Математическая модель потоков покупателей двухпродуктовой торговой компании в виде системы массового обслуживания с повторными обращениями к блокам Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Экономика

УДК 519.872

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОТОКОВ ПОКУПАТЕЛЕЙ ДВУХПРОДУКТОВОЙ ТОРГОВОЙ КОМПАНИИ В ВИДЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ПОВТОРНЫМИ ОБРАЩЕНИЯМИ К БЛОКАМ

Л.А. Жидкова, С.П. Моисеева

Томский государственный университет E-mail: zhidkovala@mail.ru; smoiseeva@mail.ru

Построена математическая модель формирования потока покупателей торговой компании в виде системы параллельного обслуживания кратных заявок с повторным обращением и неограниченным числом обслуживающих приборов, получено выражение для математического ожидания капитала торговой компании, а также найдено условие для существования максимума этой функции. Для конкретного примера определено оптимальное отношение стоимости подарка к средней стоимости покупки, обеспечивающее максимальную прибыль компании.

Ключевые слова:

Немарковские системы с неограниченным числом обслуживающих приборов, пуассоновский поток кратных заявок, повторное обслуживание заявок.

Key words:

Non-Markov system with an unlimited number of servers, Poisson process of multiple orders, repeated service of orders.

Введение

В настоящее время большинство торговых компаний столкнулось с падением спроса и замедлением темпов сбыта товаров. Особенно явно эта тенденция начала проявляться с 2008 г., одновременно с переориентацией конечных потребителей на экономию и рост сбережений.

Западные компании успешно используют методы уменьшения товарных запасов, увеличения их оборачиваемости, оптимизации заказа товаров, изучения потребностей покупателей, широко применяют информационные технологии (сканирование, внутрифирменные сети и др.). Использование подобного инструментария позволяет существенно повышать эффективность торговых компаний, снижать уровень розничных цен, издержек и торговой наценки.

В результате усложнения экономических процессов и возрастания конкуренции в торговой отрасли проблема разработки и внедрения научно-обоснованных методов принятия решений для управления торговыми компаниями является весьма актуальной. Особую актуальность представляет исследование процесса принятия решений в сложноорганизованных торговых компаниях. В 1970-80 гг. был нако-

плен значительный научный и практический потенциал моделирования торгово-экономических процессов. Отечественная экономико-математическая школа внесла значительный вклад в мировую науку. Можно отметить работы по математическому моделированию деятельности торговых компаний [1].

Практически каждый вид коммерческой деятельности содержит в качестве своего элемента совокупность распределенных во времени деловых сделок. Это заставляет уделять должное внимание математическому описанию потоков коммерческих сделок, характер и свойства которых определяются содержанием коммерческих операций [2-4]. В моделях массового обслуживания последовательность сделок рассматривается как случайный поток событий, что позволяет применить к ее описанию методов теории случайных процессов [5, 6].

Для привлечения клиентов торговые компании используют различные методы стимулирования сбыта продукции. К ним относятся различные акции, распродажи, предоставление клиентам различных видов скидок и другие. В настоящей работе предлагается рассмотреть процесс влияния маркетинговой программы («Подарок за покупку») на прибыль торговой компании.

Постановка задачи

Рассмотрим торговую компанию (магазин), в которой продаются две группы товаров (продовольственные и непродовольственные). Будем считать, что каждый покупатель при первом посещении приобретает товары обоих типов. После совершения покупки клиент в течение некоторого случайного времени не нуждается в товарах того или иного типа, а при необходимости выбирает возвратиться ему в ту же торговую компанию или выбрать другую. Число клиентов, обращающихся в магазин практически неограниченно. Кроме этого, предоставляемые компанией подарки при совершении покупки обеспечивают возможное повторное обращение клиента в эту компанию (магазин). Для таких компаний определяющее значение имеет процесс изменения числа клиентов с учетом повторных обращений [7, 8].

Поток клиентов, впервые обращающихся в торговую компанию, будем считать простейшим потоком с параметром X [9], интервалы времени между потребностями посещения магазина являются независимыми случайными величинами с экспоненциальной функцией распределения с параметрами !Л\ и ^ соответственно для каждого блока. Клиент при возникновении новой потребности приобрести товар с вероятностью г* обращается в ту же торговую компанию, а с вероятностью 1-г* выбирает другую, *=1,2 - номер блока. Очевидно, что вероятность возвращения клиента в компанию зависит от маркетинговой политики.

Ставится задача определения условий проведения акции для обеспечения наибольшей прибыли рассматриваемой торговой компании.

Математическая модель

В качестве математической модели поставленной задачи будем рассматривать систему массового обслуживания с двумя блоками обслуживания и повторным обращением (рис. 1). Данная система массового обслуживания (СМО) состоит из двух блоков обслуживания, каждый из которых содержит неограниченное число обслуживающих устройств. На вход системы поступает простейший с параметром X поток сдвоенных заявок, то есть в момент наступления события в рассматриваемом потоке в систему одновременно поступают две заявки [10-12].

Дисциплина обслуживания определяется тем, что одна из этих заявок поступает в первый, а другая во второй блоки обслуживания и занимает любое из свободных устройств, на котором выполняется ее обслуживание в течение случайного времени, распределенного по экспоненциальному закону с параметрами ^и ^соответственно цз]. Закончив обслуживание, заявка *-го блока с вероятностью 1-г* покидает систему, а с вероятностью г* возвращается обратно на прибор для повторного обслуживания.

Обозначим 4(0 число занятых приборов в *-м блоке обслуживания в момент времени і; тк(і) -суммарное число заявок, обратившихся *-му блоку

за время I, как из внешнего источника, так и для повторного обслуживания.

Рис. 1. СМО с параллельным обслуживанием сдвоенных заявок и повторными обращениями к блокам

Полученный четырехмерный случайный процесс {і№,І2(),т1(і),т2(і)} является марковским [14, 15]. Определим для данного процесса вероятности Р(іьІ2>тьт2,і)=Р{іі(і)=іьІ2()=І2> т1(0=т1,т2(0=т2І, тогда система дифференциальных уравнений Колмогорова [5] имеет вид:

/2, тр т2, і) = ді

= -(X + І-1ІЛ-1 + І2&2) Р(І, *2, т19 т2, і) + +/1^1г1Р(/1,*2,т -1,т2,і) +

+(*2 +1) ^2 (1 - г2) Р(І, *2 + 1 т1, т2, і) +

+*2^2ГР(*1, *2 , т1, т2 -1,і) + & (*1 +1)(1 - ї\) х хР (і +1, *2, тх, т2, і) +

+ХР(/1 -1, *2 -1, т1 -1, т2 -1, і).

Определим производящую функцию четырех мерного распределения Р(/^т^,і) в виде [9, 16]

Р (х, Х2, УР У2, і) =

(1)

ю ю ю

=2222 х*1 х2*2 у”1 У2™2 Р(і1 > *2 > т1 > т2>і).

і = 0 i, = 0 т, = 0 т = 0

Из системы дифференциальных уравнений Колмогорова (1) получаем линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для функции Дхьх2,уьу2,0:

дГ(хр х2,у2,О + дГ(Хр х2,у1? у2,О ^

ді

Х(Міх^1- ГУ!) -Мі(1 - П))

дР (х1, Х2, у1, У2, і)

дхо

Х(^2Х2 (1 - Г2У2) - ^2 (1 - Г,)) =

= Х(Х^У1У2 - 1)Р(Х15 Х2, У1, У2, і).

Решая данное уравнение, находим производящую функцию числа занятых приборов и суммарного числа заявок в блоках, из которой получаем вид производящей функции суммарного числа обращений в рассматриваемой системе:

Р ( 7р 72 > * ) =

Н (а, *) = Р (ф1(51а),^2(^2а), О =

Г Г1Г2<71 -1)(72 -1) + ^ г Г Г1Г2(^1(51а)-1)(^2(52а) -1) + ^

ехр Я (1 - Г171)(1 - Г272 ) 7^.У2* + = ехр- Я (1 - Г1^1(51а))(1 - Г2^2(52а))

+ Г1< 71 -1) + Г2<72 -1) + Г1(^1(51а)-1) + Г2(^2(52а) -1)

- Г 1 - Г1>1 1 - Г У 2 , ^ 1 - Г1^1(51а) 1 - Г2^2(52а) )

+А

ГГ2(1 - 71 )(1 - 72 ) (1 - е

-[Й(1-Г1 йНМ1- Г2 У2)]<

)

(1 - Г1.У1 )(1 - Г,72 ) ( И (1 - ПУ ) + И (1 - Г272 ))

_к Г1(1 - 71) (1 - е-И1(1-Г »» ) Г Г2(72 -1) ,

(1 - ^ И(1 - ^ I 1 - ГЛ

ГГГ2(1 -71)(1-72) Х

-У1У2

+Я(-1)*-

Г

Я

Я (1- ^Х1- г272)

х(1 + е-й(1-Г1у1)( )(1 + е^^Г2>2)< )

И1(1 - г1) + И2(1 - Г2)

Г1(1- 71) (1- ^

(1 + е

Й(1-Г1У1)<

И(1 - Г1)

Г2(1 - 72)

(1 - ГУ2 )

(1 + е

гМ1-^ У2)<'|

И2(1 - Г2)

-Я г2(1 -У2) (1 - е-И2<1-Г2»») '

Г1< 71 -1). (1 - Г272 ) И2(1 - Г272 ) I 1 - Г1У

-У1У2

(2)

тогда

Н (а, *) =

= Е Е <Ме^Р х (Ме-а{252)»2 р<т1, т2, *).

^1 =0 т2 = 0

Обозначив

Ме“{А = ^1(81а) и Ме“{252 = р2(<52а) получаем

Н (а, *) = М {^2 (51а)%(' }(р2 <52а )т 2<'>}. Учитывая (2), имеем:

+Я

Х<р1(51а)^2(52а)* +

Г1Г2 (1 -Ф(^1а))(1 -ф(Ла)) Х

Х<1 - ехр-[И1(1-Г1Р(в1а)) + И2(1-Г2?(52а))]' )

+Я

(1 - г^садх1 - х

Х(И1(1 - Г1^(^1а)) + И2(1 - Г2^(^2а))) ГГ2(ф(Аа) -1)(ф<^2а) -1) Х

Х<1 + е-И(1-Г1'Р('51а))' )<1 + е-И2(1-Г2Р(52а))' )

(1 - Г1ф(51а))(1 - Г2^(52а)) Х х(И(1 - Г1) + И(1 - Г2)) .

+Я Г<1 -у^аЩ -е-и(1-Г1У(а) Х И(1 - Г1<К5а))2

Г2(Ф(^2а) -1) (1 - Г2^(^2а))

+ у(д1а)у<д2а)

+Я г2 (1 -у(52а))(1 - е-^-^РУ:») И(1 - Г2^(^2а))2

Определение основных характеристик дохода компании

Пусть компания при каждом первичном обращении и совершении покупки первого типа получает доход в размере значения случайной величины «1 с функцией распределения А(х), М«=а1, а при совершении покупки второго типа получает доход в размере значения случайной величины «2 с функцией распределения А2(х), М£=аг, при повторном обращении ее доход составляет долю 81 от величины Здесь 1-5; - отношение стоимости подарка к средней стоимости покупки в каждом блоке.

Рассмотрим функцию Н(а,0=М<га4И, здесь 3(/) - суммарный доход, полученный компанией за время /, очевидно,

т^?) т 2 (*)

5(*) =Е +Е ^2,

Г1<ф(51а) -1) (1 - Г1^(51а))

+ у(51а)^(52а)

+Я Г1<1 -у(51а))(1 + е-и(1-Г^(а) +

И(1 - Г1)(1 - Г1<К5а))

+Я г2(1 -^<52а))(1 + е-И2(1-Г2"(52а))') +

И(1 - Г2)(1 - Г2^(52а)) +Я(ф(81а)ф(82а) -1)*}.

Дифференцируя (3) по а и учитывая условия эд(0)=1, ^'1(0)=а1, ^2(0)=1, (р'г(0)=аь имеем:

(3)

ЗН (а, *)

За

= Я*

Г151а1 Г252а2

1 - г1 1 - г2

+ аД + а-^2

Откуда получаем выражение для математического ожидания капитала торговой компании

(

М5 (*) = Яг

(

а151

1 - Г

- +1 +

(

+1| . (4)

1 - Г

Исследование влияния наличия маркетинговой программы (предоставление подарка) на капитал торговой компании

Определим оптимальную стоимость подарка для получения максимальной прибыли.

Очевидно, вероятность возвращения в магазин зависит от предоставляемых премий, т. е. г1=г1(51) и г2=г2(52). Тогда для определения оптимальной стоимости подарка необходимо найти максимальное значение функции (4).

Я

Х

Таблица. Изменение капитала торговой компании при разной стоимости подарков

51\52 0,9 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97

0,84 4921,12 4925,80 4928,65 4929,39 4927,62 4922,79 4914,04 4899,95

0,85 4929,81 4934,49 4937,34 4938,08 4936,31 4931,47 4922,73 4908,63

0,86 4937,74 4942,42 4945,27 4946,01 4944,24 4939,41 4930,66 4916,57

0,87 4944,85 4949,53 4952,38 4953,11 4951,34 4946,51 4937,76 4923,67

0,88 4951,03 4955,71 4958,56 4959,29 4957,52 4952,69 4943,94 4929,85

0,89 4956,17 4960,85 4963,70 4964,44 4962,67 4957,83 4949,08 4934,99

0,9 4960,13 4964,81 4967,67 4968,40 4966,63 4961,80 4953,05 4938,96

0,91 4962,74 4967,42 4970,27 4971,01 4969,24 4964,41 4955,66 4941,56

0,92 4963,75 4968,43 4971,28 4972,02 4970,25 4965,42 4956,67 4942,58

0,93 4962,86 4967,54 4970,39 4971,12 4969,35 4964,52 4955,77 4941,68

0,94 4959,61 4964,29 4967,14 4967,87 4966,10 4961,27 4952,52 4938,43

0,95 4953,34 4958,02 4960,87 4961,61 4959,84 4955,01 4946,26 4932,17

0,96 4943,04 4947,72 4950,57 4951,30 4949,53 4944,70 4935,95 4921,86

0,97 4926,87 4931,55 4934,40 4935,13 4933,36 4928,53 4919,78 4905,69

0,98 4901,09 4905,77 4908,62 4909,36 4907,59 4902,75 4894,01 4879,91

0,99 4855,13 4859,82 4862,67 4863,40 4861,63 4856,80 4848,05 4833,96

1 4540,42 4545,10 4547,95 4548,68 4546,92 4542,08 4533,33 4519,24

Рассмотрим функцию:

/ (АЛ) = а181 + а28.

+ а1А1Г1(А1) + а2А2Г2(А2)

1 - Г1(51) 1 - Г2(52) Используя необходимое условие экстремума, получаем систему дифференциальных уравнений для нахождения 51 и 52

гі(Аі) = (А2 ) =

ГіАі) -1. *і .

^ -1 А '

(5)

Рассмотрим случай, когда 5^52, то есть стоимость подарков в первом и втором блоках различна.

Предположим, что вероятности возвращения клиентов в каждый блок имеют вид соответственно:

_1_

Г1А1) = Г0(1) + (Г1(1) -г0(1))(1 -5)\

1

^ = Го(2) + (г/2) -Го(2))(1 -5)Г

где г0 - вероятность повторного обращения клиента в торговую компанию при 5=1, г1- вероятность повторного обращения клиента в торговую компанию при 5=0. Учитывая (5), находим 51 и 52:

51 =

-1)

г0(1) - г1(1) + и(г1(1) - г0(1)) ’

/1(5) = Го(1) + <Г1(1) -Го(1))<1 -5)2,

1

г2(82) = Го(2) + <Г1(2) -Го(2))<1 -5)5.

Пусть г0(1)=0,6, г1(1)=0,8, г0(2)=0,4, г1(2)=0,7, а1=1200, а2=800, тогда /(51,52) достигает своего максимального значения 4972,02 при 5=0,93 и 52=0,92 (таблица), тогда стоимость подарка в первом блоке составляет 7 % от средней стоимости покупки, а во втором - 8 %.

Поведение функции /(55) можно увидеть на рис. 2. и в таблице изменения капитала компании при различной стоимости подарков.

График функции Дй1,й2)

5 = П2 (Г1 -1)

Г0(2) - Г1(2) + П(Г1(2) - Г0(2))'

Очевидно, что при и1=и2=1 критических точек нет, следовательно, функция /(51,52) при 51е(0;1) и 52 е (0;1) не достигает своего максимального значения.

При и1^1 и н2ф1 функция /(51,52) достигает своего максимального значения.

Пример.

Рассмотрим случай, когда вероятности возвращения клиентов в каждый блок имеют вид соответственно и1=2, и2=5:

2900

I

Рис. 2. График изменения капитала торговой компании при различной стоимости подарков

Выводы

В работе построена математическая модель торговой компании в виде системы массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов с повторным обращением, построена и исследована экономико-математическая модель влияния наличия стимулирования натурой на прибыль торговой компании. Проведёно исследование этих моделей методами теории случайных процессов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Калашникова ТВ., Извеков Н.Ю. Интеграция метода ориентации на спрос в систему ценообразования сети розничной торговли // Известия Томского политехнического университета. -2012. - Т 320. - №6. - С. 9-13.

2. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 616 с.

3. Натан А.А. Стохастический модельный анализ простых коммерческих операций. - М.: МЗ Пресс, 2005. - 120 с.

4. Натан А.А. Стохастические модели в микроэкономике. - М.: МФТИ, 2001. - 172 с.

5. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания. - Томск: Изд-во НТЛ, 2005. - 228 с.

6. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. - Томск: Изд-во НТЛ, 2006. - 204 с.

7. Морозова А.С., Моисеева С.П., Одинцов К.М. Математическая модель процесса изменения числа клиентов торговой компании в виде СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов // Научное творчество молодежи: Матер. XI Всеросс. научно-практ. конф. Ч. 1. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. - С. 37-39.

8. Морозова А.С., Моисеева С.П., Назаров А.А. Исследование экономико-математической модели влияния ценовой скидки для постоянных клиентов на прибыль коммерческой организации // Вестник Томского государственного университета. -2006. - № 293. - С. 49-52.

9. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. 3-е изд., испр. и доп. - М.: КомКнига, 2005. - 408 с.

10. Моисеева С.П., Морозова А.С. Исследование потока повторных обращений в бесконечнолинейной СМО с повторным обслуживанием // Вестник Томского государственного университета. - 2005. - № 287. - С. 46-51.

11. Моисеева С.П., Морозова А.С., Назаров А.А. Исследование суммарного потока обращений в бесконечнолинейной СМО с повторным обслуживанием // Вестник Томского государственного университета. - 2006. - № 290. - С. 173-175.

12. Моисеева С.П., Морозова А.С., Назаров А.А. Распределение вероятностей двумерного потока обращений в бесконечнолинейной системе массового обслуживания с повторным обращением // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. -2006. - № 16. - С. 125-128.

13. Жидкова Л.А., Моисеева С.П. Исследование систем параллельного обслуживания кратных заявок простейшего потока // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2011. - № 4 (17). - С. 49-55.

14. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории Марковских процессов и их приложения. - М.: Изд-во «Наука», 1969. - 512 с.

15. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. - М.: Наука, 1966. - 662 с.

16. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. - М.: Физматгиз, 1963. - 236 с.

Поступила 23.04.2013 г.

УДК 519.865

ИССЛЕДОВАНИЕ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ КАПИТАЛА В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ЦЕННЫХ БУМАГ

Н.С. Демин , С.В. Рожкова*, А.В. Цитко

Томский государственный университет *Томский политехнический университет E-mail: rozhkova@tpu.ru

Получены дифференциальные уравнения, определяющие изменение во времени среднего значения и дисперсии капитала, а также точные формулы для среднего значения и дисперсии капитала.

Ключевые слова:

Финансовый рынок, капитал, портфель, ценные бумаги.

Key words:

Financial market, capital, portfolio, securities.

1. Постановка задачи

В [1] решена задача формирования портфеля ценных бумаг на основе динамического программирования, допускающая точное решение. Данная работа посвящена теоретическому исследованию свойств капитала портфеля при использовании оптимального управления, полученного в [1]. Система обозначений та же, что и в [1].

2. Основные результаты

Утверждение.

При оптимальном управлении капитал X(t) определяется уравнением

dX (t) = -

где

а

2 (t) (a - r > ab 2(t)

-(a - r )2 b1(t) +

_+(ra2 - (a - r)2)b2(t)X(t)

[bi(t) + b2<t) X (t )]dW (t),

dt -

b1(t) = [bie(M-P)t - b12]ee

b2(t) = b2e-(r-e)t-

e=^ - г,

а

b2,

(1)

(2)

(З)