Модель рекламной компании, когда объем продаж зависит от влияния рекламы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.В. Астафьева, А. Ф. Терпугов

МОДЕЛЬ РЕКЛАМНОЙ КОМПАНИИ,

КОГДА ОБЪЕМ ПРОДАЖ ЗАВИСИТ ОТ ВЛИЯНИЯ РЕКЛАМЫ

Исследуется и оптимизируется математическая модель рекламной компании фирмы, производящей однородный товар, когда объем продаж товара в единицу времени зависит от влияния рекламы в этот момент времени.

Задача рекламы, как и всех маркетинговых инвестиций, состоит в увеличении прибыли компании посредством роста объема продаж или повышения цен. Таким образом, реклама является «двигателем торговли». В работах автора [1, 2] и в данной публикации рассмотрены некоторые модели влияния рекламы на деятельность фирмы и планирование рекламных компаний.

МОДЕЛЬ ВЛИЯНИЯ РЕКЛАМЫ

Пусть Я(ґ) есть величина, определяющая влияние рекламы в момент времени ґ, а а(ґ) - величина расходов на рекламу в единицу времени в момент времени ґ. В отличие от предыдущих работ, мы рассмотрим следующее уравнение, определяющее зависимость Я(ґ) от расходов а(ґ):

так что

dR У ( dR \

кі С J Sgn \ + R(t) = ^ ’

(і)

где параметр у > 1. Величину Я(?) будем считать безразмерной; тогда величина к1 имеет размерность времени, а величина к0 имеет размерность сек/руб.

В дальнейшем выгодно перейти к безразмерному времени т = ? / к1 и записывать уравнение (1) в виде

dR У ( dR \

(т J sgnl dr J+ R = ^а(т).

(2)

dR d т

+ R^) = к0а(т).

(З)

а(т) = —

(4)

dn і

— = (p - c)q(R(т))----------

d т кп

d т

+R^)

оП (T) = J

ко (p - c)q(RCr)) -1 (dR\ - R(т)

dт, (5)

и естественное желание максимизировать прибыль к моменту времени Т приводит к задаче

' dR\Y

ко(p - c)q(R(т)) -| —J - R(т)

dт ^ max. (б)

R(т)

что мы и будем делать. Тогда коэффициент к0 имеет размерность 1/руб. Заметим еще, что при выполнении условия йЯ\йт > 0 уравнение (2) приобретает вид

Отсюда находится явное выражение для а(т) через RW:

Постановка задачи на оптимизацию

Рассмотрим случай, когда стоимость затрат на производство единицы товара равна с, а продается он по розничной цене р. Пусть д(Я(т)) есть объем продаж в единицу времени, зависящий от влияния рекламы в этот момент времени. Тогда, обозначая через П(т) доход от продажи товара, полученный к моменту времени т, можем записать

^ ёЯ

В дальнейшем будем использовать обозначение к0 (p - c) = a . Заметим, что это безразмерная величина.

Стационарная траектория

Среди всех траекторий функции R(t) особую роль играет одна, которую мы будем называть стационарной. Она получается из следующих соображений.

Пусть R(t) = R0 = const. Тогда dR/dт = 0, и подынтегральное выражение в (6) принимает вид aq(R0) - R0. Желание добиться максимума приводит

к требованию aq(R0) - R0 ^ max, что, в свою оче-

Ro

редь, дает уравнение для R0:

aq'(Ro) = 1. (7)

Решение этого уравнения существует, если выполнено условие aq' (0) > 1.

Решение задачи оптимизации

Для решения уравнения (6) применим методы вариационного исчисления. В данном случае функционал имеет вид

/ dR

F(т,R,R) = aq(R(T))-^—J -R(t) , (8)

и он явно от т не зависит.

В этом случае уравнение Эйлера имеет первый интеграл

F - RFr , = C, который в рассматриваемом случае принимает вид aq(R(t))-R(t) + (у-1)(R’(t))y = C , или, в явном виде,

(У -1) (dRRJ = C - aq(R(t)) + R(t) . (9)

Рассмотрим вопрос к константе С. В нашем случае мы имеем задачу со свободным правым концом и поэтому при T =т должно выполняться условие

к

ЕЯ' = 0, что приводит к требованию Я' (Т) = 0. Отсюда получаем уравнение, определяющее С:

С = ад( Я(Т)) - Я(Т), так что окончательно уравнение (9) принимает вид

<-'> (0 =

= а ((Я(Т)) - д(Я(т) ) - (Я(Т) - Я(т) ).

Разделяя переменные, получим

__________________АЯ_________________

[а ((Я(Т)) - д(Я(т)) - (Я(Т) - Я(т))/ " А т

(10)

(11)

(у-1)

1/у •

С учетом естественного начального условия Я(0) = 0 получим решение в виде

т = ( у-1)1 у|-

Ау

(12)

0 [а ((Я(Т)) - д(у))-((Т) -у)/ что дает явное выражение т через Я = Я(т).

Это же уравнение определяет и неизвестную величину Я(Т). Подставляя в (12) т = Т, получим уравнение для определения Я(Т):

Я(Т)

Т = (у- 1)1/у [ ------------------------тт-. (13)

0 [а ((Я(Т)) - д(у))-((Т) - у)/

Рассмотрим основные свойства соотношений (12) и (13). Из (12) получаем

(У-1)1 У

А т

АЯ [а ((Я(Т)) - д(Я))-((Т) - Я)/

> 0.

А2 т АЯ2

(У-1)

ад' (Я) -1

[а (д(Я(Т)) - д(Я))-((Т) - Я)/ У

а (д(Я(Т)) - д(у))-((Т) - у) =

= (ад'(Я(Т)) -1) (Я(Т) - у) + о (Я(Т) - у)),

(14)

и так как в этом случае (ад'(Я(Т)) -1) Ф 0 , то на верхнем пределе интеграл в (13) ведет себя как

Я(Т)

Ау

(Я(Т) - у)1/у ’

и, по признакам сходимости несобственных интегралов второго рода, он сходится. Таким образом, при Я(Т) < Я0 формула (13) дает всегда конечные значения Т.

б) Я(Т) = Я0.

Так как в этом случае ад' (Я0) -1 = 0 , то в (14) надо разлагать с точностью до членов с (Я0 - у)2. Получаем

а(д(Я0)-д(у))-(Я -^) =

= ад "(Я0)/

2

’-(Я0 - у)2 + о ( - у)2 ),

и поэтому на верхнем пределе интеграл в (13) ведет себя как

Я Ау

3 (0 - у )2/у'

Он сходится при у > 2 и расходится при у < 2 .

Таким образом, примерный вид зависимости Т от Я(Т) имеет вид, изображенный на рис. 1. Заметим, что при у > 2 значению Я(Т) = Я0 соответствует конечное значение

Я0 А

Т1 = (у -1)^ Г--------------у------------ . (15)

0 [а (д(Я0) - д( у ))-(^0- у )]/у

то есть т монотонно возрастает с ростом Я. Далее, так как при т —— Т Я — Я(Т), то

Ат

11т — = +да .

т—Т АЯ

Далее, находя вторую производную от т по Я, получим

А2т

и так как при Я < Я0 ад (Я) -1 >0, то и —- > 0, что

АЯ

говорит о том, что зависимость т от Я является выпуклой вниз функцией.

Заметим, что при у — Я(Т) знаменатель в подынтегральном выражении (13) обращается в ноль. Поэтому необходимо исследовать сходимость интеграла (13).

Рассмотрим поведение подынтегрального выражения интеграла (13). Здесь возможны два случая: а) Я(Т) < Я0.

В этом случае, используя разложение в ряд Тейлора около точки у = Я(Т), получим

Рис. 1

Частный случай

Рассмотрим частный случай, когда

д(Я) = дт -(дт -д0)е~рЯ . (16)

Условие эффективности рекламы имеет в данном случае вид ад (0) > 1 и превращается в условие

а(Ят - д0)Р>1.

Стационарное значение Я0 определяется уравнением а(дт - д0)Ре~вЯ|) = 1, решение которого имеет вид

Я0 =в1п ((дт - д0)в).

(17)

Интеграл (13) приобретает вид

Т = (у-1)1 тх ёу

Я(Т )

хЦ

(18)

іУУ

Рис. 2

Рис. 3

Расходы на рекламу

Рассмотрим выражение (12)

ёу

т = ( У -1)1т{

тогда

ё т

о [а (д(Я(Т)) - д(у))-((Т) - у)] (У-1)1 Т

откуда

ёЯ [а ((Я(Т)) - д(Я))-((Т) - Я)]

ёЯ = [а ((Я(Т)) - д(Я)) - ((Т) - Я)] ё т

-1)1 У

(У-1)

Расходы имеют вид

ёЯУ + Я = а (д(Я(Т)) - д(Я))-((Т) - Я)

ёт) у-1

График для случая, когда р = 0,5 и комбинация а(дт - д0) = 24,364, приведен на рис. 4.

о [а(ди - до) ( - е-рЯ(Т))-(((Т) - у)

и надо строить графики зависимости Т от Я(Т) для значений Я(Т) из области 0 < Я(Т) < Я0.

Ниже приведены примеры таких графиков для случая, когда Р=0,5 и комбинация а(дт - д0) = 24,364 (рис. 2 и 3). Это соответствует тому, что Я0 = 5.

Рис. 4

Выключение рекламы

Незадолго до окончания периода деятельности Т целесообразно прекратить выделение расходов на рекламу, чтобы дожить до конца этого периода «по инерции». Рассмотрим подробно этот процесс.

Пусть длительность периода деятельности Т достаточно велика, так что можно считать, что устанавливается Я(?) = Я0. Пусть в момент времени Т - Т*

выделение расходов на рекламу прекращается. Тогда дифференциальное уравнение [2] принимает вид

-(Я')у + Я = 0,

которое надо решить при начальном условии Я(Т - Т*) = 0. Разделяя переменные

АЯ

Я1 т

и интегрируя, получим

Я 7 т

= -ё т

I ~=-1 ёт=-(т-Т+Т*).

Я0 у Т-Т*

Вычисляя внутренний интеграл, получим

Я(т)(т-1)/т -Я0(т-1)/т = —У— (т-Т + Т*);

У-1

откуда окончательно Я(т) =

Я0( У-1)/ у--------(т- Т + Т*)

У-1

у/(у-1)

(19)

Теперь рассуждаем следующим образом: если на участке [Т - Т*, Т ] не выключать расходы на рекламу, то мы получим доход

1

ад(Я0)---Я0 IТ*.

Если же мы прекратим выделение расходов на рекламу, то получим доход

Т |^Г . „ -|У/(У-1) Л

| ад

Т -Т*

Я0( т-1)/т—(т-Т + Т*)

Т*

= | ад

Я

У-1

(У-1)/У !_

ё т =

У-1 _

у/(у-1) Л

Разность этих величин будет равна

Т* (г . (у-1) ^

| ад

Я0(у-1Ут-_Ъ 2

ёу - І ад(Я0) ——Я0 IТ*

У-1

и она достигает максимума, когда производная от этого выражения равна нулю. Это дает уравнение для определения Т* :

(

ад

Я0( У-1)/ у--------Т*

У-1

у/(У-1) Л

= ад(Я0) - — Я0. (20)

Т =

у-1

У

Я0

-І -ііиІ е

+

Я0

Р I ак0(дт-до)

Обозначим ак0 (дт - д0) = g .

График (21) для Р = 0,5 и Я0 = 5 дан на рис. 5

.(21)

Рис. 5

СМЕЩЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ СПРОС - ЦЕНА ПАРАЛЛЕЛЬНО САМОЙ СЕБЕ

Пусть зависимость спрос - цена имеет вид р + Ьд = а , или, в явном виде, р = а - Ьд . Данный вид зависимости предполагает, что кривая спрос - цена с течением времени смещается параллельно самой себе.

Тогда доход фирмы в единицу времени составит величину

(а - Ьд - с)д - В .

Находя максимум этой величины по объему производства д, легко получить, что этот максимум дос-а — с

тигается при д =------ и доход фирмы в единицу вре-

2Ь

мени при таком объеме производства равен

(а - с) 4Ь

- В.

Объем товара g(т), производимый в момент времени т , определяется как

а(Я(т)) - с

2Ь

Тогда получаем следующую систему уравнений, описывающую рассматриваемую ситуацию:

ёП(т) (а(Я) - с)2

ё т

ёЯ(т) ёт

-а(т),

4Ь

+ Я(т) = к0а(т),

(22)

и нам необходимо решить задачу

П(Т) = |

(а( Я) - с)2 -1 (

4Ь к

Я (т)-і'

ё т

ёт^ тах. (23)

Я( т)

В данном случае функционал имеет вид

В рассматриваемом частном случае, когда д(Я) = дт - (дт - д0)е~рЯ , явное выражение для Т* имеет вид

(У-1) / , / „ \\ (у-1)"

^ (т, Я, Я') =

(а(Я(т) - с)2 -1 ( 4Ь к0

Я(т)

ё т

. (24)

В этом случае уравнение Эйлера имеет вид

(а(Я(т) - с)2 -1 ( 4Ь к0

Я(т) - (у-1) | ^

у Л

= С. (25)

Уравнение, определяющее С:

С =

(а(Я(Т)) - с)2

1

-----Я(Т).

0

4Ь к0

Окончательно уравнение Эйлера имеет вид

у-1 ( АЯ

к0 і ёт

(26)

=1 [(а( Я(Т))-с )2 -(а( Я(т)) - с )2 ]-—[(Т) - Я(т)/.

4Ь к0

С учетом естественного начального условия Я(0) = 0 получим решение в виде

Ят г

т = (у - 1)1у | ^ ((а(Я(Т)) - с)2 -(а(Я(у)) - с)2)-

-(Я(Т) - Я(у))]-1/У Ау, (27)

что дает явное выражение т через Я = Я(т).

Подставляя т = Т , получим уравнение для определения Я(Т):

Я (Т )г

Т=(у-1)1т | ((Т))-с)2-(а(Я(у))-с)2)-

-(Я(Т) - Я(у))]“1Т ёх.

(28)

Частный случай

Рассмотрим частный случай, когда

д(т) =

ат - (ат - а0)е

-РЯ(т)

- с

2Ь

(29)

Стационарное значение Я0 определяется уравнением (ат - (ат - а0 )е~рЯ° - с)(ат - а)е~рЯ° р = 2Ь , решение которого имеет вид

1 2Р

Я0 =

-1п

РК а0) Р(ат - с) -л1((ат - с))2 - 8Ьр

(30)

Интеграл (28) приобретает вид

Я (Т )

Т = (у-1)1/у }

Т7((ат -(ат -а0)е РЯ(Т) -С)2 -

4Ь

-(ат - (ат - а0)е-рЯ(г) - с)2) - (Я(Т) - у)]Ч/Т ёу.

СМЕЩЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ СПРОС - ЦЕНА ПОД УГЛОМ

Объем товара g(т), производимый в момент времени т , определяется как

g(т) = а(Я(т)) - с

2Ь(Я(т))

Тогда получаем следующую систему уравнений, описывающую рассматриваемую ситуацию:

ёП(т) (а(Я(т)) - с)2

ё т

ёЯ (т)лт ёт

4Ь( Я(т))

+ Я(т) = к0а(т).

- а(т),

(31)

и нам необходимо решить задачу

П (Т)=|

(а(Я(т))-с)2 1

4Ь( Я(т)) кс

Я(т) -

ёЯ

ё т

л

ёт^ тах. (32)

Я(т)

В данном случае функционал имеет вид

^ (т, Я, Я') =

(а(Я(т) - с)2

1

4Ь(Я(т)) к0

Я(т) -

ёЯ ё т

у Л

В этом случае уравнение Эйлера имеет вид (а(Я(т) - с)2

1

4Ь( Я(т)) к0

Я(т) - (у-1)

ёЯ ё т

у Л

= С.

(33)

(34)

Уравнение, определяющее С:

С=

(а(Я(Т)) - с)2

1

—Я(Т).

0

4Ь( Я(Т)) к0

Окончательно уравнение Эйлера имеет вид

у-1Г АЯ

1

к0 і ёт

(а(Я(Т)) - с)2 (а(Я(т)) - с)2

4Ь(Я(Т))

4Ь(Я(т))

(35)

-----[(Т) - Я(т)].

к0

Я

х1

т = (у-1)

ёу

(36)

к0 Г(а(Я(Т)) - с)2 (а(Я(у)) - с)2Л

Ь( Я(Т))

Ь( Я( 2))

-(Я(Т) - Я( у))

что дает явное выражение т через Я = Я(т).

Подставляя т = Т , получим уравнение для определения Я(Т):

Т = (у-1)1 ух Ау

(37)

я(т )

х|

к0 Г(а( Я(Т)) - с)2 (а( Я( у)) - с) 2 Л

Ь( Я(Т))

Ь( Я( г))

-((Т) - Я( у))

Частный случай

Рассмотрим частный случай, когда

д(т) =

ат - (ат - а0)е

,-РЯ(т)

- с

(38)

4(Ьт - (Ьт - Ь0)е™)

Стационарное значение Я0 определяется уравне-

нием

2 (ат - (ат - а0 )е РЯ° - с) (ат - а0)е

хР(Ьт - (Ьт - Ь0)е-РЯ° )-

-(ат - (ат - а0)е_РЯ° - с)2 (Ьт - Ь0)е~

= 4 (Ьт - (Ьт - Ь0)е-РЯ° )2. Интеграл (37) приобретает вид

С учетом естественного начального условия Я(0) = 0 получим решение в виде

Я (Т)

т = (т-1)1/у |

(ат - (ат - а0)е РЯ(у) - с)

Ьт - (Ьт - Ь0)е

(ат - (ат - а0)е РЯ(Т) - с)2

Ьт - (Ьт - Ь0)е-РЯ(Т)

2 Л ]-1Т

-(Я(Т) - г) ёг.

-ря( г)

ЛИТЕРАТУРА

1. Астафьева Е.В., Терпугов А.Ф. Математическая модель влияния рекламы на деятельность фирмы // Четвертая Всерос. конф. по финансово-актуарной математике и смежным вопросам: Тез. докл. Красноярск, 2005. С. 19 - 20.

2. Астафьева Е.В., Терпугов А. Ф. Модель рекламной компании, когда цена продажи зависит от рекламы // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 13 - 20.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 30 мая 2005 г.

0