Оптимизация деятельности страховой компании с учетом расходов на рекламу Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

№ 275

апрель

2002

УДК 519.2

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Д.Д. Ахмедова, О.А. Змеев, А. Ф. Терпугов

ОПТИМИЗАЦИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ С УЧЁТОМ РАСХОДОВ НА РЕКЛАМУ

Решается задача об оптимальном во времени распределении граммы в зависимости от условий эффективности рекламы. клиентов страховой компании.

В настоящее время вызывают интерес математические модели актуарной математики, изучающей различные ас-пекты страхового дела. В актуарной математике уже существует классическая модель страховой компании, где не учитываются многие факторы. В [1] нами была рассмотрена модель с учетом расходов на рекламу, найдены основные характеристики капитала компании и условия эффективности рекламы в случае, когда расходы на рекламу пропорциональны капиталу. Теперь же мы определим, как меняются характеристики капитала и число клиентов в зависимости от рекламной стратегии компании, а также рассмотрим задачу оптимизации рекламной компании в случае, когда доля денег, выделяемых на рекламу, меняется со временем.

Математическая модель и постановка задачи

Будем считать, что в момент времени ґ состояние страховой компании характеризуется её капиталом Б(ґ) и числом застрахованных клиентов к(ґ). Количество денег, выделяемых на рекламу, будет характеризоваться величиной а(ґ), так что на интервале времени [ґ, ґ + Дґ] на рекламу выделяется а(ґ)£(ґ)Дґ денег и 0 < а(ґ) < а 0.

В [1] подробно описана модель страховой компании и получена система дифференциальных уравнений, описывающая состояние страховой компании в среднем:

ёМ {V (ґ )}=а^ о +а(ґ)(Х1а-і)М {V (ґ)}+

йґ

+(2 -йц1) {к (ґ)), ёМ {к (ґ )}=х о +х 1а(ґ )м {V (ґ )}_цМ {к (ґ)

(1)

йґ

>шах.

расходов на рекламу. Строится стратегия рекламной про-Получены выражения для ковариаций капитала и числа

[ТЬТ], причем каждому из промежутков соответствует своё значение а(ґ):

*-(ґ )=■

0,0<ґ <Т0, а 0,Т0

0,Т1 <ґ <Т.

Естественно, значение средних и дисперсий для капитала и числа клиентов будут различны в зависимости от промежутка. Система относительно средних капитала и числа клиентов уже получена. Выведем систему дифференциальных уравнений для ковариаций капитала и числа клиентов. Имеем:

V (ґ + Дґ) = V (ґ) + Д£ (ґ) - а(ґ )£ (ґ )Дґ,

(ґ )} = М {V2 (ґ)}-М2 {V (ґ )}, ёР{У(ґ)} = йМ{V2 (ґ)} _ йМ2 {V(ґ)} йґ йґ йґ Обозначим М{|2}=а2, М{п2}=Ь2, М{^}=с2. Тогда йМ [у2 (ґ)} = М [у 2 (ґ+Дґ)}_ М V 2 (ґ)},

йґ

= Ііш

Дґ —>0

Дґ

Смысл входящих сюда параметров описан в [1].

Рассмотрим теперь следующую задачу: пусть страховая компания начинает свою работу в момент времени ґ=0 и она хочет провести рекламную программу таким образом, чтобы к концу рассматриваемого промежутка времени [0,7] её капитал стал максимальным. Определим критерий оптимальности следующим образом:

М {V (Т)}_ V (Т )}

Максимум ищется по виду а(ґ), 0< ґ <Т с учетом ограничений 0< а(ґ) < а0; 50 - капитал компании в начальный момент времени. Заметим, что это одна из постановок задач на оптимизацию рекламной деятельности.

Решение задачи

Система уравнений для ковариаций капитала и числа клиентов компании

Для решения задачи разделим рассматриваемый промежуток времени [0,Т] на три [0,Т0], [Т0,Т1] и

£2 (/+Д/)=£2 (/ )+Д2 £ (/)+2£ (^ () --2а( )2 ( )Д-2а( )Д£ ( ) ( )+о(Д/). Ограничиваясь членами с Дt, запишем выражение для М{£2(>+Д0}. Имеем

М £2 (t+Дt )}=М £2 ^)}-2А, 0аМ { ( )}Дt+

+(й2ц1 +с2ц 2 )М {к (t )}Дt+

+а2 (о +^аМ (t )}^+

+2(сц 2 -Ь ц1 )М { ()к (t)}+

+2аХ1аМ {2 (t )}-2аМ {2 (t )}1-о(Дt).

ёМ2 {£ и )} ёМ {£ (t)}

Так как ------- = 2М{£(t)}------ , то с уче-

ёt ёt

том (1) можем записать дифференциальное уравнение для дисперсии капитала компании:

ёё^Ш=2а( Ж -1)о{ (t)+ ёt

+Х1а2 а(t )М { (t ))+2(с|а 2 -Ьц1 )С ( ,к ) +

+(с2ц2 +Ь1 ц1 )М {к())+А, 0 а2, (2)

где С(8,к)=соу(8^),(к)). После аналогичных преобразований можем получить дифференциальное уравнение для дисперсии числа клиентов компании

ёО{к^)} ёМ М. ёМ2 ш

йґ

йґ

йґ

йБйґ^£)}=_2^Б{к (ґ )}+цМ {к (ґ ) йґ

+Х1а(ґ )М {V (ґ )}+2Х1а(ґ ,к )+— 0. (3)

Уравнение для ковариации £(ґ)и к(ґ) имеет следующий вид

йС(,к) = йМ (V(ґ)к(ґ)) й|М {V(ґ} {к(ґ)}] йґ йґ йґ

йС( ,к )=—1-(ґ )б( (ґ ))+(сц2 _Ь ц )Б{к (ґ)} + (4)

йґ

+—1 аа (ґ )М {V (ґ )}+— 0 а+(— 1 аа(ґ )_а (ґ )ц)С (V ,к )

Заметим, что в уравнениях (2), (3), (4) присутствуют выражения для средних значений капитала и числа клиентов компании, что является решением системы (1). Имеем (далее для удобства будем а(ґ) обозначать а):

М {V (ґ )}=—-[[Т1ґ М+У1 2 ет 21ґ (ц+У 21 )

—1а

—1а

ца— 0

V У1У 2

(5)

М {к (ґ ))=К1еТ1ґ + К 2 ет 21ґ +

а— 0

У1У 2

где уь у2 - корни характеристического уравнения системы (1); К1, К2 - константы интегрирования, определяемые из начальных условий М{£(0)}=£0, М{к(0)}=к0.

Поведение дисперсий капитала и числа клиентов в зависимости от а(/)

Рассмотрим решение системы дифференциальных уравнений относительно ковариаций £(/)и к(/) при а=0. Для этого подставим в систему значение а, после чего получим [далее, чтобы подчеркнуть зависимость интересующих нас функций от t и а будем записывать В8 (, а), Бк (,а) С£к (/, а) ]: ёБ3 (/,0)

йґ

■ = 2(ц2 _ Ьц ^ (ґ,0) +

+ (2ц 2 + Ь1ц1 ) {к(ґ,0)} + — 0 а 2, йС"{ґ,0} = (сН- 2 _Ь^1 )Бк (ґ,0)+Х 0 а_ЦСЗк (ґ,0)

-'Бк йґ

йБк (ґ,0) йґ

=_2цБк (ґ,0)+цМ{к (ґ,0)}+—0. (6)

йґ

йґ

Решение системы (7) имеет следующий вид:

сц 2 _Ьц1

ц

ґ _ Б1

СЦ2 _ЬМ-1 -цґ

■е~цґ + А

— —

к (ґ,0)=—0+Це Ц

где константы определяются из начальных

условий £ (о,о)= £0, к (0,0)=к0.

Заметим, что _0к(/,0)однозначно определяется из второго уравнения системы (6). Имеем

Вк (/ ,0) = С1е~2ц/ + ^ е+ ^°-.

Тогда из третьего уравнения системы (6) получаем выражение для ковариации

Ск (/,0)=С1е~2ц/ +| С2 +(ц2 -Ьц +ац).

Ц I Ц ) Ц

Запишем выражение для дисперсии капитала:

" 2Х 0

Б3 (ґ,0)=

ц

-(сц 2 _Ь ц1) (сц 2 _Ь ц1 +ац)+

+—0 (сц 2 _Ь ц1 +ац) Ц

ґ 2Б>1 (сц2_Ьц1 )ґе цґ_ ц2

_2

1 (сц2 _Ьц1) (С2 +2Д )+(сц2 _Ьц

С

--1 (сц2 _Ьц1)е_2цґ +С3

Ц

где константы С\, С2, С3 определяются из следующих начальных условий:

Д (0,0)=0, Бк (0,0)=0, Ся (0,0)=0.

Имеем

С1 =_^°_А., с2 = С -(СЦ 2 -Ь ц1 +ац),

Ц Ц Ц Ц

2 Г , _ д ^ С,

Сз =Ц (ц 2 -ЬЦ1 / С2 + 2А- — ']+_С2" (сц 2 -ЬЦ1). ц I ц ) Ц

Система дифференциальных уравнений относительно ковариаций капитала и числа клиентов при ненулевом а(/) имеет следующий вид: ёВ3 (/,а)

йґ

-=2а(а—1 _1)бх (t,—)+—1a2аS (ґ,а)+

+2(сц 2 _Ь ц1 )к (ґ,а)+(с2 ц2 +Ь1 ц1 )к (ґ,а)+— 0 а2 ,а)

С&^аО, (ґ,а)+(сц 2 _Ь ц1 )Бк (ґ,а)+ +—1аа5' (ґ,а)+— 0 а+(—1аа_а_ ц)ся (ґ ,а). йБк (ґ,а)=_2цВк (ґ,а)+цк (ґ,а)+

(8)

Так как в систему входят выражения средних наче-ний капитала и числа клиентов при а = 0 , то необходимо записать решение системні (1) в этом случае. Имеем [далее математическое ожидание капитала и числа клиентов будем обозначать V (ґ), к (ґ) ]:

й (ґ)=а—0 +(сц2 _Ьц1 )к (ґ), й (ґ)=—0 _цк (ґ). (7)

+—1а+2—1аС^к (ґ,а)+— 0.

Обозначим через к1, к2, к3 - корни характеристического уравнения системы (8). Само уравнение имеет вид

2а(а—1 _ 1)_ 2(сц2 _Ьц1)

0

_к1 —1а 0

или в явном виде

—1аа_а_ц_ сц2 _Ьц

_к

_ 2ц _ к 2

2

2—1а

=0

—к +з(—1аа—ц—а)к +2[_(—1аа—ц—а) +

+2ца(—1 _1)+2—1а(сц 2 _Ьц1 )]к_4(—1аа_ц_а)х

х[ца(—1а _1)+—1а(сц 2 _Ьц1 )]=0, (9)

откуда к1 =у1 +у2,к2 = 2у1,к3 = 2у где у 1,у2- корни характеристического уравнения системы (1):

=_(ц_а—1а+а)^/Б =_(ц_а—1а+а)—■>/Б

У1 = 2 , У 2 = 2 ,

Б=(ц_а—1а+а)2 _4[а—1 (Ь ц1 _сц2 —ца )+ца] .

ц

ц

е ц _

1

—

0

ц

Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений (8) запишем в виде

Д (,а)=Д ()¥пе К1' + Д ( )Т21е К2' + Д ( )¥31е Кз',

Ся (,а)=Д ()12е К1' + Д ( )Г22е К2' + Д ( )з2е Кз',

Бк (,а)=Д ( )Уве К1' + Д ( )Уве К2' + Fз ( )^е Кз', где У у - алгебраические дополнения матрицы

2а(аХ1 -1) 2(сц2 -Ьц) 0

X 1а Я^аа-а-ц2 сц2 -Ьц .

0 2Х1а - 2ц

Обозначим

4 = Х1аБ(') + цк(') + Х0, В = Х1ааБ(') + Х0а,

С = Х 1аа2 5 (') + (с2 ц 2 + Ь2 ц1 )к (') + Х 0 а2.

Тогда чтобы получить общее решение системы (8), запишем уравнения относительно Д1('), Д2('), F3(t). Имеем

^()Упе К1' + Д'^е*2' + ^(У,^3' = С,

)У12еК1' +^2'(' )У22еК2' + Дз'( )У,2еК3' = В,

)У1зе К1' + Д ( )У2зеК2' + Д ( )УззеК3' = А. Обозначим Д - определитель матрицы

(13)

Выражения для -Р2(/), Е3(і) имеют аналогичный вид. Заметим, что в выражениях для F1(t), ^2(/), Е3(ґ) присутствуют константы F1, F2, F3, которые определим из условий сшивания на границе:

(Т0 ,°)=(Т0 ,а) СБк (Т0 ,°)=СХі (Т0 ,а),

Бк (70,0)=Я^а).

(13) - алгебраическая система уравнений относительно интересующих нас констант. Решая систему, получим

р~К/70 г

F] = -^- [( (70,0)-01 (70 ) +(СЯ (70,0) -

-02 (7, )Ж,Ж (70,0)-0з (70 М ] , /=1,2,3, (14)

где Я - определитель матрицы (10);

Я, (і ) = -

Ці Ґ V 11 /

А и1 -К1

К1 (70 )[(у 1 +ц)/1+1\ ]+

+--------- К1 (70 )[(У 1 + ц)/ 2 +12 ] +

У1 -К 2

У3

31

У11 У21 У31 +д

У12 У22 У32 , (10)

У13 У23 У33 +

+ -

У1 -К 2 е1 \ М1

‘К1 (70 )[(У 1 + ц)/ 3 + 13 ] 1 +

2

тогда имеем следующие выражения для интересующих нас Т1('), Д2('), Т3('):

У2 -К2

-К2 (70 )[(У2 + ц)/2 +12 ] +

F1 (і ) =

К (70 Ху 1 + ц) . [ 1-К1]

+

У3,

К 2 (70 )(У 2 +ц)

+ ^У^ЛГ 2^) р(У1 -к1 )

[У 2 -К1 ]

-0- 1е~К1'

К (70)

.У 1 -К1

р (У1-К1 ) +

цаХ1 К1У1У 2

е(Т1 -к) +

У3 -К2 1 (Уи аХ

-К2 (70 )[(У 1 + ц)/3 +13 ] 1 +

+

д

К1 УхУ2

0 (-ц/, - /)+І- ^ (-Ц32 -12_) +

У31 аХ 0

■( ц/3 /3 )

к2 У:У2 Л

1 = 1,2,3.

(15)

.К 2 (70) е

аХ 0

У 2 -К1

К1УУ 2

/ --^-К1'/1 ^+^, (11) К.

где

3, =Мц +М,2a+M¡la2,11 =цМ,з +(с2ц2 +Ь2ц1 )),■1, i=l, ^, 3; Му - алгебраические дополнения матрицы (10). Выражения для К1(70), К2(Т0) определяются из условий сшивания в точке Тсдля среднего значения капитала. Определим условия сшивания следующим образом:

5 (70,0)=5 (70 ,а), 5 '(Т, ,0>=5 '(Т, ,а).

Имеем

К1 (70 )=-

& УіУ2 & | 11 70 — +¥

У1-У 2 1 У1)

К3 УгУ2

Из (14) видим, что F/, _/=1,2,3 являются функциями от момента времени включения рекламы 70. Запишем выражения для дисперсии капитала, ковариации капитала и числа клиентов, и дисперсии числа клиентов для 70</<71: Д (і,а)=F1 (70 )Упе К1' +F2 (70 )У!1е К2' +Fз (70) К3' +01 (і) , Сж (і,а)=Fl (70 )У12е К1і + F2 (70 )У22еК2' +Fз (70 )У,2еК3' +02 (і) , Бк (і,а)= Fl (70 )У13ЄК1' +F2 (70 )У23ЄК2'+

+Fз(7o )У33ЄК3'+б3 (). (16)

Определим поведение интересующих нас характеристик капитала и числа клиентов для случая, когда доля денег на рекламу равна нулю и 71<і<7. Имеем

Бк (,0)=Я1е-2ц‘ |1(70,71 )і ^'1^

К 2 (70 )=-

У1е Т17° (ц+У1)

і

е1270 (ц+У 2

ц

Ж\ 70 — \+У

Єзк (,0)=* е-2ц +(Я2 +1(70,71)

ц І ц

Хо ц

■і 1^ц+

(12)

+(сц2 -йц1+ац)Х|-;

ц2

где

2Х 0

Г=Х0Х1а| Сц2 Ьц +а і , V=Б0Х1а-цаХ°+Х0. ц ) У1У2

В3 (,0)=

- (ц2 -Ьц1 +ац)

■(сц 2 -Ь ц1 Х<^ц 2 -Ьц1 +ац) +

271 (70,71)( Ь )

----- 20 (сц 2 -Ьц )>

е

2

+

К

2

ц

Х

xfe^' -2

■І(сц2 -Ъ ц )(( +2Ll (T0 ,T1)) +

X e ~цТі +

Rj To, T)

ц

(сц2 - Ъц )e~2цТі. (19)

U (To, T ) = :

+(сц2-Ьц1)(Т°2,Т1 ^ е-ц'4(сц2-Ьц1 )2ц' +^з, (17)

ц ] ц

где константы Я1, Я2, Я3 определяются из условий сшивания на границе. Заметим, что интересующие нас константы будут отличаться от тех констант, которые определены для случая а=0. В этом случае они будут зависеть от Т0 и Т1. Имеем Б3 (Т1,а)=^ (Т1,0),

Ок (Т1,а)=Дк (Т1,0),

С* (Т1,а)=СХк (Т1,0).

Выражение для ¿1(Т0,Т1)определяется из условий ности (20) запишем в виде сшивания для средних значений капитала и числа клиентов аналогичным образом

Теперь дисперсия и математическое ожидание капитала зависят от моментов включения и отключения рекламы. Вспомнив критерий оптимальности, обозначим

М {5 (Т)}- 5 0

При выполнении условия

л№ (т)} '

du (To,Ti)

dTo

(20)

< 0 страхо-

вая компания включает рекламу в нулевой момент времени, то есть в тот самый момент, когда начинает работать [2]. Таким образом, критерий оптималь-

Li(To, Tj ) =

W -

YiY 2

v

+ V ||x

e

Yi - Y2

Yi (Tj -To) ( (

W

V v

U(To,Ti) = Mf(T)}-So ^max.

Vo 17 VD{S(T)>

To -

Yi (Yi +Ц)

e Y 2 (Tl -To )yi

To -

1

Yi/

Yi

+V

цті

(Yi - Y2X'Y2 +^) YiY2 ц Выпишем выражения для констант ЯРЯ2,Я3:

R1 (To,T1) = e2цті fDk(T1,a) - - Li(To,Ti)e~цТ

V ц ц

Я2 (To, Tj ) = e цТі f CSk (Tj, a)-x

(18)

Имеем

S(T,o)|To =o = Pi (T - Ti) + e-ц(т-T1 )(vieYlT +

+ V2 eY 2lTl + V3)+ W1eYlTl + W2 eY 2Tl + P2,

Ds (T,o)to=o = Hi (T - Tj )- Te ^(T-Tl >x x (A1eYlTl + A2eY2Tl + A3)-є~ц(-Tl )(ß1eKlTl + B2eK2Tl + + B3 e K3Tl + B4 eYlTl + B5 eY2Tl + B6)-e ~ц(т-ті )T1 x

x (E1eYlTl + E2eY2Tl + E3)-e~2ц(т-Tl)(G1eKlTl + + G2 e K2Tl + G3e K3Tl + G4 eYlTl + G5eY2Tl + G6) +

6 Y 2T1

xe^Tl -(сц 2 -Ъц1 + ац) - Ll (To,Tl )Т1є~цТ’1

ц ц

Я3 (To,Tj ) = Ds (Tj, a) —

—(сц2 - Ъц1)x ц

:(сц2 -Ъц + ац) + (с2ц2 + Ъ2ц)+Хoац

2Lj (To, Tj ),

+ J1eKlTl + J2eK2Tl + J3eK3Tl + J4eYlTl + „ 5.

+ (/1eYlTl +12 eY2Tl +13 )т1 + H 2, (21)

где все р., V,., W,, Ht, A,, Bt, Et, Gt, Jt, 1t - выражения, зависящие от параметров модели. Например,

2Х

H1 = —т(сц2 - Ъц1 )сц2 - Ъц1 + ац) +

ц

x T1 +-

ц

-(сц2 -Ъц1 ))1e цТі +

+—— (сц2 - Ъц1 + ац).

ц

(22)

+ (сц 2 Ъц1 )) Я2 (To, T1 ) + L1 (To, T1 )[/ 2 + ||x

ц V V ц.

Из-за громоздкости эти выражения не приводятся. Далее задача сводится к отысканию с помощью численных методов такого момента 71, при котором функция и(0,71) имеет максимум.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахмедова Д.Д., Терпугов А. Ф. Математическая модель функционирования страховой компании с учетом расходов на рекламу // Изв. вузов. Физика. 2001. № 1. С. 25-28.

2. ПервозванскийА.А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986. 615 с.

Статья представлена кафедрой прикладной информатики факультета информатики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию номера 3 декабря 2001 г.

To=o

+

x