Научная статья на тему 'Математическая модель деятельности фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах'

Математическая модель деятельности фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
106
39
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Змеев Олег Алексеевич

Исследуются основные характеристики деятельности фонда социального страхования при экспоненциально распределённых страховых выплатах.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Змеев Олег Алексеевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

A mathematical model is proposed in the paper for social insurance foundation at relay-hysteresis control of capital of such a foundation. The case is considered when payments for insured accidents form a Poisson flow of events and are uniformly distributed independent random variables with exponential distribution function. The stationary capital distribution density is determined in the frameworks of the assumptions. The procedure is proposed for determination of the control parameters providing for the prescribed probability characteristics of operation of the foundation.

Текст научной работы на тему «Математическая модель деятельности фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах»

О.А. Змеев

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ФОНДА СОЦИАЛЬНОГО СТРАХОВАНИЯ ПРИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СТРАХОВЫХ ВЫПЛАТАХ

Исследуются основные характеристики деятельности фонда социального страхования при экспоненциально распределённых страховых выплатах.

Фонды социального страхования РФ созданы на основании постановления Совета Министров РФ и фонда независимых профсоюзов. В отличие от обычных страховых компаний, в задачу фонда входит не только оплата страховых случаев (временная нетрудоспособность, пособия по беременности и родам и т.д.), но и систематические выплаты по реализации региональных и отраслевых программ по охране здоровья работников, санаторно-курортному лечению, обслуживанию детей и т.д.

Поэтому, в отличие от обычных страховых компаний, фонд не ставит своей задачей накопление капитала, а его целью является рациональное его использование.

Все это требует изменения классической модели работы страховой компании и решения задач оптимального в каком-то смысле управления капиталом такого фонда.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ФОНДА

Основной характеристикой состояния фонда является его капитал 5(/) в момент времени /. С этим капиталом происходят следующие изменения:

1. В фонд поступают средства от предприятий и организаций. Будем считать, что они поступают непрерывно во времени со скоростью С0.

2. Фонд выделяет часть своих средств на социальные программы. Будем считать, что эти средства также выделяются непрерывно во времени, однако скорость их выделения с (5) зависит от величины капитала 5 в данный момент времени.

Величину с0 - с (5) в дальнейшем будем обозначать как с(5). Таким образом, с(5) есть скорость изменения капитала за счет детерминированных расходов и она зависит от величины капитала 5. Именно в наличии слагаемого с (5) и зависимости с(5) от 5 и заключается отличие данной модели от классической [1].

3. Происходят страховые выплаты. Будем считать, что поток страховых выплат является пуассоновским потоком постоянной интенсивности Х, и сами страховые выплаты е являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами с экспоненциальным распределением

х > 0.

(1)

Кроме того, будем считать, что достижение порога 5(/) = 0 не приводит к разорению фонда, и даже при 5(/) < 0 он продолжает функционировать, только происходят задержки по страховым выплатам.

ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ВЕЛИЧИНЫ КАПИТАЛА

Рассмотрим случай следующего управления капиталом фонда:

- при 5 < 50 выплаты на социальные нужды не производятся, так что с(5) = с0;

- при 5 > 50 производятся выплаты на социальные нужды, причем их размер зависит от капитала фонда. В этом случае с = с(5) и выплаты на социальные нужды идут со скоростью с0 - с(5).

Таким образом, 50 - это величина резервного капитала, ниже которого производятся только страховые выплаты.

Отметим, что в этом случае капитал фонда не может превышать некоторой величины 5т, где 5т определяется из условия с(5т) = 0; если при любых 5 величина с(5) > 0, то 5т = + да.

Найдем плотность вероятностей р(5) капитала фонда 5 в стационарном режиме. Она будет иметь различный вид в областях 5 < 50 и 5 > 50.

Начнем с области 5 < 50 . Плотность вероятностей р(5) в этой области будем обозначать как р1(5).

Выведем явное выражение р1(5). Пусть мы имеем некоторый момент времени /. Тогда получить значение капитала, равное 5, можно двумя путями.

1. В момент времени / - Д/ значение капитала было равно 5 - с0Д/ и за интервал времени Д/ не было страховых выплат. Вероятность этой ситуации равна 1 - ХД/ + о(Д/).

2. С вероятностью ХД/ + о(Д/) за интервал времени Д/ пришлось сделать страховую выплату, равную х, так что в момент времени / - Д значение капитала было равно 5 - с0Д/ + х.

Используя идеологию вывода обратных уравнений Колмогорова для марковских процессов [2], можем записать

Р1 (5) = рх(5 - С0Д/) (1 - ХД/) +

да

+ ХД/1рх(Б - с0Д/ + х) р^(х)ёх + о(Д/). (2)

0

Разлагая р1(Б - с0Д/) в ряд Тейлора, получим р (5) = (1 - ХД/) [ ^(5) - р{(5 )С)Д/] +

да

+ ХД/1 р1(5 - с0Д/ + х)р^ (х)ёх + о(Д/).

0

Сокращая р1(5), деля на Д/ и переходя к пределу Д/—— 0, получим интегродифференциальное уравнение для р!(5):

да

с0 р{ (5) = - Хр1(5) + Х| р1(5 + х) р^ (х)ёх. (3)

0

Воспользуемся теперь тем, что р (х) имеет экспоненциальный вид. Тогда

да 1 да / \

[ рх(5 + х) ре (х)ёх = —Г рх(5 + х)ехр I-----I ёх =

0 а 0 ^ «)

= - Г р\(У) ехР |- -1 сУ • ехР I -1.

а 5 \ а) \ а)

Умножая (3) на ехр(-5/а), дифференцируя по 5, сокращая сомножитель ехр(-5/а), получим уравнение для р1(5):

(4)

Со P'(S) - Vа ~ Pi (S) = °-

Общее решение этого уравнения имеет вид

Pi(S) = C + C2exp

Гс° -XaS'l

Гc° -Xa f ^ S°

V c0a

Pj (S) = C exp

c° -Xa

Л

(S - S°)

+ XAt I p2(S + x) p^ (x)dx + o(At).

+At

- c( S) p2 (S) + Xj P2 (S + x) prq (x)dx

+ о (At).

= — e

a

P2 (S)c(S) + p2 (s)| c (s) -

или в виде

(5)

(6)

Разлагая p2(S - c(S)At) в ряд Тейлора p2(S - c(S)At = =p2(S) - c(S) p2 (S)At + o(At) и подставляя в (6), получим

P2(S) = (1 - XAt) (P2 (S) - c(S) p2 (S )At) +

W

+ XAt | p2 (S + x) p^ (x) dx + o(At) = p2 (S) +

Сокращая р2(5), деля на Д/ и переходя к пределу Д/— 0, получим интегродифференциальное уравнение для р2(5):

да

с(5 ) р2 (5) + Хр2(5) = Х| р2(5 + х) р^ (х)ёх. (7)

0

Рассмотрим случай экспоненциально распределенных страховых выплат. Тогда (7) принимает вид

с(5)р2 (5) + Хр2(5) = Х Г р2(5 + х)ехр Г- х1 ёх =

а 0 I а)

= Х е^а да р2(-)ехр |- а| сУ.

p2 (S ) = |1 - - А.

1 a c( S) c(S)

p2 (s ).

(9)

Мы будем считать, что c° > a1X, что означает, что в среднем капитал растёт и поэтому коэффициент при (S - S°) положителен. Для выполнения условия lim p1 (S) = 0 следует положить C1 =0. Беря для

S ———W

удобства C2 в виде

C2 = C exp получаем p1(S) в виде

Решим его. Обозначая р2 (5) = п( 5), получим

Сп(5) = Г1 - с'(5) - Х ^ с5 п(5) V а с(5 ) с(5 ))

После интегрирования имеем

с'(х) Х

1а “

50

5

S Г 1

ln n(S) - ln n(S°) = 11 —

s„ V a

S

Но | c( x)

c(x) c(x)

dx.(10)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

c( x)

j 1 c( S)

dx = ln —-—, и поэтому

c(S°)

ln n(S) = ln n(S°) + S—— + ln c(So)

-Xf

dx

c(S) S c(x)

f0

V °0и

Рассмотрим теперь область 5 > 50. Плотность вероятностей р(5) в этой области будем обозначать как р2(5). Рассматривая интервал времени Д/, можем записать

р2(5) = (1 - ХД/)р2(5 - с(5)Д/) +

Отсюда получаем

p2( s ) = -Cc(Sfrexp c( s )

S - So

-Xj

dx

c( x)

(11)

где знак минус взят для удобства.

В дальнейшем будем использовать обозначение

c( So) c(S)

Г

exp

S - S° . f dx

- - Xj-

a

c( x)

= q>(S), (12)

°0 /

так что р2(5) = - Сф(5). Интегрируя еще раз, получим, что р2 (5) = С2 - С Г ф(х)Сх. Но легко ви-

50

деть, что р2(5т) = 0, так что С2 = С | ф(х)Сх и окон-

50

чательно в области 5 > 50

Ят

р2(5) = С Г ф(х)Сх. (13)

Осталось найти константы С и С. Прежде всего отметим, что должно выполняться условие сшивания

Sm

p1(S°) = p2(S°). Это даёт нам C = C j q(x)dx,

так что

Sm Г c - Xa 1

p1(S) = C f q(x)dx exp —--------------------------(S - S0)

n. n

(14)

Для нахождения C воспользуемся условием нор-

f0 С a Sm

мировки. Имеем f p1 (S)dS = C-----------------0----f q(x)dx.

J c0 - aX I

-W 0 S0

‘-'m ‘-'m

Умножая обе части на ехр(-5/а), дифференцируя по 5 и сокращая ехр(-5/а), получим для р2(5) дифференциальное уравнение второго порядка

с( 5)

+ XI = 0 (8)

Далее j p2(S)dS = C j dS j q(x)dx. Переставляя

S0 S

интегралы местами, получим, что

f f

°m °m

j p2 (S)dS = C j (x - S0 )q(x)dx.

0

~m

Поэтому | p1 (S)dS +| p2 (S)dS -

Разлагая m(S + c0At) в ряд Тейлора, получаем m(S) = At + (1 - XAt)[m(S) + m'(S)c0At] +

m

■c i

cn a

cn - aX

- + x - Sn

ф( x)dx = 1,

откуда и определяется константа C:

C =

cn - aX

+ x - Sn

ф(x)dx. (15)

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАБОТЫ ФОНДА

Вероятность неплатежеспособности фонда. Фонд не может производить выплаты по страховым случаям, когда его капитал становится отрицательным. Вероятность этого события равна

0

п0 = P{S < 0} =| p1 (S)dS =

cn - aX S Sl

m

| ф(x)dx

m

m

V cn - aX

Sn 4

+ x - Sn Іф(x)dx

exp

1 cn - aX S Л

Sn

cna

(16)

1 (x - S п)ф(x)dx

m

cn a

S . cn - aX

Sn 4

+ x - Sn Іф(x)dx

exp

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

cn a

(17)

+ ХД/Г т(5 - х) р^ (х)ёх + о(Д/).

0

Сокращая, т(5) деля на Д/ и переходя к пределу Д/— 0, получим для т(5) интегродифференциальное уравнение

х х да 1

т'(5) =— т( 5)-------Г т(5 - х) ре (х)Сх---(19)

С 0 С0 0 С0

с граничным условием т(0) = 0, так как при достижении капиталом нулевого уровня период неплатежеспособности заканчивается.

Решим уравнение (19) для случая, когда выплаты имеют экспоненциальное распределение. Тогда урав-нение(19) принимает вид

(20)

Вероятность выделения денег на социальные расходы. Деньги на социальные расходы выделяются при 5 > 50. Вероятность этого события равна

да

П = Р{5 > 50> = Г р2(5)С5 =

х Х да {л 1

т'(5) =— т(5)----------------Гт(5-х)ехрI -х IСх-----

С 0 С0а 0 V а) С0

Имеем

да / \ 5

Г т(5 - х) ехр I - — I ёх = е5а | т(у)еУ//аСу,

0 V а ) -да

где сделана замена переменных у = 5 - х. Подставляя это выражение в (20), умножая на е-5а, дифференцируя по 5 и сокращая сомножитель е-^а, получим, что т(5) удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка

m" (S ) =

X

m (S) ——.

cn a

Общее решение этого уравнения имеет вид

S

m(S) = Cj -

cn -Xa

+ C2 exp I - cn XaS

cn a

(21)

(22)

ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ФОНДА

Средняя длительность периода неплатежеспособности. Неплатежеспособность фонда наступает при 5 < 0. Обозначим через т(5) среднее время пребывания траектории 5(/) ниже нулевого уровня, если в начальный момент времени значение капитала было равно 5 (естественно, 5 < 0).

Рассмотрим, какие события могут произойти спустя время Д/:

- с вероятностью 1 - ХД/ + о(Д/) не наступит страховых случаев, и значение капитала станет равным

5 + с0Д/;

- с вероятностью ХД/ + о(Д/) наступит страховой случай, и значение капитала станет равным 5 - х + о(Д/), где х - случайная величина с плотностью вероятностей рфс).

Так как время, равное Д/, прошло, то имеем следующее соотношение для т(5):

т(5) = Д/ + (1 - ХД/)т(5 + с0 Д/) +

да

+ ХД/Г т(5 - х) р^ (х)Сх + о(Д/). (18)

Наличие экспоненциально нарастающих членов противоречит экономическому смыслу ситуации. Поэтому С2 следует положить равным нулю и

т( 5) = С1 - 5

cn - Xa

Условие m(0) = 0 даёт С1 = 0 и окончательно

m(S ) = -

S

cn - Xa

(23)

Осталось найти р(5) в начале периода неплатежеспособности. Он наступает тогда, когда требуемая страховая выплата больше капитала фонда в данный момент времени. Учитывая важнейшее свойство экспоненциального распределения [2] Р{х < 5 + а| х > 5} = Р(х < а), называемое свойством отсутствия последействия, можно написать, что в начальный момент времени

S < 0.

(24)

Тогда, усредняя (23) по этому значению 5, получим окончательно

mn = I m(S)p(S)dS

1

(cn - Xa)a

(25)

S

0

0

Интересно отметить, что в этой формуле отсутствует 50. Но, учитывая, что п0 обычно мало, такой период наступает достаточно редко.

Средняя длительность периода социальных выплат. Найдём теперь среднее время пребывания процесса 5(/) выше порога 50, т.е. среднюю длительность периода социальных выплат.

Обозначим через т(5) среднюю длительность этого периода при условии, что в начальный момент 5(/) = 5. Тогда, спустя время Д/

- с вероятностью 1 - ХД/ + о(Д/) не наступит страховых случаев, и значение капитала станет равным S+c(S)Д/;

- с вероятностью ХД/ + о(Д/) наступит страховой случай, и будет страховая выплата величины х. Если окажется, что 5 - х > 50, т. е. если х < 5 - 50, то период выплат продолжится, но уже со значения 5-х. Если же окажется, что 5 - х < 50, то период пребывания процесса 5(/) над порогом 50 завершится.

В силу этого имеем соотношение

т(5) = о(Д/) + Д/ + (1 - ХД/)т(5 + с(5)Д/) +

+ ХД/ Г т(5 - х)р^ (х)Сх + 0 | р^ (х)Сх

0 5 - 50

Разлагая т (5+с(5)Д/) в ряд Тейлора

т (5+с(5)Д/) = т(5) + т (5)с(5)Д/ + о(Д/),

получим ш(Б) = ш(Б) + Д/

1 + ш' (Б)е(Б) -

^0

- Хш(Б) + X | ш(Б - х)р (х)Сх

+ о(Д/).

ш" (Б) + ш (Б)

1

X _+ е'(Б)

1

ае(Б)

ц'(Б) + ц(Б)

X + е'(8)

1

а е(Б) е(Б)

1

ае( Б)

Соответствующее однородное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными С ц 11 X с'( 5)

ц V а с(5 ) с(5 )

общее решение которого имеет вид

1пц(5) = 1пС + X Г ---------5—50 - 1п с(5).

5 с(х) а

50

Отсюда получим общее решение однородного уравнения:

(26)

(28)

а с(5) с(5) которое является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами. Решим его.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Обозначая т’(5) = ц(5), получим

(29)

ц( Б) = С ехр

( Б \ „ Б сіх Б - Б0 , ,

Х/ —------------------0 - 1п е(Б)

Б е(х) а

(30)

Общее решение уравнения (29) будем искать методом вариации произвольных постоянных в виде

Ц(Б) = С (Б) ехр

( Б \ г Сх Б - Б0

Х/ —------------------0 - 1п е( Б)

Б е(х) а

(31)

Находя ц'(5) и подставляя его в (29) после упрощений, получим

С '(Б) = --ехр

а

- х/

Б Сх Б - Б. Л

е( х)

откуда

1 5 Г У

С (5) = — Г ехр - X Г

л *

Сх .+ У - Б0

е (х)

а

Су + С1,

°0 V °0

что и даёт нам общее решение уравнения (29):

ц(Б) = -

1

ае(Б)

ехр

( Б > х/

Сх Б - Б0

Л

е( х)

Сокращая т(Б), деля на Д/ и переходя к пределу Д/— 0, получим интегродифференциальное уравнение относительно т(5):

5-50

т’(5)с(5) -Хт(5) + Х | т(5 -х)р^ (х)Сх =-1. (27)

0

Рассмотрим случай экспоненциально распределённых выплат. Тогда

5-50 5

Г т(5 - х) е-х!а ёх = е-5а | т(у) еу^а ёу,

0 50

где сделана замена переменных 5 - х = у. После этого уравнение (27) примет вид

т’(5)с(5)е5а -Хт(5)е5а +- Г т(у)ву/аёу = -е5а.

а 5

50

Дифференцируя по 5, сокращая сомножитель е5/а и приводя подобные, получим дифференциальное уравнение относительно т(5):

Сх.+ У-Б0

е( х)

Су + С!

(32)

Теперь можно определить константу С!. Заметим,

о

что при х^Бш е(х)^0 и поэтому /

Сх е( х)

Чтобы не получить неограниченного возрастания ц(5) при 5— 5т, надо, чтобы при х— 5т выражение, стоящее в (32) в квадратных скобках, стремилось к нулю. Отсюда имеем соотношение

е( х)

Су + С1 = 0,

откуда

Б ( у Л

Г Л Сх у - Б0

С1 = - / ехр - х/ — + ^---------------------------0

Б Б е(х) а

Су,

и выражение для 1^.(5) принимает вид

ц(Б) =

1

ае(Б)

Бт (

ехр

х[

Б е(х) Б

Б - Б0

г г Сх у - Б0

/ ехр - х/____ + £------------1

^ ^ е(х) а

Су.

V °0 у

Объединяя вместе экспоненты, получим выражение

Б

|a(S) =

ac( S)

‘-'m У

iexP -XI

dx y - S - + -----------------

,c( x)

dy, (33)

которое и является окончательным выражением для ц(5) = m'(S).

Теперь можно найти и явный вид т(5):

m(S) = I ц(z)dz + C2

(34)

c(S0)m'(S0) - Xm(S0) = - 1. В нашем случае

m(So) = C2, m' (So) = M-(So) =

(35)

1

ac( So)

m

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

| exp -Xf

dx

c( x)

У - So

dy.

Подстановка этих соотношений в (35) даёт

1m

- I exp

п "

У

-x[-

dx + У - So

і c(x)

dy -XC2 =-1, (36)

откуда имеем

C2 = -

2 x

1 + — | exp -X I"

/7 J J

dx _ + У - So

c( x)

dy

(37)

50 V 50

Заметим, что любой период выплаты социальных пособий начинается с того, что 5(/) пересекает порог 50. Поэтому средняя длительность этого периода т2 = = т(50) = С2. Таким образом, окончательно

1

1 + -

1

У

-xf-

dx + У - So

L c(x)

dy

(38)

НЕКОТОРЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Релейное управление капиталом

Рассмотрим случай, когда управление капиталом имеет вид

= [с0, при S <So,

1 q, при S < So,

(39)

причем с0 > а1- и с1 < а!-. Смысл такого управления следующий: устанавливается некоторый резервный уровень капитала 50. Если капитал 5(/) < 50, то производятся только страховые выплаты. Условие с0 > а1Х означает, что в среднем капитал растёт. При 5(/) > 50 начинаются выплаты по социальным программам со скоростью с = с0 - с1 > 0. То, что с1 < а!-, означает, что из-за этих выплат капитал в среднем уменьшается. Таким образом, величина капитала 5(/) колеблется около величины 50.

Подстановка с(5) = С1 в формулы, определяющие плотность вероятностей капитала, дает нам

p(S) =

C exp | -——— (S - So) I при S < So,

c,a

C exp

( -x 1

co a(s-so) при S < So.

(4o)

где С2 - пока неизвестная константа. Для её нахождения выведем граничное условие на границе Б = Б0. В этом случае любая страховая выплата приводит к прерыванию процесса пребывания Б(/) над порогом Б0. Поэтому имеем

ш(Б0) = Д/ + (1 -ХД/)ш(Б0 + е(Б0)Д/) + ХД/ + о(Д/). (34) Разлагая ш(Б0 + е(Б0)Д/) в ряд Тейлора, подставляя его в (34), сокращая ш(Б0), деля на Д/ и переходя к пределу Д/——0, получим граничное условие в виде

(41)

V И0“ )

Константу С найдём из условия нормировки

да 0 да

Г р^ё = Г р0 (5)^ + Г р1 (5)ё5 = 1.

-да -да 0

Вычисляя входящие сюда интегралы, получаем С = (Ха - с1) (ср - Ха) > 0 Ха2 (с0 - с1)

Тем самым р(5) определена полностью.

Характеристики капитала

Найдем математическое ожидание величины капитала фонда в стационарном режиме. Представляя 5 в виде 5 = 50 + п, можем написать

p(n) =

C exp I -——— п| при n< o,

c,a

C exp

при n < o.

Поэтому математическое ожидание величины n

M{n)} = | np(n)dn = C

(aq)2

(aco)

(aX - c1 )2 (co - aX)2

Подставляя сюда явное выражение для С и упрощая, получаем

а(2с0с1 - Ха(с0 + с1))

M{n) =

и

(aX - c1 )(co - Xa) M{S} = So + M{n}.

(42)

Вероятностные характеристики

Фонд производит выплаты на социальные нужды при выполнении условия S > S0. Вероятность этого равна

п = P{S > S0} = C J exp|- aX~Cl (S-S0) IdS =

=C

aX - c1

Подставляя сюда явное выражение для C, получаем

(co - Xa)c1

Xa(co - c1)

(43)

При выполнении условия 5 < 0 фонд вынужден прекратить выплаты по страховым случаям. Вероятность этого равна

no = P{S < o} = C | exp

co - Xa

(S - S0)

dS =

= C-

co a

co - Xa

exp

( co -Xa S ^

So

o

ac

Подставляя сюда явное выражение для C, получаем

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

c0(Xa - c) п0 = ------------------exp

Xa(c0 - cj)

cn - Xa

c0 a

(44)

cj =

c0 - (1 - nj)Xa

(45)

Зная c1, можно найти и величину Sn:

c0(Xa - c1)

So =

c0 - Xa

-ln

n0(Xa - c1)

(46)

Одним из возможных вариантов управления капиталом фонда является тот, когда с и выбирают-

ся из условия, чтобы п0 и п приняли некоторые заранее выбранные значения (удовлетворяющие условию п0 + п < 1). Тогда уравнения (10) и (11) превращаются в систему уравнений для определения величин с и S0.

Из (10) можно получить значение c1:

Тем самым параметры с, и 50 определяются полностью.

Временные характеристики

Что касается средней длительности периода неплатежеспособности и периода социальных выплат, то полученные выше формулы дают

1 с,

т0 = -------;---, т2 = -—:—1-----. (47)

(c0 - Xa)a

X(Xa - c1)

Эти формулы позволяют оценить временные характеристики деятельности фонда.

ЛИТЕРАТУРА

1. Panjer H.H., Willmot G.E. Insurance Risk Models. - Society of Actuaries, 1992. 442 p.

2. Радюк Л.Е., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. Томск.: Изд-во Том. ун-та, 1988. 174 с.

3. Weiler K., Atherton P. Hidden surface removing using polygon area sorting // Computer Graphics. 1977. V. 11. P. 214-222.

Статья представлена кафедрой прикладной информатики факультета информатики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика и информатика» 28 апреля 2003 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.