Исследование потоков в системе m|gi|ўд с повторными обращениями методом предельной декомпозиции1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Управление, вычислительная техника и информатика № 3(8)

УДК 519.872

С.П. Моисеева, И.А. Амамима, А.А. Назаров ИССЛЕДОВАНИЕ ПОТОКОВ В СИСТЕМЕ М\С1\ж С ПОВТОРНЫМИ ОБРАЩЕНИЯМИ МЕТОДОМ ПРЕДЕЛЬНОЙ ДЕКОМПОЗИЦИИ1

В работе построена математическая модель изменения числа заявок в системе массового обслуживания с повторным обращением и неограниченным числом обслуживающих приборов. Методом предельной декомпозиции исследованы суммарный и двумерный потоки обращений к системе. Найдено аналитическое выражение для производящих функций исследуемых потоков.

Ключевые слова: немарковские системы с неограниченным числом обслуживающих приборов, метод предельной декомпозиции.

В классической теории массового обслуживания существует не так много моделей, исследование которых удаётся выполнить аналитическими методами и получить окончательные результаты в виде формул для вероятностно-временных характеристик исследуемых систем. Это, прежде всего, марковские системы, процесс изменения состояний которых определяется цепями Маркова, то есть дискретными марковскими процессами [1], однолинейные полумарковские системы, исследование которых реализуется методом вложенных цепей Маркова [2], в частности, известна формула Поллачека - Хинчина [3], а также формулы Эрланга для N линейных систем с произвольным временем обслуживания [4], процесс изменения состояний которых является немарковским и даже немарковизируемым. В этих моделях входящие потоки определены классом стационарных пуассонов-ских либо рекуррентных потоков [5].

В то же время многочисленные исследования реальных потоков в различных предметных областях, позволили сделать вывод о существенной неадекватности классических моделей потоков (пуассоновских и рекуррентных) реальным данным. Например, потоки обращений в торговые или страховые компании [6]. При построении математических моделей таких компаний нужно учитывать, что поток клиентов, повторно обращающихся в ту же компанию, очевидно, не является пу-ассоновским. Построению и исследованию математических моделей таких потоков в СМО с экспоненциальным временем обслуживания посвящены работы [6 -10]. Вместе с тем, исследованию потоков в СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов с произвольным временем обслуживания, а также многофазных СМО уделяется мало внимания. Для анализа таких систем разработка новых методов исследования несомненно является актуальной.

В настоящей работе предлагается метод предельной декомпозиции [11] для анализа потоков в СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов и повторным обращением.

1 Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 -2010 годы)» Федерального агентства по образованию РФ по проекту «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применения к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи».

1. Постановка задачи

Рассмотрим систему массового обслуживания (СМО) с неограниченным числом обслуживающих приборов, на вход которой поступает простейший с параметром X поток заявок. Время обслуживания на каждом приборе имеет произвольную функцию распределения В(х), одинаковую для всех приборов. Заявка, завершившая обслуживание, с вероятностью 1 - г покидает систему, а с вероятностью г обращается к системе для повторного обслуживания (рис. 1).

и(0

Рис. 1. СМО с неограниченным числом приборов с повторными обращениями заявок

Ставится задача исследования суммарного s(t) и двумерного МО, п(^} потоков в рассматриваемой системе, где п(0 - число повторных обращений, реализованных за время t, у(0 - число первичных обращений реализованных за время t, s(t) =У^) + п($) .

2. Метод предельной декомпозиции

Для решения поставленной задачи предлагается метод предельной декомпозиции [11]. Суть этого метода заключается в следующем.

Входящий пуассоновский поток делится на N независимых простейших потоков с параметром X/ N, заявки каждого потока направляются для обслуживания на соответствующий прибор. Таким образом, получаем совокупность N независимых однолинейных СМО. Будем полагать, что эти СМО с отказами (рис. 2). То есть новая заявка, поступившая в систему, занятую обслуживанием, теряется.

1-г

В(х)

г

•

Рис. 2. Однолинейная СМО с отказом и повторными обращениями заявок

При N ^ да вероятностью потерь заявок можно пренебречь, и тогда суммарные характеристики совокупности N однолинейных СМО сходятся к характери-

стикам исходной модели. Таким образом, задача нахождения распределения вероятностей числа обращений в бесконечнолинейной СМО сводится к решению задачи нахождения распределения вероятностей числа обращений в однолинейной СМО с отказами.

3. Исследование однолинейной СМО с отказами и повторным обращением

Обозначим &’У,М) - число обращений, реализованных за время / в однолинейной СМО. Тогда Р(5, t) = Р ^^, N) = я} - распределение вероятностей суммарного числа обращений к прибору за время V.

Введем следующие обозначения:

Г0 - прибор свободен,

к(() - состояние прибора, к(V) = \

[1 - прибор занят;

х(Г) - длина интервала от текущего момента времени V до момента окончания текущего обслуживания, если прибор занят, то есть к (V) = 1;

Р(5, г, V, N) = Р {к(V) = 1, ) < г, 5^, N) = я} - вероятность того, что суммарное

число обращений равно 5, прибор занят и до конца обслуживания остается времени меньше г;

Р0(5, V, N) = Р {к{) = 0, 5^, N) = я} - вероятность того, что суммарное число обращений равно 5 и прибор свободен.

Составим Д^методом прямую систему дифференциальных уравнений Колмогорова [12]. По формуле полной вероятности запишем равенства

Р0 (5, V + Дt, N) = Р0 (5, V, N)(1 - .Дt) + (1 - г)Р(5, Дt, V, N) + о(Д);

Р (5, г -Дt, V + .V, N) = Р (5, г, V, N) - Р (5, .V, V, N) + Р(5 -1, .V, V, N )гВ( г) +

+N Р0(5 -1, V, N )ДВ( г) + о(Д).

Откуда получаем систему дифференциальных уравнений

дР^ = (1 - г ) дР( 5,0,t, N)-А. Ро(5, V, N) ; ()

дt 5г N 0

дР(5, г, V, N) дР(5, г, V, N) дР1 (5,0, V, N) дР(5 -1,0, V, N)

—1!----------------------------------!-+ гВ( г) —!----------+

дt дг дг дг

+NР0(5 -1,V,N)В(г). (2)

Рассмотрим функции

£ х*Р0 (5,V, N) = Н0 (х,V, N); (3)

£ х5Р (5, г, V, N) = Н1 (х, г,V, N). (4)

п=0

Тогда из (1), (2) следует, что Н1(х,г,V,N) и Н0(х,V,N) удовлетворяют системе дифференциальных уранений в частных производных первого порядка [13]:

п=0

дН0( х г1, N) = (1 - г) дНг( х,0, V, N) Н , t N)

дt д2 N 0( , , ),

дН^^-дН^^ = (гхВ( г) -1) дН^^) + Н 0( х, V, N) х—В( г),

дt д2 д2 0 N

решение которой будем искать в виде

1 2

Н0(х, V, N) = 1 + ^(х, V) + о(N ); (5)

Н1 (х, г, V, N) = N / (х, г, V) + о(N~2). (6)

Тогда уравнения для / (х, г, V), /0 (х, V) имеют вид

■ = -Х + (1 - г)И(х, V); (7)

дt

д^( х, г, V) д^( х, г, V)

= ХхВ(г) + (гхВ(г) - 1)И(х, V), (8)

дt дг

где А(х, V) = д^(х,0, V^дг .

Решение дифференциального уравнения первого порядка в частных производных первого порядка (8) определяется решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений для характеристических кривых [13]

Ж = Й2 = ^^1

1 -1 ХхВ( 2 ) + (гхВ( 2) - 1)А( х, V)

Найдем два первых интеграла этой системы. Один из них найдем из уравнения

-Л = Й2 .

Отсюда,

2 = С - V . (9)

Другой первый интеграл находим из уравнения

оР| = [ХхВ(2) + (гхВ(2) - 1)А(х, V)] й .

Откуда, подставляя (9), получаем равенство

í

/ = С2 +| [ХхВ( 2) + (гхВ(С1 - 5) - \)И( х, 5)] ]

0

которое перепишем в виде

í

/ (х, 2, V) = Ф(С1) +| [ХхВ(С1 - 5) + (гхВ(С1 - 5) - \)И(х, 5)] ] ,

0

или, учитывая, что С1 определяется из равенства (9), общее решение ^(х^) уравнения (8) запишем следующим образом:

í

/¡(х, 2, V) = Ф( 2 +t) + |[ХхВ(2 + t-5) + (гхВ( 2 +t-5)-1)А(х, 5)]Й5 ; (10)

0

í

/0(х, V) = С-XV + (1 - г)| Н(х, 5)Й5 , (11)

0

где Ф(г) - произвольная дифференцируемая функция.

Для определения частного решения уравнения (8) необходимо воспользоваться начальными условиями. Из (3), (4) и (10) имеем, что

/ (х, 2,0) = Я (2) = Ф(2) = -М (1 - В(у))ду ;

1 - г 0

Е0(х,0) = С = Я =.

1-г

Таким образом, частное решение уравнения (8) принимает вид

Л 2+Х Х

/1(х, 2, V) =- | (1 - В(у))йу + |[ХхВ(2 + V - 5) + (гхВ(2 + V - 5) - 1)И(х, 5)] .

1 - г 0 0 Дифференцируя это тождество по 2 в нуле, получаем интегральное уравнение

XX х

И(х, V) =--+ (Хх-)В(V) + гх[ Ь^ - ¿^(Х, 5)Й5 .

1 - г 1 - г 0

Решение относительно функции И(х,Х) интегрального уравнения можно получить через преобразования Фурье [14]. Обозначив

СО СО

| eJatЬ(t)dt = В* (а), | к(х, дХ = ф(а) ,

00

получаем равенство

ф(а) = — (х-1)- В (а)

1 - r 1 - rxB* (а)

Следовательно, выражение для h(x,t) принимает вид

.. ад

h(x, t) = — | e~jatф(а)^а . (12)

2п

—ад

Подставляя найденное решение h(x,t) интегрального уравнения в (10), (11),

при имеем

ХЬ L — r

F0 (x, t) = ——— Xt + (1 — r) f h(x, s)ds ; 1 — r i

Fj (x,t) = ХЬ + Xxt + (rx — 1) f h(x, s)ds ,

1—r 0 где h(x,t) определяется равенством (12). Откуда

t

F(x,t) = F1(x,t) + F0(x,t) = (x — 1)Xt + r(x — 1)f h(x,s)ds . (13)

4. Исследование потока в СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов

Производящая функция суммарного числа обращений в рассматриваемой СМО определяется выражением

G(x,t)= Mxn(t) = lim {Mx( (t}+”2(t)+-+”w(t))} .

N ^ад ' '

В силу того, что все ni , i=1...N, независимы и одинаково распределены, имеем

G (x, t) = lim (H (x,t, N))N.

N ^ад

Учитывая (5), (6), получаем

При z-

G(x,t) = lim | 1 +—F0 (x,t) + — F (x,да,t) + o| — |

V ' N^ N 0V ' N 1 ' [,N)

G (x, t) = lim |l +—F (x, t) + о | —

N^{ N {N

N

Таким образом, с учетом (13) имеем

G(X, t) = exp {F(X, t)} = exp j(x - 1)Xt + r (x - 1)j"h(X, s)flfr.j .

В случае экспоненциального времени производящую функцию можно переписать следующим образом:

G(x, t) = exp kt^-1-----— (X -1)2? (1 - e^(1-rx)i).

[ 1 - rx ц(1 - r) (1 - rx) '\

Полученное выражение совпадает с ранее полученными результатами для бесконечнолинейных систем массового обслуживания с повторным обращением и экспоненциальным временем обслуживания [8].

5. Исследование двумерного потока в системе СМО с повторным обращением и неограниченным числом обслуживающих приборов

Рассмотрим исходную СМО, но уже разделяя повторные и первичные обращения. Обозначим: n(t) - число повторных обращений, реализованных за время t, v(t) - число первичных обращений, реализованных за время t.

Будем рассматривать двумерный немарковский процесс {v(t), n(t)}.

Для соответствующей одномерной СМО аналогично z(t) - длина интервала от текущего момента времени t до момента окончания текущего обслуживания, если прибор занят, то есть k (t) = 1.

Обозначим:

P(v,n, z, t, N) = P {k(t) = 1, v(t) = v, z(t) < z, n(t, N) = n} ,

P0 (v, n, t, N) = P {k(t) = 0, v(t) = v, n(t, N) = n} ,

где P\(v,n,z,t,N) - вероятность того, что число первичных обращений равно v, повторных - n, прибор занят и до конца обслуживания остается времени меньше z; P0(v,n,z,t,N) - вероятность того, что число первичных обращений равно v , повторных - n и прибор свободен.

Для вышеуказанных распределений вероятностей, применяя формулу полной вероятности, запишем равенства

P0(v, n, t + At, N) = P0 (v, n, t, N)(1 - N At) + (1 - r)P (v, n, At, t, N) + o(At),

р (V, п, 2 - ДХ, Х + ДХ, Ж) = р (V, п, 2, Х, N) - р (V, п, ДХ, Х, N) + р (V, п -1, ДХ, Х, N)гВ(2) +

+-X Р0 (V -1, п, Х, N)ДХВ(2) + о(ДХ) , откуда получаем систему дифференциальных уравнений Колмогорова

= (1 - г)др( У, „АХр п д,); (14)

дХ д2 N

др1^, п, 2, г, N) др(т, п, 2, г, N) др^, п,0, Х, N) ) др(v, п -1,0, Х, N)

дХ д2 д2 д2

+Nр0^ -1,п,г,N)В(2). (15)

Рассмотрим функции

ад ад

SSxVynPo(v,п,Х,N) = О0(х,у,г,N); (16)

V=0 п=0

ад ад

^^xVynP¡(v,п,2,Х,N) = ^(х,у,2,Х,N). (17)

v=0 п=0

Тогда из (14),(15) следует, что Gl(x,y,2,t,Д) и О0(х,у,г,М) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений в частных производных

дО0( х,у,1,Л' > = (1 - г > дО1( х, у,°,Х,N >-А о0(х, у, <, .V); (18)

дХ д2 N

д^(х, у, 2, Х, N) д^(х, у, 2, Х, N) = (гВ(2) -1) д^(х, у,0, Х, N) + дХ д2 (2)у ) д2

+Ц)(х, у, Х, N) х-^ В(2), (19)

решение которой будем искать в виде

1 2

О0 (х, у, Х, N) = 1 + -дFo (х, у, Х) + о(N~2); (20)

О (х, у, 2, г, N) = N F¡ (х, у, 2, г) + о(N~2). (21)

Тогда уравнения для F1(x, 2,Х) и F0(x,t) запишутся как

дF0(хy,Х) =Х-(1 -г) д^(х,у,0,г) ;

дХ д2 ’

х, >',•',Х >=ххВ(2)+(гуВ( 2) -1) .

дХ д2 д2

Обозначим дF1 (х, у, 0, Х)/д2 = И(х, у, Х).

Таким образом, систему для F0, F¡ перепишем в виде

дFo( х, у, Х)

дХ

дF¡( х, у, 2, г) дFl( х, у, 2, г)

дХ д2

= Х- (1 - г)к{х, у, г);

= ХхВ(2) + (гуВ(2) - 1)к(х, у, г). (22)

Решение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка (22) определяется решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

ёХ ёг dF¡

1 -1 ХхВ(г) + (гуВ( 2) - 1)И(х, у, Х)

Найдем два первых интеграла этой системы. Один из них из уравнения

-ёг = ё2.

Отсюда 2 = С1 - Х. (23)

Другой первый интеграл находим из уравнения

с^'х = [ХхВ(2) + (гуВ(2) - Х)Н(х,у,Х)] ёг .

Откуда получаем равенство

г

F1 (х, у, 2,г) = С2 +|[ХхВ(2) + (гуВ(2) - 1)И(х,у, 5)]ё5 .

0

Следовательно, общее решение (32) можно записать в виде

г

F1 (х, у, 2,г) = Ф(С1) + |[ХхВ(С1 - 5) + (гуВ(С1 - 5) - \)И(х,у, 5)] ] .

0

или, учитывая, что С1 определяется из равенства (22), общее решение уравнения (21) запишем в виде

г

F1(х, у, 2,г) = Ф(2 + Х) + |[ХхВ(2 + Х -5) + (гуВ(2 +Х -5) -1)А(х,у, 5)]ё5 . (23)

0

где Ф(2) - произвольная дифференцируемая функция,

Для определения частного решения уравнения (22) необходимо воспользоваться начальными условиями:

Г0, V > 0, п > 0,

р0 (V, п,0, N) = <!

04 1Яо( N), V = 0, п = 0.

Г0, V > 0, п > 0,

р1 (V, п, 2,0, N ) = <!

[Я (2, N), V = 0, п = 0.

Рассмотрим стационарное распределение вероятностей состояния прибора.

Из (16) следует, что выполняются равенства

О0(1,1, Х, N) = Я0( N); (24)

^(1,1,2, г, N) = Я0( 2, N). (25)

Поэтому из (17), (18) очевидно следует, что Ж^), Я\(2,М) являются решением системы уравнений

= (.-г)М; ()

N дг

дЯ (2, N) дЯ (0, N) , ч дЯ (0, N) X

1 д ’-^^ + гВ (2) 1 у '+-Я0(ЮВ (2 ) = 0. (27)

дг дг дг N

Отсюда получаем равенство

дМ-а _5Я<М)+гв (г )5Я1<М)+а _ г )дММ) в (г ) = 0,

дг дг дг дг

дЯ (2, N) дЯ1(0, N), или 1; = 1у ; (1 - в (2)).

дг дг

Учитывая (26), получим

дЯ1 (2, N )= X

дг N (1 - г )

(1 - В ( 2 ))Я( N),

Я (2, N)=_^_Я0(N)Г(1 - В (5)) . (28)

N (1 - г) 0

С учетом условия нормировки при 2^®, имеем систему двух линейных алгебраических уравнений

Я0( N) + Я1(ад, N) = 1,

Я'(ад, N) = ^ТтЧ Я0( N),

N (1 - г )

решение которой имеет вид

N (1 - г )

Я>( N) =

Я1 (ад, N) =------------------------------—-. (28)

XЬ + N (1 - г ) XЬ

Xb + N (1 - г )

Следовательно, в силу (28) запишем

Я'( 2, N) = ^ ,Ь + ^ ) 1(1 - В(5) )ё5 = + ^ ) |(1 - В( 5) )ё5 .

N(1 - г) Xb + N (1 - г)0 XЬ + N (1 - г)0

Устремляя N^да и используя формулы (20), (21), получаем

X

F (х, у, 2,0) = Я (2) = Ф(С1) = --------1 (1 - В(5))ё5 ;

1 - г "

Fo(x, у,0) = Я =■

0

XЬ

1 - г

Таким образом, частное решение (23) принимает вид X 2+г г

F1(х, у, 2, Х) =- | (1 - В(^))ё^ +J[XxB(2 + г - 5) + (гуВ(2 + Х - 5) - 1)к(х, у, 5)]ё5 .

1 - г 0 0

Дифференцируя это тождество по 2 в нуле, получаем интегральное уравнение относительно И(х, у, Х):

X X

И(х, у, г) =-----+ (Xx------)В(г) + гу 1 Ь(Х - 5)к(х,у, 5)ё5 , (29)

1 - г 1 - г 0

где Ь ( - 5) = дВ(г +1 - 5)/йг|г=0 .

Решение Н(х,у,() интегрального уравнения (29) записывается через преобразо-

ад

вания Фурье ф(а, ху) = | И(х,у,t)г]ШЖ в виде

ф(а) = ±-(x-1)- B(а)

Следовательно,

1 - Г 1 - ryß* (а)

1 ад

h(x, t) = — I e~iatф(а)^а

2п

—ад

Подставляя решение интегрального уравнения в (23), при z^-® имеем

ХЬ ‘

I-r

F0(x,y, t) = ———Xt + (1 - r)f h(x,y, 5)ds , 1-r

FJ(x,y,t) =----+Xxt + (ry - 1)f h(x, y, s)ds . (30)

1 - r 0

Откуда

t

F(x,y,t) = Fj(x,y,t) + F0(x,y,t) = (x- 1)Xt + r(y-1)|h(x,y,s)öfc .

0

Учитывая (20), (21), получаем выражение для производящей функции двумерного потока обращений в рассматриваемой СМО:

G(* y,t, = expiF (* y,t ,, = exp j(x - „X, + r (y - «j«* y„*).

Так как производящая функция G(x,z,t) двумерного распределения P(v,n,t) не равна произведению производящих функций одномерных распределений, то, очевидно, потоки являются зависимыми и анализ таких потоков необходимо проводить лишь только совместно.

Заключение

Таким образом, в работе построена математическая модель потоков в системе массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов и повторным обращением. Методом предельной декомпозиции исследованы суммарный и двумерный потоки обращений в рассматриваемой системе массового обслуживания. Получены выражения для производящих функций исследуемых потоков. Показано, что результаты исследования являются обобщением ранее известных частных случаев, а именно для экспоненциального времени обслуживания [8, 9].

Полученные результаты могут быть использованы при проведении анализа потоков различных социально-экономических систем, где наблюдается эффект повторного обращения, например в страховых и торговых компаниях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. Изд. 3-е, испр. и доп. М.: КомКнига, 2005. 408 с.

2. Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. 512 с.

3. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М.: Физмат-гиз, 1963. 236 с.

4. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания. Томск: Изд-во НТЛ, 2005. 228 с.

5. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. Томск: Изд-во НТЛ, 2006. 204 с.

6. Морозова А.С., Моисеева С.П., Одинцов К.М. Математическая модель процесса изменения числа клиентов торговой компании в виде СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов // Научное творчество молодежи: Материалы XI Всероссийской научно-практической конференции. Часть 1. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. С. 37 - 39.

7. Моисеева С.П., Морозова А.С. Исследование потока повторных обращений в бесконечнолинейной СМО с повторным обслуживанием // Вестник ТГУ. 2005. № 287. С. 46 - 51.

8. Моисеева С.П., Морозова А.С., Назаров А.А. Исследование суммарного потока обращений в бесконечнолинейной СМО с повторным обслуживанием // Вестник ТГУ. 2006. № 290. С.173 - 175.

9. Моисеева С.П., Морозова А.С., Назаров А.А. Распределение вероятностей двумерного потока обращений в бесконечнолинейной системе массового обслуживания с повторным обращением // Вестник ТГУ. 2006. № 16. С. 125 - 128.

10. Морозова А.С., Моисеева С.П., Назаров А.А. Исследование экономико-математической модели влияния ценовой скидки для постоянных клиентов на прибыль коммерческой организации // Вестник ТГУ. 2006. № 293. С.49 - 52.

11. Морозова А.С., Моисеева С.П., Назаров А.А. Исследование СМО с повторным обращением и неограниченным числом обслуживающих приборов методом предельной декомпозиции // Вычислительные технологии. 2005. Т. 13. Вып. 5. С. 88 - 92.

12. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969. 448 с.

13. Эльцгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.

14. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1966. Т. 3.

Моисеева Светлана Петровна

Ананина Ирина Алексеевна

Назаров Анатолий Андреевич

Томский государственный университет

E-mail: smoiseeva@mail.ru; anira@fpmk.tsu.ru; nazarov@fpmk.tsu.ru

Поступила в редакцию 16 февраля 2009 г.