CC BY
46
О.В. Вальц, О.А. Змеев
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ФОНДА СОЦИАЛЬНОГО СТРАХОВАНИЯ ПРИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ СТРАХОВЫХ ВЫПЛАТАХ И СО СЛУЧАЙНЫМИ РАСХОДАМИ НА СОЦИАЛЬНЫЕ ПРОГРАММЫ
В работе предлагается математическая модель Фонда социального страхования при релейном и релейно-гистерезисном управлении капиталом такого фонда. Рассмотрен случай, когда выплаты по страховым случаям и выплаты на финансирование социальных программ образуют пуассоновский поток событий и являются одинаково распределенными независимыми случайными величинами с экспоненциальной функцией распределения. В рамках сделанных предположений найдена стационарная плотность распределения капитала Фонда.
Математическая теория процессов разорения, играющих важную роль в страховом деле, ведет начало с 1903 г. Начиная с этого времени исследование процессов разорения проводились различными авторами, например, обзор работ посвященных этой тематике в только в [1] содержит тридцать шесть наименований. Дальнейшим развитием теории процессов разорения послужила так называемая классическая модель работы страховой компании [2]. В последние годы достаточно много работ, например [3-6], посвящено обобщению и усложнению этой модели.
Но в настоящий момент в Российской Федерации кроме классических страховых компаний на рынке страховых услуг присутствуют государственные организации. Используя механизмы, во многом похожие на страховую деятельность, государство с помощью таких организаций выполняет некоторые социальные функции и реализует социальные гарантии. Как уже было отмечено выше, деятельность таких структур, с одной стороны, во многом похожа на работу страховой компании, с другой стороны, она имеет ряд существенных отличий. Например, для таких организаций характерен полный или частичный отказ от получения коммерческой выгоды по результатам своей работы. Стандартным примером организации такого типа являются государственные фонды социального страхования.
Фонды социального страхования РФ созданы на основании постановления Совета министров РФ и Фонда независимых профсоюзов. В отличие от обычных страховых компаний в задачу Фонда входит не только оплата страховых случаев (временной нетрудоспособности, пособий по беременности и родам и т.д.), но и систематические выплаты по реализации региональных и отраслевых программ по охране здоровья работников, санаторно-курортному лечению, обслуживанию детей и т.д.
Построению и исследованию математических моделей фондов социального страхования в последние годы посвящен ряд работ, в которых идеи классической модели страхования применяются с учетом особенности работы таких фондов [7-9]. В настоящей работе предлагается математическая модель работы фонда, в которой выделение капитала для финансирования социальных программ считается случайным процессом, интенсивность которого зависит от размера капитала. В рамках модели находится плотность распределения вероятностей капитала фонда при релейно-гистерезисном управлении, обобщающая результаты, полученные в [9], при дополнительном предположении о том, что выплаты по страховым случаям и на социальные программы имеют экспоненциальное распределение.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ФОНДА
Основной характеристикой состояния Фонда является его капитал £(/) в момент времени /. С этим капиталом происходят следующие изменения:
1. В Фонд поступают средства от предприятий и организаций. Мы будем считать, что они поступают непрерывно во времени со скоростью с0.
2. Происходят страховые выплаты. Будем считать, что поток страховых выплат является пуассоновским потоком постоянной интенсивности X, и сами страховые выплаты £, являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с экспоненциальным распределением
р. (х) = — ехр|- — |, х > 0. (1).
5 а ^ а)
3. Фонд выделяет часть своих средств на социальные программы. В рамках настоящей модели считается, что процесс выделения денег на социальные нужды образует пуассоновский поток переменной интенсивности ц(£), а сами выплаты п являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с экспоненциальным распределением
Рп (х) = 1ехр(- — | х > °. (2).
Именно в наличии зависимости ц(£) от величины капитала £ и заключается отличие предлагаемой модели от классических [1-2]. Кроме того, будем считать, что достижение порога £(/) = 0 не приводит к разорению фонда, и даже при £(/) < 0 он продолжает функционировать, только происходят задержки по страховым выплатам.
РЕЛЕЙНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
КАПИТАЛОМ ФОНДА
Рассмотрим релейный вариант управления капиталом Фонда, суть которого заключается в следующем. Устанавливается некоторое пороговое значение капитала £0, при £ < £0 выплаты на социальные нужды не производятся, т.е. всегда ц(£) = 0. При £ > £0 всегда производятся выплаты с некоторой постоянной интенсивностью ц, т.е. ц(£) = ц .
Найдем плотность вероятностей р(£) капитала Фонда £ в стационарном режиме. Эта плотность распределения будет иметь разный вид в каждой из выше перечисленных областей. Сначала рассмотрим область £ > £0, обозначим р2(£) соответствующую плотность распределения вероятностей. Используя идеологию вывода обратных уравнений Колмогорова для марковских процессов [10], можем записать
Р2(£) = Р2(£ - О)Л0(1 - (Х + Ц)Д/ +
ОТ
+ ХА11Р2 (£ + х) р^ (х)ёх +
0
ОТ
+ | Р2 (£ + у)Рп (у№ + о(Д/).
0
Разлагая р2(£ - е0А/) в ряд Тейлора, получим
Р2 (£) = (1 - (х + ц) )[р2 (£) - р2 (£ С а/ ]+
ОТ
+ ХА/ | Р2 (£ + х)р^ (х)дх +
0
ОТ
+ ЦА/1Р2 (£ + у)Рп (у)ду + о(А).
0
Сокращая р2(£), деля на А/ и переходя к пределу А/— 0, получим интегро-дифференциальное уравнение для Р2(£):
ОТ
е0 р2(£) + (Х + ц)р2(£) = х| р2(£ + х) р^ (х)дх +
ц{ р2(8 + У)Рп(У)йУ •
(3)
Воспользуемся теперь тем, что р^(х) и рп(у) имеют экспоненциальный вид. Тогда
ОТ 1 ОТ Г 1
| р2 (£ + х) р^ (х)дх = — | р2 (£ + х)ехр|-|дх =
0 а 0 К а'
= -ехрГ—1I р2 (/) ехрГ- -Ъ/ .
а К а )£ { а)
Аналогично
} Р2(£ + у)Рп(у)<Лу = '1ехР^£)IР2(/) ехр[- £)ду .
Тогда интегро-дифференциальное уравнение (3) будет иметь следующий вид:
С0 р2 (£)+(х+цр2 (£)=а ехр|^ а) | р2 (/) ехр|^- а ")&+
+ цехр[£]]р2(/)ехр|^-. (4)
Решение (4) будем искать в виде р2(£) = С ехр(-у£). После преобразования слагаемых, входящих в (4), с учетом
явного вида решения получаем
- с0 уСе'8 + (— + ц)Се^ = ^е-"/8 +
цС
-у5
ау +1 Ьу +1
Приравнивая к нулю коэффициент при С ехр(-у£), получим уравнение, определяющее у:
- со У + (х + ц) =----------------------------~ +
Р2 (£) = А2 + В2 ехР(- У 2£) + С2 ехР(- У1£) , но при этом должно выполняться естественное граничное условие Иш Р2 (£) = 0. Следовательно, А2 = 0, В2 = 0,
£ ——+от
так как у2 < 0, то ехр(-у2£) — +от , и только С2 >0.
£——+ОТ
Окончательно, для удобства запишем р2(£) в следующем виде:
Р2 (£) = С2 ехр(- у! (£ - £0)), £ > £0, (7)
где У1 - положительный корень квадратного уравнения (6), а разность £ - £0 записана для удобства. Заметим, что константа С2 пока никак не определена.
Теперь перейдем к области, где £ < £0, найдем плотность распределения вероятностей в этой области, которую обозначим р0(£). Рассуждая аналогичным образом, для этого случая получим следующее интегро-дифференциальное уравнение:
С0 р0 (£) + Хр0 (£) =
8о-8
| р0 (8 + х) е айх + | р2 (8 + х) е айх
8о -8
+ — | Р2(8 + х) е ьйх .
(8)
8о -8
Учитывая экспоненциальный вид функций распределения р^(х) и рп(у), выполним в (8) замену переменных / = = £ + х. Получим
С0 р0 (£) + Хр0 (£) =
X -= — еа
~ о __ ~
|ро (-)е айґ +|р2(ґ)е аЛ
+ Ье ь |Р2(ґ)е ь Ж.
8о-8
Учитывая (7), вычислим интегралы, которые содержат р2(£). Имеем
оу1 +1
С>
1 Ь ^ (5)
ау +1 Ьу +1
После приведения последнего уравнения к стандартному виду окончательно имеем
у{;0аЬу 2 + у(е0 (а + Ь) - (Х + Ц)аЬ) + (е0 - (а + цЬ))}= 0 .
Таким образом, имеются три корня: один у = 0, а два
других находятся из квадратного уравнения
е0аЬу 2 +у(е0 (а + Ь)-(Х + ц)аЬ) +
+ (е0 -(Ха + цЬ)) =0. (6)
В области £ > £0, исходя из экономического смысла задачи, должно выполняться условие е0 - (Ха + цЬ) < 0. Это означает, что у1у2 < 0, следовательно, оба корня вещественные и имеют разные знаки.
Пусть для определенности у1 > 0, а у2 < 0. Тогда общее решение (4) имеет вид 38
ц [ Р2(/)е Ь дх-Ь £ ЬУ1 +1
£0
Таким образом, окончательно, уравнение (8) имеет следующую структуру
С0 р0 (£) + Хр0 (£) =
X -Х|
, а
х — ■ -- 8 _
= —еа |ро(ґ)е айґ + еаСош^ + етСоШІ2 +
+—е ь |р2(ґ)е ьйґ.
Ь
£0-£
После применения стандартной процедуры сведения к дифференциальному уравнению получим неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами: р0 (£) - ——— р0 (£) = ет Г — +-1! Сош12 . е0а Ка Ь)
Соответствующее характеристическое уравнение имеет корни 5 = 0 и 5 = (с0 - Ха)/е0а.. Заметим, что последний корень положителен, так как в этой области
ОТ
+
от
+
а
ОТ
ОТ
ОТ
о
ОТ
выполняется условие е0 > Ха, которое следует из экономического смысла задачи. Так как правая часть уравнения зависит от £ как ехр{£/Ь}, то решение (8) имеет следующий вид:
Р0(£) = А0 + ^ ехр(5£)+ О0 ехр(£/Ь). (9)
Но Иш р0 (£) = 0 , а значит А0 = 0. Условия для оп-
£ ———от
ределения оставшихся двух констант находятся после подстановки (9) в исходное уравнение (8). После ряда преобразований, приравнивая числовые коэффициенты при одинаковых степенях экспоненты, получим следующую систему линейных уравнений для определения и 00:
Ро
X
55о
а8 -1
+ Оо
хь -о
а - ь
ь -
= -Со
X
ау1 +1
8о
Ха
Оо еь\Со +
о 1 ь а - ь
= Со
ьУ 1 +1
Откуда окончательно
О = С е ь , -,
о 2 (у— + 1) [а - ь] + ХаЪу
р = -с е 0 1 о
(1о)
Х цЬ(а - Ь)
ау1 +1 (Ьу1 + 1)(е0 [а - Ь] + ХаЬ)
Заметим, что осталось неиспользованным условие сшивания на границе £0, которое выглядит следующим образом р2(£0) = р0(£0 - е0А/) + 0(А/). Или, после предельного перехода при А/ — 0, имеем условие р2(£0) = = р0(£0). Покажем, что это условие не противоречит полученным выше соотношениям, т. е. является следствием (7) и (10).
Имеем р0 (£0) = ^0ехр(5£0) + Ос£хр(£()/Ь), р20£)) = С2. Таким образом, необходимо проверить истинность соотношения С2 = ^0ехр(5£0) + 00ехр(£0/Ь). Подставляя в последнее соотношение явный вид констант ¥0 и 00, после достаточно громоздких преобразований получим
X
ь ц
рез границу 82, то берется ц(8) = ц. Другими словами, выплаты на социальные нужды начинаются, когда впервые выполнится неравенство 8(ґ) > 82, и заканчиваются, когда станет 8(ґ) < 8— Область 8— < 8 < 82 и представляет собой гистерезис в управлении выплатами на социальные нужды. При этом само управление капиталом носит релейный характер.
Найдем плотность вероятностей р(8) капитала фонда 8 в стационарном режиме. Она будет иметь различный вид в областях, 8 < 81, 81 < 8 < 82 и 8 < 82. Причем в области 81 < 8 < 82 плотность вероятности будет зависеть еще и от вида траектории процесса 8(ґ).
Начнем с области 8 < 82. Отметим, что в этой области выплаты на социальные программы производятся, таким образом ц(8) = ц. Плотность вероятностей р(8) в этой области будем обозначать как р2(8). Результат для р2(8) с точностью до обозначений совпадает с аналогичной плотностью в случае простого релейного управления. Таким образом, в новых обозначениях имеем
ро (8) = С2 ехр(- у 1 (8 - 82)), 8 > 82, (11)
где у1 - положительный корень квадратного уравнения (6), а разность 8 - 82 записана для удобства. Заметим, что константа С2 пока никак не определена.
Перейдем к области, в которой 81 < 8 < 82. Сначала рассмотрим случай, когда в этой области выплаты на социальные нужды производятся. Соответствующую плотность вероятностей будем обозначать как р12(8). Тогда, используя аналогичные рассуждения, получим следующее уравнение для определения р12(8):
со р12(8 ) + ^ + Ц) р12(8 ) =
+ —
8,-8
ь
= 1. А это просто другая форма
со ау +1 со йу +1
записи уравнения (6). Таким образом, условие сшивания р2(8о) = ро(8о) не является самостоятельным, а следует из полученного ранее решения.
Неизвестная С2 находится из очевидного условия
8о +от
нормировки | ро (8) й8 + | р2 (8) й8 = 1.
СЛУЧАЙ РЕЛЕЙНО-ГИСТЕРЕЗИСНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Теперь рассмотрим более сложный вариант управления капиталом Фонда, который можно назвать ре-лейно-гистерезисным управлением. Он состоит в следующем.
Устанавливаются два пороговых значения величины капитала - £1 и £2. При £ < £1 выплаты на социальные нужды не производятся, то есть всегда ц(£) = 0. При £ > £2 всегда производятся выплаты с интенсивностью ц, т.е.ц(£) = ц. А вот в области £1 < £ < £2 выплаты производятся или нет в зависимости от того, как траектория £(/) вошла в эту область: если £(/) вошла через границу £1, то берется ц(£) = 0, если же она вошла че-
|рі2(8 + х)е айх + |р2(8 + х)е айх
о 82-8 _
82-8 х от х_
| р12(8 + х) е ьйх + | р2(8 + х) е ьйх
. (12)
Учитывая (11), преобразуем интегралы, которые содержат р2(8). Имеем
1 -— с
— [ р2(8 + х) е айх =-------------2—
а8- 8 аЪ + 1
1 — С
— Г р2 (8 + х) е ь йх =--------2—
ч'; ^+1
8 -82
2---е ь
Таким образом, окончательно после замены / = £ + х уравнение (12) приобретает следующий вид:
с0 р12(£ ) + (х + ц) Р12(£) =
"оі
X ^8' = — е а а
X ___ _ _ с “ 2
—еа Гр12(ґ)е айґ +---------2— е а +
а і ау— +1
ау— +1
8 82
_ - -- С 8-82
+—еь Гр12(ґ)е ьйґ +--2— е ь
ь 8^' ьу— +1
(13)
Используя стандартную методику сведения к дифференциальным уравнениям, несложно показать, что уравнения для р2(8) и р12(8) абсолютно аналогичны. Поэтому решение (7) будем искать в следующем виде: рі2 (8) = А—2 + В—2 ехр(- у28) + Сі2Єхр(-у—8). (14) Вычисляем соответствующие интегралы:
М-
ОТ
+
8 -8
а
е
-ОТ
А12 Г e а& = A12
п •*
( £
B
12
а
У2 -Н а) Ж = -
В
12
У 2 а +1
/
у 2+'а|)£ Н^2+а )£2
С £2 С» Г е
а£
У1--)
а) Ж = -
С
12
у1а +1
У1 +-1 £
а)
У1+-11£2 ^
а)
Заметим, что интегралы, в которые в качестве сомножителя входит ехр(-//Ь), будут выглядеть аналогично с точностью до параметра распределения.
Подставляя (14) в (13) и учитывая последние равенства, получим некоторое выражение, левая и правая части которого будут содержать слагаемые, зависящие от различных степеней экспоненты. Для того чтобы полученное выражение обратилось в тождество, потребуем равенства числовых коэффициентов справа и слева у соответствующих степеней экспоненты. Получим при свободных членах (Х + ц)А12 = ХА12 + цА12. Это очевидное равенство, которое просто сокращается в обеих частях тождества. При ехр(-у2£)
- С0 У 2 В12 + (х + ц)В12 =------------ +
цВ1
12
+1
ау 2 +1 Ьу2
Но у2 является корнем уравнения (5), следовательно, это выражение тоже обращается в тождество. Аналогично, сокращаются коэффициенты при ехр(-у1£). Наконец, при ехр(-(£2 - £)/а) имеем
А12 +"
В12е
-У2£2
С е ~у1£2 12
С2
ау 2 +1 ау1 +1 ау1 +1
а при ехр(-(£2 - £)/Ь)
А12 +
В е ~"/2£2 С
-°12е
12е
С2
Ьу 2 +1 Ьу1 +1 Ьу1 +1
Еще одно условие получим, рассмотрев поведение р12(£) на границе £1. Так как переход из области £ < £1 невозможен, получаем р12(£1) = 0(1 - (X + ц)А/ + 0(А/).
После предельного перехода при А/ —0 имеем условие р12(£) = 0. Или, учитывая явный вид р12(£) (10)
А12 + В12 ехР(- У 2 £1 )} + С12 ехР(- У1£1 ) = 0.
Таким образом, для определения констант А12, В12 и С12 получена следующая система неоднородных ли-
нейных уравнений:
А12 +
В12е
-У2£2
С е _у1£2 12
С2
ау 2 +1 ау1 +1 ау1 +1
А
12
+ ВХ2е-^2 + СХ1е^
С2
Ьу 2 +1 Ьу1 +1 Ьу1 +1
А12 + В12е
+ С12 е
-У1£1 _
= 0.
ностей будем обозначать, как р11(£). Интегро-диффе-ренциальное уравнение для р11(£) имеет следующий вид:
х £2-£ —
С0Р?1(£) + Хрп(£) = — Грп(£ + х)е айх . (15)
а 0
Применяя стандартную методику, перейдем к следующему однородному линейному дифференциальному уравнению второго порядка:
С0 аРл (£) + (Ха - С0 )р11 (£) = 0 .
Соответствующее характеристическое уравнение имеет корни 5 = 0 и 5 = (е0 - Ха)/е0а. Заметим, что последний корень положителен, так как в этой области выполняется условие е0 > Ха, которое следует из экономического смысла задачи. Таким образом, решение (15) можно искать в виде Р11 (£ ) = Е11 + ^„ехр(5£). (16)
Подставляя (16) в исходное уравнение (15), получим первое условие, позволяющее определить неизвестные константы Е11 и _РП: Е11 = [^11/(5а - 1)]ехр(5£2).
Второе уравнение получим из условия сшивания на границе £ = £2:
р2 (£2 )= р11 (£2 - С0 А/)(1 -ХА/) +
+ Р12 (£2 - е0А/)(1 - (— + ц)) + о(А/).
После предельного перехода при А/ — 0, имеем условие р11(£2) = р2(£2) - р12(£2). Отсюда, учитывая явный вид р2(£) (11) и Р12(£) (14):
Е11 + Рие5£2 = С2 -(А12 + В12е+ С12е).
Таким образом, получили два уравнения для определения двух неизвестных, следовательно, Е11 и Е11 определяются однозначно с точностью до сомножителя С2. Для удобства запишем эти константы в следующем виде: Е11 = С2е1ь -^Л = С2/11.
И, наконец, рассмотрим последнюю область £ < £1. Напомним, что при этих условиях выплаты на социальные программы не производятся. Интегро-дифференциальное уравнение для плотности распределения вероятностей в этой области, которую мы обозначили как р0(£), имеет вид
— £1-£ -х
С0Р0(£) + —Р0(£) = — ГРа(£ + х)е адх +
л
+— Г ри(£ + х) е адх +— Г Р12(£ + х) е адх +
л л
£1 -£
£1 -£
х ОТ
ц
+---Г Р2(£ + х) е адх +— Г Р2(£ + х) е ь дх +
£2 - £
£2-£
+ ц Гр12(£ + х)е Ьдх.
Ь „ „
(17)
Заметим, что плотности р2(£), р12(£), и р11(£) нами получены выше с точностью до сомножителя С2, поэтому выполним стандартную замену / = £ + х и обозначим через
Решение последней системы уравнений однозначно определяет константы А12, В12 и С12, которые будут пропорциональны С2, т.е. будут иметь вид: А12 = С2а12; В12= =С2Ь12; С12 = С2с12, где а12, Ь12 и е12 определены однозначно.
Теперь рассмотрим случай, когда в области £1 < £ < £2 выплаты на финансирование социальных программ не производятся. Это означает, что ц(£) = 0, соответствующую этому случаю плотность распределения вероят-
X г — С2!а =— ГР2(/)е ад/ +
п •>
+— Г р11(/) е ад/ +— Г р12(/) е ад/
П •* П •*
С2^Ь = Ь ГР2 (/)е ьж + Ь ГР12(/)е ЬМ .
£2 1
£
а
а
£
е
е
е
+
со
ОТ
£
ОТ
Тогда (17) можно переписать как
Со Ро (S) + xPo(S) =
= — eL
jРо(£ + x)e adx + С2Ia
\ S
—eb( b
После применения стандартной процедуры сведения к дифференциальному уравнению получим неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами.
Р0(8) -(8) = ^(- + ^021ъ . (18)
с0 а ^ а Ъ)
Так как и в этой области выполняется условие с0 > Ха, то решение (14) имеет следующий вид:
Ро(8) = А + Р ехр(58)+ во ехр(8/Ъ), (19)
где по-прежнему 5 = (с0 - Ха)/сса. Но Иш р0 (8) = 0 , а
8 ———от
значит А0 = 0. Условия для определения оставшихся двух констант находятся после подстановки (15) в исходное уравнение (13). После ряда преобразований, приравнивая числовые коэффициенты при одинаковых степенях экспоненты, получим следующую систему линейных уравнений для определения р и в0:
Fo
X
aS -1
5— £1 ^ a J + Go
Xb-el *- a ^ =-C21,.
G I C0 + Xa
Go| - + ■
a - b
a - b
Отметим, что, как и в случае, когда рассматривалось простое релейное управление капиталом, у нас осталось неиспользованным условие сшивания на границе 81, которое в этом случае выглядит как Р11(81)= = Р0 8 — с0А/) + 0(А/). Или, после предельного перехода при А/—0, имеем условие р11(81) = р0(80). Но и в этом случае можно показать, что оно является следствием полученного выше решения, хотя процедура доказательства будет еще более громоздкой.
Последняя константа С2 находится из очевидного условия нормировки
81 82 +от
| Р0 (8) ё8 +| [рп (8) + р!2 (8 )]8 +| Р2 (8) ё8 = 1.
—от 81 82
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей работе рассмотрена деятельность Фонда социального страхования. Построена и исследована математическая модель его деятельности при релейном и релейно-гистерезисном управлении капиталом такого фонда. Рассмотрен случай, когда выплаты по страховым случаям и на финансирование социальных программ образуют пуассоновский поток событий и являются одинаково распределенными независимыми случайными величинами с экспоненциальной функцией распределения. В рамках сделанных предположений найдена стационарная плотность распределения капитала такого фонда.
a
ЛИТЕРАТУРА
1. Такач Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов. М.: Мир, 1971. 263 с.
2. Panjer H.H., Willmot G.E. Insurance risk models. Society of Actuaries. 1992. 442 p.
3. Маталыцкий М.А., Романюк Т.В. Анализ вероятностной модели обработки однотипных рисков в страховой компании в нестационарном режиме. Вестник ГрГУ. 2002. Сер. 2. № 1.
4. Кац В.М., Лившиц К.И., Назаров А.А. Исследование нестационарных бесконечнолинейных систем массового обслуживания и их применение к анализу экономико-математических моделей // Вестник ТГУ. 2002. № 275. С. 189-192.
5. Змеев О.А. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во. Том. ун-та, 1999. С. 67-73.
6. Змеев О.А. Математические модель функционирования страховой компании с учетом банковского процента // Изв. вузов Физика. 2001. № 1. С. 19-24.
7. Абашкин Л Ф. Математическая модель фонда социального страхования (диффузионное приближение). Материалы Всероссийской научнопрактической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 15 ноября 2002 г., Томск.: Твердыня, 2002. С 14-18.
8. Змеев О.А. Математические модель фонда социального страхования с детерминированными расходами на социальные программы (диффузионное приближение) // Изв. вузов Физика. 2003. № 3. С. 83-87.
9. Змеев О.А. Математическая модель деятельности фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах. // Вестник ТГУ. 2003. № 280. С. 130-136.
10. Радюк Л.Е., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. Томск.: Изд-во Томск. ун-та, 1988. 174 с.
Статья представлена кафедрой прикладной информатики факультета информатики Томского государственного университета, поступила в
научную редакцию «Информатика» 17 мая 2004 г.
