Решение целочисленной модели Марковица Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 153-158

= ИНФОРМАТИКА

УДК 330.42:519.816

Решение целочисленной модели Марковица

А. А. Федосеев

Аннотация. Рассмотрена целочисленная модификация двухкритериальной модели Марковица, указаны ее достоинства и недостатки, продемонстрировано ее применение на практике и целесообразность такого применения.

Ключевые слова: модель Марковица, портфель ценных бумаг, эволюционное программирование, целочисленное программирование.

Классическая модель Марковица предполагает указание портфеля в виде вектора относительных «весов» каждого актива хп = (х1,х2,..., х3), где х,, =

= ^ XI = 1. Здесь величина к£¿(0) есть стоимость части портфеля,

п ¿=1

состоящей из активов вида а^ XI — доля исходного капитала, инвестируемого в ai, £¿(0) — начальная цена единицы актива ai, к — количество единиц актива, входящего в портфель, Бж(0) — стоимость покупки всего портфеля. [2, 3].

Целесообразно введение целочисленных ограничений из-за различий между показателями статистической средней доходности и реальными доходами от владения (дальнейшей продажи), а также существования значительной разницы между ценами различных активов (следствие — трудности с переводом получившихся долей в к). Такая потребность, например, возникает при распределении вложений в портфель, состоящий как из дорогостоящих ценных бумаг, так и относительно дешевых при ограниченной сумме, которую надо инвестировать в ценные бумаги. Именно в таких случаях рекомендуется применение подобных ограничений.

Целочисленные ограничения накладываются на классическую модель Марковица, далее используются методы многокритериальной оптимизации, основанные на сведении к однокритериальной задаче построением одной целевой функции, либо применяется метод справедливого компромисса с последовательным решением задач с одной целевой функцией с некоторым шагом (построением эффективного множества портфелей с последующим выбором из него).

Вместо переменных Xi вводятся новые целочисленные переменные к,

п п

а вместо ограничения ^ xi = 1 имеем новое: д ^ ^ ^£¿(0) ^ О, где д —

¿=1 ¿=1

минимальный размер вкладываемых средств, О — максимальная величина капитала, которую инвестор предполагает вложить в ценные бумаги. Получаем многокритериальную задачу

где кг принимает целые значения.

Ограничения на вложения конкретного типа ценных бумаг могут быть разные, в зависимости от желания инвестора определиться с помощью долей

вложений дг ^ кгБг(0) ^ Ог, г = !,и.

Доходность и риск всего полученного портфеля в понятиях классической модели Марковица будет выглядеть следующим образом:

В результате имеем дело с многокритериальной задачей нелинейного целочисленного программирования (с дальнейшим сведением к однокритериальной) или с задачей целочисленного квадратичного программирования (при использовании других методов, например, выделения главного критерия).

Введение целочисленных параметров позволит более точно формировать структуру оптимального портфеля и корректнее распределять средства, поскольку она лучше описывает реальную задачу инвестирования и освобождает ЛПР от дальнейших трудностей с интерпретацией результатов решения классической модели Марковица. Результатом являются не доли активов, а реальное их количество в портфеле, что в целом приводит к облегчению формирования его оптимальной структуры.

Рассмотрим портфель, ограничившись пятью ценными бумагами (табл. 1).

Допустим у инвестора есть сумма в 100 000 руб., которую он желает инвестировать в эти ценные бумаги, минимальная сумма 98 000 руб.

П

i=1

n n

ЕЕ cov(Ri, Rj)kikj ^ min, i=1 j=1

n

i=1

X? ^ ^ \в, i = l,n, количества X? ^ ki ^ X®, i = l,n или величины

n

nn

Таблица 1

Стоимость ценных бумаг

Актив ХИЛРР UAZA МЄХБ МЄОТ AVAZ

Цена (на момент формирования портфеля, 07.05.12), руб. 51400 2,45 481 3594,4 19,2

(заметим, что цена одной акции ТИКЕР составляет примерно половину от этой величины — случай, при котором рекомендуется применение модели с целочисленными ограничениями). Здесь классическая модель малопригодна, поскольку в дальнейшем возникнут серьезные трудности с интерпретацией результатов, а именно: вложиться или не вложиться в акцию ТИКЕР (одну), и если не вложиться, то как распределить сумму величиной в ее стоимость между остальными акциями, цены которых значительно меньше.

Результат применения метода аддитивной свертки в случае классической модели (предположение одинаковой важности критериев) приведен в табл.

2.

Таблица 2

Результат применения метода аддитивной свертки

№ п/п Актив Доля в портфеле

1 ХИЛРР 0,3814

2 UAZA 0,1683

3 МЄХБ 0,4503

4 МЄОТ 0

5 AVAZ 0

Таким образом, традиционная модель Марковица не может однозначно дать ответ на поставленные выше вопросы и не может облегчить процесс принятия решения инвестора.

Результаты целочисленной оптимизации можно увидеть в табл. 3.

Таблица 3

Результаты целочисленной оптимизации

№ п/п Актив Количество

1 ХИЛРР 1

2 UAZA 0

3 МЄХБ 0

4 МЄОТ 13

5 AVAZ 0

Как видно из расчетов, решение модели с целочисленным ограничением однозначно дает ответ на вопрос о покупке акции TRNFP. Поставленная задача квадратичного целочисленного программирования решалась целочисленным методом ветвей и границ.

Асимптотическая сложность этого алгоритма достаточно высока, время вычислений быстро возрастает с увеличением размерности (количества активов в портфеле). Отсюда вытекает главный недостаток целочисленной модели — значительное увеличение вычислительной сложности, по сравнению с классической, которое еще больше усиливается в случае оптимизации большого портфеля или наложения дополнительных ограничений.

При решении подобной модели можно применять алгоритмы эволюционного программирования. Генетические алгоритмы являются мощным методом оптимизации, позволяющим найти глобальный оптимум быстрее, чем другие методы случайного поиска [5]. Утверждается, что при прочих равных условиях генетический алгоритм будет работать хуже, чем специальный алгоритм, рассчитанный на конкретную задачу (тип признаков, целевую функцию). Например, полный перебор конечного небольшого пространства или любой алгоритм спуска будет всегда эффективнее, чем генетический [4]. Тем не менее, в ситуации, когда о задаче ничего a priori не известно, или размерность задачи велика, или существующий метод решения слишком громоздок и уступает по времени работы, то можно полагаться на результат работы простейшего генетического алгоритма как некого приближения.

Таблица 4

Результат применения различных методов к решению целочисленной

модели

№ п/п Актив Метод ветвей и границ Генетический алгоритм

1 LKOH 1 1

2 TRNFP 3 3

3 UAZA 0 1

4 MGTS 0 0

5 MGNT 11 11

6 AFLT 0 0

7 URKA 0 0

8 AVAZ 0 0

Применим генетический алгоритм к задаче целочисленной оптимизации портфеля из 8 ценных бумаг. Результаты оптимизации методом ветвей и границ (в качестве метода многокритериальной оптимизации применялся метод аддитивной свертки, верхнее ограничение на бюджет 200 000 руб.,

Таблица 5

Результат применения различных методов к решению целочисленной модели. Риск и доходность

Метод ветвей и границ Генетический алгоритм

Риск (целочисленный) 0,223842 0,233997

Доходность (целочисленная) 0,08671 0,091334

нижнее 195 000 руб.) и результат применения генетического алгоритма (с теми же ограничениями на бюджет, 2 запуска, вероятность кроссинговера 0.5, вероятность мутации 0.25, размер популяции 200) приведены в табл. 4 и 5.

Как видно из результатов вычислений, генетический алгоритм выдал точку, находящуюся очень близко к точке метода ветвей и границ. Таким образом, используемый метод эволюционного программирования с успехом может применяться для решения целочисленной задачи; он будет проявлять большую эффективность на крупных портфелях (30 и более ценных бумаг), когда минимум затраченного на решение времени куда важнее точности.

Список литературы

1. Емельянов В.В., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Теория и практика эволюционного моделирования. М.: Физматлит, 2003. 432 с.

2. Кочетыгов А.А. Финансовая и актуарная математика: учебн. пособие. Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. 340 с.

3. Шарп У., Александер Г, Бэйли Дж. ИНВЕСТИЦИИ. М.: ИНФРА-М, 2001. XII. 1028 с.

4. John H. Holland. Buiding blocks, Cohort Genetic Algorithms, and Hyperplane-Defined Functions // Evolutionary Computation. 2000. V.8, №4. P.373-391.

5. Нечеткая логика, нейронные сети и генетические алгоритмы // Электронная энциклопедия АСУ ТП.: [Электронный ресурс]. http://bookasutp.ru/Chapter5_ 7.aspx (дата обращения 01.10.2012).

Федосеев Андрей Андреевич (andrey_fedoseev_tula@mail.ru), аспирант, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

The solution of the integer Markowitz’ model

A. A. Fedoseev

Abstract. The integer modification of the Markowitz’ model is considered, it’s advantages and disadvantages are presented, the application in practice and the appropriateness of this using are demonstrated.

Keywords : Markowitz’ model, securities portfolio, evolutional programming, integer programming.

Fedoseev Audrey (andrey_fedoseev_tula@mail.ru), postgraduate student, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 05.10.2012