Немарковская кумулятивная модель имущественного страхования Текст научной статьи по специальности «Математика»

2008

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика

№ 1(2)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.2

К.А. Горбенко НЕМАРКОВСКАЯ КУМУЛЯТИВНАЯ МОДЕЛЬ ИМУЩЕСТВЕННОГО СТРАХОВАНИЯ

В приведенной работе предлагается и исследуется модель имущественного страхования в виде системы массового обслуживания, у которой входящий поток является кумулятивным и время обслуживания рекуррентным. Особенность модели состоит в том, что каждый клиент может застраховать некоторое количество однотипных объектов, что в терминах теории массового обслуживания означает: входящий поток - неординарный.

Ключевые слова: имущественное страхование, немарковская кумулятивная модель, капитал компании.

В имущественном страховании корпоративных клиентов, и даже физических лиц, возникают ситуации, когда клиент желает застраховать сразу несколько объектов - несколько машин или несколько домов. Фактически получается, что клиент один, а источников риска уже несколько. В этом случае, при математическом моделировании, необходимо разделять понятия страхователя и застрахованного объекта. Такое разделение помогает глубже понять структуру взаимоотношений страховщика и страхователей, позволяет предложить более точные модели. В данной работе предлагается и изучается модель описанной ситуации.

1. Модель имущественного страхования

Представим модель страхования в виде трех случайных процессов, считая момент создания компании точкой отсчета времени: Щ(г) - количество страхователей, пришедших в компанию за время t, при этом N(0) = 0; к(г) - количество объектов страхования в момент времени г, к(0) = 0; 5(г) - капитал компании в момент времени г, 5(0) = 50.

Опишем свойства указанных процессов, для этого рассмотрим временной интервал [г, г+Дг] достаточно малой длины, на котором могут произойти следующие события:

1) Пришел страхователь, т.е. ДЩ(г) = Щ(г+Дг) - Щ(г) = 1, при этом на величину ДЩ(г) накладываются следующие ограничения:

Р Д (г) = 1N (г) = N} = (Х + ) Дг + О (Дг),

Р {(г) = 0 N (г) = N} = 1 - (х + ) Дг + О (Дг),

Р [АЫ (г) > 1|N (г) = N} = о (Аг), ^>0, Р>0.

Особенности этого события:

а) Страховая компания фиксирует увеличение количества объектов страхования на величину V, которая является независимой случайной величиной со сле-

дующими известными средними характеристиками: М {V} = щ, М{у2} = и2 . Сказанное можно представить как

Дк(г) = к(г+Дг) - к(г) = V.

б) Капитал компании изменяется следующим образом:

М (I) = 5 (I+ М) - 5 (I) = v^^ts, где Е, - независимая случайная величина, моделирующая величину страхового взноса, причем М {^} = ах, М{^2} = а2 .

в) Каждый объект имеет период страхования, равный величине т, которая является независимой случайной величиной с функцией распределения В(х).

2) Наступил страховой случай. Для более точного описания этого события введем процесс /(г), равный количеству страховых случаев, наступивших за время г, тогда наступление страхового случая формально можно описать как Д/(г) = /(г+Дг) - /(г) = 1, причем предполагается, что

Р{Л/ (г) = 1 к (г) = к} = цкЛг + о (Лг), р>0, М {д/ (г)]21 к (г) = к} = цкДг + о (Дг).

С наступлением страхового случая происходят изменения в капитале компании, а именно, осуществляется выплата страхового возмещения п:

Д5(г) = 5(г+Дг) - 5(г) = -п, где п - независимая случайная величина с М {п} = Ъ, М |т|2] = Ь2.

Предложенная модель является развитием моделей, рассмотренных в [1. С. 1; 2. С. 290].

Исследование модели будет состоять в нахождении средних характеристик процессов к(г) и 5(г). Отметим, что вероятностные и средние характеристики процесса Щ(г) определены в работе [3. С. 88], поэтому результаты будем приводить с точностью до N (г) , Э {N (г)}, См {г1; г2}.

2. Средние характеристики числа застрахованных объектов

2.1. Метод просеянного потока

В работе [4. С. 134] предложен метод просеянного потока для исследования системы М^|ю. Используем идею этого метода для исследования предложенной модели. Для этого введем временной горизонт Т и процесс п(г), суть которого в следующем: рассматривается исходный неординарный поток страховых объектов, который просеивается с динамической вероятностью Р(Т - г) = 1 - В(Т - г), где г изменяется в пределах от 0 до Т, количество просеянных заявок на момент времени г равно п(г). Особенность этого процесса в том, что он является марковским и для него верно соотношение

п(Т) = к(Т).

Отметим очевидные свойства этого процесса:

п(0) = 0,

Р {Ап (г) = у| N (г) = N, у} = (Х + ) Р (Т - г) Лг + о (Лг),

Р {Ап (г) = 0 N (г) = N, V} 1 - (Х + ) Р (Т -г) Аг + о (Аг),

Р{Л п (г) > V N (г) = N, у} = о (Лг),

М {Ап (г) АЫ (г)| N (г) = N, V} ^ (Х + РЫ) Р (Т -г) Аг + о (Аг).

2.2. Математическое ожидание

Введем горизонт Т > г и представим

п(г+Дг) = п(г) + Дп(г).

Усредним данное соотношение при фиксированных реализациях Щ(г), п(г) и V, получим

М {и (г + Лг)| N (г), п (г), V} - п (г) = V (Х + р^ (г)) Р (Т - г) Лг + о (Лг).

Осуществим усреднение по фиксированным реализациям

П (г + Лг) - п (г) = И] (^ + рж (г)) Р (Т - г) Лг + о (Лг).

Разделим левую и правую части на Дг, затем устремим Дг к нулю. Отметим, что предел справа существует, следовательно, предел слева тоже существует. В результате получим

= и ( + р^ (г))) (Т - г).

Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение в пределах от 0 до г:

/ _ п (г) = м11 ( + р^ (т))) (Т -т)С т. о

Воспользуемся соотношением метода просеянного потока, полагая Т = г:

_ / _ к (г) = П (г) = м11( + рN(т)))(г -т)с1 т.

0

Окончательно,

_ / _

к (() = м11( + Р^(т)))((-т)Ст.

о

2.3. Дисперсия

Предварительно докажем одно вспомогательное утверждение.

Лемма 1. В предположениях модели

^{*|т} =рсяЖ [1\т}+и (М (/) + Р Э [М (I )})Р (Т - t), СпК {0\Т } = 0,

1Ж Сш {1\Т} = М {(п(г) - п (1)) (N(I)- N(1))}.

Доказательство. Представим

п (г + Аг) N (г + Аг) - п (г) N (г) = Ап (г) N (г) + п (г) АЫ (г) + Ап (г) АЫ (г). Осуществим усреднение при фиксированных реализациях ^(г), п(г) и V: м { (г + Аг) N (г + Аг )|N (г), п (г), V} - п (г) N (г) =

= V (X + PN (г )) (т - г) А^ (г) + п (г )( + pN (г)) + +V ( + pN (г )) (т - г )Аг + о (Аг).

После соответствующего усреднения и осуществления предельного перехода, получим

АП ^ ) = и ( ^)+Р^2 ))р (т - )+ХП (г )+р п (г) N (г)+и (+р! (*)) (т -).

Далее, используя определение функции СиЖ {г |Т}, имеем

{1\Т} = ап (1) N (1) _ Оп (1) ^ ^ (г) =

= рс^ {г|т} + «! (А( (г) + р э {N (г )})р (т _ г).

Получили утверждение леммы.

Теорема 1. В предположениях модели

D{k (г)} = 2м1Р|СпМ {т|г}Р(г -тт + м21( + Р^(т)))(г -т)^т.

0 0

Доказательство. Рассмотрим соотношение

п2 (г + Аг) = п2 (г) + 2Ап (г) п (г) + (Ап (г ))2.

Проведем условное усреднение:

М {п2 (г + Аг) N (г), п (г), V} - п2 (г) = 2v + (г ))Р (Т - г )Агп (г) +

+v2 (X + pN(г))Р(Т - г)Аг + о(Аг).

После применения стандартных преобразований получим

= 2щ (п (г) + ри (г) N (г)) (т - г) + и2 + (г))) (т - г).

Воспользуемся свойствами дисперсии:

= ^11 - 2п (г) М) = 2М1рсяЖ {/|Г }р (т - г) + «2 ( + р^ (г))р (т - г).

Таким образом, получили

= 2М1рсяЖ [1\т }Р (т - г) + «2 ( + р^ (г))) (т - г ),э{« (о)} = 0.

Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение и затем воспользуемся соотношением метода просеянного потока. В результате получим утверждение теоремы.

2.4. Ковариация

Как и в случае дисперсии, начнем рассуждения с доказательства вспомогательных утверждений.

Лемма 2. В предположениях модели

г г г _

Скп {Т} = щв \СШ{х|Т}Р( - х)Сх + щР\Сш{х\}Р(Т- х)Сх + и2 + РN(х))(Т -х)йх,

0 0 0

где Скп [1\Т} = М{(к()-к (I))(п(I)-п (I))}.

Доказательство. Введем в рассмотрение процесс т(т), который отличается от процесса п(т) только временным горизонтом t, т.е. соответствующая этому процессу вероятность просеивания равна Р(г - т) = 1 - В(г -т), при этом Т > г > т. Представим

т (т + Ат) п (т + Ат) -т (т) п (т) = Ат (т) п (т) + т (т) Ап (т) + А т (т) Ап (т).

Как и прежде, проведем условное усреднение:

М { (т + Ат) п (т + Ат)| N (т), п (т), ш (т), v}-m (т) п (т) =

= V (( + pN (т ))Р ((-т)Атп (т) + ш (т )v (( + pN (т))Р (Т -т )Ат + +v2 (?l + pN (т))(Т -т)Ат + о (Ат).

После усреднения и предельного перехода получим

(т)п(т) = щ (п (т) + Рп(т)N(т))(г -т) + d т 4 ’

+щ (т (т) + Рт (т)N(т))(Т -т) + и2 ( + pN(т))Р(Т -т).

Введем функцию Стп {т|г,Т} = М{(т(т) - т(т))(п(т) - п (т))} .Продифференцируем ее, используя ее очевидное свойство:

ЛСтп {т\1,Т} = ат(т)п(т) _ dm(т) __ _ ) М(т) = а т а т а т а т

= {т |Т }Р ( _т) + «!рСп^ {т| *}Р (Т _т) + «2 ( + Р^ (т))) (Т _т).

В результате

^Стп !т|*’Т} = « РСЖ {т|Т} Р(г -т) + и1вспм {т|г} Р(Т -т) + а т +и2 ( + Р^(т))Р(Т-т),Стп {0|г,Т} = 0.

Проинтегрируем

Стп {т|г,Т} = м1Р \СпК {х\Т}Р( - х)с1х + м1Р \СпК {хЩР(Т - х)с1х + и2 + Р^(х))Р(Т - х)с1х.

0 0 0

Воспользуемся соотношением метода просеянного потока, полагая т = /. В итоге, придем к утверждению леммы.

Лемма 3. В предположениях модели

СкЫ {1 , ?2 } = СпN {1 |?1 } 2 1 ^ ,

где Сш {1и*2} = М {(к (*!)- к (?!))(N(12)- N(*2))}, ь < н.

Доказательство. Воспользуемся представлением

к (?!) N (*2 +Лг2) = к (?!) N (*2) + к (?!) Ш (г2).

Усредняя при фиксированных реализациях к(^) и N(/2), получим

М {{ ( ?! ) N ( *2 + Л*2 )| N ( *2 ) > к (*! )}- } (*! ) N (*2 ) = к ( Ч ) ( ^ + ( *2 )) Л*2 + 0 ( Л*2 ) •

После применения стандартного набора операций получим dk (?! ) # (?2 )

= Хк (?! ) + Рк (?! ) N (?2 )•

Воспользуемся определением функции Сш {?!, /2 } и ее очевидным свойством

{1> ^2 } ^К (^1) # (*2 ) Г (. Ч Ж (2 ) ПС { . } К (?1 4 VI, 12 } }

Таким образом,

' {* * }

' = РСкЖ {і1,*2} , СкЖ {і1,*1} = СиЖ {*1 |М •

Решая полученное дифференциальное уравнение, придем к утверждению леммы. Теорема 2. В предположениях модели

Ск {^1,12 } = Скп {1*2 } + м1РСиN { М I е^( 1 ^ Р ((2-т)^т,

^1

где Ск {Ч} = м{(к(ч)-к (^1Жк(к)-к (к)}}•

Доказательство. Запишем, считая что ^ < ?2 < Т,

к (?!) п (?2 +А?2 ) = к (?!) п (?2 ) + к (?1 ) Ап (?2 )•

Используя ту же логику рассуждений, что и в лемме 3, получим

Щ(1)п(*2 ) = И1 ( (( ) + Рк )) (т - ) )

а?2

Введем функцию С^ {1;г2Т} = М{(к()-к ))(и(г2)-п(2))}. Далее, вьг полняя дифференцирование, имеем

{*1, *2 |Т}

^2

■- Щ$СШ ?2 }Р(Т І2 ),

где Скп {*1, *1 \Т} = Скп {^1Т} .

Проинтегрируем, отсюда

Скп {, ч |т} = Скп {*1 Т}+«Л Сш &, т} р (т -т) а Т.

н

Далее, используя соотношение метода просеянного потока и результаты леммы 3, получим утверждение теоремы.

3. Средние характеристики капитала компании

3.1. Математическое ожидание

Представим

5 (г+ Аг) = 5 (г) + А5 (г).

Зафиксируем реализации £(/), к(г), ^, п и V для проведения условного усреднения:

М {5 ({ + Аг) |5 (г), к (г), ц, V} - 5 (г) = Ьу (Х + р^ (г)) Аг -ццк (г) At + о (Аг).

Пользуясь независимостью случайных величин ^, п и V, проведем безусловное усреднение

5 (г + Аг)- 5 (г) = а1и1 (Х + р^ (г)) Аг - йщк (г) Аг + о (Аг).

После соответствующего преобразования и предельного перехода получим

) = °\Щ ( + Р^ (г))- Ь^к (г), 5 (0) = Б0.

Проинтегрируем

Б () = Б0 + а1и11 ГК1 + Р|N(т)ат |-к (т)ат.

V о ) о

3.2. Дисперсия

Докажем два вспомогательных утверждения.

Лемма 4. В предположениях модели

^{?} = РС^ {#} - Ъ^СМ т + а1и1 ( + (/) + Р Э {()}), Сж {0} = 0,

где Сж {/} = М {(N {) - N (г)) (5 (/) - 5 (/))} .

Доказательство. Представим

N (г+ Аг) 5 (г + Аг) - N (г) 5 (г) = АN (г) 5 (г) + N (г) (г) + АN (г) (г).

Применяя условное усреднение при фиксированных реализациях Б^), £(г), ^, п и V, получаем

М { (г + Аг) 5 (г + Аг )| 5 (г), к (г), п, V}- N (г) 5 (г) =

= (X + pN (г))Аг5 (г) + N (г)((( + pN (г))-пцк (г))Аг + ^ (( + pN (г))Аг + о (Аг). После соответствующих преобразований

а^(г)^ (г)+а1и1ХЫ (г)+а1м1р N2 (г) - Ъщк (г (г)+а1и1 (+(г)). Используя определение функции Сж5 {г}, имеем

асж {?} = аы (г) ^ (г) _ <т (г) ^ (г) _ N (г) ^ (г) = аг аг аг аг

рсж5 {г} + ЙГ1И1Р 0(ы (г)} _ {г} + ЙГ[И[ (Х + Ры (г)).

После группировки слагаемых получим утверждение леммы.

Лемма 5. В предположениях модели

г г г

Ск5 {*} = «1РI сж {т)р (г- т) а т+адР I С«^ {т к) ат - % I о„ {т |г}а Т+

0 0 0

г _

+ а1и2 I( + Р^(т)))(г -т)аТ,

0

где Ск8 {г} = М {(к (г) - к (г)) (5 (г) - 5 (г))}.

Доказательство. Как и прежде, воспользуемся представлением

п (г + Аг) 5 (г + Аг) - п (г) 5 (г) = А п (г) 5 (г) + п (г) А5 (г) + А п (г) А5 (г).

Далее проведем условное усреднение:

м { (г + Аг) 5 (г + Аг) |5 (г), к (г), п, V} - п (г) 5 (г) = = V (Х + р^ (г)) (т - г) АгБ (г) + п (г)( (Х + р^ (г))-пцк (г))Аг + +^2 (Х + р^ (г )) (т - г )Аг + о (Аг).

Легко получить следующее уравнение:

^ П = М[ ((+ вN (1) $ ())) (Т - г) + ахи{Кп (г) +

+а1м1рп (г) N (г) - Ь1цк (г) п (г) + а1м2 ( + pN (г))) (Т - г).

Введем в рассмотрение функцию Сп5 {г|Т} = М{(п(г) -п(г))(5(г)-5 (г))}, для которой несложно получить следующее дифференциальное уравнение:

аСп5^Т} = «1рСж5 Р(Т -г) + а1м1рСя^ {г |Т} - {г |Т} +

а

+ ( + р^(г))Р(Т - г), Сп5 {0|Т} = 0.

Проинтегрируем и воспользуемся соотношением метода просеянного потока:

Ск8 М = «1Р1 С№? {т) Р (1 - т) ат + аЛР IСпМ {т к) ат- VIОп {тк) ат+

0 0 0

/ _

+ а1и21(Х + Р^(т)))(г-т)^т.

0

Получили утверждение леммы.

Теорема 3. В предположениях модели

г г ( г _ Л г _

Э{5(г)} = 2а1м1Р|Ст {т} ат-2Ь1ц|СК {т} ат + а2м21 Хг + Р|N(т)ат 1 + Ъ2ц|к (т)ат.

о о V о У о

Доказательство. Представим

52 (г + Аг) = 52 (г) + 2Б (г) А5 (г) + (А5 (г ))2.

Осуществим условное усреднение:

М {52 (? + А? )| 5 (?), к (?), п, V} - 52 (?) = 25 (?)( ( + р^ (?))-цук (?))А? +

+ (V2 (X + (?)) + п2Цк (?)) А? + о (А/).

После соответствующих преобразований имеем

ЛС2 (г) _ _________ ________ _ _

—Л = 2а1ы1 (б (г) + р^ (г) С (г))- 2Ъ^к (г) С (г) + а2и2 ( + р^ (г)) + Ъ2цк (г).

Пользуясь свойствами дисперсии, можно получить следующее дифференциальное уравнение для D{S(г)}:

а°()} = 2а1и1рСж5 {г} - 2Ъ^Ск5 {г} + а2и2 ( + Р^(г)) + Ь2^к (г), 0{(0)} = 0.

После интегрирования получим утверждение теоремы.

3.3. Ковариация

Во всех дальнейших рассуждениях будем считать, что г\ < г2.

Лемма 6. В предположениях модели

С5М {г1; г2 } = См5 {^1} е^( 2 1), где Сж [н,г2} = М{(5 (г,) - 5 (г!))(N(г2) - N(г2))}.

Доказательство. Воспользуемся представлением

5 (^^ +М2) = 5 ) N (хг) + 5 (/!) (/2).

Далее применяя стандартный набор действий, получим ^ (/!) N (/2)

= (/!) + р5 (/! ) N (/2 ) ,

а?2

Воспользовавшись определением С5Ж (г1, ?2}, имеем

- PCSN {1>12 }, CSN {, ?1} - С№ {г1}-

Решая данное дифференциальное уравнение, получим утверждение леммы. Лемма 7. В предположениях модели

*2

С5к {/1,г2} = Си5 {/1 1*2} + М1РСЖ5 {/1 } I^ 1 ^ Р(/2-т)Шт,

*1

где С» {*1 > ^2 } = М {(5 (*1) - 5 (*1 )) (к (^2 ) - к(*2 ))} .

Доказательство. Представим, считая ^ < ?2 < Т,

5 (?1 ) П (?2 + А?2 ) = 5 (?1 ) П (12 ) + 5 (?1 ) Ап (12 ) .

Опуская очевидные промежуточные действия, перейдем к дифференциальному уравнению

= И1 (ЯЛ (^ ) + Р5 (/! ) N (/2 )) (Г - ) ).

Ш 2

Введем в рассмотрение функцию С5и ( ,?2 |Г} = М|(5(?)) - 5 (^ ))(п(?2) - п (?2))}, для которой легко получить следующее дифференциальное уравнение: dCSn {г1, Ь |т}

■- MlPCsN {1, ^2 }Р(Т г2 ),

где Оп {?, ?! |Г} = Сп5 {? |Г}.

Проинтегрируем

*2

Сп {^1, ^2 Т} = Сп5 { Т} + М1Р| Сж {, т}Р(Т -Т) йТ.

*1

Воспользуемся соотношением метода просеянного потока и утверждением леммы 6:

CSk {1, ?2 } = CSn {1,?2 1*2 } = Си5 {11*2 } + М1РСЛХ {1} I ^ 11 Р(*2 -т)^т

^1

Получили утверждение леммы.

Теорема 4. В предположениях модели

*2 *2

С8 { > *2 } = ° { (*1 )} + а1и1$\ { >т} ^Т-НЬ1 I СЯ1 {^1,т} ^Т

где С5 {?,,/2} = М {(5 (?!) - 5 (?1))(5 (?2) - 5 (?2))}.

Доказательство. Воспользуемся представлением

$ (А ) $ (*2 + ^2 ) = $ (Ч) $(*2) + $ ( ^1) ^ (*2 ) .

Легко получить следующее дифференциальное уравнение:

^а!^(?2 ! = а1М1 ( ^)+в5 ^)н ))- ^)к (?2)'

Воспользуемся определением функции CS {/1, (2} и имеем в результате {?1, ?2}

■— а1М1РС5^ {, *2 } ИЬ1С5к {*1,*2 },

где С5 {?!,^} = Э{5(*!)}•

После интегрирования получим утверждение теоремы.

Заключение

Как видно из приведенных рассуждений, найдены основные средние характеристики процесса изменения количества застрахованных объектов и процесса изменения капитала компании. Для математических ожиданий найдены явные выражения, для остальных - неявные.

ЛИТЕРАТУРА

1. Змеев О.А. Исследование математических моделей процессов страхования при нестационарных потоках страховых рисков: Автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук. Томск, 2005.

2. Горбенко К.А. Стохастическая модель функционирования страховой компании с кумулятивной интенсивностью входящего потока и независимым временем обслуживания клиента с произвольной функцией распределения // Вестник ТГУ. Приложение. 2006. № 18. С. 290 - 291.

3. Горбенко К.А. Кумулятивный поток // Вестник ТГУ. № 293. С. 88 - 95.

4. Куликова О.А., Моисеева С.П., Назаров А.А. Метод просеянного потока для нахождения одномерного распределения вероятностей значений процесса изменения числа заявок в системе М|С|да // Обработка данных и управление в сложных системах. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 134 - 137.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 12 сентября 2007 г.