KS-метод обнаружения структурного сдвига в GARCH(1,1) моделях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная эконометрика, 2019, т. 54, с. 90-104. Applied Econometrics, 2019, v. 54, pp. 90-104. DOI: 10.24411/1993-7601-2019-10005

Д. А. Борзых, А. А. Языков1

KS-метод обнаружения структурного сдвига в GARCH(1,1) моделях

В работе предложен новый метод обнаружения одного структурного сдвига в GARCH(1,1) модели, основанный на статистике Колмогорова-Смирнова. Хорошие свойства предлагаемого метода подкрепляются численными экспериментами. Метод сопоставляется с тремя широко известными CUSUM-методами обнаружения структурных сдвигов в GARCH моделях: KL (Kokoszka, Leipus, 1999), IT (Inclán, Tiao, 1994) и LTM (Lee et al., 2004). Для генерации GARCH процессов использовались временные ряды доходностей 26российских ценных бумаг. На основе проведенных экспериментов показано, что предлагаемый метод обладает высокой конкурентоспособностью и занимает в некотором смысле «компромиссное» положение между KL-методом, имеющим высокие мощность и вероятность ошибки первого рода, и IT- и LTM-методами, мощность и вероятности ошибок первого рода которых низки. ключевые слова: GARCH; волатильность; структурные сдвиги; CUSUM. JEL classification: C32; C58; C63.

1. введение

Под волатильностью цены финансового инструмента обычно понимают некоторую меру изменчивости цены этого финансового инструмента. Волатильность является одним из основных показателей, характеризующих риск финансового инструмента. Точная оценка волатильности финансового инструмента — важная прикладная задача, поскольку неправильный расчет и прогноз волатильности приводит к неадекватному восприятию риска агентами, принимающими решения, и зачастую является причиной существенных убытков, которые эти агенты несут. В данной работе волатильность моделируется с помощью широко известной модели временных рядов — GARCH модели.

При практическом применении моделей временных рядов исследователи часто сталкиваются с проблемой, называемой структурными сдвигами или разладками случайного процесса. Как известно, игнорирование структурных сдвигов при оценивании модели приводит к некорректным результатам и ошибочным прогнозам. В этом отношении модели для волатильности не являются исключением.

1 Борзых Дмитрий Александрович — Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Москва; [email protected].

Языков Артем Анатольевич — Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»; Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН; Московский физико-технический институт; [email protected].

В настоящей работе рассматривается задача обнаружения одного структурного сдви- |

га для кусочно-заданной GARCH(1,1) модели, которая описывается следующим образом. 3

Пусть тё{1, ..., T} — возможный момент структурного сдвига временного ряда Y = (Yt)Tt=l, ^ который разделяет временной ряд Y на два однородных сегмента. Будем предполагать, что

у-й фрагмент временного ряда описывается системой уравнений jjj

а

Y = e, e = s£, s2 = wy s2-i +gуe2-i, -;*у -lL (1) £

где j = 1,2, 10 := 1, t1 := t, 12 := T +1, 9 у := (w, d, gy) — неизвестные параметры модели, et принадлежащие множеству допустимых значений

0 = {(w, d, g): w > 0, d>0, g>0, d + g<l} , a0, ^o, £, •••, It —

независимые случайные величины, причем ст0 — неотрицательная случайная величина с E[&2] = w1j(l-d1 -g1), £0, , ..., £T — стандартные нормальные случайные величины и e0 =S 0 £o.

Некоторые подходы к решению этой задачи можно найти, например, в (Davis et al., 2008; Fukuda, 2010; Kim et al., 2000; Kokoszka, Leipus, 1999, 2000; Lee et al., 2004; Inclan, Tiao, 1994; Ombao et al., 2002; Ross, 2013). Подробный обзор многих методов обнаружения структурных сдвигов для кусочно-заданных GARCH моделей содержится в диссертации (Badagian, 2013, Ch. 3, 87-105).

В данной работе предложен новый метод обнаружения момента структурного сдвига в GARCH(l,l) модели, основанный на статистике Колмогорова-Смирнова. Для удобства дальнейших ссылок данный метод будем обозначать KS. Хорошие свойства предлагаемого метода подкрепляются численными экспериментами по методу Монте-Карло. Метод сопоставляется с тремя хорошо известными CUSUM-методами обнаружения структурных сдвигов в GARCH моделях: (Kokoszka, Leipus, 1999), (Inclan, Tiao, 1994) и (Lee et al., 2004), которые далее будут обозначаться KL, IT и LTM соответственно.

Работа состоит из пяти разделов. Первый раздел — введение. Для большей замкнутости изложения и удобства читателей второй раздел статьи содержит краткое описание KL-, IT- и LTM-методов. В третьем разделе изложен предлагаемый KS-алгоритм. В четвертом разделе симулируются приближенные к реальности ситуации возникновения структурных сдвигов в GARCH моделях. Для этого при генерации GARCH процессов используются параметры GARCH моделей, которые были оценены по временным рядам доходностей 26 российских ценных бумаг. Была проведена серия из четырех численных экспериментов, каждый из которых состоял из 26 расчетов, а каждый расчет — из 5000 симуляций. С помощью этих экспериментов в работе проведено разностороннее сопоставление рассматриваемых в работе методов обнаружения структурных сдвигов. В заключении сформулированы основные выводы работы.

2. Описание KL-, IT- и LTM-методов

Данный раздел посвящен краткому описанию KL-, IT- и LTM-методов обнаружения структурных сдвигов, предложенных в работах (Kokoszka, Leipus, 1999), (Inclán, Tiao, 1994) и (Lee et al., 2004).

Пусть кусочно-заданный GARCH(1,1) процесс (У{ )т1=1 допускает один структурный сдвиг в момент времени т£{1,..., Т} и описывается системой уравнений (1). KL-меmод. Рассмотрим статистику

KL(k):=-LilY2 -TÏY<2), k G T>•

л/T ' T £ Пусть r = r (T), T G N — строго возрастающая функция такая, что

lim r(T) = ю и lim r (T)/T = 0.

Обозначим (vrT)2 := 2 w]Cj, где w] =1 — | j |/(r +1), r G N ,

=t — 2« "(Ys —Y2 л— Y2 ).

и

В статье (Kokoszka, Leipus, 1999) момент, подозрительный на структурный сдвиг, определяется по формуле

^ KL

= min\k : | KL(k)|= max | KL(j)|i.

[ je{l, -, T > J

Из теоремы 2.2 в (Kokoszka, Leipus, 1999) следует, что в случае отсутствия структурного сдвига при T^ оо имеет место сходимость по распределению

|KL(*kJ| rf . |„0, ч| —;- -* sup B (u) ,

vr T 0<u<1

где B0 (u), u £ [0; 1] — процесс броуновского моста.

Критерий наличия структурного сдвига: если |KL(tKL )|/vr T > qp, то момент tKL считается моментом структурного сдвига на уровне значимости 1 -р, где q095 =1.358 и q099 =1.628 — значения квантилей уровней 0.95 и 0.99 для супремума модуля броуновского моста sup B0 (u)| .

0<u<1

В расчетах из раздела 4 в качестве функции r = r (T) взята функция r = J, где ["J означает операцию округления вниз.

IT-метод. Рассмотрим статистику

/ ^ 1 £ t k IT(k ):=^t=-X7 - J, k £ {1,..., T},

где £ t =e J cc t — стандартизованные остатки GARCH(1,1) процесса.

В статье (1пс1ап, ^ао, 1994) момент, подозрительный на структурный сдвиг, определяется по формуле 3

LTM(k ):=- 1

V * |2 - k_ yT |2

T ■

, k G {1, ..., T}.

f

где f2 := 1 j— 11 i) ' a величины \t = et/St, как и выше, означают стандартизованные остатки GARCH(1,1) процесса.

В статье (Lee et al., 2004) момент, подозрительный на структурный сдвиг, определяется по формуле

:= min jk : LTM(k) = max^ LTM( j) J .

:= min jk : | IT(k) | = max.} | IT( j) | J. ï

Из теоремы 1 в (1пс1ап, Tiao, 1994) следует, что в случае отсутствия структурного сдвига

п &

LO «ï

при T ^го имеет место сходимость по распределению et

T2|IT(tit )| —sup \b0(u)|.

0<u<1

Критерий наличия структурного сдвига: если yjT/2 |IT(tit)| > q , то момент tit считается моментом структурного сдвига на уровне значимости l — p, где точки q0 95 и q099 определяются так же, как и в описании KL-метода. LTM-метод. Рассмотрим статистику

Из теоремы 2 в (Lee et al., 2004) следует, что в случае отсутствия структурного сдвига при T ^^ имеет место сходимость по распределению

LTM(tltm) ——^ sup \B0(u)| .

0<u<1

Критерий наличия структурного сдвига: если LTM(ttltm) > q , то момент tLTM считается моментом структурного сдвига на уровне значимости 1 — p, где точки q0 95 и q099 те же, что и выше.

3. ^-алгоритм

Отметим сразу, что предлагаемый KS-метод является исключительно эвристическим и не имеет под собой строгого математического обоснования. Дело в том, что в ситуации с GARCH процессами наблюдения не являются независимыми, как того требует теорема Колмогорова-Смирнова. Поэтому тест Колмогорова-Смирнова, строго говоря, в данном случае неприменим.

Несмотря на это, численные эксперименты из раздела 4 показывают, что KS-метод обладает хорошими статистическими свойствами — достаточно низкими вероятностями ошибок первого рода и высокими мощностями обнаружения структурных сдвигов в GARCH(1,1) моделях.

Итак, пусть Fy (x) и FZ (x) — выборочные функции распределения, построенные по выборкам Y и Z соответственно, а dist(Y, Z) := sup\Fy (x) — FZ (x) — расстояние между эти-

xeR

ми функциями распределения. Введем обозначение Y[s; t] := [Ys,..., Yt], где Y = [Y, • • •, YT ] и 1< s < t < T.

Зафиксируем два параметра метода — D1, А2 e N , смысл которых в KS-методе будет пояснен в конце данного раздела.

Сначала объясним идею предлагаемого метода. Зафиксируем произвольный момент времени к e [А1; T — А1 ] и рассмотрим две подвыборки Y [1; к — 1 ] и Y \к; T ], которые располагаются во времени «левее» и «правее» момента к соответственно (см. рис. 1).

1 к Т

'-v-м-v-'

7 [1; к-1] 7 [к; Т ]

Рис. 1. Разбиение исходной выборки на две части

Точкой [ к/ 2 ] разобьем «левую» выборку У [1; к — 1] на две подвыборки примерно одинакового объема: У [1; |_к/2_|] и У [[к/2] +1; к — 1 ] . Вычислим расстояние между выборочными функциями распределения этих подвыборок:

(к) = ^ (У [1; [ к/ 2 ]] , У [| к/ 2] + 1; к — 1 ] ).

Аналогично, точкой |(к + Т)/2] разобьем «правую» выборку У [к; Т] на две подвыборки примерно одинакового объема: У[к;[ (к + Т)/2 ]] и У[[ (к + Т)/2 ] + 1; Т]. Вычислим расстояние между выборочными функциями распределения этих подвыборок:

(к) = ^ (У [ к; | (к + Т )/2 ] ] , У [| (к +Т )/2] + 1; Т ] ).

Описанная выше ситуация проиллюстрирована на рис. 2.

LU k L^J T

7[l; L2J] 7[L2>1; *-l] 7[k; [J] 7[[J+l; T]

Рис. 2. Разбиение исходной выборки на четыре части

1

Заметим, что момент времени к совпадает с истинным моментом структурного сдвига тогда и только тогда, когда одновременно выборки г[1; |к/2| ] , г[|_к/2] + 1; к — 1 ] являются гомогенными, и выборки Y[ к; | (к + Т )/2 _|], Г[|_ (к + Т)/21 +1; Т | также являются гомогенными (см. рис. 3).

Т ^ структурный сдвиг

L 2 J

L *+T J

4-

T

L1;L 2 JJ Y 1 ! J+1;*-1J Y L* ; L *+T JJ Y ]_ J+i; t T

гомогенные выборки гомогенные выборки

Рис. 3. Ситуация, когда к совпадает с моментом структурного сдвига %

Точка минимума %кз функции Э(к) := Э^к) + Эа(к) при к £[А1; Т — А1 ] объявляется моментом, подозрительным на структурный сдвиг. Данный момент подвергается проверке на наличие структурного сдвига с помощью теста Колмогорова-Смирнова (см. подробности далее).

Перейдем к формальному описанию алгоритма.

Шаг 1 (обнаружение). Находим момент времени %кз, подозрительный на структурный сдвиг, по формуле %кз £ А^тт Э(к).

ке[ Д1; Т—Д1 ]

Шаг 2 (валидация). На заданном уровне значимости выполняем тест Колмогорова-Смирнова по выборкам Y[l;%^ и Г[%а;Т], где %L =тах{%кз — Д2, А1} и %к =min{%кз +Д2, Т — А1} (см. рис. 4). Если в данном тесте гипотеза об однородности выборок отвергается, то точку % кз считаем структурным сдвигом. В противном случае в точке % кз структурного сдвига нет.

+

+

KS

T

о §

2 ¿S «Ï

«Ï

g"

л

«

ft LO

«Ï

Ct

Y] Y[fR; T]

Рис. 4. Валидация KS-оценки t KS

Теперь поясним роли, которые играют в KS-методе параметры Aj и Д2. Параметр Aj выбирается так, чтобы при каждом k Е [Aj; T -Aj ] была возможность разбить исходную выборку на четыре части Y[1;[k/2j], Y[|_k/2j + 1; k — 1], Y[k;[ (k + T)/2J]

и Y[L (k + T )/2 J +1; T] (см. рис. 2). В расчетах ниже выбиралось Aj = 4.

Роль параметра A2. Отметим, что на шаге валидации тест Колмогорова-Смирнова применяется не к выборкам Y[l; t KS — 1 ] и Y[t KS; T ], а к выборкам Y[l; t L ] и Y[tR; T ] (см. рис. 4). Смысл отбрасывания части наблюдений Y[tL +1; tR — l], окружающих оценку момента структурного сдвига tKS, состоит в следующем. В той частой ситуации, когда оценка t KS не совпадает с истинным моментом структурного сдвига t, желательно избежать

к

1

применения теста Колмогорова-Смирнова к выборкам У[1; т кз — 1 ] и У[т кз; Т], одна из которых заведомо содержит структурный сдвиг т. Экспериментальным путем было установлено, что увеличение параметра Д2 снижает вероятность ошибки первого рода, но при этом в некоторой степени снижает и мощность теста. Поэтому параметр Д2 следует выбирать не слишком большим, но и не слишком маленьким. В расчетах из раздела 4 было использовано значение параметра Д2 = 400.

4. численные эксперименты

Данный раздел посвящен описанию проведенных экспериментов, в которых структурные сдвиги волатильности моделировались с помощью кусочно-заданных GARCH(1,1) моделей. Для того чтобы условия экспериментов были в достаточной степени приближены к реальным условиям, были отобраны N = 26 наиболее ликвидных ценных бумаг (см. Приложение, табл. П12), торгуемых на Московской бирже и отвечающих некоторым техническим условиям, о которых будет сказано далее. Данные были взяты с сайта компании «ФИНАМ» (https://www.finam.ru) за период времени с 1 января 2011 г. по 31 декабря 2013 г. Этот временной период был выбран в силу его гомогенности — кризис 2008 г. уже закончился, а кризис 2014 г. еще не успел начаться. Цены отобранных бумаг были преобразованы в логарифмические доходности. По этим данным с помощью GARCH(1,1) модели для каждой ценной бумаги был оценен вектор параметров в = (ю, б, у). Таким образом, было получено 26 векторов параметров в(3) = (ю(3), б(3), у(3)), 3 = 1,..., N, каждый из которых соответствует одной из ценных бумаг (см. табл. П2)3. Все расчеты выполнялись на уровне значимости 1%. Параметры К8-метода были выбраны следующими: Д1 = 4, Д2 = 400.

Численный эксперимент 1. Случай отсутствия структурного сдвига. Расчет вероятностей ошибок первого рода.

• Для каждой ценной бумаги и вектора параметров в = (ю, б, у) из табл. П2 согласно модели (1) при условии отсутствия структурного сдвига (ю1 = ю2 = ю, б1 = б2 = б, у1 = у 2 = у) для Т = 2000 была выполнена серия из = 5000 генераций случайного процесса (У/3 ))[=1.

• С использованием результатов данных симуляций рассчитаны эмпирические вероятности ошибок первого рода а3 , аКь , а3 и ОГм как доли случаев, в которых К8-, КЬ-, 1Т- и ЬТМ-методы ошибочно указывали на наличие структурного сдвига. Результаты приведены в табл. П2.

• На основе величин а3 , аКЬ , а3 и аЬТм были вычислены средние вероятности ошибок первого рода К8-, КЬ-, 1Т- и ЬТМ-методов:

1 N 1 N 1 N _ 1 -Д,.

аКЗ = N 2аК^, аКЬ = N 2аКЬ, а1т = N аЬТМ = N ¿аЬТм .

3=1 3=1 3=1 3"1

• Результаты расчетов приведены в табл. 1.

2 Таблицы, номера которых начинаются с «П», размещены в Приложении.

3 Индекс ценной бумаги (3) иногда будем опускать.

APPLiED ECONOMETRICS / ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА_| 2019, 54

Таблица 1. Средние вероятности ошибки первого рода

0.049 0.074 0.003 0.003

1 "Д - 1 1 N л N

= —ywKS\ wkl =—У w™, w =—yW(J), W =—ywU).

KS N ¿J K KL N it N Aj it ltm n ZJ ltm

Nj-f KS KL Njf KL it nAj' it LTM N —

Результаты расчетов приведены в табл. 2. Таблица 2. Средние мощности при разных типах скачков

Тип скачка Wks Wkl W it W "ltm

Эксперимент 2 — увеличение ш в 5 раз 0.992 0.972 0.295 0.223

Эксперимент 3 — уменьшение б на 0.1 0.838 0.870 0.417 0.383

Эксперимент 4 — уменьшение у на 0.04 0.622 0.745 0.275 0.246

О §

2 S «Ï «Ï

Ss

Численные эксперименты 2-4. Три типа структурных сдвигов. Расчет мощностей ме- ^

тодов. В каждом из экспериментов моделировался структурный сдвиг в одном из трех параметров модели (1). с*

• Для каждой ценной бумаги и вектора параметров в = (ш, б, у) из табл. П2 согласно модели (1) при Т = 2000 и наличии структурного сдвига в момент времени % = 1001 была выполнена серия из S = 5000 генераций случайного процесса (Г/3 ))^=1. При этом:

— в эксперименте 2 моделировался скачок параметра ш вверх в пять раз, т. е. ш1 = ш, ш2 = 5ш , б1 = б2 = б и у1 = у2 = у,

— в эксперименте 3 моделировался скачок параметра б вниз на 0.1, т. е. ш1 = ш2 = т, 61 =б, 62 = б —0.1 и У1 = у 2 = у,

— в эксперименте 4 моделировался скачок параметра у вниз на 0.04, т. е. ш1 = ш2 = т, б1 = б2 = б, у1 = у и у2 = у — 0.04 .

• С использованием результатов данных симуляций рассчитаны мощности ЖкЗ), , Щ(Т3) и ЖтМ как доли случаев, в которых кЗ-, кЬ-, 1Т- и ЬТМ-методы правильно указали на наличие структурного сдвига. Результаты приведены в табл. П3-П5.

• На основе величин ЖЗ), Ж^Ь, Жг3) и ЖтМ были вычислены средние мощности кЗ-, кЬ-, 1Т- и ЬТМ-методов:

it

Техническое условие, согласно которому отбирались ценные бумаги и о котором было сказано в начале раздела, состояло в том, что «сдвинутые» векторы параметров в2 = (ш2, б2, у2) в модели (1) для каждой из отобранных ценных бумаг должны попадать в множество допустимых значений параметров © в каждом из экспериментов 2-4. В частности, должны выполняться условия б2 +у2 <1 и у2 > 0. По этой причине в экспериментах 3 и 4 параметры б и у сдвигаются вниз, а не вверх. При этом сдвиг в параметре у — незначительный (всего на 0.04). В противном случае для некоторых расчетов «сдвинутые» векторы параметров в2 не попадают в допустимое множество ©.

В связи с данным техническим ограничением пришлось исключить из рассмотрения такие ценные бумаги, как GAZP (ПАО «Газпром», ао4), MOEX (ПАО Московская Биржа, ао), MTLR (ПАО «Мечел», ао), MVID (ПАО «М.видео», ао), PHOR (ПАО «ФосАгро», ао), POLY (Полиметалл Интернэшнл плс, акции иностранного эмитента), SBERP (ПАО Сбербанк, ап), UPRO (ПАО «Юнипро», ао).

Из таблицы 1 видно, что самые маленькие средние вероятности ошибки первого рода5 имеют два метода — IT и LTM. По сравнению с ними KS- и KL-методы имеют существенно большие ошибки первого рода. При этом средняя ошибка первого рода для KL-метода в полтора раза больше средней ошибки первого рода для KS-метода. Анализ табл. П2 показывает, что KL-метод имеет большие ошибки первого рода в большем числе случаев по сравнению с KS-методом. А именно, для KS-метода ошибка первого рода оказалась больше 10% в двух случаях, а для KL-метода — в пяти.

Во втором эксперименте самую большую мощность обнаружения структурных сдвигов продемонстрировал предлагаемый KS-метод. В третьем и четвертом экспериментах самую высокую мощность показал KL-метод. Во всех трех экспериментах IT- и LTM-методы показали низкую мощность обнаружения структурных сдвигов.

5. Заключение

В работе предложен новый метод обнаружения одного структурного сдвига в GARCH(1,1) модели, основанный на статистике Колмогорова-Смирнова (KS-метод).

С помощью численного моделирования метод сравнивается с тремя CUSUM-методами обнаружения структурных сдвигов в GARCH моделях: KL (Kokoszka, Leipus, 1999), IT (Inclán, Tiao, 1994) и LTM (Lee, Tokutsu, Maekawa, 2004).

Для того чтобы условия проводимых численных экспериментов были в достаточной степени приближены к реальным условиям, при генерации GARCH процессов использовались параметры GARCH моделей, которые были оценены по временным рядам доходностей 26 российских ценных бумаг. Была проведена серия из четырех численных экспериментов, каждый из которых состоял из 26 расчетов, а каждый расчет — из 5000 симуляций.

В рамках данных экспериментов получены следующие результаты. KL-метод в большинстве случаев продемонстрировал самую высокую мощность обнаружения структурных сдвигов. На втором месте с небольшим отрывом оказался предлагаемый KS-метод, а на третьем и четвертом местах — IT- и LTM-методы соответственно. Причем IT- и LTM-методы показали в расчетах низкую мощность. Вместе с тем, для KL-метода был обнаружен существенный недостаток, состоящий в том, что в некоторых расчетах он имеет высокие вероятности ошибок первого рода (вплоть до 42%). В то же время предлагаемый KS-метод имеет более приемлемые вероятности ошибок первого рода.

Таким образом, основываясь на проведенных экспериментах, можно заключить, что предлагаемый метод занимает некоторое «компромиссное» положение между KL-методом, имеющим высокие мощность и вероятность ошибки первого рода, и IT- и LTM-методами, которые имеют низкие мощность и вероятности ошибок первого рода.

4 Здесь «ао» означает акции обыкновенные, а «ап» — акции привилегированные.

5 Далее для краткости вероятности ошибок первого рода будем также называть просто ошибками первого рода.

Список литературы |

à

Badagian A. L. (2013). Time series segmentation procedures to detect, locate and estimate change-points. https://core.ac.uk/download/pdf/29404624.pdf. ^

Davis R., Lee T., Rodriguez-Yam G. (2008). Break detection for a class of nonlinear time series models. js

Journal of Time Series Analysis, 29 (5), 834-867. a.

LQ

Fukuda K. (2010). Parameter changes in GARCH model. Journal of Applied Statistics, 37 (7), 1123-1135. ^ Kim S., Cho S., Lee S. (2000). On the CUSUM test for parameter changes in GARCH(1,1) models. ^ Communications in Statistics. Theory and Methods, 29 (2), 445-462.

Kokoszka P., Leipus R. (1999). Testing for parameter changes in ARCH models. Lithuanian Mathematical Journal, 39 (2), 182-195.

Kokoszka P., Leipus R. (2000). Change-point estimation in ARCH models. Bernoulli, 6 (3), 513-539. Lee S., Tokutsu Y., Maekawa K. (2004). The CUSUM test for parameter change in regression models with ARCH errors. Journal of the Japanese Statistical Society, 34 (2), 173-188.

Inclan C., Tiao G. (1994). Use of cumulative sums of squares for retrospective detection of changes of variance. Journal of the American Statistical Association, 89 (427), 913-923.

Ombao H., Raz J., von Sachs R., Guo W. (2002). The SLEX model of a non-stationary random process. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 54 (1), 171-200.

Ross G. J. (2013). Modeling financial volatility in the presence of abrupt changes. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 192 (2), 350-360.

Поступила в редакцию 03.02.2019; принята в печать 01.04.2019.

Приложение

Таблица П1. Список анализируемых ценных бумаг

Тикер Название ценной бумаги Тикер Название ценной бумаги

AFKS ПАО АФК «Система», ао NVTK ПАО «НОВАТЭК», ао

AFLT ПАО «Аэрофлот», ао PIKK ПАО «Группа Компаний ПИК», ао

ALRS АК «АЛРОСА» (ПАО), ао PLZL ПАО «Полюс», ао

CHMF ПАО «Северсталь», ао ROSN ПАО «НК «Роснефть», ао

FEES ПАО «ФСК ЕЭС», ао RTKM ПАО «Ростелеком», ао

GMKN ПАО «ГМК Норильский никель», ао SBER ПАО Сбербанк, ао

HYDR ПАО «РусГидро», ао SNGS ОАО «Сургутнефтегаз», ао

IRAO ПАО «Интер РАО», ао SNGSP ОАО «Сургутнефтегаз», ап

LKOH ПАО «ЛУКОЙЛ», ао TATN ПАО «Татнефть» им. В. Д. Шашина, ао

MAGN ПАО «ММК», ао TATNP ПАО «Татнефть» им. В. Д. Шашина, ап

MGNT ПАО «Магнит», ао TRMK ПАО «ТМК», АО

MTSS ПАО «МТС», ао TRNFP ПАО «Транснефть», ап

NLMK ПАО «НЛМК», ао VTBR Банк ВТБ (ПАО), ао

Примечание. «ао» — акции обыкновенные, «ап» — акции привилегированные.

Таблица П2. Оценки векторов параметров в = (ю, б, у) акций из табл. П1 и ошибки первого рода

Тикер w d g aks akl att altm

AFKS 4.28E-05 0.746 0.144 0.023 0.006 0.001 0.002

AFLT 2.68E-05 0.803 0.120 0.023 0.014 0.007 0.009

ALRS 5.99E-05 0.511 0.409 0.036 0.000 0.003 0.003

CHMF 2.36E-05 0.872 0.082 0.017 0.011 0.002 0.003

FEES 6.46E-05 0.831 0.086 0.017 0.011 0.006 0.006

GMKN 9.69E-06 0.887 0.083 0.059 0.056 0.002 0.002

HYDR 1.17E-05 0.897 0.070 0.034 0.051 0.004 0.004

IRAO 2.06E-05 0.869 0.096 0.042 0.034 0.003 0.002

LKOH 1.07E-06 0.943 0.051 0.256 0.422 0.000 0.000

MAGN 1.09E-05 0.917 0.058 0.031 0.071 0.002 0.001

MGNT 3.14E-05 0.809 0.115 0.013 0.011 0.007 0.006

MTSS 3.95E-06 0.941 0.043 0.037 0.132 0.000 0.000

NLMK 1.60E-05 0.915 0.055 0.025 0.048 0.002 0.002

NVTK 9.43E-06 0.918 0.059 0.037 0.072 0.001 0.001

PIKK 7.84E-05 0.564 0.184 0.010 0.008 0.014 0.016

PLZL 0.000294 0.165 0.109 0.007 0.006 0.007 0.006

ROSN 4.62E-06 0.929 0.052 0.062 0.115 0.000 0.000

RTKM 0.000104 0.519 0.338 0.025 0.003 0.012 0.011

SBER 6.25E-06 0.934 0.046 0.040 0.099 0.001 0.000

SNGS 8.23E-06 0.921 0.052 0.034 0.059 0.003 0.002

SNGSP 1.11E-05 0.895 0.075 0.037 0.046 0.003 0.003

TATN 5.49E-06 0.909 0.079 0.130 0.165 0.001 0.002

TATNP 4.64E-06 0.928 0.057 0.077 0.155 0.001 0.000

TRMK 1.28E-05 0.902 0.068 0.029 0.042 0.001 0.001

TRNFP 1.28E-05 0.902 0.068 0.034 0.052 0.000 0.000

VTBR 3.53E-06 0.936 0.054 0.142 0.241 0.000 0.000

Таблица П3. Мощности методов при скачке параметра т вверх в 5 раз

Тикер Wj w2 = 5wj = d2 gj = g2 Wks Wkl W rr JT W '' ltm

AFKS 4.28E- 05 2.15E- 04 0.746 0.144 1.000 0.993 0.881 0.801

AFLT 2.68E- 05 1.35E- 04 0.803 0.120 1.000 0.998 0.749 0.626

ALRS 5.99E- 05 3.00E- 04 0.511 0.409 0.996 0.586 1.000 1.000

CHMF 2.36E- 05 1.20E- 04 0.872 0.082 0.997 0.998 0.268 0.147

FEES 6.46E- 05 3.25E- 04 0.831 0.086 1.000 1.000 0.367 0.210

GMKN 9.69E- 06 5.00E- 05 0.887 0.083 0.999 0.991 0.212 0.114

HYDR 1.17E- 05 6.00E- 05 0.897 0.070 0.996 1.000 0.135 0.058

IRAO 2.06E- 05 1.05E- 04 0.869 0.096 0.998 0.983 0.283 0.170

LKOH 1.07E- 06 5.00E- 06 0.943 0.051 0.914 0.965 0.107 0.029

MAGN 1.09E- 05 5.50E- 05 0.917 0.058 1.000 1.000 0.077 0.018

MGNT 3.14E- 05 1.55E- 04 0.809 0.115 0.999 1.000 0.676 0.551

MTSS 3.95E- 06 2.00E- 05 0.941 0.043 0.995 1.000 0.048 0.009

NLMK 1.60E- 05 8.00E- 05 0.915 0.055 0.999 1.000 0.087 0.026

NVTK 9.43E- 06 4.50E- 05 0.918 0.059 0.998 0.999 0.067 0.017

PIKK 7.84E- 05 3.90E- 04 0.564 0.184 1.000 0.999 0.844 0.761

PLZL 0.000294 1.47E- 03 0.165 0.109 1.000 1.000 0.021 0.001

ROSN 4.62E- 06 2.50E- 05 0.929 0.052 1.000 0.999 0.068 0.019

RTKM 0.000104 5.20E- 04 0.519 0.338 1.000 0.864 1.000 1.000

SBER 6.25E- 06 3.00E- 05 0.934 0.046 0.996 0.999 0.057 0.010

SNGS 8.23E- 06 4.00E- 05 0.921 0.052 0.997 1.000 0.069 0.016

SNGSP 1.11E- 05 5.50E- 05 0.895 0.075 1.000 0.998 0.147 0.058

TATN 5.49E- 06 2.50E- 05 0.909 0.079 0.950 0.938 0.123 0.039

TATNP 4.64E- 06 2.50E- 05 0.928 0.057 0.989 0.994 0.059 0.011

TRMK 1.28E- 05 6.50E- 05 0.902 0.068 0.996 0.998 0.120 0.050

TRNFP 1.28E- 05 6.50E- 05 0.902 0.068 0.999 0.996 0.116 0.043

VTBR 3.53E- 06 2.00E- 05 0.936 0.054 0.967 0.982 0.079 0.025

О §

2

5 «Ï

«Ï

g"

л

«

6

LO «Ï Ct

Таблица П4. Мощности методов при скачке параметра б вниз на 0.1

Тикер Wj = W2 dj d2 = dj - 0.1 gj = g2 Wks Wkl W rr jt W '' ltm

AFKS 4.28E-05 0.746 0.646 0.144 0.568 0.881 0.968 0.968

AFLT 2.68E-05 0.803 0.703 0.120 0.844 0.97 0.976 0.967

ALRS 5.99E-05 0.511 0.411 0.409 0.361 0.133 0.609 0.61

CHMF 2.36E-05 0.872 0.772 0.082 0.996 0.995 0.612 0.563

FEES 6.46E-05 0.831 0.731 0.086 0.855 0.998 0.807 0.791

GMKN 9.69E-06 0.887 0.787 0.083 1.000 0.992 0.453 0.383

HYDR 1.17E-05 0.897 0.797 0.070 0.998 0.996 0.293 0.231

IRAO 2.06E-05 0.869 0.769 0.096 0.993 0.981 0.729 0.69

LKOH 1.07E-06 0.943 0.843 0.051 0.999 0.992 0.998 0.996

MAGN 1.09E-05 0.917 0.817 0.058 0.997 0.999 0.136 0.082

MGNT 3.14E-05 0.809 0.709 0.115 0.854 0.979 0.969 0.962

MTSS 3.95E-06 0.941 0.841 0.043 1.000 1.000 0.047 0.029

Окончание табл. П4

Тикер Wj = w2 dj d2 = dj - 0.1 gj = g2 Wks Wkl W rr IT W '' ltm

NLMK 1.60E-05 0.915 0.815 0.055 1.000 0.999 0.111 0.064

NVTK 9.43E-06 0.918 0.818 0.059 1.000 0.999 0.132 0.085

PIKK 7.84E-05 0.564 0.464 0.184 0.071 0.438 0.642 0.635

PLZL 0.000294 0.165 0.065 0.109 0.011 0.121 0.156 0.156

ROSN 4.62E-06 0.929 0.829 0.052 1.000 0.999 0.093 0.056

RTKM 0.000104 0.519 0.419 0.338 0.248 0.195 0.618 0.623

SBER 6.25E-06 0.934 0.834 0.046 1.000 1.000 0.041 0.016

SNGS 8.23E-06 0.921 0.821 0.052 1.000 1.000 0.080 0.045

SNGSP 1.11E-05 0.895 0.795 0.075 0.999 0.993 0.369 0.308

TATN 5.49E-06 0.909 0.809 0.079 0.998 0.968 0.279 0.2

TATNP 4.64E-06 0.928 0.828 0.057 1.000 0.998 0.093 0.052

TRMK 1.28E-05 0.902 0.802 0.068 1.000 0.997 0.256 0.192

TRNFP 1.28E-05 0.902 0.802 0.068 1.000 0.999 0.272 0.199

VTBR 3.53E-06 0.936 0.836 0.054 1.000 0.997 0.113 0.061

Таблица П5. Мощности методов при скачке параметра у вниз на 0.04

Тикер Wj = W2 di = d2 gj g2 = gj - 0.04 Wks Wkl W rr it W '' ltm

AFKS 4.28E-05 0.746 0.144 0.104 0.053 0.202 0.200 0.204

AFLT 2.68E-05 0.803 0.120 0.080 0.130 0.410 0.345 0.338

ALRS 5.99E-05 0.511 0.409 0.369 0.063 0.014 0.040 0.040

CHMF 2.36E-05 0.872 0.082 0.042 0.453 0.905 0.583 0.548

FEES 6.46E-05 0.831 0.086 0.046 0.103 0.641 0.470 0.460

GMKN 9.69E-06 0.887 0.083 0.043 0.787 0.938 0.510 0.474

HYDR 1.17E-05 0.897 0.070 0.030 0.779 0.973 0.430 0.390

IRAO 2.06E-05 0.869 0.096 0.056 0.600 0.857 0.584 0.556

LKOH 1.07E-06 0.943 0.051 0.011 0.996 0.996 0.328 0.237

MAGN 1.09E-05 0.917 0.058 0.018 0.921 0.995 0.248 0.213

MGNT 3.14E-05 0.809 0.115 0.075 0.146 0.489 0.386 0.370

MTSS 3.95E-06 0.941 0.043 0.003 0.995 0.999 0.080 0.046

NLMK 1.60E-05 0.915 0.055 0.015 0.875 0.996 0.248 0.215

NVTK 9.43E-06 0.918 0.059 0.019 0.937 0.998 0.245 0.200

PIKK 7.84E-05 0.564 0.184 0.144 0.010 0.037 0.057 0.050

PLZL 0.000294 0.165 0.109 0.069 0.005 0.017 0.018 0.020

ROSN 4.62E-06 0.929 0.052 0.012 0.987 0.997 0.122 0.102

RTKM 0.000104 0.519 0.338 0.298 0.033 0.010 0.028 0.031

SBER 6.25E-06 0.934 0.046 0.006 0.988 1.000 0.104 0.072

SNGS 8.23E-06 0.921 0.052 0.012 0.917 0.992 0.200 0.165

SNGSP 1.11E-05 0.895 0.075 0.035 0.811 0.973 0.481 0.453

TATN 5.49E-06 0.909 0.079 0.039 0.967 0.965 0.313 0.260

TATNP 4.64E-06 0.928 0.057 0.017 0.991 1.000 0.145 0.103

TRMK 1.28E-05 0.902 0.068 0.028 0.810 0.978 0.417 0.365

TRNFP 1.28E-05 0.902 0.068 0.028 0.813 0.984 0.447 0.404

VTBR 3.53E-06 0.936 0.054 0.014 0.994 0.996 0.118 0.084

o

Borzykh D., Yazykov A. The new KS method for a structural break detection in GARCH(1,1) g

models. Applied Econometrics, 2019, v. 54, pp. 90-104. ¿g

DOI: 10.24411/1993-7601-2019-10005

Dmitriy Borzykh

National Research University Higher School of Economics (NRU HSE), Moscow, m

Russian Federation; [email protected]

Artem Yazykov

National Research University Higher School of Economics (NRU HSE), Federal Research Center «Computer Science and Control», Moscow Institute of Physics and Technology; Russian Federation; [email protected]

The new KS method for a structural break detection in GARCH(1,1) models

We propose a new method of a structural break detection for GARCH(1,1) model. This new method is called the KS method since it is based on Kolmogorov-Smirnov statistics. By using Monte-Carlo experiments we show that the KS method has good statistical properties. We compare our method with three well-known CUSUM methods: (Kokoszka, Leipus, 1999) referred to as KT method, (Inclan, Tiao, 1994) referred to as IT method, and (Lee et al., 2004) referred to as LTM method. To make the experiments closer to real conditions, we generate GARCH processes with coefficients estimated on 26 Russian stocks time series. Based on the results of numerical experiments, we suggest that our method is highly competitive and may be placed somewhere in between the KL method which has high power and high probability of type I error, and IT and LTM methods which have low power and also low probability of type I error.

Keywords: GARCH; volatility; change points; structural breaks; ICSS; CUSUM. JEL classification: C32; C58; C63.

«ï et

References

Badagian A. L. (2013). Time series segmentation procedures to detect, locate and estimate change-points. https://core.ac.uk/download/pdf/29404624.pdf.

Davis R., Lee T., Rodriguez-Yam G. (2008). Break detection for a class of nonlinear time series models.

Journal of Time Series Analysis, 29 (5), 834-867.

Fukuda K. (2010). Parameter changes in GARCH model. Journal of Applied Statistics, 37 (7), 1123-1135.

Kim S., Cho S., Lee S. (2000). On the CUSUM test for parameter changes in GARCH(1,1) models. Communications in Statistics. Theory and Methods, 29 (2), 445-462.

Kokoszka P., Leipus R. (1999). Testing for parameter changes in ARCH models. Lithuanian Mathematical Journal, 39 (2), 182-195.

Kokoszka P., Leipus R. (2000). Change-point estimation in ARCH models. Bernoulli, 6 (3), 513-539.

Lee S., Tokutsu Y., Maekawa K. (2004). The CUSUM test for parameter change in regression models with ARCH errors. Journal of the Japanese Statistical Society, 34 (2), 173-188.

Inclan C., Tiao G. (1994). Use of cumulative sums of squares for retrospective detection of changes of variance. Journal of the American Statistical Association, 89 (427), 913-923.

Ombao H., Raz J., von Sachs R., Guo W. (2002). The SLEX model of a non-stationary random process. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 54 (1), 171-200.

Ross G. J. (2013). Modeling financial volatility in the presence of abrupt changes. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 192 (2), 350-360.

Received 03.02.2019; accepted 01.04.2019.