CC BY
130
УДК 330.42:519.816 UDC 330.42:519.816
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ MULTICRITERIA MATHEMATICAL MODELS
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ OF DECISION-MAKING ON THE SECURITIES
РЕШЕНИЙ НА РЫНКЕ ЦЕННЫХ БУМАГ В MARKET IN THE CONDITIONS OF
УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ UNCERTAINTY
Семенчин Евгений Андреевич Semenchin Evgeniy Andreevich
д. ф.-м. н., профессор Dr.Sci.(Phys.-Math.), professor
Денисенко Андрей Олегович Denisenko Andrey Olegovich
аспирант post-graduate student
Кубанский государственный университет, Kuban State University, Krasnodar, Russia
Краснодар, Россия
В статье дан обзор методов оптимизации портфеля The article provides the review of optimization
ценных бумаг. Раскрыто содержание портфеля methods of the securities portfolio. The contents of the
ценных бумаг securities portfolio is described
Ключевые слова: ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЯ Keywords: OPTIMIZATION OF PORTFOLIO OF
ЦЕННЫХ БУМАГ, ПОРТФЕЛЬ ЦЕННЫХ SECURITIES, PORTFOLIO OF SECURITIES,
БУМАГ, РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ, КРИТЕРИИ SECURITIES MARKET, CRITERIA OF
ОПТИМИЗАЦИИ, МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ OPTIMIZATION, OPTIMIZATION MODEL OF
ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ PORTFOLIO OF SECURITIES
Оптимизация портфеля инвестиций является одной из распространенных, типичных и значимых финансовых задач, которая возникает в практике ресурсного обеспечения, страхования, инвестирования, банковского дела. Решение ее позволяет найти наиболее эффективный способ вложения инвестором своего капитала в акции нескольких компаний. Основными принципами формирования инвестиционного портфеля являются надежность и доходность вложений, их стабильный рост и высокая ликвидность.
Целью оптимизации портфеля ценных бумаг является формирование такого портфеля ценных бумаг, который бы соответствовал требованиям инвестора, предприятия, как по доходности, так и по возможному риску, что достигается путем распределением ценных бумаг в портфеле.
При инвестировании ценных бумаг инвестор формирует портфель этих бумаг и использует для этого наиболее известные и апробированные на практике модели: Марковица, Шарпа, Тобина и другие.
Математические модели всех портфелей в значительной степени похожи друг на друга: имеется критерий, который необходимо оптимизировать
(как правило, минимизировать) по некоторым входящим в него
параметрам, на которые наложены определенные ограничения. Некоторые из них (как предлагается в данной работе) можно выбрать в качестве новых критериев. В этом случае будем иметь многокритериальную задачу оптимизации (с двумя и более критериями). Также задачи можно исследовать методами свертки критериев или путем построения Парето-оптимальных точек. Существует несколько методов свертки критериев [2]: методы линейной, лексико - графической, мультипликативной свертки, метод выбор главного критерия, метод идеальной точки. В данной работе при использовании задач будем использовать линейную свертку
критериев.
1. Многокритериальная оптимизация состава портфеля ценных
бумаг Шарпа
Модель портфеля Шарпа рассматривает взаимосвязь доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом.
Основные допущения, которые предполагаются выполненными при построении модели Шарпа:
- в качестве доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;
- существует некая безрисковая ставка доходности , т. е.
доходность некой ценной бумаги, риск которой всегда минимален по сравнению с другими ценными бумагами (под риском ценной бумаги понимается степень зависимости изменений доходности ценной бумаги от изменений доходности рынка в целом);
- взаимосвязь отклонений доходности ценной бумаги от безрисковой ставки доходности описывается функцией линейной регрессии;
- данные о составе портфеля в прошлые периоды времени, используемые при расчете его доходности и риска, в полной мере отражают будущие значения доходности.
Математическая модель портфеля ценных бумаг Шарпа имеет вид
где а,, ж,, Ь, , аг, - соответственно избыточная доходность, вес, риск, остаточный риск, - доходность ценных бумаг, ят - ожидаемая
доходность рынка в целом, ат - среднее квадратическое отклонение доходности рынка, апе§ - максимально допустимая величина риска
портфеля ценных бумаг.
В модели (1) предполагается, что величина аге§ заранее задана
(например, экспертом).
Перейдем от модели (1) к модели, представляющую собой задачу двухкритериальной оптимизации:
Как показывают вычислительные эксперименты модель (2) позволяет с большей выгодой сформировать состав портфеля. От модели
[3]:
(1)
Щ > о,
N
1Щ = 1.
2=1
(2)
і=1
2=1
Щ
Щ > о,
N
т=1.
і=1
(2) с двумя критериями можно перейти (путем линейной свертки
критериев [2]) к модели с одним критерием
N N
C1 • (Rf + L (ai -Wi ) + (Rm + Rf )'L (bi -Wi ))-
i=1 i-1
N 2 2 N 2 2 ,_N
- C2 • (L (bi • W )2 • am2 + L (a2- W2)) ® max (3)
i=1 i=1 W
и теми же ограничениями, что и в (2):
N
W > 0, LW = 1, (4)
i=1
где C1 = const > 0, C2 = const > 0, C1 + C2 = 1, отражают предпочтение одного критерия по сравнению с другим и определяются экспертами.
Модель (3),(4) может быть исследована методами квадратичного программирования.
Пример 1. Согласно статистическим данным, приведенным в [3], можно рассчитать основные параметры модели (2): n = 6, Rf = 4, a1 =-7,04,
a2 =-10,58, a3 =-6,17, a4 =-0,35, a5 =-6,46, a6 = 0,33, am = 8, b1 = 2,833, b2 = 5,913, Ь3 = 2,672, b4 = 0,130 , b5 = 3,353, b6 = 1,568, Rm = 3,5, ar1 = 11,89, ar2 = 14,34, ar3 = 11,37 , ar4 = 5,55 , ar5 = 12,65, ar6 = 15,95 .
Эксперты предлагают выбрать в (3) значения C1 = 0,7, C2 = 0,3.
Воспользовавшись офисным приложением электронных таблиц Excel, найдем решение модели (3) (табл. 1).
Таблица 1 - Результаты расчета веса каждой ценной бумаги в портфеле
Ценная бумага Вес в ценной бумаги
Wx 0,25
ж2 0,02
Жз 0,08
0,54
0,06
Ъб 0,05
При этом максимально средняя эффективность состава портфеля при
' N '
!(Ьг'Щ )
і=1
•о-1 + £ (а 2-^2 ) = 4,96
і=1
1) = 4,9
Если в модели (2), наоборот С1 = 0,3, с2 = 0,7, то имеем (табл.2).
Таблица 2 - Результаты расчета веса каждой ценной бумаги в портфеле
2
Ценная бумага Вес в ценной бумаги
Wl 0,12
Ж2 0,03
Жз 0,10
0,63
0,07
Ъб 0,06
При этом максимально средняя эффективность состава портфеля при
минимальном риске
' N Л2 N / \
Ш-Ъ) -о2т + і(а2-^2 ) = 4,41
і=1 і=1
2. Многокритериальная оптимизация состава портфеля ценных бумаг Марковица Модель оптимизации портфеля Марковица основана на том экспериментальном факте, что показатели доходности различных ценных бумаг взаимосвязаны (коррелируют между собой): с ростом доходности одних бумаг наблюдается одновременный рост ее по другим бумагам, по третьим остается без изменения, а по четвертым она, наоборот, снижается.
Такая зависимость не является детерминированной, т.е. однозначно определенной, а является стохастической.
При построении модели Марковица предполагается выполненными следующие основные допущения:
- в качестве доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;
- в качестве риска ценной бумаги принимается среднее квадратическое отклонение доходности;
- данные прошлых периодов, используемые при расчете доходности и риска, в полной мере отражают ее будущие значения;
- степень и характер взаимосвязи между ценными бумагами выражается коэффициентом линейной корреляции.
Математическая модель портфеля ценных бумаг Марковица имеет
вид [1]:
П П / \
Ё Ё в2 б] Ьу ® тт, Ъ2] = ооу(Л2-, )
2=1 ]=1
п
Ё в 2 = 1,
2=1
п
Ё т2в2 = тр 2=1
(5)
в1 > 0,...,вп > 0.
где тр - выбранное инвестором значение эффективности портфеля; в2 -
доля 2 -ой ценной бумаги в портфеле; т2- математическое ожидание, эффективности 2 -ой ценной бумаги: тг = МЯг, 2 = 1,...,п . В модели (5) величина т2 предполагается заранее заданной (экспертом).
Перейдем от модели (5) к модели, представляющую собой задачу двухкритериальной оптимизации:
X Xвiqjbij ®min,
q
i=l j=l
n
'mi”i
Xmiqі ®max, i=i в
by = cov(Ri, R }
q = (qi,...,q n \
n
X в i = l,
i=l
(6)
^ > 0,...,q„ > 0.
Как и ранее, методом линейной свертки критериев [2] от модели (6)
с двумя критериями можно перейти к модели с одним критерием:
n n n
ai( X Xвiqjbij )- a2( Xmiqi )® min
i=1 j=1 i=1 в
= 1,...,n, bij = covRi,Rj )
i, j
X q i = 1,
i=1
в1 > 0,..., в n > 0,
(7)
где a1, a2, a1 > 0,a2 > 0, a1 + a2 = 1, задаваемые экспертами константы, каждая из которых определяет степень значимости соответствующего ей критерия. Задача (7) представляет собой задачу квадратического программирования и может быть решена с помощью офисного приложения Excel.
Пример 2. Пусть в модели (7) n = 5; m1 = MR1 = 1, m2 = mr2 = 2, m3 = MR3 = 3, m4 = MR4 = 4, m5 = MR5 = 5; Cj2 = cov(R1, R1) = 3, s| = cov(R2, R2) = 2,
s 3 = cov ( R3, R3 ) = 4,
s4 = cov(R4, R4) = 4
s 5 = cov ( R5, R5 ) = 5 ;
cov(Ri, Rj ) = 0, i ■£ j; i, j = 1,...,5; a1 = 0,7, a2 = 0,3.
Воспользовавшись офисным приложением Excel, найдем ее решение
(табл.3).
Таблица 3 - Результаты решения модели (7)
Номер ценной бумаги
Доля i -ой бумаги в портфеле, i = 1,...,5
1 0,099
2 0,255
3 0,181
4 0,235
5 0,231
При этом максимальная средняя эффективность состава портфеля
5
X ш1в1 = 3,24.
¿=1
Если в модели (7), наоборот а1 = 0,3, а2 = 0,7, то имеем (табл.4).
Таблица 4 - Результаты решения модели (7)
Номер ценной бумаги Доля г -ой бумаги в портфеле, г = 1,...,5
1 0,000
2 0,000
3 0,086
4 0,378
5 0,536
При этом средняя эффективность состава портфеля X шгвг = 4,45 .
¿=1
Таким образом, с изменением степени значимости критерия изменяется и максимальная средняя эффективность состава портфеля.
Рассмотренные выше модели различных портфелей ценных бумаг представляют собой однокритериальную задачу оптимизации. Однако при исследовании этих моделей целесообразно одновременно минимизировать риск и максимизировать доход. Такой подход приводит к исследованию двухкритериальной задачи нелинейного программирования, которая может быть решена одним из методов свертки критериев, в частности, линейной свертки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Математические методы и модели исследования операций: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальности 08.01.16 «Математические методы в экономике»
и другим экономическим специальностям / Под ред. В. А. Колемаев.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008.-592 с.
2. Перепелица, В.А. Теория игр и исследование операций/ В.А. Перепелица, В.Е. Попова, Е.А. Семенчин. - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2004.-182 с.
3.Разработка и анализ инвестиционных проектов// [Электронный ресурс].- Режим доступа: http://exsolver.narod.ru/Books/Fininvest/Invest/index.html
