CC BY
31
А.Ф. Терпугов, Н.П. Щирова
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО ВЛОЖЕНИЯ СРЕДСТВ
В РЕКЛАМНУЮ КОМПАНИЮ
С использованием принципа максимума Понтрягина находится оптимальное распределение средств при проведении рекламной кампании.
Описание модели
Рассмотрим математическую модель компании, осуществляющей продажу однородного товара. Для описания компании (фирмы, магазина) будем использовать следующие параметры: £ - величина покупки, которая является случайной величиной с функцией распределения ^(£), S(ґ) - капитал, которым обладает компания в момент времени ґ. Будем считать, что за промежуток времени [ґ, ґ+Дґ] компания несет расходы в размере cS(ґ)Дґ. Величина с показывает расходы, связанные с текущей деятельностью, например заработная плата работникам, оплата аренды, затраты на свет, тепло и т.д. Кроме того, будем считать, что компания в своей деятельности использует рекламу, на которую выделяется а(ґ^(ґ)Дґ за промежуток времени [ґ, ґ+Дґ].
Для оценивания эффективности рекламы введем величину Я(ґ), влияние которой проявляется в следующем: будем считать, что поток покупателей является пуассоновским потоком с интенсивностью Хо+^1^(ґ), где Х1 - коэффициент и отражает влияние рекламы, а Х0 определяет интенсивность потока без всякой рекламы.
Расчет математических ожиданий
Так как процесс покупок случаен, то и величина капитала компании S(ґ) есть случайный процесс. Поскольку на рекламу компания выделяет долю а(ґ^(ґ)Дґ, то и степень влияния рекламы становится случайным процессом. Найдем величины S1(f)=M{S(f)} и Я1(ґ)=М{Я(ґ)}.
Рассмотрим изменение капитала за промежуток времени [ґ, ґ+Дґ] при Дґ^-0, в течение которого за покупкой может прийти покупатель с вероятностью (Х0 +>цЯ(ґ))Дґ. Изменение капитала за Дґ составит величину
|-(а(ґ )+ с ) (ґ )Дґ
Перенося ^1(/)=М{^(/)} влево и деля обе части последнего выражения на Д/, получим дифференциальное уравнение для З^/):
^ ) = -(а(/) + с) (/)+ а1Х1Я1 (/) + а1Х0.
Ж
Выведем теперь уравнение для влияния рекламы Я(/). Предположим, что на степень влияния рекламы действует процесс увеличения рекламы Я(/), обусловленный вложением в рекламу капитала а(/)^(/)Д/, и процесс забывания рекламы, пропорциональный самой Я(/). Поэтому
Я(/+Д/)= Я(/)-0Я(/)Д/ + Ра(/)£(/)Д/+о(Д/ ), где 0 определяет скорость забывания рекламы, а в -степень влияния денег, вкладываемых в рекламу. При усреднении получим
м {я(/+Д/)}=м {я(}- ем (я(/)}д/+
+ Ра(/ ) (/ )д/ + о(Д/).
После обычных преобразований
Я'(/ )=-еЯ1 (/ )+Ра^1 ().
Итак, для средних значений капитала и степени капитала мы имеем систему дифференциальных уравнений
(/)
= а1(Х о +Х1 Я1 (ґ)) - (а(ґ) + с)^’1(ґ),
= -0Я1 (ґ)+ра^(ґ).
(3)
ДS (ґ )-
Уравнения для ковариационной матрицы величин £() и
Обозначим
С^^О^)}, Сж=ссу (£(/), Я(/)), Сяя=О{Я(/)} и выведем дифференциальные уравнения для их определения. Из (2) имеем
Б2 (/+Д/)=Б2 (/)+ 2Б (/ )Д/+(ДБ (/ ))2. (4)
Усредняем по величинам покупки
Б 2 (/ + Д/) = Б 2 (/)+ 2Б (/ )[а1 (Х 0 + Х1Я(/))-
с ве
-(а1
іроятностью (X0 +Х1Я(ґ))Дґ+о(Дґ), (^ -(а(ґ) + с^(ґ)]Дґ + а2(X0 + Х1 Я(ґ))Дґ + о(Дґ),
)+ с)(Щ, где а,=М{£2} Обозначим
1-(Х 0 +Х1 Я(ґ ))Дґ+о(Дґ).
Поэтому
S(ґ+Дґ)=S(ґ)+ДS(ґ). (2)
Найдем математическое ожидание этого выражения. Усредним по возможному факту покупки М {д? (ґ ) (ґ), Я(ґ )}= а1 (X 0 + Х1 Я(ґ))Дґ -- (а(ґ)+ с) (ґ (Дґ + о(Дґ), где а1=М{£} - средняя величина покупки. Усредним еще и по S(ґ) и Я(ґ):
М { (ґ + Дґ )} - М {S (ґ)}+ а1 (X 0 + Х1 Я(ґ ))Дґ -- (а(ґ) + с)М ^(ґ)}Дґ + о(Дґ) .
где а2=М{^ }. Обозначим
£2(/)=М{£2} и <5Я>=М{£(/)Я(/)}.
Тогда получим
—^(/) = 2аХ0Б1 (/) + 2а1Х^БЯ - 2(а + с)2 (/) +
Ж
+ а 2 (х 0 +Х1Я1 (/)) . (5)
С другой стороны,
£/ (/) = 2Б1 (/ (/) = -2(а(/) + с))2 +
+ 2а1Х1 Я1 (/)Б1 (/)+2а1Х 0 Б1 (/). (6)
Так как С33 (/ )= Б 2 (/)-^ (/ ) , то, вычитая (5) из (6), получим
—- -2(a()+c)c55 + 2a1X1CRS + dt
+a 2 (X о +Xi Ri(t)). (7)
Выведем уравнение для CRR.. Так как
R(t+At)= R(t)-0R(t)At + Pa(t)S(t) At+ o(At ),
то
Я2 (/+Д/)=Я2 (/)+ 2 Я(/ ХРа (/) Б (/ )-ея(/ ))Д/+е(Д/)
и поэтому для Я2 (/) = М {я 2 (/)} получаем
Я^ (/) = 2а(/)р(БЯ) - 2еЯ2 (/) . (8)
Но, с другой стороны,
я1 () = 2Я1 (я/ () = 2а()ря1 () - 2ея1 (),
и поэтому для Сяя () = Я 2 ()- Я12 () имеем
—Сяя () .
—/
■ - 2ар CRS - 20Cr
Теперь выведем дифференциальное уравнение для соу(Б(/),Я(/)).
Рассмотрим
Я( + Д/) ( + Д/) = [я() + (а()р^ () - ея())Д/] х х ()+ [а1 (Х0 + Х1 Я())- (а() + с)(]] =
= Я() () + (ва()Б2 ()- ея(/ )Б (/) + а1 (Х 0 + Х1 я(/ ))--(() + с)^Я) .
Усредняя и преобразуя это выражение, получим
——- = ар^2 ()-е( ЗЯ) + а1Х 0 Я1 () + а1Х1 Я2 ()-—1 ' '
- (а()+ с)^Я) . (9)
С другой стороны,
' ^ ^
(ж) = ЗД + ОД =а()р^12 ()-е^1 ()Я1 ()-
- (() + с )Я1 ^1 + а^ Я1 + а1Х 0 Я1 (). (10)
Вычитая (10) из (9), получим
= а()РС55 - (а()+ с + е)СЯ5 + а1Х1СЯЯ .(11)
dC
SR
dt
Итак, для ковариаций CSS ,CRR ,CRS система дифференциальных уравнений имеет вид
dC
t --2(a(t) + c)css + 2aiXiCSR + a2 ( +X1R1 (+ dt
dC s \ //\ „4 . „ (12)
dt
dC R
■-a()pCSS -(a(f)+c + 0) + a1X1CR
■ - 2a(t + PCSR - 20CRR ,
F-■
max.
(13)
F = -41ЙЙ}^т1п. (14)
(Т)}
Базовой системой дифференциальных уравнений будет система, состоящая из систем (3) и (12), т.е.
——=-(а(/)+с) (/ )+а1Х1 Я1 (/ )+а1Х 0,
dt
dR
--0R1 (t )+a(t )p^1 (t), (15)
dt
dCS
dt
dCS
dt
■- 2(a(t)+c)Css + 2a1X1CSR + a2 (x0 +X1R1 (+
- a(t )PCss - (()+c +0)Csr + a1X1CRR + a^ 0 R1 (t+
'SS
dC
— 2a(t)PCsr - 20Cr
dt
Введем вектор ¥=(¥ь ¥2, ¥3, ¥4, ¥5) и построим функцию Гамильтона:
Н(t, S1, R1, Css , CSR , CRR , a(tC) -
- ^1 [- (a(t) + c+S1 (t)+ a1X1 R1 + a1X 0 ] +
+ T2 [- 0R1(t ++ a(t+PS1(t)] +
+ T3 [- 2[a(t)+ c]Css + 2a1X1CSR + a2 (X0 +X1R1 (t))] + +T4 [a(t)Css -(a(t)+c+0)Csr +
+ a1X1CsR + a1X 0 R1 (t)]+
+ T5 [2a(t)PCsr - 20Crr ]. (16)
Используя принцип максимума, получим, что существует такой вектор ¥ =(¥ , ¥2, ¥3 , ¥4, ¥5), что
ж ж ж ж * / \
Н(t.S1 , R1 , CSS , CSR , CRR , a(tC) -
- max H (t, S1, R1, CSS , CSR , Crr ) ,
0<a<a0
где (s* (t+,R*(t+,
CSS (t +; CSR (t +; C RR (+ - оптимальный процесс. Тогда для любого t из [0,Г] выполняются условия:
dT1
dt
дН dT,
dS1 dt
дН
dR1
dT3
дН dT4
дН dT5
дН
—
которая является неоднородной системой трех линейных уравнений.
Исследование деятельности компании при заданном критерии эффективности
Для оценивания деятельности компании введем следующий критерий:
^1 (Т)- £ 0 (Т )}
При решении задачи используем максимум Ла-гранжа-Понтрягина. Функционал примет вид
dt дCSS dt дCSR dt дCRR
Следовательно,
T1,(t )--[(a(t) +c )'F1 +Pa(t)'F2 + 2a1X 0 T3 ],
T2’ (t )--[a1X1T1 -0T2 + a2 X 0 T3 + a1X 0 T4 ],
■^3'(t)--[[()+ c)^3 +ap^4 ],
y/ (t )--[2a1X1T3 -(a(t)+ c+0)T4 + 2a(t )pT5 ^'(t )--[a1X1Y4 - 20T5 ].
(17)
Допустим, что 0<a<a0. Тогда с учетом вида функции Гамильтона
a * (t + - 0max Н (t, S1 (t)^ R1 (t+. CSS (t+, CSR (t + CRR (t )C -
0<a<aQ
a 0, при S1 (t) [p^2 - T1 ] + CsS [4 - 2T1 ] +
+ CrS [2 PT5 -Y4 ]> 0,
0, при S1 (t) [ - Y1 ] + Css [PT4 - 2T1 ]+
+ Crs[2PT5 -Y4]< 0. Предположим, что управление рекламой будет иметь следующий вид:
[О, 0<ґ<т1, а(ґ)= <!а0, Т1 <ґ<Т2,
[0, Т2 < ґ < Т,
где Т1 - момент включения рекламы; Т2 - выключения рекламы. Поэтому ход решения задачи разобьем на III этапа:
I. С нулевого момента времени, с начала деятельности компании, на рекламу затрачивается а=0, а следовательно, и функция влияния рекламы Я(ґ)=0.
II. В момент времени ґ=Т1 фирма начинает в своей деятельности использовать рекламу, т.е. а^0, а следовательно, Я(ґ)^0.
III. В момент времени ґ=Т2 вложение средств в рекламу прекращается, но функция влияния рекламы позволяет оценить эффективность рекламы.
Базовая система уравнений для решения задачи состоит из систем (12) и (17):
' dS1 ()
dt, ч dR1 ()
— -(a+c+0)»S'i ()+ Rx ()+ a^Kо
dt dCss ()
— -0Rj ()+apSj
—-2(a+c)CSS + 2a1K1CRS + a2 (K о +K1R1
dt
—aPCss —(a+ c +0)CRS + aiK1CRR + aiK1 R1 (
dt
—с^ — 2aPCrs -20Crr , (18)
dt
—t~ — -[-(a+c)*I/1 +aP^2], dt
—¥2 r
2 —-[a1K1T1 -0T2 + a2 K1T3 + a1K 0 T4
dt
—¥3
dt
d^4
dt
—¥,
dt
—-[2(a+c) +ap^4 ],
—-[2a1K1T3 -(a+c+0)4 + 2ap¥5
— -[^4 - 20T5 ].
I этап
S1 (t)—
^ D1e-0te-ct + D2e-ct + ^
c-0
— D2 e ~ct +■
a1K о
Найдем явный вид константы D2. Имеем
S1 (о)—D2
a1K о
— >^о; D2 — S0 -'
a1K о
Тогда
S1 (t)—[ s„ - J
-ct a1K о
e +-—•
(19)
Начальных условий для функции ^, ¥2, ¥3, ¥4, ¥5 задать мы не можем, поэтому выпишем решение:
^ ( )= ^ес/,
Т2 (t)—P2 e0t-^P1 ect--^P3 e2ct-c-0 2c-0
- a1K с ^3 (t)— P3 e ^4 (t)— P4
T5 (t)— P5
P4 e (c+0)t - 2a1Kо p e2ct
c c(2c-0)P3e
^(c+0)t - 2a1K1 P e2ct
c-0
a1K1 P e (c+0)t +Г a1K1
c-0
c-0
(2о)
На этом решение первого этапа заканчивается.
II этап
В момент времени /=Т фирма начинает вкладывать часть капитала в рекламу продаваемых товаров в размере а8(/). Поэтому сейчас необходимо разрешить систему дифференциальных уравнений (18). Выпишем решение системы
Я! (/) = ав к (е + у1 )е ^ + К2 (е + V 2 )е^ ] -
(21)
R1 (t) — K1 (0 + v1 )e Vlt + K 2 (0 + v 2 ) 2t -
a{K о V1 +V 2, (22)
V1V 2
где vb V2 - характеристические числа вида
+^(a+c+0)2 + 4[a1K1ap-0(a+c)] -(a+c+0)
(23)
В момент времени ґ=0 фирма обладает начальным капиталом S0 и в течение промежутка времени [0, Т1) не выделяет средств на рекламу а=0 и поэтому Я(ґ)=0, а следовательно, дисперсия _0{Я(ґ)}=0, cov(S(ґ), Я(ґ))=0. С учетом вышеуказанных условий разрешим систему (18):
Я1 (ґ)-Де ~вґ, т.к. Я(ґ)=0, то А=0;
Стоит отметить, что для эффективной рекламы один из корней
■^(a+c +0+2 + 4[a1X1aP-0(a+ c+ -(a + c +0+
V1 - 2 должен быть положительным. Условие эффективности рекламы получается с помощью матрицы Гурвица [1]:
a + c + 0 1
0 0(a + c)- a1X1aP .
Поскольку (a+c+0)>0, то условием эффективности рекламы является 0(a+c)<ajXjap.
Далее
Css (t )-aXL (K 3 (t)+K3 ) +(4 (t)+K 4 )2t, a+c
CSR (tC-^l^ (K3 (t) + K3 ) + (K4 (t) + K4 ) +
ap
Crr (t)—-—(4 (t)+K4) )+(K5 (t)+K5 ). (24) ap
Здесь ц1 — 2v1; ц2 — 2v 2; ц3 — -
2
Из-за громоздкости выражений К3(/), К4(/), К5(/) явный вид выписывать не будем.
Теперь выпишем явный вид функций ¥2, ¥3,
^4, ^5.:
2ct
2
4
3
2
c
c
c
T (t )= Q
aß
a + c -^j
-e^ + C2 eY2t:
T2 (t)=C1 °1 ( 0 +X ) ( Y 2 )ew + C2 e™ + —°jXj
+C3eY3t +C 4eY4t,
aß
-eY3t + C 4 eY4t,
T ()=Сз +
a+c—y 3
T4 (, )= C3 2aß —(a+ c + 9 —Y 4 )e,3. + C4 e Y 4t + C5e «,
—2ajXj
T5 (t )=C 4^^Y4t + C5eY5t. ajXj
V —I—л/
Здесь y j = 2v1;y 2 = 2v 2; y 3 =-
(25)
2
; y 4,5 =—vi.
^2a(0)=^20
Tj ) ^3a(0)=^30 (Tj ),
Sj (t )=^д e —9t + D2e-ct +
Css (t ) = D
aJX] c—9
Rj(t )=Dje a2Xj 2c — 9
—2ct
Dj e
t + a2X 0 + 2c
+2ajXj
D
c—9
4 e—(c+9)t +
c(c—9) 2(c—9)2 CSR (t )= D4e—(c+9)t + aX-Dj e —9t + ^
c—9
LD5e—
CRR (t)_ D5 e
T (t)= Zjec
T2 (t )= Z 2 e9t — Zject —■
a2 Xj
c—9
2c—9
■Z 3e —
—ajX 0
T (t )=Z 3
Z4 e(c+9)t 2ajX0
________7 e2
(2c—9) 3e
T4 (t )= Z 4 e (c+9)t
2a,X,
-Z 3e2
Поскольку II этап - переломный момент, когда фирма вложила часть своего капитала в рекламу, для дальнейшего хода решения задачи необходимо задать условия сшивания.
Разобьем временную ось на две области: первая - [0;?^), где а=0, вторая - [ГьГ2), a^0. Тогда можно представить условия сшивания так:
Xa(0) = Slü (?1 ) Rla(0) = Rio (?1 ),
CSSa (ü)= CSS0 (Ti )’ CSRa (ü) = CSR0 (?1 ),
■j CRRa (0) = CRR0 (Ti ), Yi„ (0) = Y10 (Ti ),
T (t )=Z 5 e29t —
c—9
ajXj Z e(c+9)t +f ajXj 1 7 e2ct
c—9
c—9
Z 3e2
(28)
(26)
^5а(0) = ^50 (Т ).
В левой части системы (26) находятся функции с индексом а, явными выражениями которых являются решения II этапа, т.е. а^0, а в правой части -решение I этапа, т.е. а=0. С помощью последней системы условий сшивания определим константы К1, К2, К3, К4, К5 в явном виде, а выражения с С1, С2, С3, С4, С5 для функций ¥ь ^2, ¥3, ¥4, ^5 будут содержать Рь Р2, Р3, Р4, Р5.
Итак, решение II этапа найдено. Возвращаемся к единому времени, а следовательно, в решении II этапа переходим от /^/-Ть
III этап
На этом этапе вложение средств в рекламу заканчивается, но действие рекламы сразу не прекращается, покупатели приходят в фирму и после исчезновения рекламы из средств массовой информации.
Необходимо разрешить систему дифференциальных уравнений (18) с учетом следующих условий: рекламу а=0 и Я(/)^0. Решение имеет вид
(29)
T20 (0) = ^2a(T2
Далее повторяем процедуру, аналогичную процедуре на II этапе, а именно: задаем условия сшивания для определения явного вида функций. Для этого опять разбиваем временную ось на две области: в первой - a^ö, во второй - а=0 на [T2,T].
Хо (0)= Sia(T2 ), Rw (0) = Rla(T2 ),
CSS0 (ö) = CSSa (T2 ), CSR0 (ö) = CSRa (T2 ),
CrR0 (0) = Crra (T2 ), Y10 (0) = Yi„ (T2 ),
^30 (0) = ^3a(T2 ),
^50 (0) = ^5a(T2 ).
Заметим, что в правой части системы (29) находятся выражения из (27) и (28), а в левой части -функции, полученные на II этапе. С помощью системы (29) определим явный вид констант. Затем перейдем к единому времени t——t—T2.
Нужно отметить, что явный вид констант Zi — Z3, Z4, Z5 на III этапе для функций ¥ь ¥2, ¥3, ¥4, ^5 будет зависеть от P1, P2, P3, P4, P5, которые остались неопределенными после I этапа. Определить их мы сможем с помощью условий трансверсальности
T40 (0) = T4a(T2
Tj0 (T )= —
dF (t ) = — !
"âsT " VD(Sj (T)}'
T30 (0)= —
5F (t )= Sj (T ) — S0
dCss 23jD{S (T )}
dF (t )
T40 (0) = — ^ = 0,
dCSR
%0 (0) = -C) = 0.
dCRR
Реализация этого алгоритма возможна лишь численно с применением ЭВМ.
ЛИТЕРАТУРА
j. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, j986. 6j5 с.
Статья представлена кафедрой прикладной информатики факультета информатики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию номера 3 декабря 2001 г.
c
c
e
