Оптимизация барьера выплаты дивидендов при гамма-распределении требований Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5

57

удалить не меньше чем k + 3 элемента (по свойству 1), так как выход ни одного из рассматриваемых конъюнкторов не может быть выходом схемы (f (0,1,..., 1) = 0), а следующие за данными конъюнкторами элементы получают на один из входов 0. В заключение заметим, что подсоединение входов менее чем k + 2 конъюнкторов ко входу схемы xi невозможно, поскольку в этом случае при подаче вместо Х2 подходящей константы (0, если на вход элемента E& подается Х2, или 1, если на вход элемента E& подается Хг2) и неисправности остальных (не более чем k) элементов, входы которых соединены со входом xi схемы, реализуемая схемой S функция не будет зависеть от xi. Лемма доказана.

Доказательство теоремы. Нижняя оценка легко получается индукцией по n с использованием леммы. Верхняя оценка получается конструктивно, т.е. построением подходящей k-самокорректирую-щейся схемы S для fП с использованием модификации схемы из [3]. В этой модификации дизъюнкцию реализуем как отрицание конъюнкции отрицаний переменных. Для сложности получающейся схемы S получаем требуемую оценку:

LB{S) ^ п + кп + п + п + 0(л/п + 1) + 0( 1) ~ (к + 3)п.

Теорема доказана.

Автор приносит благодарность научному руководителю профессору Н. П. Редькину за постановку задачи и внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-01-00863), программы "Ведущие научные школы РФ" (проект № НШ-4470.2008.1) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики" (проект "Синтез и сложность управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Редькин Н.П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.

3. Редькин Н.П. Асимптотически минимальные самокорректирующиеся схемы для одной последовательности булевых функций // Дискретный анализ и исследование операций. 1996. 3, № 2. 62-79.

4. Редькин Н.П. Дискретная математика. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2002.

Поступила в редакцию 08.09.2008

УДК 519.21

ОПТИМИЗАЦИЯ БАРЬЕРА ВЫПЛАТЫ ДИВИДЕНДОВ ПРИ ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТРЕБОВАНИИ

Н. В. Карапетян1

В статье рассмотрена модель работы страховой компании с гамма-распределением размера требований, найден явный вид величины ожидаемых дисконтированных дивидендов до разорения и убытков при разорении и приведены примеры нахождения барьеров, оптимальных с точки зрения либо суммы полученных дивидендов, либо размера доходов.

Ключевые слова: гамма-распределение требований, дисконтированные дивиденды, доход, барьерные стратегии, модификация Диксона и Уотерса.

The classic insurance company work model with gamma-distribution of claim amount is considered. It is supposed that the company applies a dividend barrier strategy. The form of the expected discounted dividends accumulated until the ruin and the expected discounted deficit

1 Карапетян Нарине Вигеновна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: karanar@mail.ru.

58

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5

at the ruin are found. We deals with the optimal barriers which maximizes either the dividends amount or shareholders profit. The barrier optimisation is illustrated by some examples.

Key words: gamma-distribution of claims, discounted dividends, profit, barrier strategies, Dickson and Waters modification.

Введение. Де Финетти [1] был первым, кто рассмотрел проблему оптимизации барьера выплаты дивидендов. Он показал, что если страховая компания как акционерное общество будет придерживаться барьерной дивидендной стратегии, т.е. тратить все поступающие премии на дивиденды, пока уровень капитала не окажется ниже барьера, то она рано или поздно разорится, поэтому основной целью является максимизация ожидаемых дисконтированных дивидендов, выплачиваемых акционерам до момента разорения. Для сложной пуассоновской модели было найдено уравнение, задающее оптимальный барьер при экспоненциально распределенных требованиях (см., например, [2] или [3]). Разорение компании влечет невозможность выплаты возмещений. Диксон и Уотерс [4] рассмотрели ситуацию, когда акционеры в состоянии покрыть убытки компании при разорении и таким образом избежать банкротства, и предложили искать оптимальную стратегию с точки зрения дохода акционеров, т.е. разницы между величиной полученных дивидендов и убытками при разорении. В данной работе описана схема нахождения оптимальных стратегий для гамма-распределения размеров требований.

Модель. Рассмотрим модель Крамера-Лундберга работы страховой компании с непрерывным временем. Тогда и(Ь) = и(0) + сЬ — Б(Ь),Ь ^ 0, — капитал компании в момент Ь, где и(0) — начальный

капитал, с — постоянная скорость поступления премий, Б(Ь) = ^Yj — процесс выплаты возмещений. Количество N(Ь) требований, поступивших к моменту Ь, — пуассоновский процесс с параметром Л, не зависящий от размеров требований Yj, являющихся независимыми, одинаково распределенными случайными величинами с плотностью р(у) и функцией распределения Е(у). Если О(Ь) — дивиденды к моменту Ь, то капитал компании с учетом дивидендных выплат есть X(Ь) = и(Ь) — О(Ь). Пусть Ь — значение дивидендного барьера, т.е. дивиденды выплачиваются со скоростью с только при X(Ь) = Ь.

Предложение 1. Пусть Ь — барьер выплаты дивидендов, X(0) = х ^ Ь — начальный капитал, Т

Ох = / е-^(Ю(Ь) — дисконтированные дивиденды, где 5 > 0, Тх = т^т > 0 : X(т) < 0)) — момент о

разорения. Тогда V(х, Ь) = ЕОх как функция х удовлетворяет интегродифференциальному уравнению

х

м — (Л + т(х,ь)+^\-(у,ь)Р(х—уМу = °, 0<х<Ь, (1)

о

с граничным условием VI(Ь,Ь) = 1.

Аналогичное утверждение справедливо и для убытков при разорении.

Предложение 2. Для величины ожидаемых дисконтированных убытков при разорении К(х,Ь) = Е(е-&Тх |X(Тх)|) как функции х справедливо интегродифференциальное уравнение

х оо

сЕ1(х, Ь) — (Л + 5)Е(х, Ь)+Л ! Е(у, Ь)р(х — у)йу + Л ^ [1 — Е (у)]йу = 0 (2)

ох

с граничным условием Е1(Ь,Ь) = 0.

Доказательство этих предложений можно найти, например, в [4] или [5]. Перейдем теперь к определению оптимальной стратегии. В [5] были получены критерии для нахождения как барьеров, оптимальных с точки зрения Де Финетти [1] (максимизация дивидендов), так и барьеров, оптимальных в соответствии с подходом Диксона и Уотерса [4](максимизация дохода).

Критерий 1. Пусть для Ь* выполнено V11 (Ь*, Ь*) = 0. Тогда если X(0) = х ^ Ь*, то стратегия с барьером Ь* будет оптимальной среди всех таких стратегий (т.е. максимизирует V(х,Ь) при данном х).

Критерий 2. Пусть для Ьо выполнено W11 (Ь0 ,Ь0) = 0, где W(х,Ь) = V(х,Ь) — Е(х,Ь). Тогда если X(0) = х ^ Ь0, то стратегия с барьером Ь0 будет оптимальной среди всех таких стратегий (т.е. максимизирует W(х,Ь) при данном х).

Гамма-распределение. Применим описанные выше критерии для поиска оптимального уровня выплаты дивидендов в случае гамма-распределения величин требований, т.е. Е(и) = С(и, (Зи) = 1 —

Y^k=o е ' а Р(и) = е > 0- Для этого найдем явный вид дивидендов V(x,b) и убытков

R(x,b).

Теорема 1. Для гамма-распределения V(x,b) имеет вид:

i q

Y^ C\(b)erkx + J2(C2j(b) cos ¡jx + C2j+i(b) sin¡jx)eVjx k=0 j=i

при n = 2q + 1,

2 q-i

Y,Ck (b)erk x + ^(C2j+i(b) cos ¡jx + C2j+2(b) sin ¡¡jx)ev j=i

k=0

при п = 2д, где г^ и ± — 'решения уравнения сЬ(Ь + в)п — (Х + + в)п + ХР™ = 0.

Доказательство. Применив оператор + (3]п к (1), сведем исходное уравнение к линейному однородному дифференциальному уравнению

¿ Cln/3n-lV(l+i) (x, b) — (X + Ó)J2 Clnen-lV(l) (x, b) + enV(x, b) = 0

1=0

l=0

которое решается стандартными методами ОДУ (см., например, [6]). □

Следствие. Величина убытков К(х, Ь) будет иметь аналогичный вид, но с другими коэффициентами В^ вместо С^ (] = 0,...,п + 1).

оо

Доказательство. Уравнения (1) и (2) отличаются лишь элементом Х /[1 — Е(у)]йу, который оператор

X

+ Р]п обращает в нуль. □

Константы Со, С1,... (соответственно Во, В1,...) ищутся из условий:

1) У'(Ь,Ь) = 1 (соответственно К'(Ь,Ь) = 0);

2) подстановка У(х,Ь) в (1) (соответственно К(х,Ь) в (2)). При подстановке появляются члены вида хке-вх,к = 0,...,п, и условия на С^ (соответственно В^) получаются приравниванием к нулю коэффициентов при этих членах. Таким образом, имеем систему из п + 1 уравнения для п +1 неизвестной.

Примеры. Рассмотрим нахождение оптимальных стратегий для гамма-распределения при п = 2 и п = 3, так как при п > 3 получаются слишком громоздкие выражения.

Теорема 2. Пусть Г (и) = С{2,[3и), ЪТ = (1,0,0), Ь'т = (0, ф, ф),

I r0erob rlerib r2e

A =

r2 b \

i

i

i

r-o+/3 r-i+/3 r2+/3

V(ro+/3)2 TñW1 (■Г2+/3)2/

Тогда

1) Ь* есть решение уравнения г"^С0ег°ъ + т^С1 еГ1Ь + т^С2еТ2ь = 0,

2) Ь0 есть решение уравнения г2(С0 — В0)ег°ь° + г2(С1 — В1 )еГ1 ь° + г2(С2 — В2)вГ2Ь° = 0. Константы С^, В^,] =0,1, 2 находятся из систем Ас = Ь и Ай = Ь'.

Теорема 3. Пусть Р(и) = С(3, (Зи), ЪТ = (1, 0, 0, 0), Ь'т = (0, ^,

re

rb

A=

г о+/3

se evb(v cos ¡b — ¡ sin ¡b) e (v sin ¡b + ¡ cos ¡b)\

П+/3

1 1

Ы+W Jñ+Щ1

1 1

\ (ro+/3)3 (г 1+/З)3

v+f3

_íl__

3(i¡+gw

Тогда

i

i

1) b* есть 'решение уравнения

r2Coerob* + r2lClerib* + ((v2 - ц2)C2 + 2vC) cos цЬ*evb* + ((v2 - ц2)С3 - 2vC) sin¡J.b*evb* = 0,

2) b0 есть решение уравнения

r02(Co - Do)er0b° + r2(Ci - Di)erib° + ((v2 - /j,2)°C2 - D2) + 2v^(C^ - D3)) cos lib0evb° +

+((v2 - fx2)(C3 - D3) - 2vp(C2 - D2)) sin fxb0evb° = 0. Константы Cj, Dj ,j = 0,1, 2, 3, находятся из систем Ac = b и Ad = b'. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 07-01-00362-а.

Автор выражает благодарность научному руководителю Е.В. Булинской за постановку задачи и полезные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. De Finetti B. Su un'impostazione alternativa della teoria collettiva del rischio // Transactions of the XVth Int. Congress of Actuaries. Vol. 2. 1957. 433-443.

2. Gerber H. U. An Introduction to Mathematical Risk Theory. Philadelphia: Huebner Foundation, 1979.

3. Dickson D.C.M. Insurance Risk and Ruin. Cambridge University Press, 2005.

4. Dickson D.C.M, Waters H.R. Some optimal dividends problems // ASTIN Bulletin. 2004. 34, N 1. 49-74.

5. Gerber H.U., Shiu E.S.W., Smith N. Maximizing dividends without bankruptcy // ASTIN Bulletin. 2006. 36, N 1. 5-23.

6. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: РХД, 2000.

Поступила в редакцию 05.11.2008

УДК 519.21

ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ОЦЕНКИ ДИВИДЕНДОВ В ДИСКРЕТНОИ МОДЕЛИ

Д. А. Ярцева1

Для дискретной модели капитала страховой компании, использующей барьерную стратегию, изучены свойства математического ожидания дисконтированных дивидендов, полученных до разорения. В предположении, что в случае разорения компании акционеры покрывают убытки и поднимают капитал до некоторого уровня, давая возможность продолжить работу, исследуется дисконтированная прибыль. Получены верхние и нижние оценки как дивидендов, так и прибыли.

Ключевые слова: дисконтированные дивиденды, дискретная модель, верхние и нижние границы.

A discrete model of capital of an insurance company using a barrier strategy is considered. Properties of the expected discounted dividends until ruin are studied. Assuming that the company can function after ruin and its shareholders cover the deficit and raise the capital up to some positive level, the total expected discounted profit is studied. Upper and lower bounds for dividends and profit are obtained.

Key words: discounted dividends, discrete-time model, upper and lower bounds.

Введение. Модель. Пусть Si-i,i ^ 1, — капитал компании к началу i-го года, начальный капитал компании So = x. Последовательность ежегодных выплат задается независимыми, одинаково распределенными случайными величинами . Ежегодный приход премий полагается постоянным и равным

1 Ярцева Дарья Андреевна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: yartseva@gmail.com.