CC BY
42
С.А. Масяйкин
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕГОВОРНОГО МНОЖЕСТВА ПРИ КОНКУРЕНТНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ДВУХ СТРАХОВЫХ КОМПАНИЙ, ФУНКЦИОНИРУЮЩИХ ПО МОДЕЛИ, ПРЕДЛОЖЕННОЙ О.А. ЗМЕЕВЫМ
Предлагается модель конкуренции двух страховых компаний, способ построения переговорного множества, на котором компании могут вести торг о назначении страховых премий.
Введение
В настоящее время большой интерес вызывают математические модели так называемой актуарной математики, изучающей различные аспекты страхового дела. В числе этих проблем находится и вопрос о математической модели страховой компании в целом [1, 2].
Однако многие аспекты деятельности страховых компаний в рамках этих моделей остаются неизученными. К ним, в частности, относятся и вопросы конкурентного взаимодействия страховых компаний на рынке, по своей тематике изучаемые в теории игр [3, 4]. В данной работе рассматриваются вопросы конкурентного взаимодействия двух компаний, каждая из которых, согласно модели, предложенной О.А. Змеевым, дает так называемую кооперативную игру с ненулевой суммой.
Модель страховой компании
Ниже используется несколько упрощенная модель страховой компании, предложенная и изученная в работах О.А. Змеева [5, 6]. В ней считается, что в каждый момент времени ґ состояние компании характеризуется двумя величинами - числом застрахованных рисков N (ґ) и капиталом компании и (ґ). Функционирование
компании моделируется следующими процессами:
1. В компанию поступает новый поток рисков интенсивности X. Клиенты, страхующие эти риски, приносят страховые взносы, являющиеся случайными величинами с математическим ожиданием а .
2. Время страхования некоторых рисков заканчивается, считается, что этот процесс имеет интенсивность ц, так что если число рисков есть N (ґ), то интенсивность ухода равна ц N (ґ).
3. С интенсивностью Х1N (ґ) идут повторные страховые взносы, которые считаются случайными величинами с математическим ожиданием Ь .
4. Наконец, с интенсивностью ц1 N (ґ) наступают
страховые случаи, выплаты по которым являются случайными величинами с математическим ожиданием с.
В этих предположениях в [4, 5] показано, что математическое ожидание капитала компании и (ґ) имеет
X
вид М{и(ґ)} = ио +—(ац + ЬХ1 -сц1 )ґ . ц
Заметим, что в этом случае скорость роста капитала К равна
значать через 5 , будем считать, что 5 > 0 .
Взаимодействие двух компаний
Пусть теперь на рынке страховых услуг имеются две страховые компании, различающиеся между собой параметрами а и 5 , равными a1, 5t для первой компании, а2, 52 - для второй.
Примем следующую модель взаимодействия двух страховых компаний. Будем считать, что существует некоторый общий поток рисков интенсивности Х0, которая зависит от величин страховых взносов а1, а2, т.е. X0 = f (а,, а2). Этот поток разделяется на две части, так что в первую компанию поступает поток рисков интенсивности X, во вторую - поток интенсивности Х2. Довольно естественно считать, что интенсивности этих потоков обратно пропорциональны величине X, а2
страховых взносов: —- = — . Тогда
Х2 а,
аа
X, =--f (а,, а2), Х2 =---f (а,, а2). (2)
а, + а2 а, + а2
Вид зависимости f (а,,а2) от а,, а2 определить достаточно сложно. В настоящей работе мы будем считать, что f (а,, а2) зависит лишь от некоторого параметра p, который, в свою очередь, зависит от а,, а2, так что p = p(а,, а2). Этот параметр определяет некоторую «среднюю» цену страхования, которую создает в своем воображении потенциальный клиент. Относительно вида функции f (p) естественно выдвинуть следующие предположения:
,) f (0)<+» ;
2) f (p) монотонно убывает с ростом p;
3) lim pf (p) = 0.
Что касается самой зависимости p(а,, а2), то к ней
можно предъявить следующие достаточно естественные требования:
K = dM{u(>)} J iV-cp, у (і)
dt у p )
^ bX, - cp,
В дальнейшем комбинацию —1--------------L будем обо-
1. Пусть а2 фиксировано, тогда если а, i+o, то p должно равняться а2 , так как в этих условиях все определяется именно величиной а2 и клиент просто проигнорирует первые две компании. Таким образом, должно быть limp(а,,а2) = а2.
а, i
2. С уменьшением а, p(а,, а2) также должно монотонно убывать, так как у страхующихся появляется возможность выбора. Поэтому должно быть
dp(а,, а2)
da,
> 0.
следующая зависимость p от a,, a2:
или же, что то же самое, p -
(a,” + a2)
k,=-0.
-f (a1, a2)(aj +8,) f (p);
K2 ----------1—f (aj, a2 )(a2 +82) f (p ).
f K, =(p + 8, )f ( p );
lK 2 = pf (p ).
Второй кусок границы получится, если в уравнениях (3) зафиксировать а2 и устремить а1 ^го, тогда формула (3) примет вид
fKi = pf (p);
(K2 =(p +8з )f (p).
(5)
3. При а1 ^ 0 р (а1, а2) также должно стремиться к нулю, так как в этом случае страховаться будут все потенциальные клиенты: Ит р (а1, а2) = 0 .
4. Наконец, р (а1, а2) также должно быть симмет-
ричной функцией от а1, а2, т.е. р (а1, а2) = р (а2, а1) .
По-видимому, достаточно правдоподобной является
1 1 1
удовлетво-
(3)
Построение переговорного множества
Основным в теории кооперативных игр двух лиц с ненулевой суммой является понятие переговорного множества, так как именно на этом множестве идет торг о совместной стратегии. Поэтому рассмотрим вопрос о построении этого множества в рамках предложенных моделей.
Каждой паре значений (а1, а2) в пространстве
(К1, К2) соответствует некоторая точка, совокупность
которых образует некоторую область К . Для построения этой области необходимо построить ее границу. Сама граница области К состоит из отдельных кусков. Первый кусок границы получится, если в (3), зафиксировать а1 и устремить а2 ^го. В этом случае р = а1, а (3) примет следующий вид:
Формулы (4), (5) задают параметрически две кривые на плоскости, которые являются границами области (К1, К2). Ориентировочно эти границы определяются следующими соображениями: при возрастании р сначала К1 и К2 возрастают, а затем при р ^го р/ (р) ^ 0. При возрастании а1, а2 сначала К1, К2 возрастают, а затем при а1 ^го, а2 значения
К1 ^ 0 и К2 ^ 0 .
Изучим сначала случай V = 1. Его надо рассматривать отдельно. После некоторых упрощений получим
K182 + K28i - [p (8i + 82 ) + 8i82 ] f (p) ,
(6)
ряющая всем этим условиям и напоминающая среднее геометрическое с некоторым параметром V > 0 . Тогда скорость возрастания капитала К1, К2 для первой и второй компании соответственно, согласно формулам (1) и (2), будет иметь вид:
т.е. при фиксированном p мы получаем отрезок прямой. Эта прямая смещается параллельно самой себе, и ее крайнее положение получается из условия
KjS2 + K2Sj = [ p (Sj + S2) + 8jS2 ] ^ max , что приводит к уравнению для p, определяющему это крайнее положение [ p (St +82) + 8182 ] f' (p) + ( +82)) (p) = 0, или
f' (p )
8, +82
(7)
Заметим, что так как /' (р)< 0 , левая часть уравнения всегда положительна. Корень р0 этого уравнения и определит третью границу переговорного множества. Покажем, что эта граничная прямая касается построенных выше границ. Из формулы (4) имеем
-(p + 8i )f' (p) + f (p)
dp dp так что на этой границе
dK, ( p +8i )f '(p ) + f (p)
dK2 pf ' (p) + f (p )
- pf' (p) + f (p)
(8)
С другой стороны, при фиксированном p наши уравнения имеют вид KjS2 + K2Sl = const, откуда для них
dK,82 + dK28, - 0 :
dK,
dK2
_8l
82
(9)
Точка р соответствует точке касания границы и прямой. Оно получается из условия равенства производных ^КуК , получаемых из (8) и (9):
(p+8i )f' (p)+f (p) = __81 pf' (p) + f (p) 82
(i0)
упрощая которое снова получаем уравнение (7). Аналогично доказывается, что граничная прямая касается и второй границы.
Теперь рассмотрим общий случай, когда V > 1. Найдем связь между К1 и К2 при фиксированном параметре. Обозначим а1 = —, а2 = — и, разделив
а1 а2
формулы (3) на а1а2, получим систему двух уравнений
K,
1 + 8,а,
K2
1 + 87а7
2 2 . Решая ее, получим
f (p) aj +а/ f (p) ai +а
82 f (p)_( K2 _ Kj)
а, -
Так как a,v +а2 -
12 v
pv
1 K28, + K182 _8,8jf (p)
8,f (p)_(K2 _K,)
K28, + K182 _8,8jf (p)' 1
то отсюда следует, что при
фиксированном р К1 и К2 связаны следующей зависимостью:
КД + К2 51 -5152 / (р ) =
= р {[82 / (- К1 )]” +[5/ ()+( - К1 ) }; .(11)
Переговорное множество является огибающей этого семейства кривых. Для получения второго уравнения, определяющего огибающую, надо продифференцировать (11) по р , поэтому к (11) следует добавить еще уравнение
-5152 /' (р ) =
= { / (р )-АК ]v +[51 / (р) + АК ]v } +
+р/' (р ){ / (р )-АК ]V +[51 / (р ) + АК ]v } х х 52 {[52/(р) - АК]1,-1 + 51 [5/(р) + АК]1-1}] ,(12)
где АК = К2 - К1. Совокупность уравнений (11) и (12) и определяет переговорное множество в параметрическом виде. Его численное построение несложно. При фиксированном р можно найти АК числено. Зная АК = К2 - К1, из (11) можно найти комбинацию К152 + К25, после чего, зная К2 - К1, легко найти К1 и К2.
Здесь имеются три характерные точки. Первая характерная точка получается, когда АК = 52/(р); подставляя это значение в (12), получим после упрощений
8182f' ( p ) - (81 +82 )f (p ) + 82 pf' (p ) , (13)
корень этого уравнения будем обозначать p,. Можно показать, что при этом значении p кривая (11) касается границы (4). Вторая характерная точка получается, когда AK - _8, f (p), в этом случае (12) после упрощений примет вид
_8Дf ’(p) - (8, +82)f (p) + 8,pf’(p), (14)
корень этого уравнения обозначим p2 . Можно показать, что при этом значении p кривая (11) касается
границы (5). Третья характерная точка получается из условия AK - 0 , тогда уравнение (12) примет вид
_8Д f (p )-(8,v +82v ) f (p) +
+pf' (p)( +82v ) f (p )j_v (8,v +82v )f (p )v_j, (15)
корень этого уравнения обозначим p3 .
Для построения огибающей надо использовать следующий интервал значений p: min (,, p2) < p < p3.
При p - p3 мы получаем точку огибающей, лежащую на прямой K, - K2. При уменьшении p в интервале max (p,, p2) < p < p3 уравнение (12) дает два корня и для каждого такого значения p получается две точки на огибающей. Наконец, при min(p,, p2) <p <max(p,, p2)
уравнение (12) имеет один корень, и мы получаем последний участок на огибающей. На рис. 1 изображены границы области (K,, K2) для частного случая, когда
f (pb-T-^r, 81 - 1, 82 - 2, v - 1, 2,4. 1+p
Рис. 1
ЛИТЕРАТУРА
1. ШтраубЭ. Актуарная математика имущественного страхования. Цюрих, 1998. 148 с.
2. Panjer H.H., Wilmot G.E. Insurance Risk Models. Society of Actuaries, 1992. 442 p.
3. ЛьюсР.Д., РайфаХ. Игры и решения. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 642 с.
4. ТерпуговА.Ф. Экономико-математические модели. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. 185 с.
5. Змеев О.А. Модель функционирования страховой компании при конечном числе возможных клиентов // Известия вузов. Физика. 1999. № 4.
С. 34-39.
6. Змеев О.А. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов // Матема-
тическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. С. 67-72.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 31 мая 2006 г.
