Кумулятивный поток Текст научной статьи по специальности «Математика»

К.А. Горбенко КУМУЛЯТИВНЫЙ ПОТОК

Предлагается и исследуется случайный поток, характеризующий эффект саморекламы. Упомянутый эффект проявляется в следующем: наступление события потока увеличивает вероятность наступления следующего за ним события, например, в экономике это связано с эффектом распространения слуха клиентами компании, который увеличивает приток новых клиентов.

В рыночных условиях большинство компаний стремится привлечь к себе как можно больше клиентов. Для этого используются различные методы, в том числе и воздействие компаний на собственных клиентов. Это может быть и система скидок, и индивидуальный подход и т. д. Делается это не только для удержания клиента, но и для стимулирования активности самого клиента - распространения им положительной информации о самой компании и об оказываемых ею услугах, что, конечно, возвышает компанию в глазах потенциальных клиентов и склоняет сделать выбор в ее пользу. В данной работе предлагается и изучается модель описанной ситуации.

Модель потока

Рассмотрим временную ось, на которую нанесены моменты наступления некоторых событий, например моменты поступления клиентов в компанию. Будем предполагать, что события являются однородными, т.е. отличаются друг от друга только моментом наступления. Введем точку отсчета - момент, с которого началось наблюдение. Примем точку отсчета за ноль. Далее введем процесс МЇ), который по смыслу будет означать количество событий, наступивших за время ґ от момента отсчета.

Представим

N (ґ + Дґ ) = N (ґ ) + А^ (ґ),

роятностей Р {Ы, /} [2]. Рассмотрим временной интервал [/, /+Д], где Д достаточно мало. Используя формулу полной вероятности, запишем

р {ы , /+Д/} = = Х°Р { (/ + Д/) = N | N (/) = N - у}р{Ы Р} =

1= 0

= Х°Р{(/) = 1 | N(/) = N - 1}р{Ы - }}. (1)

1=0

Рассмотрим последние Ы-Ы0-1 слагаемых. Прежде всего оценим

Р{ДЫ (/) = ] | N (/) = N -1}<

да

<Х Р{ (/) = п | Ы(/) = N - ;}= о (Д/), 22 ] 2 N - 2.

п=2

Таким образом,

Ы-Ы0 ,

X Р { (/) = 1| N(/) = N - 1рР {Ы - р/}<

1=2 Ы-Ыо ,

< X Р {(/) = 1| N(/) = N - 1р< о (Д/).

1 =2

где A достаточно мало. Далее сделаем предположения относительно AN(t) [1]:

P {AN (t )= 11N (t ) = N}=(X + PN)At + о (At),

P{ (t) = 0 N (t) = N}= 1 -(X + PN )At + о (At),

P{ (t) > l|N (t) = N}= o(At),

где X>0, P>0.

При этом естественно считать, что N(0)=N0, т.е. к моменту отсчета сколько-то событий наступило.

Сделанные предположения отражают смысл названия потока (от англ. cumulate - накапливать): параметр потока X+PN линейно растет с увеличением количества наступивших событий.

С учетом последнего результата и предположений модели соотношение (1) можно записать в виде

р{ы , г + Д/р = (1 -(х + ры )д )р{ы , /}+

+ (х + р(ы - 1))Др{ы -1,/}+о(Д)

После преобразований осуществим в полученном равенстве предельный переход при Д^0. При этом заметим, что предел справа существует, следовательно, существует предел слева.

d P {V, t}

dt

= -(x+pv )P {TV, t} +

(2)

-(X + P(V - 1))P {V -1, t}.

Одномерное распределение вероятностей

Обозначим Р {Ы, /} = Р {ы (/) — N}. Далее, используя Д/-метод, получим уравнения для определения ве-

Решим полученную систему дифференциальных уравнений методом производящих функций [2, 3]. Для этого введем производящую функцию следующим образом:

G (z, t )=^ Z P {, t}, 0 < z < 1.

(3)

Для того чтобы осуществить переход к функции 0(х,/), необходимо (2) умножить на и просуммиро-

вать по N в пределах от Ы0 до ®. Перед тем как записать дифференциальное уравнение для 0(х,/), отметим:

да

X Р {Ы, /} = (х, /),

N=N0

да

X (Ы- 1)Ы Р{Ы-1,/} = х2в: (х,/),

N=N0

да

X Р{Ы -1,/} = хО(х,/).

N=N0

Следовательно, уравнение (2) перепишется в виде

ао (2, г)

ж

■ = -ХО (х, ґ) -РхОх (г, ґ) + ХхО (г, ґ) + РгО (г, ґ),

или

йО (х, ґ) .йО (х, ґ) . . . .

в (г-1)~йг'=Х(г-')О ^')

йґ

О (г,0) =

йґ йг

йО

1 Рх (2 -1) Х(х -1)0

Рассмотрим уравнение

йґ

йг

1 Рх(х -1)’

которое после интегрирования можно переписать в виде

или

- Рґ = 1п(1 - Г)- 1п(х)- 1п(С)

Рассмотрим второе уравнение

ах _ ао р2 ~хо ’

которое имеет следующее решение:

1П (0 ) = --в1П (2 )+ 1П (С2 ). Окончательно можно записать

С2 = Охр.

(4)

Решим полученное дифференциальное уравнение в частных производных 1-го порядка [4]. Для этого составим систему

Запишем общее решение уравнения (4) в виде

С2 = Ф(С1) или Охр = ф|^—1^ ер' I.

Найдем вид функции Ф(и). Сначала, пользуясь начальным условием, получим

Далее обозначим и = — -1, тогда х = (1 + и) 1.

2

Таким образом,

Ф(и ) = (1 + и )-в-Ы0.

На основе полученных результатов запишем вид функции 0(х,/):

р No ---N0

евґ | '

или

О (х,/) = хм° (х-(х - 1)ер') в 0. Преобразуем функцию 0(х,/):

(1 + х (р' -1))

-| —+N |рґ

О (х, ґ) = е 1р J xNo

или, окончательно,

О (х, /) = е-(х+ры°)г (1 -(1 - е-р' )х)Ы0 хЫ0. (5)

Отметим, что 0 < (1 - е р/) х < 1, поэтому функцию можно разложить в ряд Тейлора

О (гґ ) =

_ -(^Р^ )ґ N0

да

1+ Н1 - е-Рґ)” (-х)

(-1)” П (£ + No + *

п і=0 V Р

п!

Таким образом, используя последнее соотношение и определение функции О (х, /), получим

= е-(Х+Р^ )ґ

P{N (ґ ) = N0 } =

Р{ (ґ )= N0 + п}=-

ПІ в+^+*

п!

(6)

и- г

а-(+р^ )ґ

Х

Х

Отметим, что (6) является условным распределением, т.е.

Р{(/) = Ы0 + п} = Р{(/) = Ы0 + п | N(0) = Ы0}, где п = 0, 1, 2, к .

Распределения вероятностей значений длин интервалов между моментами поступления соседних заявок

Исследуем длины т временных интервалов между моментами поступлений двух соседних заявок. Пусть в момент времени ґ поступила N-3 по счету заявка, тогда функция распределения времени между моментом поступления ^й и (N+1)^ заявок будет иметь вид

^ (х | N (ґ) = N) = 1 - Р {т> х | N (ґ) = N} =

Лемма. В предположениях модели

£ І Р І І ґ, N1 = о (А), п = 0,1, 2,

І=2

= 1 - Р { (ґ + х) = N | N (ґ) = N1 = 1 - е

или

^(х | N(ґ) = N) = 1 -(

т.е. получили условную функцию распределения. Получим теперь безусловную, для этого воспользуемся формулой полной вероятности

да

р(х)= X Е( | N(/) = N)р{(/) = Ы} =

=1 -£

-(Х+р( +”)

Р { (ґ ) = N0 + п}.

Найдем вид суммы

£

^-(Х+р(«0 +и))

Р { (ґ ) = N0 + п} =

= е-(Х+Р^0 )(ґ+х)

П |- + N0 + і

, + £ ^-----------------------------1 [е-., (1 - е- )]■

п=1 •

= е-(Х+Р^0 )(ґ+х) (1 - е-Рх (1 - е-вґ) в 0 В результате

^ (х) = 1 - е-((+р"0 )(ґ+х) (1 - е-рх (1 - е-рґ ))^^-^0 Условная интенсивность

Обозначим

Р\(ґ) = І І N(ґ) = ^ = Р{і і ґ, N}.

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции.

0) Заметим, что случай п=0 является условием модели, поэтому для этого случая лемма доказана.

1) Пусть (7) выполнено для п=п-1, тогда, так как 1>1, справедливо

1 <І <І2 <... <Іп-1,

откуда следует, что

£ Іт Р {і І ґ, N} = о (Дґ), т = 0, п -1.

І =2

2) Проверим истинность (7) для п:

да

£ Іп Р {і І ґ, N}= е-(Х+р")Дґ (1 - е-рД')х

І =2

ЛПЇ- + N + і

х£ (І+1)"4 +N+І ] ------і (1 - е ).

Рассмотрим

(+1)п-1 ^ів+N+І !=£ СіІ‘, где С"=1'

Вернемся к интересующей сумме

£ Іп Р {і \ґ, N} =

І=2 п-1 да

- + N |(1 - е-^)-^)ґ £ +

+£Ст£ІтР{і |ґ, N}£ІпР{і \ґ, N}

т=0 І=2 І =2

(1 -е-рА).

Используя пункт 1) рассуждений, получим

да

£ Іп Р {І і ґ, N} = ерДґ (рДґ + о (Дґ))х

І=2

Х

в'

+ N І е-(Х+р")Дґ РДґ £ Сі + о (Дґ)

= о (Дґ).

Получили утверждение леммы.

Лемма доказана.

Введем понятие условной интенсивности

М{Д^ (ґ) І N(ґ) = N}

Дґ

Теорема 1. В предположениях модели = Х + pN.

п=0

і=0

п=0

х

Доказательство. По определению

да

M {AN (t) | N (t) = N}} i P {i | t, N} =

/=0

да

= P {AN (t) = 1 | N (t) = N] + X i P { | t, N}.

/=2

Используя лемму и предположения модели, получим M {an (t) | N (t) = N| = (X + ßN) At + o (At).

Разделив левую и правую части последнего соотношения на At и устремив At^-0, получим

M\(t) |N(t) = N} X u„ = lim —--------------------- = X + ßN.

N At^0 At

Получили утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Математическое ожидание

Из-за громоздкости формул (6) откажемся от поиска среднего по определению и воспользуемся менее трудоемким и более наглядным методом [1]. Рассмотрим [t, t+At] и представим

N (t + At ) = N (t ) + AN (t), где N(t) фиксировано и

Г+1, с вер. ( + ßN (t))t + o (At),

N(t) = -- + | Nо +-|e-.

ß

ß

(9)

AN (t ) = -

0, с вер. 1 -( + ßN (t))t + o (At).

Усредним Ы(/+Д/) при фиксированной реализации Ы(/):

М { (/ + Д/) | N (/)} = N (/) + (Х + рЫ (/)) Д/ + о (Д/). Далее усредним по реализации Ы(/):

Ы ( + Д/ >~Ы (/> = х + рЫ (/>+2^

At

At

Осуществим в последнем равенстве предельный переход при Д/—>0, так как предел справа существует, то существует предел слева, т.е. получим дифференциальное уравнение первого прядка с постоянными коэффициентами

dN(t) —

V > - 7 _1_ R М dt

= X + ßN (t), N (0 ) = N0. (8)

Вид математического ожидания говорит о том, что процесс Ы(/) в среднем развивается с экспоненциальной скоростью.

Безусловная интенсивность

Построим безусловную интенсивность д следующим образом:

M (an (t)} ц = lim—i---------^-.

At^0 At

Теорема 2. В предположениях модели |i = (X+ßN0 )eßt. Доказательство. По определению

да

M {AN (t)} = X i P {AN (t) = /} =

i =0

да да

= X i X P A |t, N}P {N (t) = N} =

i =0 N = N0

да да

= X P N (t) = N} i P A I t, N}.

N=N0 i =0

Найдем отдельно

да да

XiPAI t,N} = XiP{n(t + At) = i + n|N(t) = N}±N =

i=0 i=0

да

= X(i + N )P {N (t + At ) = i + N|N (t ) = N}- N =

i=0

да

= X i P {n (t + At) = i| N (t) = n}-N =

i=N

= M {n (t + At )|n (t ) = N}-N = ^ N + Xj(eßAi -1). Подставим

M {AN (t)} = (eßAi -1) X fN + -| P {N (t) = N} =

N = N0

:(eßAi -1)

-+ X NP{n(t) = n|N(0) = N0}

ß N=N0

= (X + ßN0 ) eßt At + o (At).

Приведенное дифференциальное уравнение имеет следующее решение:

Разделив последнее соотношение на Д/ и Д/—0, получим утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Дисперсия

Найдем дисперсию вышеизложенным методом, т.е. на интервале [/, /+Д/] представим

N2 (t + At) = N2 (t) + 2AN (t) N (t) + (AN (t))2 где при фиксированной реализации N(t)

Г+1, свер. ( + ßN (t))t + o (At),

(AN (t)) =■

0, свер. 1 -(X + ßN(t))At + o(At).

Далее получим

M {2 (t + At) | N (t)} - N2 (t) =

= 2 (X + ßN (t ))N (t )At + (X + ßN (t)) At + o (At).

Усредним по реализации N(t):

N2 (t + At)-N2 (t)

Ai

= 2ßN2 (t) + (2X + ß) N (t) + X + ■

KA)

Ai '

После предельного перехода

dN2 (t) — . . . . — . .

—-+1 = 2ßN2 (t) + (2X + ß) N (t) + X.

На основе последнего уравнения получим уравнения для дисперсии. Для этого воспользуемся определением дисперсии

Б {Ы (/)} = Ы2 (/)- N2 (/).

Продифференцируем последнее соотношение:

аБ{Ы(/)} = а~2 (/) - 2Ы(/) аЫ(/) а! а! а!

= 2РN2 (/) + (2Х + р) N(/) + Х - 2N(/)(х + РN (/)),

или

dD {N (t)}

dt

= 2ßD {N (t )} + ß N (t ) + X,

N (/1 )Ы (/2 + Д/2) = N (/1 )Ы (/2)+ N (/1 )ДЫ (/2) и усредним равенство при фиксированной реализации Ы02 ={Ы(т):0<т</2} :

М {Ы ()Ы (/2 +Д/2)| N02 }-N (I, )Ы (/2 ) =

= N (^ )(Х + РЫ (/2 ))2 + о (Д /2).

Далее усредним по фиксированным реализациям, разделим левую и правую части на Д 2, Д 2— 0. В итоге получим

dN(t1 )N(t2) dt2

= ßN (ti )N (t2 ) + XN (ti).

Воспользуемся определением ковариации

CN {ti, t2 } = N (ti )N (t2)-N (ti )N (t2) и продифференцируем это равенство:

dCN 2t1, t2 } = dN (ti )N (t2 )- N (t )dN (t2 )

dt2 dt2

dt2

= ßN (ti )N (t2 ) + XN (ti )-N (ti )(X + ßN (t2)). После преобразований

ddcN{rt} = ßCN {ti,t2}, CN {ti,ti} = D{N(ti)}.

Решение полученного уравнения имеет вид

CN {ti, t2 } = D {N (ti)}

Воспользуемся формулой (ii):

,ß(t2-ti )

D {N (0 )} = 0. (i0)

Решая (i0), получим

D {N (t )} = -(]ß + N0 ) eßt + (ß + N0 )

e2ßt. (ii)

Данный результат говорит о том, что колебания процесса относительно своего среднего возрастают с экспоненциальной скоростью.

Ковариация

Рассмотрим моменты ^, t2: ti<t2. Представим на интервале [t2, t2+At2]

Cn {,t2} = |ß + N01eßt2 (eßt- - 1).

Снимем ограничение t]<t2. Для этого введем обозначения

¿min = т1П l2 ) и tmax = maX ( l2 )

тогда окончательно

Cn {,t2} = |ß + N0 jeß^ (eßtmln - 1).

Мода

По определению [5]:

Mo = arg max {p {N (t ) = N0 + n}

Теорема 3. В предположениях модели верно следующее:

1) если выполнено

(X+N0 - d eßt-^ß+N0 ^6 {N0, N0+1, ...},

то

Mo =

n* v n* +1, P{Nt = N0 + n*}> P{Nt = N0}, г v n* +1v N0, P{Nt = N0 + n*} = P{Nt = N0},

N0, P{Nt = N0 + n*}<P{Nt = N0};

2) если выполнено

X+N0 - d eßt-^x+N0 ]«{N0, N0+1, ...},

то

Mo =

n* + 1,P { = N0 + n* +1}> P {Nt = N0}, / + 1vN0, P{Nt = N0 + n* +1} = P{Nt = N0}, N0,P { = N0 + n* +1}< P {Nt = N0},

где

в + Л.-1) е--(£ + Л,

[ ] - взятие целой части.

Доказательство. Рассмотрим п е {1,2,3, к}.

1) Найдем значения п, для которых верно

Р { (/) = N0 + п +1} ^ 1 Р {Л(/) = N0 + п} “ .

Для этого подставим в последнее неравенство определения вероятностей, после сокращений получим

п+г (Х+Л.+п )( -е")г 1

Р {л (/ ) = Л0 + п* +1}

Р {Л (/) = N0 + п*} = .

2) Теперь найдем значения п, для которых верно

Р {л (/) = N0 + п +1} < 1 Р {Л (/) = N0 + п} < .

Аналогичные рассуждения приводят к следующему неравенству:

+ N0j(eßt-1)-eßt <>

т.е. для п = п +1, да вероятности образуют убывающую последовательность, где Р {Л (/) = Л0 + п +1} является

максимальным членом последовательности.

Объединяя результаты пунктов 1), 2) и учитывая вероятность Р {л(/) = Л0}, получим утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Приближенное вычисление одномерного распределения

В данном пункте рассмотрим проблему вычисления одномерного распределения вероятностей (6) при «большом» интервале наблюдения [0, /].

Трудности вычисления связаны с тем, что при увеличении длины интервала наблюдения значения процесса Л(/) в среднем увеличиваются - это хорошо видно из формулы (9). Отмеченное увеличение, как видно из формул (6), затрудняет вычисление факториала. Поэтому необходимо каким-то образом модифицировать формулы (6), чтобы они стали вычисляемыми.

Идея вычисления состоит в использовании унимодальности распределения (6) при длительном интервале наблюдения - это следует из теоремы 3 и стремления к нулю вероятности Р {л (/) = Л0} при /—да.

Проведем модификацию для случая Л(0)=0. Для на-

чала отметим тот факт, что

Преобразовывая, получим

s|j + N0 V -1)-e".

Mo =

-X + |X- 1| eßt ß Iß

+1 =

Получили, что для п, удовлетворяющих последнему неравенству, выполнено исходное неравенство, т.е. для

п = 1, п +1 вероятности возрастают. При этом если

величина

X+N -1)-

eßt является целой, то

= [ N (/)-ер' ] +1 = [ N (/)-р/],

т.е. математическое ожидание и мода находятся «достаточно близко друг от друга» при малом значении параметра р. Поэтому при помощи формулы Стирлинга [6]:

____ _е_

п! = л/2пп пп е-пе12п, 0 <9< 1,

модифицируем вероятность Р (ґ) — [N ( )]} [

Цу = Х + р^

(13)

взятие целой части. Для этого запишем, без учета е1

п рв+i ]

Р{Л(/) = N} ±в—1— (1 -е-р')е-х ' л/2лЛ ЛЛ е-Л ' ’

где N = [ N (/)].

Далее, используя представление

N (ґ ) = -в ерґ ґ1 - е-Рґ),

(12)

запишем

NN =

в евґ (1 - е-вґ) е™ (1 - е-вґ).

В (13) ц имеет смысл условной интенсивности,

т.е. количество заявок в единицу времени при условии, что уже поступило N заявок. В качестве единицы времени можно взять год, квартал, месяц, неделю, день. При этом важно отметить, что вся необходимая для исследования информация находится в документах (в частности, для страхования - полюсы), которые фиксируют происходящие события с точностью до дня, т.е. редко можно увидеть, когда на финансовых документах помимо даты ставится еще и время (часы, минуты, секунды) подписания документа или вступления его в силу. Поэтому, без ограничения общности, будем считать единицей измерения один день.

Формализуем вышесказанное. Пусть имеются следующие данные:

Последнее приближенное равенство будет тем ближе к точному равенству, чем ближе значение математического ожидания к какому-либо натуральному числу. Таким образом, можно записать

Р Л (/)=Л ^¿л ПI1+'!] е-Л-'х'" -,

где N = [ N (/)].

N0, Nl, N2,

где - количество клиентов, пришедших в г-й день, Т - количество дней наблюдения.

Таким образом, связь между величинами Лг с учетом модели (13) можно представить следующим образом:

N =Х+р£ Ni.

І =0

Для расчета остальных вероятностей воспользуемся соотношением

Х

—+ п

Р N (ґ ) = п + 1) = -п+Г ґ1 - е-Рґ)Р \ (ґ ) = п}

Для оценивания параметров X и р воспользуемся методом наименьших квадратов, т.е. решим следующую оптимизационную задачу:

Т ( і-1 І

2 = £ N-Х-р£Nj

'=! V 7=0 )

ШІП.

Х,р

на основе которого можно предложить следующее правило:

1) выбираем некоторое натуральное число 5;

2) для і = 1,5 рассчитываем

Х

- + N + і -1

Р\(ґ ) = + ,}=}_+__ ґ1 - е-вґ )p{N (ґ ) = N + і' - ^

P{N(ґ) = N - і}=„¥ 1 +1 (1 - е-рґ) 1 Р {Т^(ґ) = N - і +1}.

Х ЛГ ■

— + N -1

Р

Выражение (12) и последнее правило образуют метод приближенного вычисления одномерного распределения вероятностей

Оценивание параметров интенсивности

Составим систему

й Х й р

Т і-1

= 2£ N - 2ТХ- 2р££ Nj = 0,

і =1 Т і -1

і=1 І=0 Т і -1

= 2£ N £ Ni - 2Х£ £ Ni - 2Р£ £ N

1=1 І=0

ґ=1 І=0

= 0.

После преобразований

1 (_Т і-1

Х=-|£ Nі-Р ££ N}

р =

£ N £ N - - £ Nі ££ N ґ=1 І=0 Т і =1 і=1 І=0

£ (і^ї - Т V £ £ -,ї

і=1\ i—0 У 1 \ і=1 7=0 /

В данном пункте предложим метод оценивания параметров X и р. Ранее было получено соотношение

е

ЛИТЕРАТУРА

1. Змеев О.А. Исследование математических моделей процессов страхования при нестационарных потоках страховых рисков: Дис. ... д-ра

физ.-мат. наук. Томск, 2005.

2. НазаровА.А., ТерпуговА.Ф. Теория массового обслуживания. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. 226 с.

3. ФеллерВ. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1984. Т. 1. 527 с.

4. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. 2-е изд. М.: Наука, 1969. 424 с.

5. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. 910 с.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. Т. II / Пред. и прим. А.А. Флоринского. 8-е изд. М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2001. 864 с.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 29 мая 2006 г.