Оптимизация функции капитала при вложении средств в рекламу Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.Ф. Терпугов, Н.П. Щирова

ОПТИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ КАПИТАЛА ПРИ ВЛОЖЕНИИ СРЕДСТВ В РЕКЛАМУ

Рассматривается модель деятельности компании, где особое внимание уделено управлению расходами на рекламную деятельность. Устанавливается правило управления расходами на рекламу. Рассматривается величина максимального значения капитала в среднем. Исследуются значения оптимальных моментов времени использования рекламы в деятельности компании и соответственно «отключение» рекламы.

Реклама нас окружает повсюду. Нам никуда не скрыться от нее. Телевидение, радио, интернет, газеты, журналы - любая сфера массовой информации заполнена рекламой. Организации используют ее как способ привлечения покупателей. И какой еще найти способ, чтобы повлиять на потребительский спрос. Рекламная деятельность направлена как на потребителей, так и на товаропроизводителей, стремящихся к массовой реализации своего товара.

Рассмотрим модель компании, которая в своей деятельности предусматривает выделять некоторую часть капитала Q(t) на использование рекламы. Через Б(Ґ) обозначим количество капитала, которым обладает компания в момент времени t. Причем состояние капитала зависит от того, сколько фирме удается продать количество товара, а последнее напрямую зависит от покупательского спроса. Итак, обозначим, Щ) -величина, отражающая эффективность рекламы, т.е. функция

последействия. Опишем ее законом ) = -юК()+ PQ(t),

л

где коэффициент ю определяет скорость забывания рекламы ,К(Ї), а р - степень влияния денег Q(t), вкладываемых в рекламу. Влияние К(Ґ) проявляется в следующем: будем считать, что поток покупателей является пуассоновским потоком с интенсивностью Х= Х0 + ^(К^)), где коэффициент описы-

вает влияние рекламы на поток покупателей. Величина Х0 определяет интенсивность потока покупателей без всякой рекламы. Величина покупки Е, - случайная величина со средним значением а = М{^}.

СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ КАПИТАЛА ПРИ УПРАВЛЕНИИ РАСХОДАМИ НА РЕКЛАМУ

Изменение капитала будет за период времени Дt сле-

\- СоД1, (0 +^1 ))),

дующим:

AS (t ) =

- Со At,1 - (о + ^1 (R(t))),

dt dR(t)

dt

= a^1(R(t)) + (aX о - Со ) - Q(t),

= -roR(t)+ PQ(t).

Из второго уравнения системы (1) выразим Q(t):

Q(t )=р

dR(t) dt

+ oR(t)

(1)

(1)

последнее выражение подставим в дифференциальное уравнение для 8^) из дифференциальной системы (1):

—S—(1 = a^1(R(t)) + (aXо - Со) - р

dR(t) dt

+ oR(t)

(З)

Решение неоднородного дифференциального уравнения (3) имеет вид

81 (/) = А + (к0 - с0)t +

„, ^ ^+“'г(т)_

где А - константа. Значение функции капитала в конечный момент времени Т будет таким:

+ J ( aK1 (r(x))-P'

(4)

S1 (t) = A +(a^ о - Со )t + J| a'k1 (R(x))-'p

—R(x)

dx

R(x)

Введем новую функцию F(t):

F(t)=( a\(R(t))-р

dR(t) dt

+ Ш.

R(t)

Так как для компании важно получение максимального значения функции капитала в конечный момент времени, то для решения построим функцию Эйлера

¥ -■—¥, = 0 . В нашем случае у соответствует В(), х —х

соответствует /. Получим, что

Fy =|aX1 (R )--

1 d

Fv =---, —Fv = о,

y p dx y

aK (R )-£ = о, X1 (Rо ) = 0^.

(5)

где Со -

постоянные расходы компании, на которые не влияет состояние капитала в тот или иной момент времени (налоги, аренда помещения, заработная плата сотрудникам). Так как значение капитала определяет величина §, являющаяся случайной величиной, то и 8(/) тоже является случайной величиной. Обозначим среднее значение капитала 81 = М{£(/)}. После усреднения величины Д£(/) получим систему дифференциальных уравнений.

' —Б1 ()

Обозначим как R0 корень последнего уравнения, причем R0 = const.

Компания планирует свои расходы, чтобы достичь максимального дохода в определенный момент времени. Поэтому в ходе деятельности она пытается предвидеть и контролировать события, т. е. предсказать получение будущего дохода, изменять или влиять на текущие события, связанные с деятельностью компании, и, в конечном итоге, уменьшить неопределенность риска относительно неполучение прибыли.

Итак, управляя расходами, пусть функция расходов (Q ,0 < t < 71,

-si-max

имеет вид Q(t )=]бо, 7 < t < тг,

[о, т2 < t < т.

Разобьем временную ось на следующие промежутки:

0< 7 < т2 < т.

Рассмотрим первый период: 0 < t < ть Пусть на данном этапе сумма расходов максимальна, т.е. Q(t) = Qmax. Используем выражение (2), показывающее зависимость между расходами на рекламу и функцией последействия:

Q(t )=р

р

Q = —

-simax р

dR(t) dt

dR(t) dt

R(t)

так как

Q(t ) = Qm

то

+ roR(t)

dR(t) dt

+ raR(t ) = pQm

Решая неоднородное дифференциальное уравнение, получим вид функции последействия на этом времен-

x

ном

отрезке Я()= В1е + в^тах [1 - е ], где В1 - конго

)= 1 - е-о»] .

(6)

= аХ1

РЬт

-( - в-”")

+ (аХ0 - С0 )- (7)

Решение неоднородного уравнения (7) имеет вид

81 () = В1 + [(ак0 - с0 )- бтах] +

+ а|к1 ■Р^£т« (1 - е-")

Лт,

где В1 - константа.

При начальном условии 81 (0) = 81

() = + [(ак 0 - с0 ) - бтах ] +

Рйшх [ - е^]] .

+ а

]Хі

Полученную функцию обозначим как 81(1) ().

Итак, функция капитала на первом этапе при максимальных расходах Q(t) = 0тах, начальном значении капитала 81(0) = 81 и при условии существования функции последействия Я^) имеет вид

8«(' )= 8, +[к 0 - С0 )-Qmax ]' +

ш

+ а | Х1 (^^Ю^ [і - е-шт ]] Лт.

(8)

Ь0 =-« ^0-

(9)

•=ав к+( - С0 )-Ю « .

(10)

где Т1 < t < Т2: S1 tt)= В2 +

ЮКI ~~ ] + (аХ.0 - о)

^02)а )= в2+

t- Тогда В2 - кон-

станта.

Зададим начальное условие Я(0) = 0, тогда В1= 0. Функция последействия при максимальных расходах и начальном условии Я(0) = 0 имеет вид

станта.

Перейдемход к единому времени. Тогда функция капитала примет вид

^а )=В2

+

Ю«01 '-0а ] + (аХ0 -С0)

tt - Т1 ). (11)

Выражение (6) подставим в дифференциальное уравнение для 81(') из системы дифференциальных уравнений (1). Получим, что

Перейдем к периоду Т1 < t < Т2. Пусть на этом временном отрезке расходы на рекламу имеют фиксированное значение Q(t) = Qo, Т1 < t < Т2, и функция последействия имеет значение Я^) = Я0.

Из уравнения Эйлера установлена следующая зависимость (5): к; (*0 ) = го ар. При заданных нами условиях получим к1(*0 ) = — Я0. Учитывая зависимость функ-ав

ции расходов Q(t) от функции последействия Я^) (2), определим вид значения расходов Q0:

го р

Используем последнее выражение (9) для подстановки в дифференциальное уравнение (3) для S1(t):

(') =

—

Условие сшивания функций капитала первого и второго периодов будет таким ^(Т ) = 8((2)(Т1 ), что позволит найти вид константы В2 и, таким образом, получить явный вид функции капитала на втором временном отрезке

В, = 81 + [к0 - С0 ) - Qmax ] + « { к [ - е^ ]] +Т .

Подставляем полученный вид константы в выражение (11) для ^02)('):

802)(') = 81 -Qmax • Т + а]к1^р%а^[-е-ГОТ+ +Т +

*0 (^Я - Т) + (ак 0 - С0)' . (12)

кции капитала в момент Т2

802)(Т2 ) = 81 - QmaxT; + а ] к1 ^"Р^ТОта~ [ - е~ГОТ+ —Т +

+ ГО*0(^(Т, -Т) + (ак0 -С0)Т2. (13)

Перейдем к периоду Т2<'<Т. Пусть на этом временном отрезке компания отказывается от расходов на рекламу, поэтому Q(t) = 0, и на этом временном отрезке проявляется действие функции последействия Я('). Помним, что зависимость функции расходов Q(t) от функции последействия Я^) представлена уравнением (2). При условиях для данного периода получим

Р а

А значение функции капитала в момент Т2

)

Л

+ю«а)

= 0 . Решаем последнее дифференци-

альное уравнение Я^) = В3е~го. Согласно начальным условиям, В3 = Я0, а значит, Я(') = Я^®'. Полученное выражение подставляем в дифференциальное уравнение (4) для ^(О. Для этого этапа уравнение примет вид

^) = ак1 (^е-")+ (ак0 - С0). Тогда й^) будет т

’ таким:

Вид решения уравнения (10) позволяет определить вид функции капитала на втором временном отрезке,

(t) = В3 + (ак0 - С0) t + а] к1 (я0е~гоТ) —т , Т2<'<Т.

0

Обозначим функцию капитала на этом участке как

X3Я): (t) = В3 +(ак0 -с0)t + а]к1 (я0е~гоТ)—т . После

0

перехода к единому времени функция капитала такова:

(:-Т2 ) , ч

t. 823() = В3 + (ак0 -С0Тt-Т2)+ а ]к1 („е-0'1). (14)

Здесь В2 - константа. Полученную функцию обозначим как ^Я).

Итак, функция капитала на втором этапе при фиксированных расходах Q(t) = Q0 и значении функции последействия Я(') = Я0 имеет вид

Условие сшивания для функций капитала, полученных на втором и третьем периодах, будет 8 02) (Т2) = 8 23) (Т2). Выражения (13) и (14) определяют вид константы В3:

В3 = 81 - Qmax • Т + «{ к1 [ - е-ГОТ] +

СО

+ 1 Ro(Чт-т)+(aXо -^о) .

Вид функции капитала

SfT) = S' - Qmax^ + «j X' [l - e-" ]] dT +

+1 Ro (¥ )(2 - ^

((-т2) , ч

+ (aX0 - c0 )t + a |X1 (e шх)т .

0

Полученную функцию обозначим как S (t):

S (t) = Si - Qmax • т + a j X' ^[l - e-“T ]] dT +

+ | R0 (Ч )(2 - т)

(t-т2) , ч

+ (aX0 -c0)t + a jX1 (e шх)т. (15)

0

Среднее значение функции капитала (15) в момент времени т при управлении расходами Q(t) в течение периода 0 < t < т и влиянии функции последействия на потребительский спрос имеет значение

S(т) = S1 - Qmax^ + a j X1 [1 - e-1T d dT +

+1 R0 ( ¥ ]<( - ^

+ (aX0 - c0) + a jX) (e-”) . (16)

0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ

МОМЕНТОВ ВРЕМЕНИ Tu T2

ДЛЯ ФУНКЦИИ КАПИТАЛА

Главной задачей компании является получение наибольшей прибыли в конечный момент времени . Поэтому S(т)^ max. Момент времени т определяется с по-

т1,т2

мощью выражения (6) для функции последействия при условии, что если R( т{) = R0, то eQmax [l - eт' ] = R0, из

mR0

1 -.mRo

PQm

ln

1 -.mRo

PQm

< о . А это означает, что

-—ln

1 -_mR0

PQm

> 0.

Параметр, которым компания может управлять, -это момент времени, когда нужно отказаться от расходов на рекламу. Для решения задачи продифференцируем (16) по 2:

dS (T) д T2

=m Ro

P 0

1 - a

■aX, (R0e-mT-Ti), T® u 0 b дT2

= 0

и получим уравнение, решив которое, можем наити момент времени Т2, после которого затраты на рекламы нецелесообразны:

a\ (R0e-“{T -Tl T) = -^ R

р , (17)

Р ( а

Рассмотрим частный случай, где интенсивность потока покупателей определена видом функции к(Я(ф: k(я(t)) = к0 +(кя -к0)Я-е^>). (18)

Напомним, что к0 представляет собой интенсивность потока покупателей без рекламы. А поток клиентов, образуемый под влиянием рекламы, в нашем случае

к =к,(я(t))=(кя -к0 )(1 - е^)), (19)

где у - некоторый параметр.

Вернемся к выражению (17), определяющему насту-

пление

момента T2: «Х— R0e “R TlT=-“-R,

P

. Учи-

тывая, что R0 - корень уравнения (5), x;(r )=4-, и

ap

используя выражение (19), описывающее вид интенсивности потока для этого частного случая,

Xi (R(t )) = (х „ -x 0)(' - e-YR(t)).

Получим, что X' (R(t)) = y(Xm - X0 )e-R((. Это выражение подставим в уравнение (5):

Y(X -X )-yR0 = — e-YR0 =_______1 ..

( ” 0) aP aPy(Xm -X0) .

Прологарифмируем последнее выражение: yR ln 1 . R ',n aPY(Xm -X0)

-YR0 = ln aPT(X„ -X0)•R0 =7ln------------------1-•

R0 = const, R0 > 0.

Теперь попытаемся определить момент наступления т2, поэтому напишем вид обеих сторон выражения (17):

которого следует, что е гоТ = 1 - ° . Прологарифми-

Y>z',max

руем последнее выражение и получим выражение для момента Т1: Т1 =—11п

«х- (Roe-m(T-Ti>)=“r ^ а

выражения будет следующей:

. Левая часть последнего

X-(Roe-“(T-T1 ))=(Xm -Xо)(l - e

-YRoe'

-»(T-Ti)

)■

. Из последнего выра-

A 1 “R0 ,

жения мы можем утверждать, что 0 < 1---------------— < 1 и

PQmax

Поэтому выражение (17) принимает вид

a(X m -X0 )(l - e

-YR>«"

“(r-ti ) “ і 1 - a Л

>=IRo rr ] ■

Из этого выражения следует, что

-YRoe-^^1 T = - -_

m

1-a

Ro

Ф—(Хm -X0 T I «

Логарифмируем последнее выражение

- —Re-^-Tl T = lnf 1--г—RXm—X—T1-a |R

1 0 І aP—(Xm -Xо) І a I 0

Следовательно, момент времени T существует. Поэтому задача максимизации прибыли в конечный момент времени T примет вид S (т)^ max.

“R-Ti) =.

ln| 1 «P—aR -Xо ) a IR

—Ro

a

a

CO

e

Еще раз логарифмируем последнее выражение, из которого можно найти вид для момента Т2:

T = T +—ln

ln|1 aP—aRm -Xo )R a R —Ro

(1о)

Причем 0 < 1 - -

“

1-a

R0 <1, так как по-

аРУ(кт -к 0 К а 0 следнее выражение находится под знаком функции логарифма, поэтому 1п(1 - аРу(кГО - к0))11аа1я0 '<0. Следующее неравенство тоже верно:

ьЛ - р яго к )—]я0 0 , I аР7Я-т 0) I а ) , , .

0 <------------------гг---------------< 1 .

—Ro

Получаем, что

ln

lnl1 -^p—iR:^^ R

—Ro

< 0 .

Это означает, что Т2 < Т.

Далее рассмотрим случай, когда

(

X(rRТ = X0 + (xm - X0 )

1-

RY

(т + R.)—

(11)

где Я*, у - некоторые параметры.

Повторяем произведенный выше ход:

X1 (rTR = X0 + (x m - X 0 )

і, - R.Y Л

Х- (R(tR=—(Xm -Xо R

R + R.)—

R.Y

R + R. R

і—+1

Y(Xm -Xо)

R.Y

(Ro + R )Y+- «P

Ro TjaP—(Xm-Xo) -R.,

R0 = const, R0 > 0.

Тогда из (11) следует, что

—+-aP—(Xm -Xо R.y

(11)

> R..

Возвращаемся к выражению (17), из которого можно определить выражение для момента времени Т2:

( я: Л

X-Roe-ш(т-T1 R=(xm -xо) і -

І V“o

Выражение (17) принимает вид

R0 e ~ш(т-T1R + R. R

a(Xm -Xo)

1 -

RY

І Го

R0e~“(T-T1T + R.)—

Из последнего получаем

R— =, -

Rol — І. (13)

(r0eRT-T1T+ R.R aP(xm-x0R 01 a

Все величины в выражении (14) положительны: R—

Докажем, что т > т2. Так как значение функции последействия R0 = const, R0 > 0, то и выражение ниже тоже имеет положительное значение

ю ( 1 - a

(r

e-“(R-T1T+ R R '

(14)

Значит, все выражение (14) положительно, но если

верно

R.Y

(R0e -TR-‘T T + R. R

0 < 1 --

• > 0, то должно быть верно

rRol — |< 1.

aP(X m -X 0 R 0 І «

Возвращаемся к (13), из которого получим

R0 eRT-T1T+ R.)— =------------R

(15)

1-

;Ro

“R-T1) =,

1-a

aP(X m -X 0 R “І «

- R.

R.Y

1-

Ro

aP(X m -X 0 R 0 І «

1-a

Ro

Прологарифмируем последнее выражение и получим

-“(т - T1) = ln

R.Y

1-

Ro

aP(X m -X 0 R 0 І «

1-a

- R.

Ro

Определим вид наступления момента времени T1:

R.Y

1 -

Ro

T1 = T + — ln-

aP(X m -X 0 R 0 І «

1-a

- R.

*0

С помощью неравенства (25) покажем, что Т2 < Т. Так как нами установлена справедливость (25), то

R—

1 -

Ro

aP(Xm -X0 R 0 І «

1-a

- R. =

= R.

1-

Ro

aP(X m -X 0 R 0 І «

1-a

-1

< R..

Тогда 0 <

R—

1-

Ro

aP(X m -X 0 R 0 І «

1-a

- R.

Ro

< 1

будет верно при условии Я* < К0, т.е. Т2 < Т.

Итак, нами получен вид функции капитала в момент

времени Т: 5 (т ) = 5 - + а | Х1 (^ [ - е~ют ]т +

( 1 - А (Т -Т2)

+ Т«0[“^'(2 -Т1 ) + К -С0)Т + а |Х1 (0^)

“

СО

—

e

—

—

—

1

со

—

Y

при управлении расходами Q(t) =

Qmax, 0 < t < Т„

Qo,Т < t <т2, 0, т2 < t < т.

два частных случая, когда интенсивность потока покупателей меняется: Х(я(')) = к0 + (кт - к0) - е-1^)) и

я*

Исследованы моменты времени «отключения» рекламы, т.е. моменты, после которых использование рекламы не ведет к увеличению капитала. Рассмотрены

к(яЯ)) = к0 + (кт - к0 )

торые параметры.

Л

где у, Я*, - неко-

ЛИТЕРАТУРА

1. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986. 615 с.

2. РадюкЛ.Е., ТерпуговА.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. Томск.: Изд-во Том. ун-та, 1988.174 с.

3. Терпугов А. Ф., Щирова Н.П. //Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Томск.: Изд-во Том. ун-та, 2001.164 с.

Статья представлена кафедрой теоретических основ информатики факультета информатики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Информатика» 25 октября 2004 г.