Оптимизация геометрических параметров стальных рам Текст научной статьи по специальности «Математика»

Оптимизация геометрических параметров стальных рам

Т.Л.Дмитриева

Поиск оптимальных решений при проектировании конструкций охватывает широкий спектр направлений, связанных с конструктивными, технологическими, эксплуатационными вопросами. В данной работе проблема оптимизации встроена в процедуру автоматизированного проектирования, реализуется в рамках принятых при этом расчетных схем и может рассматриваться, например, как задача снижения материалоемкости проектируемых конструкций при обеспечении их безопасной эксплуатации. В первую очередь это относится к металлическим конструкциям, большая часть стоимости которых определяется их массой. Используемые при этом численные методы расчета и оптимизации позволяют строить универсальные алгоритмы, охватывающие широкий класс исследуемых объектов.

Методы и алгоритмы оптимального проектирования стальных конструкций освещены в работах [1,2]. В [3,4] проведен алгоритм оптимизации ферм. Рассмотрим особенности решения этой задачи для стальных рам.

Проблема оптимизации ставится в форме задачи нелинейного математического программирования (НМП):

найти min f(x), {x}eEn (1)

при ограничениях g; (х) < О, j = 1,2,..., m; (2)

xp<xi<xp, i = l,2,...,n. (3)

В качестве минимизируемой функции f(x) используется объем конструкций. {X} - вектор варьируемых параметров. Параметрические ограничения {X1}, {Хи} учитываются отдельно. Любой параметр может быть фиксирован, если задать равными верхние и нижние границы. Варьируются параметры поперечных сечений элементов, а также координаты узлов расчетной схемы. Возможны непрерывные, а также дискретные их изменения. В случае если сечения приняты по сортаментам, варьируются позиции сортамента.

Функции ограничений g (х) представляют собой конструктивные ограничения, ограничения по прочности и местной устойчивости в соответствии с нормативным документом СП 16.13330.2011. Предусмотрены также ограничения на перемещения узлов.

Блок-схема алгоритма решения задачи (1-3) показана на рисунке 1.

Здесь использован прямой метод вычисления функций ограничений без построения аппроксимаций, поэтому при каждом обращении к этим функциям решалась задача конечно-элементного анализа рамы в линейной постановке. При построении матрицы жесткости системы была формализована процедура передачи данных о варьируемых параметрах сечений и о координатах узлов расчетной схемы. Описание каждого блока алгоритма приведено в таблице 1.

Рис. 1. Блок-схема алгоритма оптимизации рам

Вектор ограничений всей системы содержит вклады по отдельным элементам, которые объединены в группы по типоразмерам и материалу (число групп - n_typ). Такой подход позволяет независимо задавать физические и геометрические свойства каждой группе элементов.

Вектор ограничений группы {g_el} размерностью m_el формируется в блоке Metal в зависимости оттого, какое на-пряженно-деформированное состояние (НДС) испытывают элементы группы (виды НДС перечислены в таблице 2).

Блок-схема вычисления вектора ограничений {g(m)} показана на рисунке 2. Для обращения к блоку Metal производится соответствующая настройка. Формируется вектор варьируемых параметров для данной группы элементов -(X_el(nx_el)}. Далее из вектора усилий всей системы вычленяется массив расчетныхусилий группы [S_el], содержащий б компонент усилий для каждого расчетного сечения с учетом заданного числа загружений (табл. 3).

При формировании массива [S_elj анализировались соответствующие усилия во всех элементах группы, среди которых затем выбирались экстремальные. Общая размерность массива - n_case х б, где n_case=n_fors х n_sect (n_fors - число случаев загружения, a n_sect- число характерных сечений в элементе). Предусмотрен массив выборки ограничений {Incl}, с помощью которого любое ограничение может быть отключено. Блок-схема алгоритма формирования ограничений для группы элементов показана на рисунке 3.

В случае действия на элемент рамы равномерно распределенной нагрузки проверки по прочности выполнялись в 2-х сечениях - отслеживался максимальный момент в пролете и на границе. Если такая нагрузка отсутствовала, то к расчету принимался максимальный момент в краевых точках элемента.

Остановимся на методах, реализованных в блоке нелинейного математического программирования ИМРаск. Условно-экстремальная задача (1-3) приводится к задаче на безусловный экстремум при помощи двух модифицированных функций Лагранжа (МФЛ):

РР=1^+0>5{§}т[5][к]{ё}, (4)

*{£}'{£}. (5,

где ^Ь = + МТ[8 ]Ы - функция Лагранжа.

В выражении (4) [К] - диагональная матрица штрафных коэффициентов. Элементы матрицы [8] определяются из условия:

если gj+AZj>0, 6^=1, иначе 5^=0. (б)

Здесь АЪ - величина сдвига,]-го ограничения в допустимую область. В (5) т- параметр, регулирующий сходимость алгоритма. {У} - вектор двойственных переменных (или множителей Лагранжа) размерностью т.

Численный метод определения исходных переменных основан на минимизации функции Рр по х и заключается в следующем. При определенных {X1}, {У1} решается задача на безусловный экстремум при наличии параметрических ограничений. В результате вычисляется вектор{ Xй1}:

|х*+1 }е Аг^гшп (X*, У*);

{хь}<{х}<{хи}.

Таблица 2

Таблица 1

Наименование блока Описание

NM Pack Блок решения стандартной задачи нелинейного математического программирования

Metal Блок конструктивного расчета, где выполняются проверки согласно СП 16.13330.2011

Section Библиотека сечений, которая включает геометрические характеристики простых и составных сечений

Frame Блок конечно-элементного анализа рамы

Fun_g Блок вычисления ограничений по прочности,жесткости и местной устойчивости

Fun_fx Блок вычисления целевой функции

Coeff Блок вычисления табличных коэффициентов, согласно СП 16.13330.2011

Вид напряженно-деформированного состояния (НДС) Имя процедуры Ссылка на раздел СП 16.13330.2011

Центральное растяжение-сжатие Press_tens 7.1-7.3

Изгиб в одной плоскости Bend_lp

Изгиб в двух плоскостях Bend_2p

Изгиб в одной плоскости с учетом пластических деформаций Bend_ plast_lp 8.2,8.4,8.5

Изгиб в двух плоскостях с учетом пластических деформаций Bend_ plast_2p

Сжатие с изгибом Press_ Bend 9.1-9.4

3 2011 115

Для решения этой задачи могут быть реализованы методы безусловной минимизации различных классов. На первых итерациях, когда отсутствует хорошее начальное приближение, используется метод случайного поиска. Далее возможны различные варианты. Метод деформируемого многогранника обладает высокой надежностью и позволяет получать оптимальные решения для функций произвольного вида, но при этом требует большого числа обращений к целевой и ограничительным функциям. В методе наискорейшего спуска поиск ведется вдоль градиента минимизируемой функции. Скорость этого метода на порядок выше, но он применим для гладких дифференцируемых функций. Метод покоординатного спуска предполагает спуск вдоль соответствующей координаты при фиксированных значениях других переменных. Этот ме-

тод используется в задачах дискретного программирования. На последних итерациях для получения результатов высокой точности возможно переключение на метод Ньютона. Однако метод работает только втом случае, если функция Рг выпукла и дифференцируема.

Второй шаг итерационного процесса заключается в определении двойственных переменных {У^1}. Предусмотрено три способа их вычисления.

Способ 1 предполагает, что вектор двойственных переменных определяется из сравнения условий стационарности функции Р и функции Лагранжа Р,. Этот способ дает линейную скорость сходимости по У:

У;+1 = тах(0, у) +Ц % (х-)) j = т; <8)

Вектор варьируемых параметров {X}, массив типов сечений {¡эес! (п_1ур)}

I

Press tens

Bendlp Bend_2p Bendplastlp Bend_plast_2p Press_ Bend

т

gk= g_eli

Цикл по i=l, ..., in el

I

k=k+l

Section

Coeff

Рис. 2. Блок-схема алгоритма формирования вектора ограничений

Задача (7) при этом решается с использованием прямых поисковых методов, либо градиентного метода 1-го порядка.

В способе 2 приращение двойственных переменных вычисляется путем максимизации Рр методом Ньютона,что дает квадратичную сходимость:

где £уу'+1} =

Задача (9) решается в редуцированном пространстве потенциально активных ограничений {§;}. Этот способ удачно сочетается с методом Ньютона при решении задачи (7).

В способе 3 вектор } определяется непосредственно через прямые переменные путем максимизации второй МФЛ функции Рм по У.

{¥<+1}еАг8т^(Х(у¥'). (10)

Этот способ не требует выполнения условий стационарности функции Рр по переменным х. Он оказался эффективен в задачах, где строятся линейные аппроксимации, и при этом (особенно на первых итерациях) не всегда существует допустимое оптимальное решение, т.к. задача часто становится несовместной.

Реализация этих трех схем делает алгоритм НМП надежным и устойчивым,так как если не срабатывают градиентные методы, то автоматически производится переход к прямым поисковым методам.

На основе изложенной методики было разработано программное обеспечение, при помощи которого решены задачи оптимального проектирования стальных рам.

Пример 1. Задача оптимизации двухпролетной рамы (рис. 4).

Вид НДС- сжатие-растяжение с изгибом.

Исходные данные:

- число случаев загружения = 2;

- допуск на перемещение узлов [А] = 2,4 см;

- материал элементов: сталь ВСтЗпсб;

- сечение стоек О; сечение ригелей I;

- число групп элементов = 5.

Варьировался 1 параметр кольцевого сечения (внешний диаметр) и 2 параметра в двутавровом сечении (высота стенки и ширина полки). Значение толщин принято в частях от этих параметров. Варьировался также размер И, регулиру-

Таблица 3

1 2 3 4 5 6

N. Оха Мха муа мц

ф т пз N. Ох2 Мх2 Му2 щ

и I с: ... ... ... ... ... ...

N ПС Ох ПС %ПС Мх ПС Му -> ПС ПС

ющий наклон ригеля (О < И < 1 м). Общее число варьируемых параметров - 8.

Были приняты ограничения по прочности и местной устойчивости в элементах. Ограничение по жесткости задано в виде допуска на горизонтальное перемещение узлов 10 и 12. Общее число ограничений - 30.

Оптимальные результаты проверялись на единственность путем решения с разных начальных проектов. Все решения при этом практически совпали (разница в значениях целевой функции составила 0,0016 %).

Приведем результаты одного из решений:

- число итераций = 4;

- число обращений к целевой функции = 16602;

- оптимальный объем = 3434181 см3; И = 0;

- потенциально активные ограничения: g22 = 0,76-Ю"5 (по прочности);

g29= 0,35-Ю"6 (по жесткости).

Пример 2. Оптимизация рамы, где имеет место комбинированный вид НДС (рис. 5).

Здесь стойки и ригели испытывают сжатие-растяжение с изгибом, а элементы связей - сжатие-растяжение.

Исходные данные

- нагрузка: gпocт= 12,5 кН/м; §вр = 13,3 кН/м;

- материал: сталь ВСтЗпсб;

- сечение стоек О; сечение ригелей I; сечение связей П;

- число случаев загружения =2;

- допуск на горизонтальное перемещение узла 9 [Д] = 2,4 см;

- число групп элементов = 7.

Варьировались параметры сечений, а также высота И с шагом 10 см.

Задача была решена в 2-х вариантах. В первом случае параметры сечений менялись непрерывно. Здесь варьировался 1 параметр кольцевого и коробчатого сечения и 2 параметра двутаврового сечения (число варьируемых параметров -10). Имело место 42 ограничения, включая ограничение по жесткости.

Были получены следующие результаты:

- число итераций = 3;

- число обращений к целевой функции = 25097;

- объем = 228175 см3; И = 210 см ;

- потенциально активные ограничения: gg = -0,23-Ю"5; ё17 = -0,68-Ю"5; g27= 0,25-10"7; g35 = 0,39-Ю"5 (по прочности); g42 = 0,60-Ю"7 (по жесткости).

Во втором случае параметры сечений менялись дискретно согласно сортаментам. Число варьируемых параметров равнялось 8. Число ограничений - 38. Задача была решена с пяти начальных проектов. Результаты, имеющие наибольшие отличия, были следующими:

решение 1

- число итераций = 4;

- число обращений к целевой функции = 1485;

3 2011 117

- объем 192994 см3; И = 190 см;

- потенциально активное ограничение g31 = 0,96-Ю 2 (по прочности);

решение 2

- число итераций = 7;

- число обращений к целевой функции = 3724;

- объем 201233 см3; И = 200 см;

- потенциально активные ограничения:

0Д5-10"2 (по прочности);

= -О, 60-Ю2 (по прочности).

Задача безусловной минимизации при непрерывном изменении параметров была решена с использованием прямых методов на 1-й итерации и метода наискорейшего спуска на последних. При этом оптимальный результат был получен за малое число итераций, точность вычислений достаточно высока (пятый порядок в невязках активных ограничений).

В случае дискретной оптимизации был использован метод покоординатного спуска. Для обеспечения сходимости требования к точности в невязках ограничений были ослаблены. Меньшее значение объема в оптимальных проектах для дискретного случая можно объяснить тем, что в сортаментах используется больше вариантов для соотношений диаметров (высот) и толщин, а двутавровое сечение имеет более экономичную форму по сравнению с составным двутавром. Результаты с разных начальных проектов здесь имеют существенные отличия (разница в значениях целевой функции составляет4%). В этом случае оптимальное решение выбирается из определенного числа вариантов.

Практические расчеты показали, что алгоритм оптимального проектирования стальных рам демонстрирует устойчивую работу, широкую область сходимости и возможность получения результатов требуемой точности.

Литература

1. Безделев В.В., Дмитриева Т.Л. Использование много-методной стратегии оптимизации в проектировании строительных конструкций. Новосибирск, «Известия вузов. Строительство», № 2, 2010, с. 90-95.

2. Дмитриева Т.Л. Алгоритм решения условно-экстре-мальных задач, использующий методы модифицированных функций Лагранжа первого и второго порядка. Иркутск,«Современные технологии. Системный анализ. Моделирование», № 4, 2010, с. 115-121.

3. Дмитриева Т.Л. Алгоритм автоматизированного проектирования ферм минимального веса. Новосибирск, «Известия вузов. Строительство», № 3, 2010, с. 98-105.

4. Дмитриева Т.Л. Программный комплекс «0PTIDEST» и его использование в задачах расчета и оптимизации стальных конструкций. М., Вестник МГСУ, № 1, т.1,2011, с. 100-105.

Literatura

1. Bezdelev V.V., Dmitrieva T.L. Ispolzovanie mnogometodnoi strategii optimizatsii v proektirovanii stroitel'nyh konstruktsii. Novosibirsk, «Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo», № 2,2010, s. 90-95.

2. Dmitrieva T.L. Algoritm resheniya uslovno-ekstremalnyh zadach, ispolzuyushchii metody modifitsirovannyh funktsii

Массивы {X_el (nx el)}, [Sel (n_casex6)]

Рис. 3. Блок-схема алгоритма формирования вектора ограничений для группы элементов

Lagranzha pervogo i vtorogo poryadka. Irkutsk, «Sovremen-nye tehnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie». № 4, 2010, s. 115-121.

3. Dmitrieva T.L. Algoritm avtomatizirovannogo proek-tirovaniya term minimalnogo vesa. Novosibirsk. «Izvestiya vuzov. StroiteLstvo», № 3, 2010, s. 98-105.

4. Dmitrieva T.L. Programmnyi kompleks«0PTIDEST»iyego ispol'zovanie v zadachah rascheta i optimizatsii stal'nyh konstruktsii. M., Vestnik MGSU, № 1, t.l, 2011, s. 100-105.

Optimum Design of Geometric Parameters Steel Frames.

By T.L. Dmitrieva

Presented algorithm of computer design steel frames with optimum parameters, founded on used numerical methods FEA and nonlinear programming. The volume of the frame is minimized. As variable parameters is accepted importance

of the cross-sections, as well as coordinates of the frame nodes. Restrictions are superimposed to system on toughness, stiffness and local stability of frame elements. Considered the particularities of the optimal design problem with discrete sections, which are accepted in accordance with standards. For decision conditionally-extreme problem are used two modified Lagrange functions. On base of the algorithm is designed program complex. Are brought examples, confirming efficiency of the algorithm.

Ключевые слова: автоматизированное проектирование, оптимальное проектирование, нелинейное математическое программирование, стальные конструкции, рама.

Keywords: computer aided design, optimal design, nonlinear programming, steel structure, frame.

q,=24 kH/m

Fi=3,6 kH

Fo=14,4 kH

12m

12m

6 M

3 2011 119