Решение трехкритериальной и четырехкритериальной моделей Марковица Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 197-207 Прикладная математика и информатика УДК 330.42:519.816

Решение трехкритериальной и четырехкритериальной моделей Марковица

А. А. Федосеев

Аннотация. Рассмотрена модель Марковица, модифицированная добавлением одного и двух дополнительных критериев, продемонстрировано ее применение на практике, рассмотрено несколько различных методов построения общего критерия.

Ключевые слова: модель Марковица, портфель ценных бумаг, ликвидность, многокритериальная оптимизация.

Теория оптимального портфеля ценных бумаг опирается на классические инвестиционные модели, в частности, на модель Марковица. В этой стандартной модели допустимыми являются только стандартные портфели без коротких позиций, т.е. имеют место следующие ограничения [1]

n

У^Жг = 1; xi ^ 0; i = 1,n.

i=l

Требуется найти такой портфель ценных бумаг (вектор весов активов жп = (xi, X2,..., xn)), который бы максимизировал доходность и минимизировал риск. В общей математической формулировке задача выглядит следующим образом [1]:

n

У^ ximi ^ max,

i=i

nn

X/ X/ соу№, Rj)xiXj ^ min,

i=i j=i

n

y~]xi = 1, xi ^ 0; i = 1,n.

i=i

Модель Марковица часто критикуется из-за своих недостатков, некоторые из которых связаны с допущениями, принятыми при построении, которые упрощают модель и отдаляют ее от реальности. К ним относятся,

в том числе, отсутствие учета ликвидности ценных бумаг и использование дисперсии в качестве меры риска [4].

Марковиц понимал этот недостаток вариации и предлагал меру риска, которая учитывала лишь случаи снижения доходности по отношению к среднему значению. Эту меру называют полувариацией (полудисперсией). Полувариация рассчитывается как обычная вариация кроме тех случаев, когда доходность выше ожидаемой доходности. Однако сложности вычисления, связанные с использованием полувариации, привели к тому, что в своих работах Марковиц был вынужден ограничиться обычной вариацией [5].

Используя определение полувариации, при расчетах меры риска отклонение в положительную сторону будем считать нулем. Этот параметр также можно применять при расчетах, ведь он, в отличие от классической дисперсии, учитывает только невыгодные изменения в стоимости ценных бумаг.

Ликвидность — это возможность в любой момент купить или продать достаточно большое количество бумаг без существенных потерь в цене. Чем ближе реальные цены покупки и продажи, тем выше ликвидность [1]. Общепризнанного коэффициента для измерения ликвидности не существует.

Ликвидность можно оценивать как величину транзакционных издержек при продаже портфеля, то есть учитывать потери если приобрести актив по минимальной цене продажи и сразу же продать его по максимальной цене покупки. Этот процесс наилучшим образом оценивает относительный спрэд — отнесение абсолютного спрэда к котировке на продажу, поскольку является безразмерной величиной [3]. За величину средней ликвидности портфеля будем принимать среднюю ликвидность всех бумаг, входящих в его состав, взвешенную по их долям.

На ликвидность также оказывает влияние оборот акций на рынке, то есть общая стоимость активов, покупаемых и продаваемых на рынке за день торгов. Не учитывать это показатель при расчете оптимального портфеля было бы нерационально. Величиной, характеризующей оборот бумаги в портфеле будем считать отношение среднего ее оборота за день к общему среднему обороту на рынке торгов, а за величину, характеризующую оборот всего портфеля будем принимать средний оборот всех бумаг, входящих в его состав, взвешенный по их долям.

Получаем два критерия, которые дополняют модель Марковица:

где вг — относительный спрэд г-ого актива, и — средний оборот г-ого актива.

п

У^ вгхг ^ шш,

г=1

п

г=1

Рассмотрим портфель ценных бумаг, состоящий из акций десяти крупных российских компаний: «Аэрофлот» ЛРЬТ (1), «Татнефть» ТЛТМ (2), «ВТБ» УТБИ (3), «Газпром» GAZP (4), «Норильский никель» ОМКМ (5), «Лукойл» ЬКОИ (6), «Мосэнерго» МЯШ (7), «Роснефть» БОЯМ (8), «РусГидро» ИУ-ЭИ (9), «Сбербанк» ЯБЕИ (10). Имеем информацию о ценах акций на момент закрытия торгов, дивидендную доходность, цены покупки и продажи, объем торгов за период с начала 2013 года по август 2014 года.

После обработки имеем следующие данные (рис. 1) (расчеты основаны на параметрической модели рынка ценных бумаг с учетом дивидендных выплат):

Рис. 1. Схематическое представление характеристик активов в портфеле

На оптимизацию можно накладывать различные дополнительные условия, основанные на экспертных оценках, например, ограничений сверху и снизу долей вхождения ценных бумаг в портфель. Для сохранения эффекта диверсификации введем ограничения для доли каждой ценной бумаги, входящей в состав портфеля:

хг ^ 0.05; г = 1, п.

В итоге получаем следующую задачу:

п

ХгШг ^ тах,

г=1

пп

ССУ1 (Я, Я )хгХj ^ т1п,

г=1 j=1 /2

n

У^ cixi ^ min,

i= 1

n

У^ tixi ^ max,

i= 1

n

y^xi = 1; xi ^ 0.05; i = 1,n.

i=1

В качестве эксперимента решим вначале трехкритериальную задачу (без критерия оборота), затем четырехкритериальную задачу. Решение будем проводить с помощью математического пакета Maple, используя метод ветвей и границ для нелинейного программирования.

Для решения поставленных трех и четырехкритериальной задач применим методы свертки, основанные на построении обобщенного критерия из нескольких частных. Они просты в реализации и более быстрые в вычислении по сравнению с остальными.

Рассмотрим применение нескольких наиболее часто используемых методов построения единого критерия применительно к задаче оптимизации портфеля ценных бумаг, основанной на модифицированной модели Марковица.

Методы свертки, как правило, связаны с введением дополнительного вектора весовых коэффициентов, а = (ai,..., ak) который самостоятельно определяет ЛПР в соответствии со своими предпочтениями об относительной важности критериев [2].

Такое ее выражение, понятное и удобное инвестору, в доступной форме позволяет ему, не вдаваясь в математический аппарат, выбрать нужную точку на границе Парето, всего лишь определившись с вектором параметров а. Весовые коэффициенты должны удовлетворять требованию

т.е. предполагается, что они неотрицательны [2]. Поскольку данное исследование не имеет целью показать влияние изменения весовых коэффициентов на решение, то будем считать, что

где К — количество частных критериев оптимальности.

Некоторые методы свертки перед использованием требуют предварительной нормализации (сведением к безразмерной величине), поскольку получающаяся без этой процедуры единая целевая функция оказывается лишенной физического смысла, так как частные критерии зачастую

к

k= 1

измеряются в разных единицах. Кроме того, их масштабы оказываются несоизмеримыми [2]. В качестве метода нормализации выбирается

следующий: ._fmin , где /k"ax — максимальное значение по k-му критерию ^ k J к

(соответственно min — минимальное), в знаменателе стоит разница между наилучшим и наихудшим значениями, / — идеальное значение по критерию (в зависимости от требований его максимизации или минимизации оно может принимать значение либо /™ax, либо /™1П). Этот метод позволяет вычислять значение критерия в шкале от минимального до максимального его величин как разность между найденным значением и идеальным. Его можно трактовать как безразмерный параметр, определяющий величину отклонения полученного значения по k-му критерию (без учета остальных) от оптимального относительно разницы между максимальным и минимальным его значением. Другими словами, это числовое значение одной из целевых функций, выраженное в шкале от нуля до одного, где ноль соответствует наилучшему возможному результату, единица — наихудшему. Простая линейная свертка выглядит следующим образом:

K

У^ак /к ^ max, к=1

а применительно к нашей задаче:

n n n n n

ai ximi — а2 ^ ^ covi (Ri, Rj)xixj + аз ^ tiXi — а4 ^ CiXi ^ max

i=i i=i j=i Z2 i=i i=i

и

n n n n

ai ximi — а2 ^ ^ cov^ (Ri, Rj)xixj — аз ^ cixi ^ max.

г=1 г=1 ^=1 /2 г=1

Результаты ее применения к портфелю-примеру, указанному выше, приведены в табл. 1-3.

Таблица 1

Результаты оптимизации по методу линейной свертки для трехкритериальной задачи

AFLT 0.05

TATN 0.05

VTBR 0.05

GAZP 0.05

GMKN 0.05

LKOH 0.05

MSNG 0.05

ROSN 0.05

HYDR 0.05

SBER 0.55

Таблица 2

Результаты оптимизации по методу линейной свертки для четырехкритериальной задачи

AFLT 0.05

TATN 0.05

VTBR 0.05

GAZP 0.05

GMKN 0.05

LKOH 0.05

MSNG 0.05

ROSN 0.05

HYDR 0.55

SBER 0.05

Таблица 3

Результаты оптимизации по методу линейной свертки

Значение Нормализованное значение

Трехкритериальная задача.

Риск 0.0092 0.256

Доходность 0.00023 0.282

Издержки 0.080 0.324

Четырехкритериальная задача.

Риск 0.0069 0.442

Доходность 0.00014 0.070

Издержки 0.061 0.247

Оборот 0.032 0.838

Запишем свертку мультипликативного вида:

к

/afc ^ max,

k=l

а применительно к нашей задаче:

а1 / n П \ / n \ / n \

^ximi ^ ^covl, (Ri, RjЛ ^ijXi ^ CiXi 4i=1 J \i=1 j=1 /2 / \i=1 / \i=1 J

(n \а1 f n n \ -«W n \ a3

^°°v1/2(Ri'Rj^ max•

Результаты применения к портфелю-примеру, указанному выше, приведены в табл. 4-6.

Таблица 4

Результаты оптимизации по методу мультипликативной свертки для трехкритериальной задачи

n

и

AFLT 0.05

TATN 0.05

VTBR 0.05

GAZP 0.05

GMKN 0.05

LKOH 0.05

MSNG 0.3

ROSN 0.3

HYDR 0.05

SBER 0.05

Таблица 5

Результаты оптимизации по методу мультипликативной свертки для четырехкритериальной задачи

AFLT 0.05

TATN 0.05

VTBR 0.05

GAZP 0.05

GMKN 0.05

LKOH 0.05

MSNG 0.05

ROSN 0.05

HYDR 0.55

SBER 0.05

Таблица 6

Результаты оптимизации по методу мультипликативной свертки

Значение Нормализованное значение

Трехкритериальная задача.

Риск 0.011 0.133

Доходность 0.00016 0.107

Издержки 0.138 0.558

Четырехкритериальная задача.

Риск 0.0069 0.442

Доходность 0.00014 0.070

Издержки 0.061 0.247

Оборот 0.032 0.838

Метод, основанный на приближении идеальному решению с нормализацией критериев минимизирует отклонения от оптимальных значений (абсолютные отклонения) в уже нормализованном виде (процедура нормализации заложена в единый критерий), а дополнительное введение весовых коэффициентов позволит ей сочетать достоинства аддитивного метода и метода приближения к идеальной точке (см. табл. 7-9). По сути это разновидность метода аддитивной свертки, только с предварительной нормализацией:

K ( 1Я - fk I А .

> ak -k-— ^ mm .

/ j k \ fmax _ fmin /

k=1 \Jk J k '

Таблица 7

Результаты оптимизации по методу приближения к идеальному решению для трехкритериальной задачи

AFLT 0.10

TATN 0.10

VTBR 0.10

GAZP 0.10

GMKN 0.10

LKOH 0.10

MSNG 0.10

ROSN 0.10

HYDR 0.10

SBER 0.10

Таблица 8

Результаты оптимизации по методу приближения к идеальному решению для четырехкритериальной задачи

ЛЕШ1 0.10

ТЛТМ 0.10

УТБИ 0.10

GЛZP 0.10

смкм 0.10

ькои 0.10

МБШ 0.10

ИОБМ 0.10

ИУБИ 0.10

ББЕИ 0.10

Таблица 9

Результаты оптимизации по методу приближения к идеальному решению

Значение Нормализованное значение

Трехкритериальная задача.

Риск 0.0093 0.254

Доходность 0.00016 0.111

Издержки 0.108 0.438

Четырехкритериальная задача.

Риск 0.0093 0.254

Доходность 0.00016 0.111

Издержки 0.108 0.438

Оборот 0.056 0.72

Метод, основанный на приближении идеальному решению на основе понятия евклидовой нормы (см. табл. 10-12):

К (¡к \2 к=1 ч/к /

Таблица 10

Результаты оптимизации по методу приближения к идеальному решению на основе евклидовой нормы для трехкритериальной задачи

ЛЕЬТ 0.05

ТЛТМ 0.05

УТБИ 0.05

GAZP 0.05

ом^ 0.05

ькои 0.05

МБШ 0.05

ИОБК 0.05

ИУБИ 0.05

ВБЕЙ 0.55

Таблица 11

Результаты оптимизации по методу приближения к идеальному решению на основе евклидовой нормы для четырехкритериальной задачи

ЛЕШ1 0.05

ХЛХМ 0.05

УТБИ 0.05

GAZP 0.05

смкм 0.05

ькои 0.05

MSNG 0.05

ИОБМ 0.55

ИУБИ 0.05

SБER 0.05

Таблица 12

Результаты оптимизации по методу приближения к идеальному решению на основе евклидовой нормы

Значение Нормализованное значение

Трехкритериальная задача.

Риск 0.0092 0.256

Доходность 0.00023 0.282

Издержки 0.080 0.324

Четырехкритериальная задача.

Риск 0.011 0.127

Доходность 0.00014 0.066

Издержки 0.0986 0.399

Оборот 0.0445 0.777

Как показывают результаты вычислений, введение дополнительных критериев более точно передает реалии задачи, избавляет классическую модель Марковица от нескольких ее недостатков, вводит в модель дополнительную информацию, точнее учитывает мнение инвестора.

Список литературы

1. Кочетыгов А.А. Финансовая и актуарная математика: учебное пособие. Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. 340 с.

2. Машунин Ю.К. Методы и модели векторной оптимизации. М.: Наука, 1986. 144 с.

3. Оценка ликвидности ценных бумаг и портфелей. [Электронный ресурс] // Журнал «Рынок ценных бумаг»: [сайт]. URL: http://www.old.rcb.ru/Archive/ articles.asp?id=3903 (дата обращения: 01.10.2014).

4. Федосеев А.А. Возможные пути модернизации модели Марковица // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Региональной научной студенческой конф. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 242-244.

5. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 2001. XII. 1028 с.

Федосеев Андрей Андреевич (andrey_fedoseev_tula@mail.ru), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

The solution of the three-criteria and four-criteria Markowitz'

models

A. A. Fedoseev

Abstract. We consider the Markowitz model, modified by the addition of one or two additional criteria, demonstrated its application in practice. Several different methods of construction of the general criterion are considered.

Keywords: Markowitz' model, securities portfolio, liquidity, multicriteria optimization.

Fedoseev Audrey (andrey_fedoseev_tula@mail.ru), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 05.08.2014