CC BY
130
Сорвина Ольга Владимировна, докт. экон. наук, проф. кафедры,, fim@,tsu. tula.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
EVALUATION OF ECONOMIC EFFICIENCY OF IMPLEMENTATION IN SLEDOVATELNO OF WORKS ON REPAIR AND OVERHAUL OF EQUIPMENT IN THE STRUCTURE OF PRODUCTION JOBS
O.V. Sorvina
The possibility to increase the efficiency of the repair of structural works of industrial equipment on the basis of the optimal after-dovalidate perform work a production job.
Key words: repair, maintenance, production target, efficiency, sequence of execution of repair works.
Sorvina Olga Vladimirovna, doctor of economy science, professor of department, fim@,tsu.tula.ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 330.42:519.816
ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ МОДИФИЦИРОВАННОЙ МОДЕЛЬЮ МАРКОВИЦА МЕТОДОМ СОКРАЩЕНИЯ МНОЖЕСТВА ПАРЕТО
А.А. Федосеев, А.А. Кочетыгов
Рассмотрена модифицированная дополнительными критериями многокритериальная модель Марковица оптимизации портфеля ценных бумаг, рассмотрена методика построения приближения множества Парето методом сеток, предложена методика поэтапного сокращения множества Парето для задачи, введено понятие интегрального показателя ликвидности, приведены расчеты для тестового портфеля.
Ключевые слова: портфель ценных бумаг, модель Марковица, ликвидность, множество Парето, оптимизация.
Основная задача портфельного инвестирования - улучшение условий инвестирования за счет предоставления совокупности ценных бумаг (при условиях их удачной комбинации) таких инвестиционных характеристик, которых не имеет ни один отдельно взятая ценная бумага [2, 3]
Под портфелем будем понимать набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, состоящий из двух и более активов. Если A = [ax,a2,...,an} - полный перечень активов (ценных бумаг) рынка, то портфель можно задать структурно, указав набор (вектор) ж = ,к2,...,кп), где k - количество единиц актива aj, входящих в портфель. [2, 5]
Портфель указывается вектором относительных «весов» каждого
актива:
Хж — (х15 Х2,...,Хп)
(1)
где х — — 1
р ¡—1
ж
Рассмотрим модель Марковица в классической постановке. Основные ее недостатки вытекают из ее допущений, в том числе: отсутствие учета издержек, ликвидности и выплат по ценным бумагам, а результаты расчетов получаются в виде процентов. Модель использует крайне малое количество имеющейся информации о рынке ценных бумаг. Кроме того, методы оптимизации сокращают множество Парето всего до одной единственной точки, что зачастую неприемлемо, когда лицо, принимающее решение (ЛПР), хочет получить не одно решение а несколько наиболее оптимальных решений, выбор из которых он будет делать, руководствуясь показателями, не учтенных в модели из-за допущений при ее построении.
В качестве тестового портфеля будем рассматривать портфель ценных бумаг, состоящий из акций десяти крупных российских компаний: «ВТБ» VTBR (1), «Газпром» GAZP (2), «Лукойл» LKOH (3), «Роснефть» ROSN (4), «ММК» MAGN (5), «Норильский никель» GMKN (6), «Магнит» MGNT (7), «Алроса» ALRS (8) , «Татнефть» TATN (9) , «Московская биржа» MOEX (10). Имеем информацию о ценах акций на момент закрытия за период с начала 2014 года по конец 2014 года.
При расчете параметров модели Марковица зачастую не используются ежегодные дивидендные выплаты, что наряду с разницей в курсовой стоимости также является важным источником доходности для акций (если мы включаем их в портфель). Применять их при расчете целесообразно, если период вложения в акции составляет не менее года; кроме того, своевременные и более высокие дивидендные выплаты отличают привилегированные акции от обычных и больше котируют их на рынке ценных бумаг.
Заметим также, что фактор учета дивидендов при расчете доходности оказывает влияние не только на портфели в долгосрочной перспективе (год и более, чтобы получить эту самую доходность в виде дивидендов), но и в краткосрочной (как правило, активы акционерных обществ, регулярно и без задержек выплачивающих дивиденды, обладающие большим уставным капиталом и процентом дивидендов становятся более привлекательными для инвесторов и обладают большей ликвидностью по сравнению с остальными).
В качестве меры риска вместо ковариации будем использовать по-луковариацию. Это мера риска, которая учитывала лишь случаи снижения доходности по отношению к среднему значению. Полувариация рассчитывается как обычная вариация кроме тех случаев, когда доходность выше ожидаемой доходности. [6].
Используя ее определение, расчеты можно проводить по следующему принципу: учитывать только случаи, когда доходность ниже среднеожидаемой, в остальном случае она считается нулем.
После обработки имеем следующие данные (расчеты основаны на параметрической модели рынка ценных бумаг) (табл. 1, табл.2).
Таблица 1
Доходности активов
Актив Доходность
ВТБ (VTBR) 0,001588
Газпром (GAZP) 0,000011
Лукойл (LKOH) 0,000586
Роснефть (ЯОЗК) -0,000772
ММК (МАОК) 0,001965
Норильский никель (ОМКК) 0,001945
Магнит (МОКТ) 0,000582
Алроса (АЬЯБ) 0,002822
Татнефть (ТАТК) 0,000728
Московская биржа (МОЕХ) 0,000000
Таблица 2
Матрица полуковариаций
УТБЯ ОА2Р ЬКОИ ЯОБК МАОК ОМКК МОЖ АЬЯБ ТАТК МОЕХ
1 0,00023 0,000126 0,000070 0,000059 0,000147 0,000044 0,000097 0,000078 0,000033 0,000112
2 0,000144 0,000079 0,000072 0,000129 0,000054 0,000094 0,000066 0,000060 0,000096
3 0,000100 0,000060 0,000099 0,000078 0,000067 0,000042 0,000069 0,000065
4 0,000079 0,000069 0,000051 0,000053 0,000041 0,000059 0,000049
5 0,000295 0,000073 0,000099 0,000104 0,000056 0,000134
6 0,000202 0,000057 0,000032 0,000083 0,000039
7 0,000195 0,000041 0,000055 0,000082
8 0,000231 0,000020 0,000078
9 0,000143 0,000045
10 0,000199
Для построения приближения множества Парето воспользуемся методом сеток. Он заключается в покрытие достижимого множества сеткой и дальнейший поиск лучшего решения в точках пересечения линий этой сетки с поверхностью Парето. Вначале необходимо найти граничные точки сетки, решив вспомогательные задачи
п
У хт ^ тах
у' ' (2)
У У соМД., Д )х;х]- ^ тп ¿=1 ]=\ (3)
Z xm ^ min
i=1
ZZcovR. Rj)XiXj ^ max i=i j=\ (5)
с классическими ограничениями модели Марковица [1]:
n
Z , xi = 1 „„min ^ ^ „max . -—
м , xi ^ xi ^ xi . i = 1, n (6)
h h
Далее задаются шаги m и о по каждой из осей координат, в соответствии с которыми будем производить разбиение. При этом количество точек аппроксимации множества Парето будет
0п =
m — m ■
'"max '"min
h
+
о — о
max min
h
где v, mm-m - максимальное и минимальное значения доходности ак-
it 1 ax mill
тивов, <гтах, <Утт - максимальное и минимальное значения риска (среднего квадратичного отклонения доходности), являющиеся значениями целевых функций в задачах 2.6-2.9 в точках экстремума (скобки -'''обозначают функцию, отбрасывающую дробную часть).
Для аппроксимации множества Парето П = (я}, I = 1, потребуется решение Qп задач однокритериальной оптимизации вида
n
Zximi ^ max
i=i
V
n n
ZZ cov(r . Rj )xixi =°q
i=1 i=1
с.= h. ■ k, km = 1
о m
о —о
max min
к
(7)
Ii
n n n
ZZ cov(R
, J ) i i Z ximi=mi
i=1 i=1
i =1
ml = hm • ko
k„ = 1.
о
m — m
max min
h
m
(8)
с ограничениями модели Марковица (1).
В дальнейшем удалим из полученного множества решения, не удовлетворяющие условиям доминирования по Парето. Учитывая "зонтичную" вогнутую форму множества Парето для исследуемой задачи, это бу-
дут такие портфели i, для которых
2
о
amin - ^TZi — (9)
m — m — m„
(10)
. TTi----max
mm
где - значение риска (дисперсии) в точке с максимальной доходностью,
- значение доходности в точке минимального риска (дисперсии).
Чем меньше будет шаг по двум веткам, тем точнее будет приближена искомая поверхность - сгущение сетки приводит к улучшению результата.
Для тестового портфеля, задаваясь шагом по доходности в 0.0001 и шагом по риску в 0.0001 и приняв хгтт = 0.05, х™ах = 0.3, получим множество Парето, изображенное на рис. 1
Метод дает достаточно плотное и равномерное приближение множества Парето разных форм и конфигураций в двухкритериальном случае (в случае его гладкости и непрерывности), позволяя его визуализировать, наглядно представив на плоскости "доходность-риск" совокупность не-улучшаемых решений.
Визуализация поверхности Парето для исследуемой задачи - не самый сложный этап в ее решении, поскольку, как показано выше, этот фронт является вогнутым, не имеет разрывов и резких колебаний, поэтому является «хорошим» для построения, которое можно провести простым методом сеток, указанным выше.
Рис.1. Приближение эффективного множества точками
В некоторых случаях математическое решение задачи многокритериальной оптимизации останавливается на этапе построения множества Парето, предоставляя дальнейший выбор лицу, принимающему решение (ЛПР) и не отвечая на вопрос, какой из эффективных портфелей выбрать в качестве окончательного решения. Мы пойдем дальше и решим задачу выбора портфеля из эффективного множества Парето методами оптимизации.
Методы однокритериальной и многокритериальной оптимизации [4] в конечном итоге предлагают в качестве решения единственный портфель, что зачастую может не устраивать инвестора по тем или иным соображениям. Взглянем на эту проблему под другим углом и найдем методам многокритериальной оптимизации менее однозначное в плане единственного решения применение.
Существуют также случаи, когда довольно проблематично назначить каждому критерию определенный весовой коэффициент, соответствующий его важности относительно остальных. Тогда стоит прибегнуть к свертке критериев, где весовые коэффициенты не отражают относительной важности критериев, но, изменяясь в определенных пределах, способствуют тем самым локализации точек во множестве Парето.
Например, мы можем это сделать с помощью метода приближения к идеальному решению на основе аддитивной свертки. Задавая коэффициенты важности критериев альфа (например, ( = 0.3 ,(2 = 0.7 и ( = 0.7, а2 = 0.3), можно определить граничные точки для интервала, наиболее
близко расположенному к идеальному решению. Значения ( и (2 можно выбрать так, чтобы получить нужную длину этой области или так, чтобы этот интервал был смещен в ту или иную сторону, учитывая предпочтения инвестора. Назовем их коэффициентами сужения границы Парето.
Формально метод выглядит следующим образом.
Этап 1. Аппроксимация множество Парето конечным числом точек
(Хж,p}i, p = 1,P , здесь P, P2, P3, P4,... - количество точек на соответствующем этапе.
Этап 2. Задание коэффициентов сужения Ym,i и уш2, 0 <ущ1 <ущ2 < 1. Они выбираются ЛПР и представляют собой минимальное и максимальное возможные значения весового коэффициента, оценивающего степень важности показателя доходности относительно критерия риска (полуковариации).
В соответствие с выбранными коэффициентами сужения решаются две задачи оптимизации с наиболее важными частными критериями для нахождения граничных точек сокращённого множества Парето:
n n n
Ym,iXm,x, -(1-rm,i)XXсоук(Д,R})xtxj ^max
i=i i=i j=i /2 ,
^ (11)
Уш,2 X mixi - (i-Гт,2)ХХ C0Vi/(R-, Rj )xixj ^ max
i=i i=i j=i /2
с ограничениями (3).
Если ХяЛ = (xi,i...xin) - решение первой задачи, Хж,2 = (x2i...x2n ) -
n n n n
m , =
решения второй, а
j n n n
Шж ,i = X xiimi Шж,2 = X x2imi <i = XXc0VV(R,, Rj ) xi,x
i=i ' i=i ' i=i i=i
п п
°1,2 = ,Щ)Х2,1Х2,}, то остаются только решения (Хя,р}2, р = 15р
для которых выполняются ограничения:
2 \ 2 \ 2
(12)
Применим методику сокращения множества Парето к тестовому портфелю. Сокращенное множество представлено на рис.2.
Проведем численный эксперимент и сравним доход от тестовых портфелей при начальном капитале в 2 000 000 руб. с периодом владения в 2 месяца), принадлежащих сокращенному множеству Парето (рис.3)
Расчет показал, что среднее значение доходности по портфелям из сокращенного множества Парето составил 24.5%, что на 4.7% больше, чем средняя доходность по всем портфелям (19.8%) и на 5.3% больше, чем средняя доходность по удаленным портфелям (19.2%).
Совершенствуем метод далее. Введем дополнительные характеристики ценных бумаг в модель.
Пусть с/ - средний относительный спред /-го актива, коэффициент издержек при продаже актива, отношение абсолютного спрэда (разницы между лучшими котировками на продажу и на покупку) к котировке на продажу [5].
Рис.2. Сокращение множества Парето по методике коэффициентов сужения
Рис.3 Сравнение средних доходностей портфелей
113
Введем понятие интегрального показателя ликвидности:
KUL = K^FF • KfT • KfD
Kl = ^K,FF • KUT • (A = Pi = A3) (13)
где K^pp - коэффициент free-float, показывающий долю единиц /-го актива, находящегося в обращении на рынке, KiT - средний относительный оборот /-го актива на рынке, KiD - средняя доля торговых дней по /-му
активу, A, Pi, A3 - веса, с которыми показатели входят в интегральный критерий.
Дальнейшие этапы методики сокращения множества Парето: Этап 3. Рассмотрение остальных критериев по мере уменьшения степени их важности. Для каждого решения из {X^, p }2 вычисляется значе-
n
ние дополнительного критерия сп = Z cixi (16), оставляя только те реше-
ния, для которых меньше среднего значения по всем {X^,p }2, p = l5 P.
c,< M.{cx,p }, p =1 Pi]. (14)
Множество решений, оставшееся после третьего этапа: {Xn,p }3,
P = P2 .
Этап 4. Вычисление для каждого решения из р}3 значения доп
полнительного критерия KпL KiLxi, где ^^ - интегральный показатель
г=1
ликвидности (18). Остаются только те решения, для которых KЖ,L превышает среднее значение по всем ^п,p }з, p = 1, P3.
^ > М^},p = й|]. (15)
Оставшееся множество {X }4, p = 15 p будет являться окончательным результатом процедуры сокращения. В общем случае, итерации сокращения по предложенной схеме можно продолжать и далее, если число частных критериев оптимальности больше, чем в исследуемой задаче, пока их количество не будет исчерпано или не будет найдено приемлемое сокращение множества Парето.
Результат применения методики изображен на рис.4 Предположенная методика позволяет учесть больше факторов по сравнению с классической моделью, выдавая в качестве решения не единственное, а сразу несколько возможных вариантов, предоставляя дальнейший выбор лицу, принимающему решение, значительно облегчая выбор.
Этап 1 Этап 2 ЭтапЗ Этап 4
Рис.5 Поэтапное сокращение множества Парето
Результаты численных экспериментов показали, что в среднем, портфели из сокращенного множества Парето более эффективны по сравнению с отброшенными на 5-10%.
Список литературы
1. Markowitz H. М. Portfolio selection // Journal of Finance. 1952. Vol. 7. pp. 77-91.
2. Кочетыгов А.А. Финансовая и актуарная математика: Учеб. пособие. Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. 340 с.
3. Кочетыгов А.А., Федосеев А.А.. Моделирование портфельных инвестиций: монография. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. 268 с.
4. Лотов А.В., Поспелова И.И. Многокритериальные задачи принятия решений: учеб. пособие. М.: МАКС Пресс, 2008. 197 с.
5. Оценка ликвидности ценных бумаг и портфелей. [Электронный ресурс] // Журнал "Рынок ценных бумаг": [сайт]. URL: http://www.old.rcb.ru/Archive/articles.asp?id=3903 (дата обращения: 01.10.2014).
6. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. ИНВЕСТИЦИИ: Пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 2001. XII, 1028 с.
Федосеев Андрей Андреевич, соискатель, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Кочетыгов Александр Алексеевич, канд. техн. наук, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
THE OPTIMIZATION OF SECURITIES PORTFOLIO WITH MODIFICA TED MARKOWITZ' MODEL USING METHOD OF REDUCTION OF PARETO EFFICIENT
FRONTIER
A.A. Fedoseev, A.A.Kochetygov 115
We consider the Markowitz model, modified by additional criteria and The grid method of Pareto efficient frontier approximation. The method of stepwise reduction of Pare-to efficient frontier is proposed. The integral indicator of security liquidity is offered. The calculation for test portfolio has been demonstrated.
Key words: securities portfolio, Markowitz' model, liquidity, Pareto efficient frontier, optimization.
Fedoseev Andrey Andreevich, competitor, andrey fedoseev [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Kochetygov Alexander, candidate of technical science, [email protected], Russia, Tula, Tula State University
УДК 311.2-047.44:314.72(470.312)"199/200"
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МИГРАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
В ТУЛЬСКОЙ ОБЛАСТИ НА РУБЕЖЕ ХХ-ХХ1 ВЕКОВ
В.В. Нехаев
Проведено исследование миграционных процессов Тульской области за период 1980-2015 годы. Проанализированы статистические данные международной и межрегиональной миграции населения, возрастно-половой структуры миграционных процессов, определены уровни образования и занятости трудовых мигрантов. Оценка миграционных процессов взаимоувязана с особенностями демографической ситуации в регионе.
Ключевые слова: демография, миграционные процессы, международная и межрегиональная миграция, сальдо обмена, уровень образования, трудоспособные мигранты, прогноз ситуации.
На протяжении всей истории человечества происходило изменение численности населения, основными факторами которого являются процессы воспроизводства и миграции населения. Изменение численности населения в отдельных государствах, регионах зависит от множества условий. Общим условием увеличения численности населения считается благоприятная социально-экономическая ситуация. Однако на определенном этапе развития повышение уровня жизни приводит к снижению рождаемости и ведет не только к стабилизации численности населения, но и к его снижению. В последнее время отмечается увеличение населения развивающихся стран в противовес сокращению темпов роста населения в развитых странах, где часто наблюдается даже естественная убыль населения.
Состояние и динамика демографической ситуации, воспроизводства населения оцениваются как по уровню естественного прироста, а также по значению миграционной компоненты.
