Дисконтированные дивиденды в модели со ступенчатой функцией барьера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21

ДИСКОНТИРОВАННЫЕ ДИВИДЕНДЫ

В МОДЕЛИ СО СТУПЕНЧАТОЙ ФУНКЦИЕЙ БАРЬЕРА

А. А. Муромская1

Изучается модель работы страховой компании, выплачивающей дивиденды. Исследуется дивидендная стратегия, согласно которой уровень барьера может изменяться после поступления очередного требования. Получено математическое ожидание дисконтированных дивидендов, выплаченных до момента разорения компании.

Ключевые слова: классическая модель риска Крамера-Лундберга, барьерная стратегия выплаты дивидендов, ступенчатая функция уровня барьера.

A model of insurance company performance with dividends payment is studied. We investigate the dividend strategy according to which the level of the barrier can be changed after the receipt of claims. A function representing the value of expected discounted dividends paid until ruin is obtained.

Key words: classical Cramer-Lundberg risk model, dividend barrier strategy, step barrier function.

Введение. Рассмотрим классическую модель риска Крамера-Лундберга. В рамках данной модели в случае отсутствия дивидендов капитал страховой компании в момент t выглядит следующим образом:

U(t) =x + ct-S(t), t ^ 0.

Здесь {<S(i)} — составной пуассоновский процесс с интенсивностью А, х — начальный капитал компании, с — интенсивность выплаты премий. Случайные величины Xj, обозначающие размеры исков, независимы, одинаково распределены и имеют функцию распределения F(y), такую, что F(0) = 0. Пусть далее D(t) — совокупные дивиденды, выплаченные к моменту времени t. Тогда X(t) = U(t) — D(t) — капитал в момент времени t и Т = inf{t : X(t) <0} — момент разорения страховой компании.

К настоящему времени изучено большое количество различных дивидендных стратегий, одними из самых известных являются так называемые барьерные стратегии. Согласно барьерной стратегии с параметром b дивиденды не выплачиваются, когда X(t) < b, и выплачиваются с интенсивностью с, когда X(t) = b. Если же X(t) > b, то сразу в качестве дивидендов выплачивается сумма, равная X(t) —b (заметим, что тогда неравенство X(t) > b может выполняться только при t = 0). Барьерные стратегии рассматривались во многих работах, посвященных теории дивидендов, таких, как, например, статьи X. У. Гербера [1-3] и монография X. Бюльмана [4]. Известно, что в случае использования барьерной стратегии с параметром b математическое ожидание дисконтированных дивидендов до

как функция от х удовлетворяет уравнению

момента разорения V(x,b) = Е

f е dD(t)

X

cV'(x,b)-(X + 5)V(x,b) + xjv(x-y,b)dF(y)= 0, 0 <x<b, (1)

о

и граничному условию

v'(b,b) = 1. (2)

Для некоторых распределений требований получен явный вид функции V(x,b) [3, 5].

Большим недостатком барьерных стратегий является то, что в них не заложена возможность изменения условий выплаты дивидендов с течением времени. В связи с этим рассмотрим новые дивидендные стратегии, согласно которым уровень барьера b может меняться сразу же после моментов поступлений требований Tj. Данные стратегии будут задаваться уже не одним значением барьера Ь, а набором Ь\,..., Ьп.

Случай п = 2. Для начала изучим стратегию, в рамках которой барьер изменяется только один раз после момента Т\. А именно пусть на отрезке [0, Т\] уровень барьера равняется bi, а далее, если страховая компания не разоряется после первого убытка, уровень барьера меняется с Ь\ на

1 Муромская Анастасия Андреевна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: anastasia.muromskaya.msuQgmail.com.

Ъ2 ^ Ь\. Пусть также У(х,Ь\,Ь2) — математическое ожидание дисконтированных дивидендов, выплаченных до момента разорения компании в рамках данной дивидендной стратегии. Будем далее считать, что х ^ Ъ\ (при х > Ъ\ положим У(х, Ъ\, Ъ2) = х — Ъ\ + У(Ъ\, Ъ\, Ъ2)). В силу формулы полной вероятности мы имеем

У(х,Ь1,Ь2)= С Хе-^Ч У(х + сЛ-у,Ь2)гШ(у)ги+ Jo

+ ]Ь1_х Ле-(Л+^у У(Ь1-у,Ь2)ёР(у)М + У[0,т1)(х,Ь1), (3)

с ^

где — математическое ожидание дисконтированных дивидендов, выплаченных на полу-

интервале [0, Т\). При этом нетрудно проверить справедливость следующей леммы. Лемма. Имеет место равенство

Рассмотрим далее интегралы в правой части равенства (3). Упростим сначала первый интеграл, использовав для этого соотношение (1). Действительно, в силу (1) верно равенство

гх+сЬ

гх-\-съ

А / V(x + ct - y,b2)dF(y) = (Х + 5)V(x + ct,b2) - cV'(x + ct,b2), Jo

а значит,

— x-\-ct —

[ С Хе~{х+ё^ f V(x + ct-y,b2)dF(y)dt= f ° е~{х+ё^{Х +5)V{x + ct,b2)dt-J0 Jo Jo

b-^—x

-[ C e-^tdV(x + ct,b2) = -e-^+s^V(b1,b2) + V(x,b2). Jo

Аналогично преобразуем и второй интеграл в правой части (3):

г оо rbi /"ОО . .

Jbi_x Хе-^» J V(h - у, b2)dF(y)dt = ((A + 5)V(bb b2) - cV,(b1,b2))dt =

0 с

= e-^^Vibu b2) - V[0tTl)(x, hWibuki)-

Отсюда после очевидных упрощений мы получаем, что верна следующая теорема.

Теорема 1. В рамках описанной выше модели с двумя уровнями барьера Ъ\ и Ь2 математическое ожидание дисконтированных дивидендов, выплаченных до момента разорения компании, имеет вид

V(x,b1,b2) = V(x,b2) + [l-V'(b1,b2)]V[0iTl)(x,b1), О^жОъ h < Ъ2.

Заметим, что в силу граничного условия (2) в предельном случае Ь2 = Ъ\ функция V(x,b\,b2) совпадает с V(x, b 1). В то же время при некоторых значениях параметров Ъ\ и Ь2 дисконтированные дивиденды в модели с двумя барьерами оказываются больше дивидендов, полученных в соответствии с барьерной стратегией, а именно справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. Пусть существует оптимальный, не зависящий от, х уровень барьера Ъ* > 0; при котором значение функции V(x, Ъ) максимально. Пусть также барьеры Ъ\ и Ъ2 таковы, что х ^ Ъ\ < Ъ* и V(u,b2) > V(u,b\) при любом начальном, капитале и, таком, что 0 ^ и ^ Ъ\. Тогда выполняется неравенство V(x,b\,b2) > V(x,b\).

Таким образом, изменение барьера после первого убытка действительно имеет смысл, если изначальный барьер Ъ\ был меньше оптимального значения Ъ*. Такой выбор барьера Ъ\ может быть в свою очередь обусловлен желанием акционеров получить больше дивидендов в первое время работы страховой компании. В самом деле, несложно проверить, что функция V[q^(x, Ъ\) убывает по Ъ\.

ъг Ь2

¿1

о

Т2

1

Рассмотрим применение утверждения 1 на примере экспоненциального распределения исков. Пусть Р(у) = 1 — у ^ 0. Тогда, согласно [3], при условии /ЗХс > (А + 5)2 существует опти-

мальный уровень барьера 6*хр > 0, не зависящий от х. Более того, функция У(х, Ъ) убывает при Ь > 6*хр и возрастает на полуинтервале х ^ Ь < 6*хр при любом фиксированном значении начального капитала х ^ 0. Поэтому, например, для всех значений 0 ^ х ^ Ъ\ < Ь-2 ^ Ьехр выполняются условия утверждения 1, а значит, верно неравенство У{х,Ь\,Ь2) > У(х,Ь\).

Случай п ^ 2. Пусть теперь у нас есть п ^ 2 барьеров Ъ\ ^ Ь-2 ^ ... ^ Ьп и дивидендная стратегия устроена следующим образом. На отрезке [0, уровень барьера по-прежнему равняется Ъ\. Далее, если разорение компании происходит не ранее (п — 1)-го иска, то уровень барьера совпадает со значениями на полуинтервалах Т^], 2 ^ г ^ п — 1, а по-

сле (п — 1)-го требования (т.е. при £ > Тп-\) барьер остается равным Ьп вплоть до разорения компании (рисунок). Если же разорение наступает до (п — 1)-го иска, то можно формально считать, что после разорения барьер не меняется и остается равным уровню барьера на предыдущем промежутке.

Пусть также У(х, Ъ\,..., Ъп) математическое ожидание дисконтированных дивидендов, выплаченных до момента разорения страховой компании в модели с барьерами Ъ\ ^ &2 ^ • • • ^ Ьп и начальным капиталом х. Далее будем снова предполагать, что х ^ Ъ\ (иначе при х > Ъ\ положим У(х, Ъ\,..., Ъп) = х — Ъ\ + У{Ъ\, Ъ\,..., Ъп)). В рамках рассматриваемой дивидендной стратегии для функции У{х,Ъ\,... ,Ъп) верна следующая теорема, являющаяся обобщением теоремы 1.

Теорема 2. Для всех значений 0 ^ х ^ Ъ\ и Ъ\ ^ 62 ^ • • • ^ Ьп, п ^ 2, и,иеет место равенство

У(х, 6Ь ..., Ъп-1,Ъп) = У(х, Ъх,..., Ъп-2,Ъп) + [1 - У'{Ъп-1,Ъп)] Урп-.^Тп-!)^, Ьи-.., Ъп-1), (4)

где У[гп_,1гп_1)(аг, Ъ\,..., Ъп-\) математическое ожидание дисконтированных дивидендов, выплаченных на полуинтервале [Тп-2, Тп-\).

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции.

База индукции. Для п = 2 соотношение (4) верно в силу теоремы 1 (считаем, что То = 0).

Шаг индукции. Допустим, что соотношение (4) верно для некоторого п ^ 2. Покажем, что тогда (4) выполняется и для п + 1, т.е. справедливо равенство

У(х, 6Ь ..., Ъп, Ьп+1) = У(х, Ъх,..., Ьп-1,Ьп+1) + [1 - У'{Ъп, Ьп+1)] У[Тп_1<Тп)(х, 6Ь ..., Ъп). (5)

Для этого опять воспользуемся формулой полной вероятности:

Ступенчатая функция барьера с уровнями

Ъ1 <Ъ2 < ... < Ъп

У(х,Ъ1,...,Ъп,Ъп+1) =

У{х + с1-у,Ь2,...,Ьп, Ьп+1)сШ{у)сИ+

/*оо рЬ\

+ Хе~{Х+г)* I У{ЪХ - у,Ъ2,... ,Ъп,Ъп+1)(Ш{у)М + У^т1){х,Ъ1).

(6)

По предположению индукции функция У{х + сЬ — у, 62, ■ ■ ■, Ьп, Ьп+1) может быть определена с помощью соотношения (4):

У(х + сЛ - у, Ъ2, ■ ■ ■, Ьп, Ъп+1) = У(х + сЛ - у,Ъ2, ■ ■ ■, Ьп-1,Ъп+1)+

+ [1 - У{Ъп, Ьп+1)] Уутп-п^тг,-^ + а - у, Ъ2, ■ ■ ■, Ьп).

Аналогичные рассуждения верны и для функции У{Ъ\ — у, 62, ■ ■ ■, Ьп, Ьп+1)'

У{Ь1 -у, Ь2,..., Ьп, Ъп+1) = У(Ьг-у, Ь2,..., Ьп-1, Ьп+1) + [1 - У{Ьп, Ьп+1)] Ур^т^фг-у, Ь2, ■ ■ ■, Ъп).

Подставив получившиеся выражения в (6), мы приходим к равенству (5). Таким образом, мы доказали шаг индукции, а значит, соотношение (4) верно для всех п ^ 2. □

С помощью метода математической индукции несложно также доказать справедливость важного следствия из теоремы 2.

Следствие. Для всех значений 0 ^ х ^ Ъ\ и Ъ\ ^ Ь2 ^ • • • ^ bn, п ^ 2, имеет место равенство

п

V(x, Ьъ...,Ьп) = V(x, bn) + J] [1 - V'(bi-! ,bn)] V^^ix, bu..., &i_i).

i=2

Покажем теперь, что исследуемая дивидендная стратегия при некоторых значениях Ь\,... ,Ьп может быть лучше барьерной стратегии с барьером Ъ\ в смысле величины дисконтированных дивидендов, выплаченных до разорения. Действительно, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2. Пусть существует оптимальный, не зависящий от, х уровень барьера Ъ* > 0; при котором значение функции V(x,b) максимально. Пусть также барьеры b\,...,bn, п ^ 2, таковы, что х ^ Ъ\ < Ъ2 < ■ ■ ■ < Ьп-\ < Ъ* и V(u,bi) > V(u,bi-\) при любом начальном, капитале и, таком, что 0 ^ и ^ г = 2,п. Тогда выполняются неравенства V(x,b\,... ,bj) > V(x,bi,...,bj-1), j = 2~n.

Заметим, что рассмотрение случая х ^ Ъ\ < Ъ2 < ... < Ъп-\ < Ъ*, описанного в утверждении 2, действительно имеет смысл. Несмотря на то что барьер Ъ* будет оптимальным в смысле максимизации всех совокупных выплаченных дивидендов до разорения компании, в краткосрочной перспективе для получения больших дивидендов может появиться необходимость использовать меньший барьер. Если страховая компания не разоряется после г-го убытка и акционерам нужно до следующего (г + 1)-го убытка получить больше дивидендов, следует использовать как можно меньший барьер. В то же время нельзя забывать о будущих дивидендах и вероятности быстрого разорения при совсем низком барьере. Таким образом, на основе всех аргументов может быть принято решение постепенно поднимать уровень барьера до оптимального значения. Преимущество данного решения об увеличении уровня барьера после наступления страховых требований как раз следует из утверждения 2.

В случае экспоненциального распределения исков условию утверждения 2 удовлетворяют, например, все значения уровней барьеров Ъ\,..., bn, п ^ 2, такие, что 0^x^b\<...<bn^ 6*хр.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Gerber H.U. Entscheidungskriterien für den zusammengesetzten Poisson-Prozess // Schweiz. Verein. Versicherungsmath. Min. 1969. 69. 185-228.

2. Gerber H. U. A characteristic property of the Poisson distribution // Amer. Statist. 1979. 33, N 2. 85-86.

3. Gerber H.U., Shiu E.S. W., Smith N. Maximizing dividends without bankruptcy // ASTIN Bull. 2006. 36, N 1. 5-23.

4. Bühlmann H. Mathematical methods in risk theory. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer-Verlag, 1970.

5. Карапетян H.B. Оптимизация барьера выплаты дивидендов при гамма-распределении требований // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. №5. 57-60.

Поступила в редакцию 09.11.2015

УДК 517.982.25+517.984

РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ОБЛАСТЯХ НА МНОГООБРАЗИИ

И. В. Цылин1

В работе исследуется регулярность решений первой краевой задачи для эллиптических дифференциальных операторов порядка 2то в случае областей на многообразии. Получена взаимосвязь между гладкостями правой части, границы области и решения рассматриваемых задач.

1 Цылин Иван Вячеславович — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ioxlxoiQyandex.ru.