Исследование нестационарных бесконечнолинейных систем массового обслуживания и их применение к анализу экономико-математических моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.М. Кац, К.И. Лившиц, А.А. Назаров

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ БЕСКОНЕЧНОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К АНАЛИЗУ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Предлагается в качестве математической модели страховых компаний и иных экономических систем рассматривать бесконечнолинейную систему массового обслуживания. Найдена связь между интенсивностями входящего и выходящего потоков системы. Рассмотрено применение полученных результатов к одной задаче страхования.

В качестве математических моделей страховых компаний и многих других экономических систем можно рассматривать бесконечнолинейные системы массового обслуживания (СМО). Например, количество возможных договоров между клиентами и страховой компанией практически не ограничено. Сроки, на которые заключаются договоры, имеют весьма широкий спектр значений, поэтому достаточно адекватно могут моделироваться некоторой случайной величиной с заданным распределением вероятностей В(х) их значений. Поток клиентов, обращающихся в страховую компанию, имеет явно стохастический характер, и его целесообразно моделировать нестационарным потоком Пуассона с заданной интенсивностью Я(р) [1].

Математической моделью экономических систем может служить бесконечнолинейная система массового обслуживания, на вход которой поступает нестационарный поток заявок интенсивности Х(Г). Обслуживание каждым прибором рекуррентное с одинаковой для всех приборов функцией распределения В(х) времени обслуживания.

Исследование нестационарной немарковской бесконечнолинейной системы обслуживания

Нашей основной целью является определение Р„(Р) - вероятности, что в момент времени t занято „ каналов (в системе обслуживается „ клиентов). Как показано в [1], это распределение является пуассо-новским, когда время обслуживания экспоненциальное, т.е. В(х)=1-ехр(-х), а начальное распределение Р„(Р) также пуассоновское с параметром Х(0)=Х, т.е.

И

Pn(t ) = ^т- exP(-x(t)),

n!

где

X(t) = exp(-t) X + JX(t)exp(t)dt

По полиномиальной схеме входящий поток разделим на N независимых пуассоновских потоков, каждый из которых имеет интенсивность Х(ґ)/Ж Пусть каждый поток заявок обслуживается одним из приборов выделенной группы. В момент времени, когда соответствующий прибор занят, заявка, поступающая на этот прибор, теряется.

Таким образом, исследуемая СМО разделена на N+1 независимых систем обслуживания, N из которых однолинейные с потерями и пуассоновскими входящими потоками интенсивности Х(ґ)/М Последняя СМО характеризуется тем, что на ее приборы заявки не поступают, а обслуживаются лишь те, которые находились в исходной системе в начальный момент времени ґ0. Полагая, что система функционирует достаточно долго, будем считать /0^—ю, так что к текущему моменту ґ последняя СМО оказывается свободной.

Рассмотрим N независимых однолинейных СМО с потерями. При N^■x^ в силу предельной теоремы Пуассона [2] распределение числа приборов, занятых к моменту времени /, будет пуассоновским:

P(n, t ) = ^

n!

exi

p(-9(t ))•

Рассмотрим случай произвольного обслуживания, определяемого функцией распределения В(х). В случае, когда время обслуживания имеет экспоненциальное распределение, случайный процесс „(р) - число каналов, занятых в момент времени р, - является марковским процессом, поэтому система обслуживания называется марковской. Для произвольной функции В(х) времени обслуживания процесс „(р) немарковский, поэтому систему назовем немарковской, и для ее исследования нельзя применить метод анализа, рассмотренный в [1], где составляется и решается бесконечная система дифференциальных уравнений Колмогорова.

Поступим следующим образом. Пусть в начальный момент времени р0 задано начальное распределение Р(„, Р0) = д(„). В системе массового обслуживания выделим N приборов и будем считать, что начальное распределение реализовано на остальных, не выделенных приборах так, что все выделенные приборы в момент времени р0 свободны.

Здесь функция ф(0 определяется предельным равенством

ф(/)= lim NPn (t), (1)

N

где PN(t) - вероятность того, что в момент времени t выделенный из рассматриваемой группы прибор занят обслуживанием. Так как PN(t0)=0, то ф(^)=0.

При определении ф(/) для выделенной однолинейной СМО обозначим через i(t) число приборов, занятых в момент времени t. Очевидно, что процесс i(t) может принимать только два значения: i(t)=0, i(t)=1. В силу произвольности времени обслуживания процесс i(t) немарковский. Определим процесс z(t) как длину интервала от момента t до момента окончания обслуживания, если в момент t прибор был занят. Если в этот момент прибор свободен, то процесс z(t) не определяется.

Очевидно, процесс {i(t), z(t)} с переменным числом компонент является марковским и вероятность

p(i(t) = 1 z(t)< z) = Pn (^ t) удовлетворяет уравнению

dPN (z>t) dPN ( t) =

dt

dz

=-дрЫЖР„(2)

Здесь

N

dz N

dPN (0, t) dPN (z.t)

dz

dz

производная по z в

нуле. Уравнение (2) построено из следующих соображений. Рассмотрим

z=0

PN ( - Др,р + Др) = р(/(р + Др) = 1, г(р + Др) < г - Др) и выразим эту вероятность через вероятности событий для процесса {/(р), г(р)} в момент времени р. Возможны следующие варианты.

1. С вероятностью 1 -

1 -X(t) д< + о(д<) N V 7

на интервале

N

N

-Дф-Pn (o,t )](z )+o(t),

из которого при Дґ^-0 очевидно следует уравнение (2).

Домножая уравнение (2) на N и выполняя в нем предельный переход при N^■да, для функции ф(і,ґ)= ііш NPN (і,ґ) получим уравнение

N

Эф^^-ЭфО;./)=Х(()Я<2 ^аф^/), (3)

дґ ді ді решение которого должно удовлетворять начальному фХ/ )=о (4)

и краевому

ф(0,/о )=0 (5)

условиям. Задачу (3)-(5) решим обычным способом [3]. Составим систему дифференциальных уравнений

йґ йі йф

1 -1

x(t )b(z )-

(6)

dz

определяющую характеристики уравнения (3). Найдем два независимых первых интеграла системы (6). Вид одного из них очевиден: і +ґ=С1.

Для второго получим

йі йф (7)

-1

X(C - z)(z)-

9ф(0, Cj - z)

cX,

ф=-J <X(C1 - x)ß(x )-^—22 ^dx+C2.

здесь 5ф(0,м)/йг1 - частная производная от функции ф по первому аргументу в нуле.

Из (7) получим

Зф(0,С1 - х )|

0 I дх1

Тогда общее решение уравнения (3) имеет вид

ф = -| |х(і + ґ - х)х)- дф^0, І+Ґ—Х |ёх + ф(і + /), (8) 0 І дхі

где Ф(и) - произвольная функция, вид которой определяется из начального условия (4):

ф(, t0 ) = -J jx(z +10 - x)b(x) - дф(° z +t|0—x)|dx +

0 i dx1

+ ф( +10 ) = 0,

откуда

(р,р+Др) не поступит требование входящего потока. С вероятностью Рд{г,р)-Рл/(Др,р) в момент времени рприбор будет занят, его остаточное время обслуживания г(р)е е (Др,р), так что за время Др прибор не освободится.

2. С вероятностью -^(р)Др + о(Др) на интервале

(р,р+Др) поступит требование входящего потока. С вероятностью 1-Р^Ж!р) прибор в момент времени р будет свободен, так что поступившая заявка будет принята к обслуживанию. Ее остаточное время обслуживания от момента поступления совпадает с полным временем обслуживания, имеющим функцию распределения В(г). Следовательно, по формуле полной вероятности можно записать равенство

PN (-Др,р+Др ) 1-^ Др Л][pN (г,р)- Р^ (Др,р)]+

ж

Ф(z +10)=JJX(z +10 -x)(x)-5ф(0,z +10 -x)ldx.

і dx

0 l ил1

Следовательно,

ф(у)= J jX(y - x)B(x)- x ^dx-

Подставляя найденное выражение для функции Ф(у) в (8), получим

0ф(й, z +1 - x)|

ф(t)= J |x(z +1 - x)j(x)- ^v"’d *—— \dx-= J |x(« )B(z +1 - u)-^M \du =

<0 l dx1 J

= J X(u)b(z +1 - u)du - J дф(0, u) du. (9)

t0 tJ0 ^

Используя краевые условия (5), можно записать

ф(0, t) = 0 = J X(u)b( - u)du - J дф(° u) du,

J J dx1

откуда получим, что

J дф(в’u) ¿и = J x(u)ß(t - u)du. t0 t0

Подставляя это выражение в (9), получим

t

ф( t) = J X(u)b(z +1 - и) - B(t - и)]].

t0

Так как

ф^ )= lim ф(, t),

z^w

то искомая функция ф^) имеет вид

t t-to

ф(t) = J X(u) - B(t - и)u = Jx(t - x) - B(x)x. (10)

to 0

Окончательно в условии t0^ro будем иметь

w

ф(t) = J X(t - x)l - B(x)]dx.

0

w

Обозначив b = J (l - B(x)dx - среднее время об-

0

служивания, ф(t) можно записать в виде

w -t x

ф(? )=b Jx(t - x)d—J (l-B(u ))du =bMk(t-t). (11)

0 b 0

Здесь t - текущее время обслуживания (длина интервала от момента начала обслуживания до текущего времени t). Иногда эту величину называют «подскоком».

Таким образом, распределение вероятностей P(n,t) числа приборов, занятых в момент t, для нестационарной немарковской СМО является пуассо-новским вида

^t ) = exP(^(t Е

n!

где функция ф(<) определена в выражении (11).

Естественно, эти результаты как частные случаи содержат выражения для стационарных немарковских и нестационарных марковских систем [1]. Функция ф(/) имеет смысл среднего числа приборов, занятых в момент времени t для нестационарной немарковской СМО.

Полученные результаты (11) и (12) нетрудно обобщить и для конечного значения t0, тогда распределение числа занятых приборов является сверткой распределения (12) и распределение вероятностей числа заявок, не завершивших обслуживания к моменту времени t, из тех заявок, которые находятся в системе в начальный момент времени.

Интенсивность выходящего потока

Одной из важнейших характеристик СМО является интенсивность выходящего потока, которую обозначим y(t). Зная вид (11) функции ф(0 и ее вероятностный смысл как среднего числа занятых приборов, нетрудно найти y(t).

Очевидно

ф( + At ) = ф( ) + )(t )At - y(t )At + o(At ).

Тогда

y(t) = )(t)-ф'() = )(t)- d- jj)(t - x) - B(x)]dxj =

= )(t)-j)'(t - x ) - B(x)]dx =)'(t)+j[1 - B(x)]dx )(t - x)=

0 0

да

= j)(t - x)b(x).

0

Получен достаточно очевидный результат - интенсивность y(t) выходящего потока имеет вид

да

y(t) = M)(t - т) = j )(t - x)dB(x)

0

где т - полное время обслуживания заявки на приборе.

Влияние расходов на рекламу

на характеристики страховой компании

В качестве примера применения полученных выше результатов рассмотрим задачу о влиянии расходов по привлечению новых клиентов (расходов на рекламу) на деятельность страховой компании. За модель страховой компании примем бесконечнолинейную систему обслуживания с функцией распределения времени обслуживания (времени пребывания клиента в компании) B(x), на вход которой поступает пуассоновский поток страховых премий интенсивности )(t). Страховые премии - независимые случайные величины со средним значением a. Пусть далее страховые случаи происходят с клиентами компании независимо друг от друга с вероятностью p и выплачиваемые страховые выплаты - независимые случайные величины со средним значением bip.

Предположим, что в отсутствие расходов на рекламу интенсивность потока страховых премий )(t)=)0 и в промежутке времени [t,t+At] на привлечение новых клиентов расходуется часть капитала u(t)S(t)At, где 0<u(t)<u0^1. При u(t)<<1 можно считать, что интенсивность потока страховых премий должна увеличиваться на величину, пропорциональную u(t)S(t)At. Од-

нако, как указано в [4], затраты на рекламу обладают эффектом последействия, т.е. после прекращения расходов на рекламу она еще некоторое время продолжает действовать. Поэтому, следуя [4], введем величину R(t), связанную с S(t) соотношением dR

k— = -Я() + и()(), (13)

dt

и будем считать, что расходы на рекламу приводят к тому, что интенсивность потока страховых премий увеличивается от Х0 до величины Х(г)=Х0+Х1Х(г). Очевидно, что при £=0 R(t ) = и (г ')S (г).

Рассмотрим изменение среднего капитала компании S (/) с течением времени. Несложно показать, учитывая связь между интенсивностями потоков премий и выплат, что при сделанных предположениях средний капитал S (г) удовлетворяет уравнению

— = —и (^()+[0 +Х^()]а - [[Х0 +Х^(х)]-т)Ь.(14) Л 0

При и(г) = 0 из (14) получим

S (г )= S (0)+ Х 0 аг -Х 0Ь| В( )dt,

0

откуда при />>1 S (г) ~ S (0)+Х 0 (а - Ь)г.

Таким образом, при отсутствии рекламы (и = 0) и выполнении условия а - Ь > 0 средний капитал с течением времени линейно нарастает. При и(г) Ф 0 в принципе возможно как увеличение, так и уменьшение среднего капитала компании с течением времени. Поэтому возникает задача выбора такой стратегии и(г), которая максимизирует средний капитал компании в некоторый момент времени Т.

Применение принципа максимума Л.С. Понтрягина

Будем в дальнейшем считать, что время пребывания клиента в компании имеет показательное распределение со средним значением с, т.е. В(г)=1-ехр(-г/с).

г

Обозначим Q(t) = | R(t - т)в(т). Тогда предыдущие

0

рассуждения приводят к следующей оптимизационной задаче. Нужно найти управление и(г), удовлетворяющее требованию 0<и(г)<и0, которое максимизирует S (Т) при условии, что состояние системы описывается системой дифференциальных уравне ний £ (г )=-и(г )5 (г )+Х 0 (а-в(г )ъ)+Х^(г )-x1ЬQ(t), £R(t)=u(tДt)-R(t), (15)

с(&(г)=R(t )-Q(t), с начальными условиями: S (г ^ (0), R(0)=0, Q(0)=0.

Применение принципа максимума Л.С. Понтря-гина [5] к решению поставленной задачи состоит из выполнения следующих этапов. Вначале составляется функция Гамильтона

Н(и) = р [- и (г) S(г)+Х0 (а - ЬВ()+Х1 aR (г) - Х1ЬQ (г))]+

+[и(г) (г)-R(t)]+[т^(г)-Q (г)], (16)

£ с

где Р2(0, Рз(0 - вспомогательные переменные,

определяемые системой сопряженных уравнений

Фі(ґ)

ая

д£

Р1 (ґ)- к Р2 (ґ)

к _

= - 'Їг = _Х1 °Рі () + "Т Р2 () - 1 Рз () (17) аґ дЯ

= ХМ () +1 Рз (ґ)

к

Ж.

м

М с

с граничными условиями р1(Т)=1, р2(Т)+0, рз(Т)=0. Максимум функции Н по и(ґ) достигается при

если

к

0, если р1 (ґ)- — Р2 (ґ^ 0 к

(18)

Таким образом, управление рекламой (18) носит релейный характер. Точки переключения управления определятся условием

Р1 ()-1Р2 () = 0. (19)

к

Основная задача сводится к нахождению решения системы (17) и связанного с ней управления и(/). Рассмотрим вначале поведение решения в окрестности точки Т.

Из граничных условий задачи следует, что при /, близких к Т, и(/)=0. Поэтому при /, близких Т, функции р,(0 определяются системой уравнений

р1()=0,

р2 () = -^гаР\()+7 Р2() - - Рз(), (20)

к с

р 3(ґ(ґ)+-Рз()

с

решение которой, удовлетворяющее граничным условиям, имеет вид

Р1() =1

р2 (ґ )= ХТк (а - Ь)-Х1Ь

кс

-ехр

Т - ґ

. , ас -(а -Ь)к + л,1к-------1-----— ехр|

+

к-с

к

(21)

Рз() = ^1Ьс|

ехр

Т - ґ

-11 .

Обозначим

/ (х )=^1 (а - Ь) кс

1-ехр -к

-Х1Ь

к-с

ехр

--—

ехр

к

дующими свойствами: /(0)=0, /(х)=Х1(а-Ь). Отсюда получаем необходимое условие существования точки переключения (точки выключения рекламы)

Х1 (а -Ь)-1 > 0. (22)

Смысл соотношения (22) очевиден. Величина Х1(а-Ь)—1 есть приращение капитала компании в стационарном режиме за счет рекламы, приходящейся на единицу вложенного капитала. Если Х1(а-Ь)-1<0, то затраты на рекламу бессмысленны. При выполнении условия (22) затраты на рекламу начинаются в некоторый момент времени ґ0 и заканчиваются момент ґ (0<ґс<ґ). Покажем, что ґ0=0 Для этого необходимо показать, что при ґ<ґ не существуют точки переключения управления.

На отрезке [ґ0, ґ ], где и(ґ)=и0, функции р,(ґ) удовлетворяют системе уравнений

р1 (ґ) = и0 ^Р1 (ґ)- 1 Р2 (ґ)) ,

Р2 (ґ) = -^1 аР1 (ґ) +1Р2 (ґ) - - Р3 (ґ), (23)

кс

р з(ґ )=^1ЬР1(ґ)+-Рз(ґ) с

с граничными условиями, определяемыми (21) при ґ=ґ.

Обозначим х(ґ)=р1(ґ)-(1/к)р2(ґ). По условию х(ґ)<0 при ґє[ґ0,ґ]. Покажем, что при ґ<ґ х(ґ)<0. Функции р1(ґ), х(ґ), рз(ґ) удовлетворяют системе уравнений

р1(ґ ) = и0 х(ґ) ,

кх(ґ) = (1 + ки0 )х(ґ) + (^1 а -1)Р1 (ґ) -1 рз (ґ), (24)

с

р з(ґ ) = ^1ЬР1(ґ )+Рз(ґ).

с

Из первого уравнения (24) следует, что р1(ґ) -монотонно убывающая функция. Так как р1(ґ )=1, то р1(ґ)>1>0. Решение третьего уравнения (24)

рз (ґ) = -Х1Ьс

ехр

(І-Є ) с

ґ-т'

ехр

ґ - Т

- Х1Ь | ехр^ -—(т)?'

откуда кх( )=(1+ки0 )х(ґ )+ф(), где ф(ґ)>0. С учетом граничного условия х(ґ )=0 получаем

х() = - | ґ(ехр(11^^!^ )

к

ф(т)й?т.

Точка переключения управления, определяемая условием (19), если она существует, / =Т-х , где х -корень уравнения /х)=1. Функция /х) обладает сле-

Отсюда х(/)<0 V /, что и доказывает отсутствие второй точки переключения управления.

Таким образом, при выполнении условия (22) затраты на рекламу должны начинаться при =0 и

*

заканчиваться при = , определяемом как решение уравнения /Т— )=0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.: Советское радио,1971.

2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука,1969.

3. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.

4. Ахмедова Д.Д., Терпугов А.Ф. Математическая модель функционирования страховой компании с учетом расходов на рекламу // Изв.

вузов. Физика. 2001. № 1. С. 25-28.

5. Параев Ю.И. Теория оптимального управления. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1986.

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию номера 3 декабря 2001 г.

и

с

с

х

х

с