Исследование числа страховых выплат при ограниченном страховом поле Текст научной статьи по специальности «Математика»

дата обращения: 08.02.2016).

2. Бек М.А., Бек Н.Н., Бузулукова Е.В. и др Методология исследования сетевых форм организации бизнеса: коллект. моногр. /. / под науч. ред. М.Ю. Шерешевой; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». М.: Изд. дом Высшей школы экономики, 2014. 446 с.

3. Куснер Ю.С., Царёв И.Г. Принципы движения экономической системы. М.: ФИЗМА-ТЛИТ. 2008. 200 с.

4. Клиначёв Н.В. Теория систем автоматического регулирования. Челябинск. 2009. URL: http://www.model.exponenta/ru/ndbg.html (дата обращения: 04.02.2016).

5. Дулесов А.С., Курынова И.А. Упрощённая математическая модель регионального потребительского рынка одного товара // Современные проблемы науки и образования. 2012. № 4. URL: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=6595 (дата обращения: 04.02.2016).

Modelling of the exchange processes in trade systems

Irina Anatoljevna Gimanova, Khakas State University named after N.F.Katanov

In this work the question of modeling of stream processes between participants in trade-commerce systems is considered. The model of the description processes of an exchange between economic agents of a network in the local markets taking into account factors of supply and demand is developed.

Keywords: theory of active systems, modeling, mathematical models of social and economic processes, trade-commerce network.

УДК 519.248

ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛА СТРАХОВЫХ ВЫПЛАТ ПРИ ОГРАНИЧЕННОМ СТРАХОВОМ ПОЛЕ

Диана Дамировна Даммер, к. ф.-м. н, доцент Тел.: 8 913 803 69 65, e-mail: di.dammer@yandex.ru Томский государственный университет www.tsu.ru

Настоящая работа посвящена исследованию модели страховой компании с ограниченным страховым полем в виде системы массового обслуживания с неограниченным количеством обслуживающих приборов. С помощью метода характеристических функций получено двумерное распределение числа застрахованных в компании рисков и числа требований на выплату страховых сумм.

Ключевые слова: математическая модель, страховая компания, страховые выплаты, система массового обслуживания, характеристическая функция.

Моделям социально-экономических систем и их исследованию в настоящее время уделяется достаточно большое внимание. Как правило, во всех работах, посвященных исследованию математических моделей страховых компаний, находятся такие характеристики работы компании: математические ожидания числа рисков, капитала, также вероятность разорения и др. Так, в работе [1] исследуется классическая модель страховой компании, в [2] рассматривается модель с учетом расходов на рекламу, в [3] исследуется модель с возможностью перестраховки некоторых рисков компании. В перечисленных работах исследуется процесс числа застрахованных в компании рисков при условии неограниченного и ограниченного страхового поля, процесс же выплат страховых сумм никаким образом не учитывается. В работе [4] получено распределение

(N1)1

числа требований на выплату страховых сумм с произвольной величиной продолжительности договора, в [5] методом асимптотического анализа найдено двумерное распределение числа требований на страховые выплаты и числа застрахованных в компании рисков, в [6] исследуется тот же двумерный процесс с учетом неявной рекламы. В последних трех работах исследования проводились в условиях неограниченного страхового поля. В данной работе исследуется двумерный процесс числа застрахованных рисков и числа требований на выплату страховых сумм при условии ограниченного страхового поля.

1. Математическая модель и постановка задачи

Рассмотрим модель страховой компании с ограниченным страховым полем в виде системы массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов (рисунок).

У Пусть N - максимально возможное число потенциаль-

ных рисков. За бесконечно малый промежуток времени каждый из N потенциальных рисков компании с вероятностью ДАг + о(Аг) может застраховаться. Риск не может быть застрахован повторно, если срок действующего договора не истек. Обозначим г(г) - число застрахованных в компании рисков в момент времени г. Тогда поток рисков, приходящих в компанию, будет пуассоновским с параметром ((- г(г))Д . Срок действия договора страхования соответствует длительности обслуживания заявки на приборе. Каждый риск, находящийся в компании, на протяжении длительности действия договора независимо от других рисков генерирует с интенсивностью у требование на выплату страховых сумм. И эти требования образуют простейший поток событий. Естественно считать, что требование риска на выплату определяется наступлением страхового случая. Величину продолжительности договора страхования для каждого риска, находящегося в компании, будем считать случайной величиной, распределённой по экспоненциальному закону с параметром / .

Введем обозначения: п(г)- число требований на выплату страховой суммы за интервал времени [0, г], р(г,п,г) = р{г(г) = г, п(г) = п} - вероятность того, что в момент времени г в компании находится г застрахованных рисков, и число требований на выплату страхованных сумм к этому же моменту составило п. Задача состоит в том, чтобы найти двумерное распределение процессов г(г) и п(г).

2. Распределение числа застрахованных рисков и числа требований на страховые выплаты

Используя А(() метод, составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова [7] для распределения вероятностей Р (г, п, г). Сначала запишем допредельные равенства:

р(г,п,г + Аг) = Р(г, п, г)(1 - ^ - г)Ш - г/г - гуАг)+ + р(г -1, п, г)(N - (г - 1))ДАг + р(г +1, п, г)(г + 1)/Аг + р(г, п -1, г) гуАг + о(Аг), Перейдем к пределу при Аг ^ 0, получим систему дифференциальных уравнений

др(,п,г) = - р((,п,г + / + г у - г.л)+р( - ^) ш - (г - 1)Д) +

Рисунок. Представление модели страховой компании в виде бесконечноли-нейной системы массового обслуживания

дг

+р((+1, п, г )(г+1)/+р(г, п -1, г )у.

(1)

Для решения системы (1) определим характеристическую функцию

да

и(и^) = x eшjenzjp(i, п,

I, п=0

где] - мнимая единица. И далее будет решаться задача определения вида этой функции.

Из системы (1) с учетом свойств характеристических функций получим дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка относительно функции И (и^):

дH )

Ы

+1

Л-Лв* + цв 1 + ув]г - ц-у

дИ (и, г, t) =

ди

т(в1и - 1)и(и, г, t). (2)

Решение дифференциального уравнения (2) определяется решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений для характеристических кривых [8]:

Л

ёи

ЛИ (и, г, t)

1 -1 (-Л + ц + у + Лв* -

цв - 1 - у в1) И (и, г, t) ЫЛ(в]и -1) Найдем два первых интеграла системы. Сначала рассмотрим уравнение:

Ли

Л =

1 (-Я(в1и -1) + ц(в- * -1) - у(1 - в* ))

1и

Л2'

Сделаем замену переменных: в1 -1 = V. Тогда

^ =

¿(V - v1)(v - v2)

где

(1 - )]:

б =

1+ц+у(1 - в*)] - 4 - в* )> 0

Решение уравнения (3) будет иметь вид

t =

1

л(2 - V )

1п

г \

V - У2

V - VI

1п(~1),

(3)

(4)

что и будет определять наш первый интеграл. Запишем выражение для константы С :

С л = в

-1

(

Обозначим

С1 = С1Л((2-V1),

v - v2

V v - v1 )

Л(У 2 - v1)

тогда

Сх = вЛ^1 - ^

Г \

V - V2

V - VI

Другой первый интеграл найдем из уравнения:

ЛИ (и, г, t) = ёи

ЫЛИ(и, г, t)(в1и -1) 1(-Л(в1и -1) + ц(в -1и -1) - у(1 - в12))

(5)

(6)

В уравнении (6) сделаем аналогичную замену переменных в* -1 = V. Определим функцию И^, г, t) = И (и, г, t), тогда с учетом (3) можем записать

2

1

СИ^У, г, г)_ ^Хусь

И1 — г, г) Х(у - У1(г))(— - —2(г)) '

(7)

В последнем уравнении указана зависимость корней —1 и —2 от г . Решение этого уравнения будет иметь вид:

и:(у, г, г) _ С2

(-у2 (г)) (г) ( V! (г )) (г)

N

(1 (г)-у2 (г))

(8)

Введем произвольную дифференцируемую функцию ф(С1) _ С2 , где С1 определяется выражением (5). Тогда общее решение уравнения (6) запишем в виде:

И^у, г, г) _ ф

(9)

(г)-V2 (г))г' V - У2 (г)У| ( - —2 (г))2 (г) (1 (г)-—2 (г))

' IV - VI (г Щ(- VI (г ))(г) _ '

Частное решение определим с помощью начальных условий. Запишем значение функции И (и, г, г) при г _ 0. Имеем

N

И(и,г,0) _ X е'иепгР(, п,0) _ £ е^и'Р(г),

1,п _0 I _0

так как в начальный момент требований на выплату страховых сумм не было, и следовательно

|Р(0, п _ 0; [ 0, п > 0.

Обозначим О (и) _ И (и, г,0). Тогда, дифференциальное уравнение относительно функции О (и), с учетом условия О (0) _ 1, будет иметь решение

Р(7, П,0) _

О (и) _

1Л

и

- N

1 +

и)

Х

(10)

Теперь, учитывая (10), выражение (9) можем записать в виде:

' х л^

(V - У2 (г))У2(г)

1 + — и

1 + (у +1)

х

и)

N

_ф

—2 (г )

(у - У1 (г ))(г)

(у1 (г)-у2 (г))

Введем обозначения: х _ ———1 |, тогда

V

- —2 (г У

ф(х )_

'1 + Х\—2 (г)- —1 (г))

_и_

(1 - х) + Х[(г) +1 - х(1 + —1 (г))]

- N

- ^ 2 (г ) х (—2 (г)-—1 (г))

где учтено, что V _

—2 (г)- х—1(г)

1 - X

Таким образом, переходя от переменной V к переменной и, можем записать выражение для характеристической функции И (и, г, t) в виде:

И (и, г, t ) = вЛ(г >

'1 + Л\1 (г)-V2 (г ))

ц)

- N

[( (г)-в1 +1) + Ц(1 + V2 (г))

(11)

- ( (г) - в1и +1)-Л(((г)- V1(г)))

где V! (г) и V2 (г) определяются выражениями (4).

1+ Ц + V2 (г)) ц

N

3. Характеристики числа застрахованных рисков и числа требований на выплату страховых сумм

Найдем выражения для математических ожиданий и дисперсий числа ) рисков и числа п(() требований на страховые выплаты. Имеем:

1 дИ (и, г, t)

1 ди 1 дИ (и, г, О

о = М {i(t

и=0 ц + Л

г=0

1 дг

Для дисперсий получены выражения:

= М{п(t)}=ЦЛЛуt.

и =0 ц + Л

г=0

(12) (13)

(ц + Л)2'

D{п(t )} = 2 t + X t - 2-NЛц4 (1 _ в-(+Л> )

1 ' (ц + Л)3 ц + Л (ц + Л)41 '

(14)

(15)

Формулы (12) и (14) совпадают с результатом, полученным в работе (1), где исследуется одномерный процесс числа застрахованных в компании рисков при ограниченном страховом поле.

Найдем коэффициент корреляции процессов ^) и п(^). Имея выражение для функции И (и, г, t), можем найти смешанный момент первого порядка по формуле:

1 д 2 И (и, г, О

1

2 дидг

и = 0 г=0

= М {{ )п(( )}.

(16)

С помощью выражений (12) - (16) запишем выражение для коэффициента корреляции процессов ^) и п(( ):

Рт

( ) =

цу(1 - в-(ц+

Заключение

Автор считает, что в данной работе новыми являются следующие результаты: построена математическая модель страховой компании с ограниченным страховым полем

х

в виде системы массового обслуживания, найдено распределение двумерного процесса числа застрахованных в компании рисков и числа требований на выплату страховых сумм, найдены выражения для характеристик исследуемых процессов, а также выражение для коэффициента корреляции. Показано, что полученные результаты являются обобщением частных случаев.

Литература

1. Глухова Е.В., Змеев О.А., Лившиц К.И. Математические модели страхования. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. 180 с.

2. Ахмедова Д.Д., Терпугов А.Ф. Математическая модель страховой компании с учетом расходов на рекламу // Известия вузов, Физика. 2001. № 1. С. 25-29.

3. Глухова, Е В., Капустин Е.В. Расчет вероятности разорения страховой компании с учетом перестраховки // Изв. вузов, Физика. 2000. № 4. С. 3-9.

4.Назаров А.А., Даммер Д.Д. Исследование числа требований на страховые выплаты в компании с произвольной величиной продолжительности договора // Вестник Томского государственного университета. 2011. № 2 (15). С. 24-32.

5. Даммер Д.Д., Назаров А.А. Исследование математической модели страховой компании в виде бесконечнолинейной системы массового обслуживания методом асимптотического анализа: материалы VII Ферганской конференции Предельные теоремы и их приложения г.Наманган. 2015. С. 191-196.

6. Dammer D.D. Research of mathematical model of insurance company in the form of queuing system with unlimited number of devices considering implicit advertising // Information Technologies and Mathematical Modeling. Springer, 2015. Vol. 564. P. 163-175.

7. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания. Томск: Изд-во НТЛ, 2005.228 с.

8. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Москва: Наука, 1969. 424 с.

Research of process of insurance payments with limited insurance coverage Dammer Diana Damirovna, PhD, Associate Professor

This paper is devoted to the research of the model of insurance company with a limited insurance coverage in the form of querning system with an unlimited number of servers. Using method of characteristic functions we got two-dimensional probability distribution of a number of risks that are insured in the company and a number of demands for insurance payment.

Keywords - mathematical model, insurance company, insurance payments, queueing system, characteristic function.

УДК 51.7+551.2+316.4

О МОДЕЛИРОВАНИИ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ГЕОСОЦИАЛЬНОГО ПРОЦЕССА

Анна Андреевна Долгая, научный сотрудник Тел. 8 962 216 08 58, E-mail: adolgaya@kscnet.ru Институт вулканологии и сейсмологии ДВО РАН

www.kscnet.ru/ivs Кирилл Александрович Фереферов, магистрант Тел. 8 914 020 36 93, E-mail: tabris23@yandex.ru Дальневосточный федеральный университет www.dvfu.ru