Обобщение неравенства Лундберга для случая акционерной страховой компании Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hytonen Т., Lacey М. Pointwise convergence of vector-valued Fourier series // Math. Ann. 2013. 357. 13291361.

2. Hytonen Т., Lacey M. Pointwise convergence of Walsh-Fourier series of vector-valued functions // ArXiv: 1202.0209vl [math. С A] 1 Feb 2012.

3. Blasco 0., Signes T. Q-concavity and q-Orlicz property on symmetric sequence spaces // Taiwan. J. Math. 2001. 5. 331-352.

4. Skvortsov V.A. Henstock-Kurzweil type integrals in P-adic harmonic analysis // Acta Math. Acad. Paedagog. Nyhazi. 2004. 20. 207-224.

5. Голубое Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. М.: Наука, 1987.

6. Лукашенко Т.П., Скворцов В.А., Солодов А.П. Обобщенные интегралы. М.: URSS, 2010.

7. Ostaszewski К.М. Henstock integration in the plane // Mem. AMS. 1986. 63, N 353.

8. Thomson B.S. Derivation bases on the real line // Real Anal. Exchange. 1982/83. 8, N 1. 67-207; N 2. 278-442.

9. Скворцов В.А., Тулоне Ф. Р-ичный интеграл Хенстока в теории рядов по системам характеров нульмерных групп // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 1. 25-29.

10. Sehwabik S., Ye Guoju. Topics in Banach space integration // Series in Real Analysis. Vol. 10. Hackensack, NJ: World Scientific, 2005.

11. Плотников М.Г. Квазимеры, хаусдорфовы р-меры и ряды Уолша и Хаара // Изв. РАН. Сер. матем. 2010. 74, № 4. 157-188.

12. Skvortsov V., Tulone F. Multidimensional dyadic Kurzweil-Henstock- and Perron-type integrals in the theory of Haar and Walsh series // J. Math. Anal, and Appl. 2015. 421, N 2. 1502-1518.

13. Dilworth S.J., Girardi M. Nowhere weak differentiability of the Pettis integral // Quaest. Math. 1995. 18, N 4. 365-380.

Поступила в редакцию 27.04.2016

УДК 519.21

ОБОБЩЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА ЛУНДБЕРГА ДЛЯ СЛУЧАЯ АКЦИОНЕРНОЙ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ

А. А. Муромская1

Изучается вероятность разорения страховой компании, выплачивающей дивиденды согласно барьерной стратегии со ступенчатой функцией барьера. Получены оценки сверху для вероятности разорения в рамках моделей риска Спарре Андерсена и Крамера-Лундберга.

Ключевые слова: модель риска Спарре Андерсена, вероятность разорения, выплата дивидендов, ступенчатая функция уровня барьера, модель риска Крамера-Лундберга.

The ruin probability of an insurance company paying dividends according to a barrier strategy with a step barrier function is considered. Upper bounds for the probability of ruin are obtained within the framework of Sparre Andersen and Cramer-Lundberg risk models.

Key words: Sparre Andersen risk model, ruin probability, dividend payments, step barrier function, Cramer-Lundberg risk model.

Рассмотрим страховую компанию, процесс изменения капитала которой описывается с помощью модели риска Спарре Андерсена. А именно пусть

т

U(t) =x + ct - 1 ^ °>

г=1

1 Муромская Анастасия Андреевна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: anastasia.muromskaya.msuQgmail.com.

где U(t) — значение капитала компании в момент времени t, N(t) — процесс восстановления, х — начальный капитал компании, с — интенсивность выплаты премий. Случайные величины {X¿}, обозначающие размеры исков, независимы, одинаково распределены и имеют функцию распределения F(y), такую, что F(0) = 0. Кроме того, величины {X¿} и процесс N(t) также предполагаются независимыми, функция G (у) в свою очередь является функцией распределения интервалов между моментами {Tj} поступления требований. Подобная модель капитала страховой компании была впервые предложена Спарре Андерсеном в работе [1]. Одним из важных результатов, связанных с данной моделью риска, является получение оценки сверху для вероятности разорения компании. Пусть Т = inf{¿ : U(t) < 0} — момент разорения страховой компании, ф(х) = Р(Т < оо|С/(0) = х) — вероятность разорения. Будем также далее полагать, что существует единственный положительный корень R уравнения

/*оо /*оо

/ eRydF(y) / e~cmdG{t) = 1, Jo Jo

который называется характеристическим показателем или экспонентой Лундберга. В этом случае справедлива следующая оценка для вероятности разорения [2]:

4>(х) < e~Rx. (1)

Данное неравенство — это аналог знаменитого неравенства Лундберга, доказанного для частного случая модели Спарре Андерсена — модели риска Крамера-Лундберга, согласно которой N(t) является пуассоновским процессом [2, 3].

В классических моделях риска не учитывается тот факт, что страховая компания может быть акционерным обществом. В данной статье мы рассмотрим модель работы акционерной страховой компании, выплачивающей дивиденды. Пусть D(t) — это совокупные дивиденды, выплаченные к моменту времени t. Тогда X(t) = U(t)—D(t) — это капитал в момент времени t и Т = inf{¿ : X(t) <0} — момент разорения акционерной страховой компании. Дивиденды выплачиваются компанией согласно барьерной стратегии со ступенчатой функцией барьера. А именно пусть уровень барьера b(t) равен bi на полуинтервалах вида t € [T¿_i,T¿), г ^ 1 (в предположении То = 0). Будем также считать, что ступенчатая функция барьера является неубывающей: \ ^ bi, г ^ 1. Тогда рассматриваемая стратегия состоит в следующем: дивиденды не выплачиваются, когда X(t) < b(t), и выплачиваются с интенсивностью с, когда X(t) = b(t). Если же X(t) > b(t), то сразу в качестве дивидендов выплачивается сумма, равная X(t) — b(t). Заметим, что тогда неравенство X(t) > b(t) может выполняться только при t = 0, и далее без ограничения общности будем предполагать, что 0 ^ х ^ Ъ\. Отметим также, что частным случаем данной стратегии являются барьерные стратегии с постоянным барьером, такие, что í>¿_|_\ = при всех значениях i ^ 1. Известно, что при использовании барьерных стратегий с постоянным уровнем барьера разорение страховой компании всегда неизбежно [4]. В то же время мы покажем, что с помощью постепенного повышения барьера можно добиться уменьшения вероятности разорения до значения, меньшего 1. Для этого установим справедливость следующей теоремы, из которой в случае отсутствия дивидендных выплат следует неравенство (1). Пусть далее L = J0°° eRydF(y) и ф{х) = Р(Т < оо|Х(0) = х) — это вероятность разорения акционерной страховой компании в модели с дивидендной стратегией со ступенчатой функцией барьера.

Теорема 1. Имеет место следующее неравенство:

оо

ф(х) < е"** + (L-1)J2 e~Rbi ■ (2)

г=1

Доказательство. Пусть ipk(x, b\,..., bk) — это вероятность разорения в предположении, что поступило не более к требований. Сначала докажем, что для всех к ^ 0 выполняется неравенство грк(х, bi,...,bk) < ик{х, h,..., bk), где ик{х, bi,... ,bk) = e~Rx + (L - 1) Ya=i е~т- Воспользуемся методом математической индукции.

База индукции. Для к = 0 (и х ^ 0) имеем ipo(%) = 0 < щ(х) = e~Rx.

Шаг индукции. Допустим, что неравенство фк(х, Ь\,..., bk) < vk(x, b\,..., bk) верно для некоторого к ^ 0. Покажем тогда, что данное неравенство справедливо и для к + 1. В силу формулы полной вероятности

^k+i{x,bi,...,bk+i) =

Jo

rx-\-ct roo

/ ipk(x + ct-y,b2,...,bk+i)dF(y)+ dF(y)

/0 Jx+ct

dG(t) +

г оо г rb\ /*оо

+ Jbi-AL ^{bi-yM,---,bk+i)dF{y) + dF{y)

dG(t).

Заметим, что uk(u,bi,..., bk) 1 при и ^ 0 (и при всех к ^ 0). Следовательно,

Ъ i —х - roo

фк+1(х,Ь1,...,Ьк+1) < / 1Ук(х + а-у,Ь2,...,Ьк+1)(Ш(у)с10(1)+

Jo Jo

/*оо /*оо

+ / / (3)

Уо

с

Рассмотрим два получившихся слагаемых подробнее. Начнем с первого слагаемого. Сначала заметим, что

/•оо к-\-1

/ ик(х + а-у,Ь2,..., Ьк+1№(у) = Ье~К^ + (Ь - 1) V е"^,

70 г=2

а значит, первое слагаемое в правой части (3) имеет вид

-ь1~х / к+1 \ ь1~х

I С í Le~R(*x+ct) + (L - 1) e~mi) = Le~Rx J C ?~RctdG{t)+

fc+i -

+ (L-l)^e"fí6i / C dG(í).

i=2

Ю

Далее аналогично преобразуем второе слагаемое в (3):

/•ОО /"ОО /"ОО fc + 1 „оо

/ / -У,Ъ2,..., bk+l)dF{y)dGit) = Le/ dG(í) + (L - 1) V / dG(í).

Jo ^

В итоге мы приводим неравенство (3) к следующему виду:

¡>i —х ¿.II Ь-1 —х

фк+1(х,Ьъ...,Ьк+1) <Le~Rx С e-^dG^ + ÍL-l) Ve"^ / " dG(t) + Le-™1 dG(t)+

Jo ti Jl^

+ 1 /»СО /-со /"СО

+ (L-l)Ye~mi dG(t) = e~Rx+Le~Bbl / dG{t)-Le~Rx e~RctdG(t)+(L - ljVe"®'.

f ^ Ib\—x Ib\—x Ib\—x f ^

i=2 i=2

Нам осталось только оценить разность интегралов в последнем выражении:

/*оо /*оо /*оо

Le~Rbl dG(t) — Le~Rx / е~Ш(Ю{1) ^ Le~mi (l - е~ш) dG(t) = (L - 1) e~Rbl. (4)

Jbl-X Jo

С с

Таким образом, мы имеем

к+1

6Ь ..., 6fc+1) < + (L - 1) + (L - 1) £ е"^ = ик+1(х, Ъъ ..., 6fc+1).

i=2

Итак, мы доказали, что для всех к ^ 0 выполняется неравенство фк(х, Ь\,..., Ък) < ^(ж, bi,..., bk), откуда с помощью предельного перехода мы получаем необходимое неравенство (2). □

Замечание. Согласно признаку Даламбера для сходимости ряда X^i достаточно, чтобы существовали некоторая константа q > 0 и номер íq, начиная с которого выполняется неравенство h+i — bi ^ q. В то же время для получения корректной оценки сверху вероятности разорения ф(х) нам недостаточно сходимости ряда в правой части (2). Необходимо, чтобы вся правая часть неравенства (2) была меньше 1. Рассмотрим частный случай, при котором уровни барьера имеют вид bi = b+(í — l)a, а > 0, b > х > 0. Для такой ступенчатой функции барьера можно в явном виде найти

сумму ряда е ^ ■ Соответственно мы получим тогда следующую оценку для вероятности

разорения:

ф{х) < e~Rx + (L - 1)

n-Rb

(5)

1 - е~ш'

Несложно проверить, что для любого фиксированного значения а > 0 существуют параметры Ъ, при которых оценка (5) будет меньше 1. Они должны удовлетворять неравенству

b > max ( R 1 In

L - 1

(1 - e~Rx)(l - e~Ra) Заметим, что условие (6) можно переписать иначе:

х

b > ÍT Чп

L—1

(l-e-Rx)(l-e-Ra)

при х < R In

L-e

-Ra

l_e-Ra

b > x при x ^ R ln

L-e-

1-e-

(6)

(7)

С другой стороны, если значение Ь\ = Ь фиксировано и достаточно велико, а именно

L-1

l_e-Rx

jb> R-1!n [ b > x при x ^ R~1 In L

то, выбрав параметр а, такой, что

при х < R In L

а > -R 1 In

0-Rb

l-(L-l)

1-е

-Rx

(8)

(9)

можно также снизить оценку сверху для вероятности разорения до значения, меньшего 1. Очевидно, что вероятность разорения будет меньше 1 и для любой другой ступенчатой барьерной стратегии, согласно которой все барьеры будут не ниже b + (г — 1 )а при условии (7) или при условиях (8) и (9).

Рассмотрим теперь дивидендную стратегию со ступенчатой функцией барьера в рамках модели риска Крамера-Лундберга — частного случая модели Спарре Андерсена. В соответствии с моделью Крамера-Лундберга N(t) — это пуассоновский процесс с интенсивностью Л. Уравнение для характеристического показателя R при этом условии имеет вид

roo

X + Rc = X eRydF(y), Jo

а вероятность разорения ф(х) может быть оценена сверху согласно следствию из теоремы 1.

Следствие. Пусть N(t) — пуассоновский процесс с интенсивностью X. Тогда имеет место следующее неравенство:

fír ^

пс ^ -Rbi

ф(х) < е"** + ^ е

г=1

Однако благодаря тому, что в рамках модели Крамера-Лундберга вычисление некоторых интегралов из доказательства теоремы 1 возможно в явном виде, удается доказать и более сильное неравенство для вероятности разорения ф(х).

Теорема 2. Пусть N(t) — пуассоновский процесс с интенсивностью X. Тогда имеет место следующее неравенство для вероятмостлл разорения ф(х):

Rc

ф(х) < e~Rx + ^f У bo = х_

г=1

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 с точностью до двух переходов. А именно при условии, что

к

ик(х, b1,...,bk) = e~Rx + ^е-вь.-Хс-^-х) + Щ £

i=2

—Rbi—\c~1(bi—bi-i)

сначала показываем справедливость неравенства типа (3), а далее добавляем еще одну оценку:

ipk+i(%,bi,...,bk+i) < / Ле / vk(x + ct-y,b2,...,bk+i)dF(y)dt+

roc roc

+ Jbi_x Ae"Ai J ик(Ьг -y,b2,..., bk+1)dF(y)dt <

<

Ле

-л t

e-R(x+ct-y) + Rc y^^Rbi-Xc^ibi-bi-!)

k+1

oo roo

-X t /

+ / Ле

Rc

i=2 fc+1

-.Rbi-Ac-^bi-bi-i)

i=2

dF(y)dt+

dF(y)dt.

Затем, получив в ходе доказательства разность интегралов, как в левой части (4), не оцениваем эту разность, а считаем в явном виде.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Sparre Andersen Е. On the collective theory of risk in case of contagion between the claims // Trans. XVth Int. Congress Actuaries. Vol. II, N.Y., 1957. 219-229.

2. Калашников В.В., Константинидис Д.Г. Вероятность разорения // Фунд. и прикл. матем. 1996. 2, № 4. 1055-1100.

3. Schmidli Н. Stochastic control in insurance. London: Springer-Verlag, 2008.

4. Albrecher H., Hartinger J., Thonhauser S. On exact solutions for dividend strategies of threshold and linear barrier type in a Sparre Andersen model // ASTIN Bull. 2007. 37, N 2. 203-233.

Поступила в редакцию 22.06.2016