Стохастическая модель функционирования страховой компании О. А. Змеева при наличии портфеля рисков Текст научной статьи по специальности «Математика»

К.А. Горбенко, А. Ф. Терпугов

СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ О.А. ЗМЕЕВА ПРИ НАЛИЧИИ ПОРТФЕЛЯ РИСКОВ

В приведенной работе рассматривается стохастическая модель функционирования страховой компании, предлагающей конечный набор услуг. В рамках этой модели исследуются статистические характеристики капитала, числа клиентов и их взаимосвязи как в целом для компании, так и по каждой услуге в отдельности.

В современных условиях для страховых компаний, предлагающих некоторый набор услуг, важно знать: какое число клиентов в среднем компания обслуживает по каждой услуге и в целом. Помимо этого, компании необходимо знать: каким в среднем капиталом она располагает и как он формируется, т.е. как в среднем общий капитал распределен по предлагаемым ею услугам. Подобная информация позволит компании эффективно решать задачи, связанные с внешнеэкономической политикой, и в частности с выбором предоставляемых услуг. Если же коснуться внутрифирменной политики, то здесь в качестве полезной информации могут выступить, например, средние характеристики взаимосвязи числа клиентов, обслуживаемых по одной услуге, и числа клиентов, обслуживаемых по другой услуге, - это, в частности, может послужить основанием для более эффективного распределения средств компании.

1. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ

В предлагаемой модели страховой компании считается, что компания предлагает г услуг. Обозначим через кг (/) число клиентов (рисков) застрахованных компанией при оказании г-й услуги на момент времени /, тогда вектор к(/) = ( (/), к2 (/), кг (/))т

будет характеризовать распределение клиентов компании по предлагаемым ею услугам на момент времени /.

Рассмотрим возможные состояния страховой компании:

1. В компанию приходит новый клиент. Будем полагать, что по каждой услуге поток клиентов образует нестационарный пуассоновский поток. Вероятность прихода нового клиента по г-й услуге на интервале

[/, /+ Д/] равна I Хг (/) + £ Рг5к5 (/) | Д/ + о (Д/)

тервале [t, t + At] равна X Хдк (t)At + o (At), где =[х®,- =1 r,j =1 r ].

3. Компанию покидает клиент. Будем считать, что поток покидающих страховую компанию клиентов по каждой услуге является нестационарным пу-ассоновским. Клиент, обслуживаемый по г-й услуге, покидает компанию независимо от поведения других

г

клиентов с вероятностью £цг5к5 (/)Д/ + о (Д/) , где

5=1

ц = [ь,, г 1 г, у =1, г ] .

4. Наступают страховые случаи. Пусть поток страховых случаев является нестационарным пуассонов-ским, поэтому вероятность наступления страхового случая по г-й услуге на интервале [/, / + Д/] равна

г __ ___

£ (/)Д/ + 0 (Д/) , где = [^Л* , 1 = 1 Г, 1 = 1 г] ,

5=1

при этом компания выплатит страховое возмещение в размере Пг , которое является случайной величиной с

моментами М {п} = Ьи (/), М {п2} = Ь2г (/).

2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЧИСЛА РИСКОВ

Математические ожидания общего числа рисков и рисков по каждой услуге

Рассмотрим интервал [/, / + Д/] и представим

кг (/ + Д/) = кг (/) + Дкг (/). (2.1)

На этом интервале может произойти следующее:

где

Р = [ву, г =1, г, у =1, г] . При этом каждый новый риск г-го типа приносит компании доход |г-, который является случайной величиной с моментами

М & } = «1г (/) , М {2} = 02,. (/) .

2. Будем полагать, что по каждому из застрахованных рисков г-го типа выплачивается взнос в размере <^г, который является случайной величиной с

моментами М {^г-} = еи (/), М {2} = с2г (/). Предполагается, что взносы по каждой услуге образуют нестационарный пуассоновский поток, поэтому вероятность прихода нового взноса по г-й услуге на ин-

+1, с вер. I х- (t )+X ргА (t ) IAt+o (At )

s=1

s=1

-1, свер. X Hsks (t)At + 0 (At) ,

s=1

0, с вер. 1 - (•) At + o (At).

Далее будем обозначать M {к (t)} = к (t).

Усредним формулу (2.1) по флуктуациям Акг- (t), считая кг- (u) (i = 1,r ) при t0 < u < t известными. Затем полученное выражение усредним по реализациям к-(u )

к- (t + At)- к- (t) =

= (^i (t) + X (Pis - hs ^s (t^ At + 0 (At).

Полученное выражение разделим на At и At ^ 0, при этом заметим, что предел справа существует и, следовательно, существует предел слева: d — r —

--к- (t) = X(Pis - hs )^ (t) + (t).

dt s=1

Запишем полученную систему в матричных °б°- чениями матрицы A , а Г1 собственными векторами.

значениях Запишем общее решение системы (2.5)

—к(/) = (Р-^Ті(/) + X(/), (2.2) ф(*) = £СгГ1еь‘* .

і=1

где ак(/) = Г-^ка (/), ак2 (/), ..., акг (/)! . Так как Ф(0)= I, то для каждого Фу (5) набор

М \М М М ) . —

констант С'{ (I = 1, г ), будет свой и будет опреде-

&

Отметим, что среднее общего числа рисков ком пании равно ляться из условия

к общ (/) = £к (/). (2.3) £ УяС/ = Ьц, где 8у. = {0,гг = у (,у = ~г .

г=1 1=

Для решения (2.2) сконструируем переходную В результате, для случая различных и веществен-матрицу Ф (/ - /0) следующим образом: ных bl, b2, • • •, Ьг переходная матрица найдена:

—Ф(/ - /о ) = (Р-ц)Ф(/ - /с), Ф(0)= / . (2.4) ф(s ) =

—/

г=1

Отметим, что /0 может играть роль момента возникновения страховой компании. Матрица смешанных вторых момент°в

Простой подстановкой легко показать, что числа рисков по каждой услуге

_ Обозначим

к м = ф(1 ->0 >к (<0 >+/Ф(/-Т«Т)Л М {к (,) кТ (,)} = [М {к((0 ку (,)}, г = й. у = й].

удовлетворяет системе (2.2). Рассмотрим случай, когда г = у , т.е. выведем уравне-

ния для диагональных элементов. Для этого предста-Нахождение переходной матрицы вим к1 (/ + Д/) = к1 (/) + Дк( (/), тогда

Обозначим /-*0 = 5 , Р-Ц = А , тогда система (2.4) к2 (/ + Д/) = к 2 (/) + Дк2 (/) + 2кг (/)Дкг (/) ,

примет вид ____

а где г = 1, г.

— Ф (5) = АФ(5), Ф(0)= I. Усредним последнюю формулу по флуктуациям

Дк (/), считая к (и) (г = 1,г) при /0 < и < / извест-

Таким образом получили линейную однородную

систему дифференциальных уравнений с постоянны- ными, затем(по)лученное выражение усредним по реа-

ми коэффициентами. лизациям к, (и):

Заметим, что общие решения систем _ _ I г _ \

а к( (+Д/)-^ (/)=1Х, (/)+£(Р(5+ Ц* ) (0 Д/+

— Ф1 (5) = АФ1 (5) , (2.5) V 5=1 )

а5 I _ г I

Фу () /Ф Ф Ф \Т +21Х( (/)к( (/) + £(Р(5 -Ц,5 )М{к5 (/)кг (/)}1Д/ +о(Д/).

где Ф (5) = ( у, Ф2у, ..., Фц) , совпадают, поэто- V 5=1 )

му достаточно решить систему (2.5) для у = 1. Для Полученное выражение разделим на Д/ и Д/ ^ 0 ,

краткости верхний индекс будем опускать. при этом заметим, что предел справа существует и,

Воспользуемся методом Эйлера, т.е. решения бу- следовательно, существует предел слева:

дем искать в виде а ?

Ф() Ь5 Ф ( ) Ь5 Ф() Ь5 (26) аМ (/) к (/)}=£(Р(5 -^5 )М {(/) к,(/)} +

Ф1 (5) = У1е , Ф2 (5) = у2е , •••, Фг (5) = уге , (2.6) а 5=1

где числа 71,у2,...,Уг,Ь необходимо определить. +£Гм{к, (/)к5(/)}(рг5-цг5)+к,(/)Х,(/) +

После подстановки (2.6) в (2.5) и сокращения на 5=1

Ь5 — г —

е получим систему в матричном виде +Х( (/)к, (/) + Х, (/) + £(рг5 +ц(5)к5 (/). (2.8)

^^4 - Ь1 )Г = 0, (2.7) 5=1

„ , ,т Таким образом, в последние уравнения входят

где = (yl, у2, •, уг) . аметим, что ы система смешанные моменты, для их нахождения рассмотрим

имела нетривиальное решение, необходимо и доста- случай, когда ( Ф у . Представим, используя (2.1):

точно, чтобы det (А - Ь1) = 0 . Пусть корни этого уравнения вещественны и различны: Ь1, Ь2, •, Ьг. Тогда после подстановки корней в (2.7), получим

т-! у 2 рг т_,( / \Т • 1 I ^ I ^ ^ ^ ]

Г, Г, •, Г, где Г =(Ук , у 2,, •, Уг,- ) ( = 1,г .

Отметим, что Ь (і = 1, г) являются собственными зна-

1 (/ + Д/) (/ + Д/) = 1І (/ + Д/) (/ + Д/) ±

±11 (/)1] (/) ±1 (/)1] (/ + Д/) ± Д11 (/)1] (/) =

=1 (/) 11 (/) + Д1і (/) д1і (/) +1 (/) Дк] (/) + Д11 (/) 11 (/). Заметим, что

р {діі (/) = г | Д1; (/) = т} = р {діі (/) = г}+о ( д/),

где I, т = -1,0,1, т.е. Дкг (/) и Дку (/) независимы с точностью до слагаемых порядка о (Д/).

Усредним к1 (/ + Д/) к у + Д/) по флуктуациям

Дк( (/), считая к( (и) (( = 1, г) при /0 < и < / известными и учитывая, что М {Дк( (/)}М |Дку (/)} = о (Д/).

Затем усредним полученное выражение по реализациям к( (и):

М {к( (/ + Д/) к у (/ + Д/)} - М }к( (/) к у (/)} =

= £ (Р,5 - Ц,5 )М {к5 () к] (/ )} + к (/) Ху (^) Д/ +

5=1

+£ М { (1) к5 (^)} (I3( - Цу ) + X, (Г) к, () Д/ + о (Д/) .

5=1

Разделим последнее соотношение на Д/ и Д/ ^ 0 , при этом заметим, что предел справа существует и, следовательно, существует предел слева:

а

а/

М { (/) ку (/)} = £(Р(5 -Ц(5 )м {к5 (/) ку (/)}-

5=1

|-£ М {к, (/) к5 (/)}(Р ( -Ц у )

5=1

(2.9)

Объединим системы уравнений (2.8) и (2.9), и запишем их в матричной форме

а/М {к (/) кТ (/)} = (Р - ц)М {к (/) кт (/)} +

+М {к (/) кт (/)} (р - ц)т + к (/) Хт (/) +

+Х(/)к (/) + diag((/) + (Р + ц)к (/)), (2.10)

где [diag(k)] = к Ьу, г = 1, г, у = 1, г .

Простой подстановкой нетрудно показать, что

М {к (/) кт (/)} = Ф - /0 )М0Фт - /0) +

+| Ф (/ - т) (к (т) Xт (т) + X (т) к (т) +

+diag (X (т) + (р + ц) к (т))) Фт (/ - т) ат, где М0 = М {к (/0) кт (/0)}, является решением (2.10).

Дисперсионная матрица числа рисков по каждой услуге

Обозначим

С {/} = М {к (/) - к (/)) (к (/) - к (/)) =

= М {к (/) кт (/)} - к (/) к (/) и первоначально найдем, используя (2.2),

а/к (/)кт (/)}=} (1)кт (/)+к (1)акт (1)=х(1)кт (/)+

+ (в-ц)к(/)к (/) + к(/)к (/)(в-ц) + к(/)Хт (/). а (т, ^тт

Отнимем

а/

(2.10) и получим

- {(<) кт (< )|

от левой и правой части

ас {/} = (в -ц) С {/} + С {}(Р-Ц)т +

+diag (X (/) + (Р + ц) к (/)). (2.11)

Повторяя рассуждения, приведенные при решении

(2.10), получим, что

С{/} = Ф(/-/0)С0Фт (/-/0) +

г

+1Ф (/ - т) diag (X (т) + (Р + ц) к (т) Фт (/ - т) ат,

где С0 = С{/0}, является решением (2.11).

Корреляционная матрица при несовпадающих аргументах числа рисков по каждой услуге

Обозначим

М /2 } = [М {к, (^1) ку (/2 )} , i, у' = 1, г] .

Пусть для простоты /1 < /2, тогда представим

кг (/1 ) к] (/2 +Д/2 ) = кг (/1 ) к] (/2 ) + кг (/1 ) Дку (/2 ) .

Сначала усредним последнюю формулу по флуктуациям Дк( ), считая кг (и) (( = 1, г) при /0 < и < /2 известными, затем полученное соотношение усредним по реализациям к( (и):

М{к, (к)к] (/2 +Д/2)}-М{к, (/1)к; (/2)} =

= ]£М(к, (/1)к5 (^2)}(Р(5-Ц;5)Д^2 + кг (^у (^2)Д/2 + о(Д2).

5=1

Разделим полученное выражение на Д/2 и Д/2 ^ 0, при этом заметим, что предел справа существует и, следовательно, существует предел слева. Полученную систему запишем в матричных обозначениях

а^М к(/1)кт (/2 )}=

= М { (/1) к (/2 )} (Р -- Ц)т + к (/1) Xт (/2 ). (2.12)

Нетрудно показать, что при выполнении (2.4)

М {к (/1) кТ (/2 )} = М {к (/1) кТ (/1)} Фт (/2 - /1) +

_ ч

+к (/1) | Xт (т) Фт (/2 - т)ат

ч

является решением (2.12).

В результате для произвольного соотношения между /1 и /2 получим

М{к(/1 )кТ (/2)}=М{к(/шт)кТ (/шт)}Фт (1^ -/шт|) + гmax

+к(/тт) | XT (т)ФТ (^тях -тl)ат,

/т1п

где /тп = т1п Угl, ^2 ) , ^тях = max (/1, /2 ) .

Ковариационная матрица при несовпадающих аргументах числа рисков по каждой услуге

Обозначим

С ^ /2 }= М {(к (/1 )-к (/1 ))(к ^2 )-к (/2 ))} =

= М { {1) кТ (/2)} - к (/1) к* (/2 ).

Будем считать, что /1 < /2, и найдем

— (т,.^тТ —/■

— { (/1 ) 1 (/2 )} = 1 (/1 ) 1 (/2 )(Р - Ц)Г + 1 (/1 ) (/2 ) .

{ (/1 ^ (/2 ^

Отнимем —- |і (/1 )1 (/2)} от левой и правой части (2.12) и получим

— Т7

— С {/!, /2 } = С {/!, /2 }(Р-Ц)" . (2.13)

—/2

Легко можно показать, что решением (2.13) является

С {/1, /2 } = С {/1 } Ф (/2 - /1 ) .

В результате для произвольного соотношения между /1 и /2 получим

С {и /2 } = С {тіп }фТ (тах - /тП l),

/шт = тІП (/и /2 Ь /тах = тах (/1, /2 ).

Ковариационная функция общего числа рисков компании

Последовательно найдем

СкбЩ {/1, /2 }= М {(1общ (/1 ) - 1 обЩ (/1 )) Х

Х (1общ (/2 ) - 1 обЩ (/2 )) } = £ £М {(1і (/1 ) - 11 (/1 )) Х

1=1 ]=1

х( (/2 )-к} (/2 ))} = £ £ [С {/!, /2 }]].

і=1 і=1

Окончательно:

СіобЩ = £ £ [С {/1, /2}].

і=1 і=1

Отметим, что при / = /1 = /2 получим дисперсию общего числа рисков компании.

3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КАПИТАЛА КОМПАНИИ

Найдем математические ожидания общего капитала компании и капитала по каждой услуге.

Рассмотрим интервал [/, / + Д/] и представим

з (/+Д/ ) = 3 (/)+Ді (/), (3.1)

где Зі (/) - часть капитала компании 3общ (/), соответствующая і-й услуге на момент времени /.

На этом интервале может произойти следующее:

ДЗ (/) =

+5і, с вер. ^(/) + £ Рі*1*(/^ Д/ + о (Д/),

г

+Сі, с вер. £ (/)Д/+о (Д/),

*=1

г

-Пі, свер. £ Цщ*1* (/)Д/+о (Д/),

*=1

0 свер. і-1 хі (/)+£ (•)1* (/)|Д/+о (Д/).

*=1

известными:

М {£1 + Д/)| к (и )} - М {£1 (0| к (и )} = а1г XlД/ +

+£ ( Р15 - Ь11 ЦЛ15 + С11 }%15 )к5 (/)Д/ + о (Д/) . (3.2)

5=1

Усредним (3.2) по реализациям ^ (и) (1 = 1,г):

М Ф (/ + Д)}-Мф. (/)} = аи XгДt +

+£ ( Р15 - Ь1(Цп 5 + С1(Ч(5 ) (/)Д/ + о (Д/). (3.3)

5=1

В дальнейшем будем обозначать

2(5 ) = °и ) Р15 - Ь11 ) Цп 15 + С11 () \(5 . (3.4)

Разделим (3.2) и (3.3) на Д/ и Д/ ^ 0, при этом заметим, что предел справа существует и, следовательно, существует предел слева:

а

-т& (/) = £ 2і* (/)1* (/)+аи (/)Хі (/),

—/ *=1

—/

3 (ф (и)) = £ (/) 1* (/)+а1і (/)Хі(/).

*=1

Запишем полученные системы в матричных обозначениях

■а^(/) = 5 (/) к (/)+ А (/); (3.5)

а/

(/к (и )) = В (/) к (/)+ А (/), (3.6)

а/

где

В (/) = diag(0l (/))p-diag(Ь1 ())цл +diag(Сl (/,

А (/) = diag(0l (/))X(t),

0 (/) = ( (/) • °1г (/))Т ,

Ь1 (/) = ( (/) • Ь1г (/)) ,

С1 (/) = (С11 (/) • С1г (/))Т . (3.7)

Пусть в начальный момент времени £ (/0) = £0, тогда на интервале [/0, /] справедливы формулы

£ (\к(и)) = £0, +

I г /

+|£2 и(т) к5(т) а т+1 а1, (т)Xl(т) а т; (3.8)

к 5=1 /0

£(/) = £0 +|В(т)к(т)ат +1А(т)ат . (3.9)

Отметим, что средний общий капитал компании равен

(3.10)

і=1

Сначала, опуская аргумент времени /, усредним формулу (3.1), считая к( (и) (1 = 1,г) при /0 < и < /

Матрица смешанных вторых моментов капитала по каждой услуге

Обозначим М (/) £т (/)} = М (/) £ (/)т } .

Рассмотрим случай, когда 1 = у, т.е. выведем уравнения для диагональных элементов. Представим

£г (/ + Д/) = £г (/) + Д. (/), тогда

^ (/ + Д) = £2 (/) + 2£, (/) Д, (/) + Д? (/). (3.11)

Пусть траектории процессов к( (и) (1 = 1, г) при /0 < и < / фиксированы, тогда

М{ (/)\к(и)} = 02, (О^. (/) + £^Р(-5к5 (/)|д/ +

+Ь2( (0£ ЦЛ15к5 (t)Дt + С2( (0£ (/)Д/ + о(Д/). (3.12)

5=1 5=1

В силу того, что £, (/) и Д^, (/) при фиксированных реализациях к, (и) (1 = 1, г), где /0 < и < /, независимы, получим

М { (/)Д, (/)| к (и)} =

= М { (/)| к (и)}М { (/)| к (и)}.

Подставим (3.8) в последнее соотношение. Далее, полученное выражение и (3.12) подставим в формулу

(3.11), усредненную при фиксированных реализациях

^ (и) (1 = 1, г), где /0 < и < /, затем усредним по реализациям к, (и). Полученный результат разделим на Д/ и Д/ ^ 0 , при этом заметим, что предел справа существует и, следовательно, существует предел слева

I t I

затем разделим полученную формулу на Д/ и Д/ ^ 0 , при этом заметим, что предел справа существует и, следовательно, существует предел слева. В полученном выражении, для краткости изложения, опустим аргументы времени:

а I / I

а/-м (/) (/)}= £0,+| а1( (т)xl (т)а т (°1 уx у +

+Z Z js ks j + X + Z Zis ks J (S0 j +

t Л t r _

+ i °1 j (t)X j (t) d T + jZ 2гш ( t) km (t) dt- aXj X j +

to j to m=1

t _r _ _r t _r_

ixi j Z zjm (t) km (t) dT + X zis j Z j (t) X

+ab-

s=1 f. m=1

XM {km (t) ks } dT + Z j Z Zm (t) M {m (t) ks } dT -Z;s •

s=1 ^ m=1

o

Объединим последнюю формулу с (3.13) и запишем в векторно-матричных, используя (3.7):

d f t Л - T

—Mk{t)ST (t)} = S0 +jA(T)dT (b(t)k(t)+A(t)) +

V l0

t

—M{Sf (t)} = 2 Soi +jau (t)1 (T)dT

dt

{a1,(t)xi(t) +

T

(B(t)k(t)+ A(t)) S0 +jA(t)—t +jB(T)k(t—

IX (t)ks (t )|+ 2a1i (t)xi (t)j ZZZim (T) km (T)dT+ XA(t) +A(t)

V t0

+A(t)

j B(T)k (t)—t

V t0

+2XZis (t) jZZim (t)M{m (T)ks (t))dT + Z{a2i (t)ßi

s=1 t0 m=1

s=1

+ Ь2( (/)Цп15 + С2( (О^-) к5 + Xl (О а2( (О . (3.13)

Рассмотрим теперь случай, когда 1 Ф у . Представим, используя (3.1),

(/ + Д/)£у (/ + Д/) = % (/ + Дt)Б( (/ + Д/) ±

±£ (/)£с (/)±£(. (/)£е (/+Д/) ± Д£, (О^. (/) =

= £ (/^с (/) + №£, (/)Д£е (/) + £ (/)Д£с (/) + №£, (О^. (/).

В силу того, что Д£у (/) и Д£( (/) (1 Ф у) при фиксированных реализациях к1 (и) (1 = 1, г), где

/0 < и < /, независимы, получим

М { (/) Д£( (/) к (и)} = о (Д/) .

Тогда в силу того, что (/) и ДБ у (/) при фиксированных реализациях к, (и) (1 = 1, г), где /0 < и < /, независимы, получим

М { (/ + Д/) 8} (/ + Д/) к (и)} = М {£, (/) 8} (/) к (и)} +

+М { (/)| к (и )}М {ДБ( (/)| к (и)} +

+М {№£■ (/) к (и )}М {^'^у (/) к (и )} о (Д/).

Подставим (3.8) в последнее соотношение, полученное выражение усредним по реализациям к (и),

+B(t) jM{k(t)kT (t)Jb(t)t dt+jB(t)M|k{x)kT (t)Jdtx t0 t0

xB (t )T + diag {A1 (t) + B1 (t) k (t)), (3.14)

A1 (t) = diag(a2 (t))X(t),

где

B1 {t) = diaga {t))ß + diag(Ä2)^n +diag(c2 {t))X? • Интегрируя (3.14) на интервале [t0, t], окончательно получим

t f y Л

M {S (t) ST (t)} = S {t0 )ST (t0 ) + j S0 +j A (t) dT X

t0 V t0 j

t

X (B (y) k (y) + A (y))T dy + j (B (y) k (y) + A (y)) X

t0

y Л t y _

S0 + j A (t) dt dy + j j B (t) k (t)—t - A (y)T dy +

t0 j t0 t0

f у - ^T t y

jA(y) jB(t)k(t)—t dy + jB(y)jM{k(y)kT (t)}x

t0 V t0 j t0 t0

ty

xB (t)t dTdy + j jB (t)M { (t) kT (y)} dtB (y) dy +

t0 t0

t _

+j diag (A1 (y) + ^(y)k (y ))dy. (3.15)

+

ЛТ

Дисперсионная матрица капитала по каждой услуге

Обозначим

С5 {/} = М {(/) - 3 (/))(3 (/) - 3 (/))Т} =

= М {(/) БТ (/)} - 3 (/) 8Т (/).

Первоначально, используя (3.5), (3.9) и опуская проме^точные выкладки, найдем

_ _ ( / лт

— (/) / (/)} = (В (/) 1 (/) + А (/)) ) + / А (т) —

V /о

/ — — (/ —

+В (/) 11 (/) 1 (т) ВТ (т) — т + А (/) | В (т) 1 (т)—т

*0 V *0

/ Л — / —

30 +| А(т)— т (в(/)1 (/)+А(/))Т +1В(т)1 (т)—тАТ (/) +

/0 У к

+| В (т) 1 (т) 1Т (/) — тВТ (/).

¿0

Отнимем от (3.15) последнее выражение и результат запишем, используя (3.7):

—С* {/} = В(/)|С{/,т}В(т)Т —т +1В(т)С{т,/}—тВ(/)Т + —/ /0 /0

+Шая (А1 (/) + В1 (/) В (/)). (3.16)

Интегрируя (3.16) на интервале [/0,/], оконча-

тельно получим

/ у

С5 {/}=| В (у)/С{у,т}В(т)Т —т—у+

?0 /0

/у /

+/ / В(т)С {т, у}—тВ(у)Т —у+/dіag (А1 (у)+В1 (у)В (у))—у.

/1 и /2 :

Найдем корреляционные матрицы при несовпадающих аргументах капитала по каждой услуге.

Обозначим М5 {/1, /2} = М { (/1) £ (/2 )т }. Пусть для простоты /1 < /2, тогда представим

£ (/1) 8у (/2 +Д/2) = £ (/1) 8у (/2) + £ (/1) Д£у (/2).

В силу того, что (/1) и ДS^ (/2) при фиксированных реализациях к, (и) (1 = 1, г), где /0 < и < /2, независимы, получим

М { (/1) { (/2 +Д/2 )| к (и)} = М { (/1) S( (/2 )| к (и)} + +М { (/1)| к (и )}М { (/2 )| к (и )}.

Подставим (3.8) в последнюю формулу, усредним полученное выражение по к (и), затем полученное соотношение разделим на Д/ и Д/ ^ 0 , при этом заметим, что предел справа существует и, следовательно, существует предел слева. Запишем полученную формулу с использованием (3.7):

а /1 — I /1 I

—М{/1 ,/2} = [В(т)к(т)атАт (/2)+ £0 + [ А(т)ат

Интегрируя последнее выражение на интервале

[/1, /2 ], получим

/1 _ /2

М {/1, /2} = м {(/1) ^ (/1)} + / В (т)1 (т)— т/ аТ (у)—у +

?0 ?1

' /1 Л /2 -

30 + /А(т) —т •|(В(у)В(у) + А(у))Г—у +

ч г0 У г1

г2 г1

+//в(т)М{в(т)ВТ (у)}—тВТ (у)—у. (3.17)

Ч к

Запишем (3.17) для произвольного соотношения

М {/1, /2 }= М (/тіп ) ^ (/тіп )} +

^тіп ^тах

+ / В (т)В (т) — т / АТ (у)—у +

?0 ^тіп

^тіп Л ^тах

30 + / А(т)— т • / (В(у)В(у) + А(у))—у +

V г0 У гтіл

^тах ^тіп

+ / / В (т) М {в (т) ВТ (у)}—тВТ (у)—у,

^тіп /0

где /тіп = тіп (/1, /2 ) , /тах = тах (/1, /2 ) .

Матрица ковариаций при несовпадающих аргументах капитала по каждой услуге

Обозначим

С {/1, /2 }= М {(3 (/1)-3 (/1))( В2 )-3 (/2 ))Т } =

= М {3 {1) БТ (/2 )}-3(/1 )3Т (/2 ).

Будем считать, что /1 < /2, и найдем, используя (3.5) и (3.9),

-{3(/1 )3Т (/2 )} =

2

Л

£0 +| А (т) а т (В (2 ) к (/2 )+ А (/2 )) +

Ч )

ч

+| В (т) к (т) к (/2 )атВт (/2 ) +1В (т) к (т)атАт (/2 ).

к

Отнимем последнее выражение от (3.17):

а /1

—С5 {/1, /2 } = | в (т) С {т, /2} атВ (/2 )т. (3.18)

2 /0

Интегрируя (3.18) на интервале [/1,/2], получим

/1

С£ {/1, /2 } = С£ {/1} + Ц В (т) С {^ у} атВ (У)Т аУ .

/1 *с

Запишем последнюю формулу для произвольного соотношения /1 и /2 :

1шах 1шт

С5 {/1,/2} = С5 {/тіп}+ / / В(т)С{т,у}— тВ(у)Т—у,

<(В(/2)В(/2)+а(/2))Г + /В(т)М{В(т)вТ (/2)}—тВГ (/2). где /тіп = тіп(/1,/2), /Щ^ =0тах(/1,/2).

Ковариационная функция общего числа рисков компании

Последовательно найдем

СЯ щ {/1, /2 }= М {(общ (/1 ) - 3общ (/1 )) Х

Х (общ (/2 ) - 3общ (/2 )) } = £ £М {(і (/1 ) - 3і (/1 )) Х

і=1 І=1

Х Ві (/2 ) - 3і (/2 ))} = £ £ [С3 {/1, /2 }]у .

і =1 І=1

Окончательно:

Собщ=£ £ [ {/1, /2}]у..

і=1 І=1

Отметим, что при / = /1 = /2 получим дисперсию общего капитала компании.

4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЗАИМОСВЯЗИ КАПИТАЛА И ЧИСЛА РИСКОВ КОМПАНИИ

Кросскорреляционная матрица капитала компании и числа рисков капитала по каждой услуге

Найдем вид матрицы М {3 (/)В (/)Т }, для этого умножим (3.8) на Ву(/) и усредним полученную формулу по реализации 1(и):

М { (/) В} (/)} = Б01В] (/) +

/ г /

т)М (т) Ві (/)} — т + / а1і (т) Хі (т)— тВі В).

/0 *=1 /0

Запишем последнюю формулу в векторно-матричных обозначениях:

м {3 (/) вт (/)} = }0 ВТ (/) +

+/В(т)М{В(т)ВТ (/)| — т + / А(т) —тВ (/). (4.1)

Кроссковариационная матрица капитала компании и числа рисков капитала по каждой услуге

Обозначим

Сс {/}=М {(5к) - £(/))(к(/) - к(/))т} =

= М {(/) кт (/)} - £ (/) кТ (/).

Предварительно найдем

S (t) k (t) = S0 k (t) + t _ _ t _

+J B (t) k (t) k (t) dt + J A (t) d%k (t) . t0 t0

Отнимем последнее выражение от формулы (4.1) и получим

Csk {t} = JB(t)C{t,t}dt .

Функция корреляции общего капитала компании и общего числа рисков

Последовательно определим

М {общ (/) к0бщ (/)} = М ^ (/)]^ ку (/)^ =

r r

= IМ{X^ (/)ку (/)[ = XIМ{ (/)ку (/)}.

г=1 [у=1 ] (=1 е=1

Окончательно:

м{ (/)кобЩ(/)}= XХм{(/)ку (/)}.

1=1 у=1

Функция ковариации общего капитала компании и общего числа рисков

Последовательно определим, используя (3.10) и (2.3),

_сГ (/)= _

= М {(общ (/) - £общ (/)) (кобщ (/) - кобщ (/))} }

=М {х ( (/)-й (/))! (ку (/)-ку (/)) =

І=1

= XXм {(t) - S (t)) ((t) - ki (t))} =

i=i i=i

=XXCk ML.

i=1 І=1

Окончательно:

Cfr (t) = XX[sk {t}]i.

i=1 i=1

0

ЛИТЕРАТУРА

1. Змеев О.А. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. С. 67 - 72.

2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.

3. Нежельская Л.А. Интегрирование линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: Методические указания к решению задач по курсу «Дифференциальные уравнения». Томск: ТГУ, 1996. 27 с.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 18 мая 2005 г.