большими портфелями), а неточность может быть устранена путем неоднократного выполнения алгоритма и сравнения полученных результатов.

Список литературы

1. Markowitz Е.М. Portfolio selection // Journal of Finance. 1952. V. 7. P. 77-91.

2. Богатырев М.Ю. Генетические алгоритмы: принципы работы, моделирование, применение. Тула: ТулГУ, 2003. 152 с.

3. Кочетыгов А.А. Финансовая и актуарная математика: учебное пособие. Тула: ТулГУ, 2003. 340 с.

4. Оценка ликвидности ценных бумаг и портфелей. [Электронный ресурс] // Журнал «Рынок ценных бумаг»: [сайт]. URL: http://www.old.rcb.ru/Archive/ articles.asp?id=3903 (дата обращения: 01.10.2014).

5. Федосеев А.А. Решение трехкритериальной и четырехкритериальной моделей Марковица // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып.3. с. 197-207.

6. Федосеев А.А. Решение целочисленной модели Марковица // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2012. Вып. 3. с. 153-158.

7. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. ИНВЕСТИЦИИ. М.: ИНФРА-М, 2001. Т. XII. 1028 с.

Федосеев Андрей Андреевич ([email protected]), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

The modification of Markowitz' model by considering of additional parameters of securiries

A. A. Fedoseev

Abstract. We consider the Markowitz model, modified by the addition of one criteria of liquidity and new method of restrictions arrangement for securities parts in portfolio, demonstrated it's integer modification and solved the problem.

Keywords : Markowitz' model, securities portfolio, liquidity, multicriteria optimization, genetic algorithm.

Fedoseev Audrey ([email protected]), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 20.05.2015