Математическая модель процесса изменения дохода торговой компании, расширяющей свое присутствие на рынке Текст научной статьи по специальности «Математика»

2011

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика

№ 2(15)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.872

И.А. Ананина МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ ДОХОДА ТОРГОВОЙ КОМПАНИИ, РАСШИРЯЮЩЕЙ СВОЕ ПРИСУТСТВИЕ НА РЫНКЕ

Рассматривается задача определения средней величины дохода торговой компании и его изменение при проведении маркетинговой акции «Подарок за покупку». В качестве математической модели процессов изменения числа клиентов компании рассматриваются потоки двухфазной системы массового обслуживания с неограниченным числом линий и реализацией повторных обращений к фазам. Исследование суммарного потока системы проводится методом предельной декомпозиции.

Ключевые слова: СМО с неограниченным числом линий и повторными обращениями, метод предельной декомпозиции.

Теория массового обслуживания как аппарат математического моделирования хорошо зарекомендовала себя во многих сферах человеческой деятельности. Широко используется этот аппарат в сетях связи, при решении некоторых экономических задач, задач управления промышленного сектора. Благодаря непрерывному развитию этих и многих других отраслей нашей деятельности и постоянному усложнению возникающих задач, не снижается потребность в создании новых математических моделей и развитии методов их исследования.

Маркетинг - одна из областей экономической науки, в которой теория массового обслуживания до сих пор не применялась в качестве аппарата математического моделирования. Между тем средства ТМО позволяют моделировать потоки клиентов торговой компании с учетом их категорий и оптимизировать на этих моделях условия проведения различных маркетинговых акций, отслеживая их влияние на величину дохода компании.

В настоящей работе проводится исследование потоков клиентов некоторой торговой компании, расширяющей свое присутствие на рынке, то есть желающей привлечь как можно больше клиентов, проводя, в частности, маркетинговую акцию «Подарок за покупку». Определяется процесс изменения дохода этой компании, его среднее значение и дисперсия, рассматривается влияние на доход проводимой акции.

1. Математическая модель

Пусть поток клиентов, впервые совершивших покупку в некоторой торговой компании, моделируется простейшим с параметром X. Совершив покупку, клиент некоторое время обдумывает, обращаться ли ему в эту компанию повторно или выбрать другую. Будем считать, что продолжительности интервалов времени

обдумывания клиентов являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с произвольной функцией распределения Б1 (х). После обдумывания с вероятностью 1 - г1 клиент больше не обратится в данную торговую компанию, предпочитая ей другую, а с вероятностью г1 клиент вернется. На момент возвращения клиента в компанию, с вероятностью 1 - q уже совершенные клиентом покупки в сумме не превышают некоторую заданную величину. В этом случае клиент является клиентом первой категории и вероятность возвращения в компанию у него остается та же, г1. Если же сумма покупок клиента в данной компании превышает эту заданную пороговую величину, а произойдет это с вероятностью q, то такой клиент становится клиентом второй категории, причем вероятность возвращения в компанию и функция распределения времени обдумывания для него меняются на г2 и Б2(х) соответственно. Время обдумывания для клиентов каждой категории стохастически независимы и одинаково распределены. Таким образом, формируются потоки повторных обращений клиентов, описываемые случайными процессами п1 (ґ), п2 (ґ), где пк (ґ) - число обращений клиентов к-й категории, поступивших в торговую компанию за время наблюдения ґ. Обозначим v(t) - число обращений новых клиентов в компанию. Таким образом, модель изменения числа клиентов некоторой торговой компании можно представить в виде двухфазной системы массового обслуживания (СМО) с неограниченным числом линий, произвольным временем обслуживания на фазах, с повторными обращениями (рис. 1).

Рис. 1. Потоки клиентов торговой компании в виде двухфазной бесконечнолинейной СМО

Ставится задача исследования суммарного случайного процесса

n(t) = v(t) + n1 (t) + n2 (t)

в рассматриваемой системе, где v(t ) - число первичных обращений к системе, и нахождение его производящей функции.

2. Метод предельной декомпозиции

Для решения поставленной задачи предлагается метод предельной декомпозиции [1]. Суть этого метода заключается в следующем.

Входящий поток по равномерной полиномиальной схеме делится на N независимых простейших потоков с параметром Х/N, заявки каждого потока направля-

ются для обслуживания на соответствующий прибор. Таким образом, получаем совокупность N независимых однолинейных СМО. Будем полагать, что эти СМО с отказами. То есть новая заявка, поступившая в систему, занятую обслуживанием, теряется. При N^1^ вероятностью потерь заявок можно пренебречь, и тогда суммарные характеристики совокупности N однолинейных СМО сходятся к характеристикам исходной модели. Таким образом, задача нахождения распределения вероятностей числа обращений в СМО с неограниченным числом линий сводится к решению задачи нахождения распределения вероятностей числа обращений в однолинейной СМО с отказами.

Согласно алгоритму предложенного метода предельной декомпозиции, от рассмотренной математической модели перейдем к рассмотрению однолинейной двухфазной СМО, на вход которой поступает простейший с параметром XN поток заявок. Для этой системы рассмотрим соответствующий суммарный случайный процесс n(t,N) = v(t,N) + n (t,N) + n2 (t,N). Введем следующие обозначения: k(t) - состояние прибора, то есть

г(0 - длина интервала от момента времени t до момента окончания текущего обслуживания, если прибор занят. Полученный трехмерный случайный процесс {к(),п(/,N),г()} является марковским.

Тогда Р0 (п, t, N) = Р{к() = 0,п(, N) = п} - вероятность того, что в момент времени t линия свободна и за это время к системе обратилось п заявок.

Рк (п, г,t, N) = Р{к{) = к,п (^ N) = п, г()< г} - вероятность того, что занят прибор к-й фазы обслуживанием заявки соответствующего типа, за время t поступило п заявок и до конца обслуживания остается времени меньше г, к = 1, 2 .

Составим прямую систему дифференциальных уравнений Колмогорова [2, с. 317] для распределения вероятностей {Р0 (п,t,N),Рк (п,г,t,N) трехмерного

случайного процесса {к(t),п(^N),г^)} :

3. Нахождение производящей функции суммарного числа клиентов компании

NPo(n> t, N ),

+ (1 - q )r1B1( z )

ôPl(n -1,0,t,N) dz

3P2 (n, z, t, N) dP2 (n, z, t, N) dP2 (n, 0, t, N) „ _ dp (n -1,0, t, N) +

Рассмотрим производящие функции

ад

£ хпР0 (п,t,N) = Н0 (х,t,N),

п

п=0

ад

£ хпР1 (п, 2, t, N ) = Н1 (х, г, t, N), (1)

п=0

ад

£хпР2 (п,2,t,N) = Н2 (х,2,t,N).

п=0

Функции Н0 (х, t, N), Н1 (х, г, t, N) и Н2 (х, г, t, N) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений в частных производных [3]:

=_А Н0 (х,,, N ) + £ (1 _гк )дНк(хА t,Л'1,

д N к=1 д2

дН, (х, г, t, N) дН, (х, г, t, N) X , ч , ч

П > > > ! =----П > > > > + _ в (г) хН 0 (х, t, N) +

дt дг N и ' 0 ^ '

, , ч , ч ч дН (х,0,;,N)

+(I1 _ я )хВ1 (2)_1)—-----------------, (2)

дг

дН2(x,2t,N) = дН1(х12,Г1М) + ^ (,)дН1 (x,0,t,N) +

дt дг дг

, , ч ч дН2 (х,0,;,N)

+ (Г2хВ2 (г)_ 1) ^ д, ’

решение которой будем искать в виде

Н0 (x,t,N) = 1 _N^ (x,t) + с(N) ,

Н (х,г,t,N) = N^ (х,г,t) + °(^) > (3)

Н 2 (x, 2,1-, N )= N ^ (x, 2, t )+0^ -1 ) .

Тогда уравнения для функций ¥0 (х,t), Р1(х,2,t) и ¥2 (х,2,t) имеют вид

дй^=х_£(|_'к)/к(х.О; (4)

д к=1

д^ 2, t) + ХхВ1 (2 ) + ( (1 _ я )хВ1 (2)_ ^ (x, t); (5)

дЕг ( ^ t) = др2 ((22,) + Г1дхВ2 (2)^ (x, ^ + (2хВ2 (2) _^2 (х t) , (6)

. , ч дк (х,0,;)

где ./к (x, t)=——, к=1,2.

дг

Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка в частных производных (5) определяется решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений для характеристических кривых

Ж = d2 = dF| (х, 2, t)

1 -1 ХхВ1(г) + (г1 (1 _ я)хВ1(г) _ 1) /1(х, {)

Тогда общее решение Е1 (х, 2,t) уравнения (5) запишем следующим образом:

;

^1(х, 2, t) = Ф(2 + t) +|[ХхВ1(2 + t _ 5) + (Г1 (1 _ Я)хВ1(2 + t _ 5) _ 1)/ (х, 5)]? , (7)

0

где Ф(г) - произвольная дифференцируемая функция.

Для определения частного решения необходимо воспользоваться начальными условиями

* ^ N), 7Д

(8)

р2 ( -,o, N )={0!

(0, п > 0,

(Я2 (2, N), п = 0;

Я0 ^) + Я (ад, N)+ Я2 (ад, N) = 1.

Рассмотрим стационарное распределение вероятностей состояния линии обслуживания. Из (1) следует, что выполняются равенства

Н 0(1, t, N) = Л0( N),

Нк (1,2, t, N) = Як (2, N), к = 1, 2. (9)

Стационарные вероятности Я0 ^), Я1 (2, N) и Я2 (2, N) можно представить в виде

Я0 <* > =1 _ NЯ’Ч N),

Я (•'," )= 1^Я‘ (2 > + °(^) ' к = ^ 2. <10)

Тогда, согласно (3), (7) и (8),

^( х, 2,0) = Ф( 2) = Я1 (2 ) .

Вероятности Я0, Я1 (2) и Я2 (2) с учетом (9) определяются решением системы (4) - (6) при х=1:

0 = Х-£ (1 -Гк )Як'(0),

к=1

0=я1 (2)+щ (2)+((1 - я)В (2) - 1)Я1Г (0) ,

0 = Я2 (2) + ГЯВ2 (2)Я1 (0) + (Г2В2 (2)- 1))2 (0).

А именно:

R (z ) =1—0 I ( - B (s )); ()

1 - ri(1 - q )

R (z) = (^ (1 )0 I(1 -B2 (s))ds ; ()

(1 - r2 X1 - ri (1 - q ))0

R -[(1 - r2 )b1 + mh ] ,10)

(1 - r1(1-q))(1-r2Г

где b1 и b2 это математические ожидания случайных величин, имеющих функции распределения B1 (x) и B2 (x) соответственно.

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения (5) принимает вид

Л z + t

F1(x, z, t) = -------- I (1 - B1(y))dy +

1 - r1(1 - q) 0

t

+| [-xB1 (z +1 - s) + (r1 (1 - q) xB1 (z +1 - s) -1) f1 (x, s) ] ds. (11)

0

Аналогичным образом находим частное решение уравнения (6):

Л z+t

F2( x z, t) =71-( (1-------) I (1 - B2( y))dy +

(1 -r2X1 -r1 (1 -q)) 0

t

+| [rjqxB2 (z +1 - s) f (x, s) + (r2 xB2 (z +1 - s) -1) f2 (x, s)]ds. (12)

0

И, следовательно, подставляя решения (11,12) в уравнение (4), получаем его решение:

Fo(x,t) = (r2)b) + -t + ( - 1)[f (x,s)ds + (r2 - 1)_[f2(x,s)ds. (13)

i1 - r2 )(1 - r111 - q)) 0 0

При этом неизвестные функции f(x, t) и f2(x, t) являются решениями интегральных уравнений

f (x,t)=1—-—0+-fx-1—1—o!B1(t)+xri (1-q0Ibi(t-s)1(x,)ds; (14)

1 - r1(1 - q0 I 1 - r1(1 - q )) 0

f2 (x, t) = (1 - r (1 -rqq)1 - r ) (1 - B2 (t)) + xr\q[b2 (t - s)f (x s)ds +

t

+ xr21b2 (t - s)of2 (x, s)ds (15)

0

соответственно.

При z^œ имеем

F (х, t) = -F0( x, t) + F1( x, да, t) + F2( x, да, t) = t t

= Xt(x-1) + rj (x-1)If (x,s)ds +r2 (x-1) | f2 (x,u)du .

0 0

Учитывая, что

( 1 1 1 ( 1 ^N G (x, t)=йда^ - N Fo(x,t)+n F <xда,')+F2(x,да, ^+°Ь JJ ,

можно найти производящую функцию G (x, t) исследуемого случайного процесса n(t):

G (x, t) = exp j(x - 1) jxt + r1 |f (x, s )ds + r21 f2 (x, s )dsJJ. (16)

Знание найденной производящей функции суммарного числа клиентов необходимо для определения основных числовых характеристик дохода торговой компании.

4. Процесс изменения дохода торговой компании

Обозначим S(t) - доход компании, полученный за время работы t. Как мы уже договорились, n(t) - суммарное количество клиентов, обратившихся в данную торговую компанию за время t. Пусть стоимость отдельной совершаемой покупки есть случайная величина 4 с математическим ожиданием a.

Тогда очевидно, что

n(t )

S (t ) = Цг . (17)

i=0

Рассмотрим характеристическую функцию величины дохода компании, полученного за время t:

n(t) ( n(t )

-а 2 œ -а 2

H (а, t ) = Me~aS (t ) = Me i=0 i =2 M \e i=1 '

n=0

n(t) = n >P(n,t) =

= 2Mjne aq‘\n(t) = nJP(n,t) = 2ф”(a)P(n,t). (18)

n=0 [ i=1 J n=0

Здесь ф(а) = Me~a - характеристическая функция случайной величины £.

Производящая функция суммарного числа клиентов, совершивших покупку за время t, согласно (16), имеет вид

да j ( t t ^J

Mxn(t ^ = 2 xnP (n, t) = G (x, t) = exp j (x -1) Xt + r1 | f (x, s)ds + r21 f2 (x, s)ds

n=0 [v 0 0 V

Из (18) следует, что

H (a, t) = Me^a(t ^ = G (ф(а), t) = j ( t t ^J

= exp<!(ф(а)-1) Xt + r11f (ф(а),s)ds + r21f2 (ф(а),s)ds

Так как среднее значение суммарного дохода компании, полученного за время /, есть

MS (t ) = -

dH (a, t)

да

при этом

а=0

ф(0) = 1, ф'(0) = -а,

t t

то

MS (t) = a <Xt + r11 f1 (1,5)ds + r21 f2 (1, s)ds >.

Величина дисперсии дохода компании

DS(t) = M|2 jit + r1|f (1,s)ds + r2|f2 (1,s)dsj

2a І ds+r21

df2 (1, s) d a

ds

(19)

(20)

5. Исследование изменения дохода торговой компании при проведении маркетинговой акции «Подарок за покупку»

Пусть с целью привлечения клиентов компания проводит акцию «Подарок за покупку». При этом вероятность возвращения клиента к-й категории в данную компанию возрастает. При стоимости подарка т рублей предположим следующую зависимость:

rk(м)=rk ,1- (,1- rk ,0) )- m )

(21)

где m < a, rk 0 - вероятность повторного обращения клиента к-й категории в данную компанию, работающую в обычном режиме, гк 1 - максимально возможная

вероятность повторного обращения клиента к-й категории за время проведения акции.

Суммарный доход торговой компании S(t), полученный за время t проведения акции, определяется выражением

n(t)

S(t) = £&■ -m). (22)

i=0

Ставится задача нахождения оптимального отношения цены подарка к средней стоимости покупки y=M/a, обеспечивающего максимальный доход компании за время t проведения акции.

Рассмотрим характеристическую функцию величины суммарного дохода компании, полученного за время t проведения акции «подарок за покупку». Аналогично (18) получим

n(i)

" / ч afrt-I -a Z -m)

H (a, t )= Me (t> = Me '=0 =

Г ( t t M

= exp <j(y(a)-1) Xt + r11 f (y(a),s)ds + r21f2 (y(a),s)ds

I ( 0 0 У

Здесь у (а) = Ме а('^‘ т) - характеристическая функция разности цены покупки и величины т - бонуса выдаваемого покупателю при совершении им покупки величиной 4-

Аналогично рассуждениям пункта 4, находим математическое ожидание и дисперсию величины дохода компании, полученного за время ґ проведения акции:

МБ(ґ) = (а - т иХґ + г1 |/ (1,5)ds + г21/ (1,5)ds 1; (23)

ВБ(ґ) = (М( + т2 - 2ат) Хґ + г11/ (1,5)ds + г21/2 (1,5)ds

I о о і

2 ( ) '^/х (1,5 Ь , Ґ / (1,5)/

- 2(а-т) I г ----- —1 ds + г2 ---- —1 ds

у Л ^ dа 21 dа

(24)

6. Оптимальное отношение цены подарка к средней стоимости покупки

Теперь определим оптимальное значение величины у отношения цены подарка т к среднему значению стоимости покупки а, обеспечивающее максимальную прибыль компании.

Будем рассматривать среднюю величину дохода компании, полученного за время проведения акции t, как функцию от величины у:

М( ) = /(у) = а(1 -у)|^ + Г (у)}./; (l,5)ж + г2 (у)}/ (l,5(25)

где гк (У) = гк;-(,; -гк,о)(1 -У)2 (26)

для к-й категории покупателей, к = 1, 2.

Согласно виду интегральных уравнений (14-15), функции /к (1,5) будут зависеть от вероятностей возвращения клиентов, а следовательно, в условиях акции, и от величины у.

Тогда

/'(у) = а (1 -у) X гк (у)/л(^5)ж+£гк(^^у5)*

к=1

к=1

(27)

-^ -Х гк (у)} л(1,5

к=1 0 у

Из необходимого условия / '(у) = 0 можно найти оптимальное значение у.

Приведем численный пример. В случае экспоненциального распределения времени обдумывания клиентов, при вероятности смены категории клиента Я = 0,3, с начальными вероятностями возвращения г10 = 0,225 , г20 = 0,4 и максимальными г11 = 0,8 и г21 = 0,7 в случае проведения акции, при средней стоимости покупки 3000 рублей и около 10 обращений новых клиентов в день, за месяц работы компания, не проводя акции, получит доход 1,2 млн рублей. Количество продаж при этом составит около 400. При проведении акции «Подарок за по-

купку» число продаж может превысить 680 в месяц, и при этом компания получит чистую прибыль в 146 тысяч рублей. Стоимость подарка при этом должна составлять 1000 рублей. Если же компания не желает получать никакой прибыли, а только увеличить число своих клиентов, то при стоимости подарков равной 1700 рублей, число продаж компании возрастет более чем в два раза, превысив 880 обращений в месяц. Дальнейшее же увеличение стоимости подарка будет уменьшать доход компании.

Заключение

Проведено исследование суммарного потока обращений в двухфазной СМО с неограниченным числом линий и повторными обращениями к фазам как математической модели суммарного потока клиентов торговой компании. Найдена производящая функция суммарного числа клиентов компании, математическое ожидание и дисперсия дохода компании в условиях обычного функционирования и в условиях проведения маркетинговой акции «Подарок за покупку». Приведен пример использования полученных аналитических выражений для расчета желательной стоимости подарка, с целью привлечения максимального числа клиентов или для попутного получения некоторой денежной прибыли от проведения акции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Морозова А.С., Моисеева С.П., Назаров А.А. Исследование СМО с повторным обращением и неограниченным числом обслуживающих приборов методом предельной декомпозиции // Вычислительные технологии. 2005. Т. 13. Вып. 5. С. 88-92.

2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969. 448 с.

3. Эльцгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.

Ананина Ирина Алексеевна Томский государственный университет E-mail: ananinaia@sibmail.com

Поступила в редакцию 10 ноября 2010 г.