CC BY
13ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5
55
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Paz A. An application of the Cayley-Hamilton theorem to matrix polynomials in several variables // Linear and Multilinear Algebra. 1984. 15. 161-170.
2. Guterman A.E., Markova O.V. Commutative matrix subalgebras and length function // Linear Algebra and Appl. 2009. 430. 1790-1805.
3. Pappacena C.J. An upper bound for the length of a finite-dimensional algebra //J. Algebra. 1997. 197. 535-545.
4. Маркова О.В. Вычисление длин матричных подалгебр специального вида // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, вып. 4. 165-197.
5. Wadsworth A. The algebra generated by two commuting matrices // Linear and Multilinear Algebra. 1990. 27. 159-162.
Поступила в редакцию 19.05.2008
УДК 519.95
О СЛОЖНОСТИ САМОКОРРЕКТИРУЮЩИХСЯ СХЕМ ДЛЯ ОДНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
В. М. Краснов1
Рассматриваются к-самокорректирующиеся схемы из функциональных элементов в базисе {xi&x2, x}. Предполагается, что константные неисправности на выходах элементов однотипные. Инверторы предполагаются надежными. Вес каждого инвертора равен 1. Конъюнкторы могут быть надежными и ненадежными. Каждый надежный конъюнктор реализует конъюнкцию двух переменных и имеет вес p > к + 2. Каждый ненадежный конъюнктор в исправном состоянии реализует конъюнкцию, а в неисправном — булеву константу S (S G {0,1}). Вес каждого ненадежного конъюнктора равен 1. Установлено, что сложность реализации такими схемами монотонных пороговых симметрических функций fn(xi,..., xn) = \J XiXj, n = 3,4,..., асимптотически равна (к + 3)n.
Ключевые слова: схемы из функциональных элементов, сложность схемы, булевы функции.
k-Self-correcting schemes of functional elements in the basis {xi&x2,x} are considered. It is assumed that constant faults on outputs of functional elements are of the same type. Inverter are supposed to be reliable in service. The weight of each inverter is equal to 1. Conjunctors can be reliable in service, or not reliable. Each reliable conjunctor implements a conjunction of two variables and has a weight p > к + 2. Each unreliable conjunctor implements a conjunction in its correct state and implements a boolean constant S (S G {0,1}) otherwise. Each unreliable conjunctor has the weight 1. It is stated that the complexity of realization of monotone threshold symmetric functions fn(xi ,...,Xn) = V
X• i X• j , n^b — 3, 4,... by such schemes asymptotically
equals (к + 3)n.
Key words: schemes of the functional elements, complexity of implementation, Boolean functions.
Введение. Будем рассматривать схемы из функциональных элементов в базисе В = {&, — } [1], которые построены из надежных и ненадежных элементов. Предполагается, что все инверторы базиса надежны, а среди конъюнкторов есть как надежные элементы, так и ненадежные. Вес инвертора равен 1. Каждый надежный конъюнктор имеет вес р (р > 0) и реализует конъюнкцию двух переменных. Каждый ненадежный конъюнктор в исправном состоянии реализует конъюнкцию, а в неисправном состоянии — булеву константу 5 (5 € {0,1}). Вес каждого ненадежного элемента равен 1.
1 Краснов Виктор Михайлович — студ. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vmkrasnoff@ya.ru.
56
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5
Схема в базисе B называется k-самокорректирующейся относительно неисправностей типа 5, если при переходе в неисправное состояние не более чем k произвольных ненадежных элементов она реализует ту же функцию, что и в исправном состоянии всех ее элементов (все неисправные элементы в схеме реализуют константу 5) [2]. Сложностью схемы называется сумма весов всех элементов схемы, а сложностью реализации булевой функции — наименьшая из сложностей схем (в заданном базисе и в заданном классе схем), реализующих эту функцию при исправном состоянии ненадежных элементов. Сложность схемы S обозначим через L(S), а сложность реализации функции f в базисе B схемами, k-самокорректирующимися относительно неисправностей типа 5, — через LBf).
Если сложность в базисе B схемы, реализующей функцию f и k-самокорректирующейся относительно неисправностей типа 5, равна LBs(f) , то такая схема называется минимальной.
Ниже рассматривается реализация следующих монотонных симметрических булевых функций fn(xi,... ,xn) = V XiXj (т.е. пороговых симметрических функций с порогом 2) k-самокорректирую-
щимися схемами.
Асимптотически минимальные k-самокорректирующиеся схемы в базисе B = {&, -}. Докажем следующее утверждение.
Теорема. При любом фиксированном k и p > k + 2
Lk(fn) ~ (k + 3)n.
Прежде чем переходить к доказательству теоремы, приведем одно известное свойство самокорректирующихся схем и докажем вспомогательное утверждение.
Свойство 1 [3]. Если в k-самокорректирующейся схеме S на входы некоторых исправных элементов подаются константы, то эти элементы можно удалить и получить k-самокорректирующуюся схему S', которая реализует ту же функцию, что и S.
Лемма. При n ^ 3 справедливо неравенство LB(fn) ^ LB(fn-1) +3 + k.
Доказательство. Пусть S — произвольная минимальная схема, реализующая fn(X), n ^ 3, и содержащая наименьшее возможное число конъюнкторов. Покажем, что из S можно удалить элементы весом не менее k + 3 и получить схему для f2П 1 (X).
Введем в схеме монотонную нумерацию вершин таким образом, чтобы для любой дуги номер начала дуги был меньше номера ее конца [4]. Рассмотрим конъюнктор E& с минимальным номером. Заметим, что на входы E& могут подаваться только переменные и функции, реализуемые одними инверторами (иначе получаем противоречие с минимальностью номера E& ). Пусть g — функция, реализуемая на выходе E&.
Заметим, что выход E& при n ^ 3 не может быть выходом всей схемы, поскольку у g не более двух существенных переменных, а у fn(X) их n. Тогда множество E = {Ei, E2, ...,Ei}, состоящее из элементов, у каждого из которых хотя бы один вход соединен с выходом элемента E&, непусто.
По свойству 1 из минимальности S следует, что g = const.
Если g = Xi,i £ {1,..., n}, то E& можно удалить и исходная схема не будет минимальной. А если g = Xi,i £ {1,...,n}, то конъюнктор E& можно заменить, очевидно, на инвертор, тогда как исходная схема по предположению содержит наименьшее возможное число конъюнкторов. Следовательно, g не может зависеть ровно от одной переменной, но и более чем от двух g зависеть не может (g реализуется на выходе двухвходового элемента с наименьшим номером).
Пусть g зависит от двух переменных, скажем от Xi и X2. Пусть E& (конъюнктор с минимальным номером) надежен. Его выход не может быть выходом схемы. Пусть Xi подается на вход конъюнктора неинвертированным. Подадим вместо Xi константу 0. Получим схему, реализующую f2l-i. При этом можно удалить 2 элемента (по свойству 1) c суммарным весом более k + 3 (E& весит более k + 2, следующий за E& элемент не меньше 1). Если вход Xi (или выход инвертора, подвешенного ко входу Xi) соединен со входом надежного конъюнктора, то, как и выше, получим утверждение леммы.
Пусть E& ненадежен. Пусть все конъюнкторы, соединенные со входом Xi (или выходом инвертора, подвешенного ко входу Xi), ненадежны. Пусть ко входу Xi подвешен инвертор E-. Пусть вход Xi и выход инвертора E- соединены со входами менее чем k + 2 конъюнкторов. Предположим, что все они, кроме E&, вышли из строя. Подадим вместо X2 константу, забивающую E&. Получим схему, реализующую функцию, не зависящую от Xi. Получили противоречие. Значит, конъюнкторов не менее чем k + 2. Но в таком случае при X = 0 получим (как и выше) утверждение леммы.
Пусть в S нет инверторов, подвешенных ко входу Xi. Предположим, что Xi подается на входы k + 2 конъюнкторов. Подадим вместо Xi константу 0. Получим схему, реализующую f2l-i. При этом можно
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2009. №5
57
удалить не меньше чем к + 3 элемента (по свойству 1), так как выход ни одного из рассматриваемых конъюнкторов не может быть выходом схемы (f (0,1,..., 1) = 0), а следующие за данными конъюнкторами элементы получают на один из входов 0. В заключение заметим, что подсоединение входов менее чем к + 2 конъюнкторов ко входу схемы Xi невозможно, поскольку в этом случае при подаче вместо X2 подходящей константы (0, если на вход элемента E& подается X2, или 1, если на вход элемента E& подается X2) и неисправности остальных (не более чем к) элементов, входы которых соединены со входом Xi схемы, реализуемая схемой S функция не будет зависеть от xi. Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Нижняя оценка легко получается индукцией по n с использованием леммы. Верхняя оценка получается конструктивно, т.е. построением подходящей к-самокорректирую-щейся схемы S для fП с использованием модификации схемы из [3]. В этой модификации дизъюнкцию реализуем как отрицание конъюнкции отрицаний переменных. Для сложности получающейся схемы S получаем требуемую оценку:
LB{S) ^ п + кп + п + п + 0(л/п + 1) + 0( 1) ~ (к + 3)п.
Теорема доказана.
Автор приносит благодарность научному руководителю профессору Н. П. Редькину за постановку задачи и внимание к работе.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-01-00863), программы "Ведущие научные школы РФ" (проект № НШ-4470.2008.1) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики" (проект "Синтез и сложность управляющих систем").
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.
2. Редькин Н.П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.
3. Редькин Н.П. Асимптотически минимальные самокорректирующиеся схемы для одной последовательности булевых функций // Дискретный анализ и исследование операций. 1996. 3, № 2. 62-79.
4. Редькин Н.П. Дискретная математика. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2002.
Поступила в редакцию 08.09.2008
УДК 519.21
ОПТИМИЗАЦИЯ БАРЬЕРА ВЫПЛАТЫ ДИВИДЕНДОВ ПРИ ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТРЕБОВАНИИ
Н. В. Карапетян1
В статье рассмотрена модель работы страховой компании с гамма-распределением размера требований, найден явный вид величины ожидаемых дисконтированных дивидендов до разорения и убытков при разорении и приведены примеры нахождения барьеров, оптимальных с точки зрения либо суммы полученных дивидендов, либо размера доходов.
Ключевые слова: гамма-распределение требований, дисконтированные дивиденды, доход, барьерные стратегии, модификация Диксона и Уотерса.
The classic insurance company work model with gamma-distribution of claim amount is considered. It is supposed that the company applies a dividend barrier strategy. The form of the expected discounted dividends accumulated until the ruin and the expected discounted deficit
1 Карапетян Нарине Вигеновна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: karanar@mail.ru.
