CC BY
31
Е.В. Глухова, А.А. Фомин
ОПТИМИЗАЦИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОТОКЕ СТРАХОВЫХ ВЫПЛАТ
Рассматривается проблема управления страховыми взносами, когда интенсивность страховых выплат меняется со временем по периодическому закону.
В данной работе рассматриваются некоторые вопросы оптимизации деятельности страховой компании в рамках модели ее функционирования, предложенной и подробно исследованной О.А. Змеевым [1 - 3]. В этой модели страховая компания рассматривается как бесконечно линейная система массового обслуживания. Считается, что риск, поступающий на страхование, занимает некоторый виртуальный прибор, на котором он находится некоторое случайное время, распределенное по заданному закону. В отличие от классической теории массового обслуживания считается, что риск, находясь на приборе, сам создает поток заявок, которые ассоциируются со страховыми случаями и требуют выплаты страховых возмещений. При поступлении на обслуживание сам риск вносит некоторый страховой взнос. Поэтому в этой модели надо считать не только характеристики числа застрахованных рисков, но и характеристики капитала страховой компании.
В данной статье предполагается, что входящий поток рисков является пуассоновским потоком переменной интенсивности X(t). Время, на которое риск страхуется, предполагается распределенным по экспоненциальному закону с параметром ц. В дальнейшем предполагается рассмотреть произвольное распределение времени страхования. Наконец, считается, что каждый застрахованный риск создает поток требований на страховые возмещения в виде пуассо-новского потока переменной интенсивности y(t).
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЧИСЛА ЗАСТРАХОВАННЫХ РИСКОВ
Обозначим через k(t) число рисков, застрахованных в компании в момент времени t.
Рассмотрим интервал времени [t, t + At] и через
Ak(t) обозначим изменение числа застрахованных рисков за этот период. Тогда, по свойствам пуассо-новского потока и экспоненциального распределения, имеем
+1, с вероятностью X(t)At + o(At),
-1, с вероятностью k(t)|xAt + o(At), с вероятностью 1 - (X (t) +
+k (t )^)At + o(At).
Основное для дальнейшего соотношение имеет вид
k (t + At) = k (t) + Ak (t). (2)
Обозначим kj (t) = M{k (t)}. Тогда имеем
M{k(t + At) | k(t)} = k(t) + (X(t) - k(t)^)At + o(At).
Усредняя это соотношение по k (t), получаем
k1 (t + At) = k1 (t) + (X(t) - k1 (t)^)At + o(At),
откуда обычным способом получается дифференциальное уравнение для k1 (t):
dk1 (t)
Ak (t) =
(1)
0,
dt
-+MMt) = X(t).
(3)
В дальнейшем будем считать, что lim X(t) = 0 .
t^-да
Тогда решение этого уравнения, удовлетворяющее
условию к1 (-да) = 0, имеет вид
г да
к (г) = | Х(т)е^(г-Т)dт = | Х(г - 2)е~цг-2. (4)
-да 0
Обозначим теперь М{к2(г)} = к2(г). Тогда, возводя (2) в квадрат, получаем
к2 (г + Дг) = к2 (г) + 2к (г )Дк (г)+(Дк (г ))2.
Усредняя это выражение при фиксированной реализации процесса к(г), будем иметь
М {к 2 (г+дг )| к (г)} =
= к2 (г) + 2к (г )(Х(г) - цк (г ))дг + (Х(г) + цк (г ))дг+о(Дг),
так как М{(Дк(г))21 к(г)} = (Х(г) + цк(г))Дг+о(Дг). Усредняя теперь по реализациям процесса к(г), получаем соотношение
к2 (г + Дг) =
= к2 (г)+[(г )к1 (г) - 2цк2 (г) +Х(г) + цк1 (г)] Дг + о(Дг),
которое приводит к дифференциальному уравнению относительно к2 (г):
dk2 (t) dt
+ 2^k2 (t) = X(t) + 2X(t)k1 (t) + (t). (5)
С другой стороны, используя уравнение (3), можно записать
- (к2 (г)) -к, (г)
= 2к1 (г) = 2(Х(г) - цк (г ))к1 (г),
-г -г
или, в другой форме, d (k^(t)) dt
+ 2k2 (t) = 2X(t)k1(t).
(6)
Величина к2 (г) - к1 (г) = Ок (г) есть не что иное, как дисперсия процесса к(г). Вычитая (6) из (5), получим дифференциальное уравнение для Ок(г):
-ок (г)
dt
- + 2|D (t) = X(t) + (t).
(7)
Его решение, удовлетворяющее условию Dk (-да) = 0, имеет вид
Dk(t) = {((t-z) + ^k1 (t-z)) 2Mzdz =
да да
(8)
= | Х(г - 2)Г2Ц -2 + ц| е-ц-21 Х(г - 2 - и)в~ци-и .
0 0 0
Преобразуем второй интеграл. Имеем после замены переменных 2 + и = V
дада да V
11 Х(г -2- и)е_2Ц2-Ци -2-и = | Цг - v)e_2цv-vi еци-и =
0 0 0 0 да
= - |х(г - V) ( - е~2^ )-v.
Подставляя это выражение в (8), получим
да
Бк (ї) = | Х(ї - і)е^-м йі = к1 (ї).
(9)
Найдем еще функцию корреляции процесса к(г). Пусть г2 > г1. Тогда верно соотношение
к (г2 +Дг2) = к (г2) + Дк (г2).
Умножим это выражение на к(г1) и усредним при
фиксированных значениях к(г1), к(г2) :
М{к (4 )к (^ + Д ^2) | к (А )к (¿2)} = к (4) к (/2) + (10)
+к (г1) (Х(г2) - цк (г2)) Дг2 + о(Дг2).
Введем функцию С(г1,г2) = М{к(г1)к(г2)}. Тогда, усредняя (10) по к(г1), к(г2), получим следующее дифференциальное уравнение относительно С(г1, г2): дС (^, ^)
дї2
- + цС (^, /2) = к1(/1)Х(/2).
С другой стороны имеем дк (ї )
к (Ї1) 1 2 + мк (її )кі (Ї2) = кі (її )Х(Ї2).
дї2
(11)
(12)
Функция Я(г1, г2) = С (г1, г2) - к1 (г1 )к1 (г2) есть не что иное, как функция корреляции процесса к (г). Вычитая (12) из (11), получим уравнение для Я(г1,г2): дЯ^, ^)
дї2
- + цЯ(^,ї2) = 0 .
(13)
(14)
Д£ (ї) =
Рассмотрим интервал времени [ї, ї + Дї] и через Д£(ї) обозначим изменение капитала компании за этот период. Тогда имеем:
+|, с вероятностью Х(ї)Дї + о(Дї),
-г|, с вероятностью к(ї)у(ї)Дї + о(Дї), (15)
0, с вероятностью (1 - Х(ї) -
- к(ї)у(ї))Дї + о(Дї).
Основное для дальнейшего соотношение имеет вид £ (ї + Дї) = £ (ї) + Д£ (ї).
В данной статье рассматривается случай, когда все зависящие от времени функции являются периодическими с периодом Т, и все характеристики будут выводиться для этого интервала, считая, что система функционирует бесконечно долго.
Рассмотрим интервал времени длиной Т. Разобьем его на кусочки длиной Дї и через обозначим изменение капитала на г-м кусочке, а через £ - общее изменение капитала на интервале Т. Тогда можно записать следующее основное соотношение:
£ = ЕД£
(16)
Его общее решение имеет вид Я(г1,г2) = Се ц*2. С учетом условия Я(г1, г1) = Ок (г1) получим, что при
г2 > г1
щ, г2) = вк (^е^2-1).
При произвольных г1 и г2, учитывая симметричность функции корреляции, можно окончательно записать
Я(А, ^) = °к (тШ^, *2 ))е~цк2-1' =
= к1 (т1п(г1, t2))e~ц|Í2-11.
СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ НАКОПЛЕННОГО КАПИТАЛА
Перейдем теперь к рассмотрению характеристик капитала страховой компании. Введем следующие обозначения:
§ - (случайная) величина страхового взноса при
поступлении риска в компанию; М{|} = а1 (г), М{|2} = а2 (г). Считается, что а1 (г) и а2 (г) также меняются со временем.
П - (случайная) величина страховых выплат; М{г|} = Ь1 (г), М{п2 } = Ь2 (г). Величины Ь1 (г) и Ь2 (г) также считаются зависящими от времени.
у (г) - интенсивность наступления страховых случаев. Она также меняется со временем.
£(г) - капитал компании в момент времени г,
£ (г) = М{£ (г)}. Считается, что £ (-да) = 0 .
где п = Т/ Дг.
Вычислим математическое ожидание величины £. Имеем
М {Д£г-1 к (г)} = [а1 (г )Х(г) - Ь1 (г) у (г )к (г)] Дг + о(Дг). Отсюда, после перехода к пределу Дг ^ 0 , получим
Т
М {£ | к (г)} = | [ (г )Х(г) - Ь1 (г )у (г )к (г)] Дг.
0
Усредняя еще и по траекториям процесса к(г) с учетом полученных ранее соотношений, получим
М {£} =
т т да (!7)
= | а1(и)Х(и)-и -| Ь1(и)у(и)-и | Х(и - 2)е-)2-2. (
0 0 0
Преобразуем второе слагаемое с учетом периодичности всех функций. Делая замену переменных
и - 2 = V , будем иметь
Тда
|Ь1 (и)у(и)-и| Х(и - 2)е_)2-2 =
0 0 Т и
= |Ь1 (и)у(и)е~ц“-и | Х(v)eцV-v.
0 -да
Но, с учетом периодичности функции Х(т), получим
и и да -кТ
| Х^)ец^ = | Х^)е^^ + £ | Х^)ец- .
-да 0 к=0 -(к+1)Т
Далее,
-кТ
I Х(у)еЦуйу = |Х(С - (к + 1)Т)емК-(к+1)Т)йС :
-(к+1)Т 0
= е-м( к+1)Т
|х(С)ем? й с.
Так как
-мт
к=0
1-е
-ЦТ
г=1
то
-)Т Т
| Х(v)eцV-v = |Х^е^-V +-----------цт|Х^е^-V .
-да 0 1 - е 0
Поэтому
Т и
|Ь1(и)у(и)е~ци-и | Х^е^-у =
цТ Т
= |Ь1(и)у(и)е ци |Х(г)ем^-г +------цт|Х(v)eцV-V
0 V 0 1 - е 0
-и.
Вводя обозначение
^1 =|Ь1(и)у(и)е ци-и
и переставляя местами интегралы, приведем последнее выражение к виду
т (т е-цт Л
^(^е^ I |Ь1(и)у(и)е-ци-и +------------т^1
0 V V 1 - е )
Обозначим для краткости
(т е-цт Л
ф(и) = еци I [Ь1 (и)у(и)е~ци-и +--------
IV 1- е-цТ
Тогда окончательно получаем
Т
М{£} = £1 = |Х(и) [а1(и) - ф(и)]-и .
-V .
(18)
(19)
- а1 (^2 )Х(г2 )Ь1 (А )у (А )к1 (^) +
+ Ь (^ )у(*1 )Ь1 (^2 )У(*2 )С(^, ^2 )) -А -^2 .
Вычитая М 2{£} и упрощая, получим
Т
О{£} = | ((г )Х(/)+Ь2 (г )у(г )к1 (г)) -г + +| | Ь (А Ь (А )у(*2 )У(*2 )Як (А, ^2 -1 -2 .
(20)
Преобразуем это выражение с учетом полученных ранее соотношений. Что касается первого слагаемого, то оно преобразуется совершенно аналогично тому, как преобразовывалось выражение для £1. По аналогии можем записать
| (а2 (г )Х(г)+Ь2 (г) у (г )к1 (г)) -/ =
= |Х(и) а2(и) + еци I |Ь2(v)y(v)e цv-v + J2 -
0 1_ V и 1
Т
^ =| Ь2(С)у(С)е^ - С.
-цТ Л
-е
-цТ
-и,
где
(21)
Заметим, что функция ф(и) удовлетворяет условию ф(0) = ф(Т) = J1 /(1 - е-цТ), то есть она также периодична с периодом Т.
ДИСПЕРСИЯ НАКОПЛЕННОГО КАПИТАЛА
Найдем теперь дисперсию капитала, накопленного в течение одного периода. Из (16) имеем
£2 =£Д£. Д£; +£ (Д£ )2.
1 * ] 1=1
При Ну
М {Д£ Д£; | к (г)} = ( ()Х(г1) - Ь1 (^) у (^ )к (^)) ) х X (а1 (^2 ^(^ ) - Ь (^2 )У(*2 )к(^2 )) Дг2.
При /=/■
М {(Д£ )2) = (2 (г )Х(/)+Ь2 (г )у (г )к (г)) Дг. Поэтому после усреднения по реализациям процесса к(г) получим
Т
М {£2} = | (а2 (г )Х(г)+Ь2 (г )у (г )к1 (г)) ) +
т т 0
+|1 (а (А )Х(г1 )а1 (^2 )Х(г2) - а1 (^ )Х(г1 )Ь1 (^ )у(*2 )к1 (^) -
Сложнее преобразуется второй интеграл. Будем обозначать его для краткости /2. С учетом явного выражения для Як (г1, г2) получим
тт
12 = ||Ь1 (и)у(и)Ь1 (v)y(v)k1 (т1п(и, v))e~ц|u-v|-u-v.
0 0
С учетом симметрии подынтегральной функции можем записать
т т
12 = 2|Ь1 (и)у(и)к1 (и)еци-и|Ь1 ^у^е-^^ .
0и
Вспоминая выражение для к1 (и), получим
Т (да Л Т
12 = 2|Ь1(и)у(и)| |Х(и-2)е ц2-2 еци-и|b1(v)y(v)e~цV-v.
0 V 0 ) и
Введем обозначение
Т
ф1 (и) = 2Ь1 (и)у(и)еци |Ь1 (v)y(v)eцV-v .
Тогда
12 = | ф1(и) I | Х(и - 2)е ц2-2
0 V 0
Т ( и
= {ф!(и)е-ци! | Х(С)ец?-С
-и =
-и.
(22)
Как и ранее, можно записать
-цТ Т
I Х(С)ец?-с = | Х(С)ец? -с + —т | Х(С)ец?-с,
-да 0 1 е 0
и поэтому, переставляя в (22) интегралы местами, получим
( Т
12 =| Х(0е^ | ф1 (и)-и + J3 —
и 1_
-цТ
Л
.-цт
-С, (23)
где
J3 = |ф1 (и)-и =2|Ь1 (и)у(и)еци-и|Ь1 Му^е цv-v =
0 т т 0 и
= ||Ь1 (и)у(и)Ь1 (^у^е-^-v|-u-v. (24)
Поэтому окончательно
^ О{£}=
е-цт Л
=|Х(и) а2(и)+еци 1|Ь2(v)y(v)e цv-v+J2---------------цт
П V ,, 1 е
-1 Х(и)еци I | ф1 (v)-v + J3 -
п V ,, 1
-цТ
-е
цТ
-V ,
-и +
(25)
0
или короче
D{S} = JX(u)[a2(u) + y(u)]du , (26)
где и
y(u) = e^u X
ҐТ
{(Му (v)e^v +9j(v)) dv + (J2 + J3)~ _^T
, ,, 1 e
-ЦТ Л
I M{S} ^ max,
\ф{М {S}, D{S }} < C.
(28)
Получим общий вид решения этой задачи при некоторых дополнительных предположениях, а именно:
1. В данной ситуации действует обычная микроэкономическая связь спрос/цена, где роль цены играет величина а1 (ї), а роль спроса - интенсивность входящего потока рисков Х(ї), ибо совершенно очевидно, что уменьшение величины страхового взноса приводит к увеличению потока клиентов. Мы отобразим эту связь формулой Х(ї) = Х0 (ї)F(а1 (ї)), которой
можно дать следующую интерпретацию: Х0(ї) - это интенсивность потока потенциальных клиентов, желающих застраховать свой риск. Придя в страховую компанию и ознакомившись с условиями страхования, клиент страхуется с вероятностью F(а1); очевидно, что F(а1) монотонно убывает с ростом а1 стремясь к нулю при а1 .
2. Полученные выражения зависят от двух функций - а1 (ї) и а2 (ї). Вообще, могут меняться одновременно обе эти функции, но мы рассмотрим лишь ситуацию, когда верно соотношение
a2(t) a2(t)
= A = const,
то есть а2 (г) = ^4а1 (г). Таким образом, надо найти лишь вид функции а1 (г).
В этих предположениях
Т
.(27) М{£} = £1 = |Х0 (и)Е(а1 (и)) [а1 (и) - ф(и)] -и ,
ОПТИМИЗАЦИЯ СТРАХОВЫХ ВЗНОСОВ
Конечно, любая страховая компания заинтересована в получении максимальной средней прибыли, то есть естественный критерий оптимальности имеет вид M{S} ^ max. Однако флуктуации дохода не выгодны компании, и поэтому одновременно естественно потребовать, чтобы дисперсия D{S} была бы не слишком велика. Достаточно естественным является ограничение вида D{S} < Smax или ограничение вида
M{S}/VD{S} < t. Поэтому получается задача на условный экстремум, когда решается задача вида
О{£} = | Х0(и )Е(а1(и)) _^4а^(и) + у (и)^ -и ,
0
и, используя метод неопределенных множителей Лагранжа, сведем задачу к виду
IХ0 (u)F(a1 (u)) [ (u) - ф(и)] du
0
T
- XL j X0 (u)F(a1 (u)) ^Aaj2 (u) + у (u) J du =
• max.
aj(u)
(29)
где Хь - неопределенный множитель Лагранжа. Это приводит к условию
Е (а1 (и)) [а1 (и) - ф(и)] +
+Xl F(a1 (u)) Aaj2 (u) + у(u)J :
max.
aj (u)
(30)
Отсюда обычными методами дифференциального исчисления получаем уравнение, определяющее оптимальный вид функции a1 (t):
al(u) + XLAal;(u) + (1 + 2XLAax (u)) =
F '(ai)
= ф(и) -X L^(u), (31)
которое определяет вид функции a1(t) с точностью
до неопределенного множителя Лагранжа XL. Последний должен быть определен исходя из налагаемых ограничений.
Частный случай
Рассмотрим частный случай, когда F(a1) имеет вид F (a1) = exp(-a1 / к). Тогда уравнение (31) принимает вид
XLAa2(u) + (1 -2XLA)a1(u) = ф(u) + к-ХLy(u), (32)
что является квадратным уравнением относительно a1 (u). При XL = 0 оно переходит в уравнение, полученное в [4].
ЛИТЕРАТУРА
1. Глухова Е.В., Змеев О.А., Лившиц К.И. Математические модели страхования. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. 178 с.
2. Змеев О.А. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика: Сб. статей. Томск, 1999. С. 67 - 73.
3. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Математическая модель функционирования страховой компании с входящими рисками в виде пуассоновско-го потока событий с переменной интенсивности // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 4: Сб. статей. Томск, 2002. С. 3 - 12.
4. Глухова Е.В., Фомин А.А. Оптимизация деятельности страховой компании при нестационарном потоке страховых случаев // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 7. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. С. 81 - 91.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 30 мая 2005 г.
