CC BY
11Заметим, что с помощью теоремы 1 можно не только оценить реальный индекс в сверху, но и довольно
хорошо приблизить его в области малых значений.
Автор приносит благодарность научному руководителю доценту А. В. Лебедеву за постановку задачи
и советы, высказанные при написании статьи.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 11-01-00050.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лидбеттер М, Линдгрен Г., Ротсен Х. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. М.: Мир, 1989.
2. Vervaat W. On a stochastic difference equation and a representation of non-negative infinitely divisible random variables // Adv. Appl. Probab. 1979. 11. 750-783.
3. Haan L. de, Resnick S., Rootzén H., Vries G. de. Extremal behaviour of solutions to a stochastic difference equation with applications to ARCH processes // Stochast. Process. and Appl. 1989. 32. 213-224.
4. Голдаева А.А. Использование процессов с непрерывным временем в исследовании стохастических рекуррентных последовательностей // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 6. 13-18.
5. Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosh T. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Berlin: Springer, 2003.
6. Klüppelberg C. Risk Management and Extreme Value Theory // Extreme Values in Finance, Telecommunication and the Environment. Boca Raton: Clapman and Hall/CRC, 2002. 101-168.
7. Новицкая О.С., Яцало Е.Б. Экстремальное поведение рекуррентных случайных последовательностей // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 5. 6-10.
Поступила в редакцию 09.02.2011
УДК 519.21
ОПТИМИЗАЦИЯ ДИВИДЕНДНОЙ СТРАТЕГИИ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ, ПРОДОЛЖАЮЩЕЙ РАБОТУ ПОСЛЕ РАЗОРЕНИЯ
Н. В. Карапетян1
В статье рассмотрена модель работы страховой компании, в которой акционеры покрывают убытки при разорении и компания продолжает работу с новым начальным капиталом. Для случаев дискретного и непрерывного времени доказано существование стратегий, оптимизирующих дивиденды и доход акционеров, т.е. разницу между дивидендами и убытками.
Ключевые слова: дисконтированные дивиденды, доход, барьерные стратегии.
A model of the work of an insurance company is considered. It is supposed that the company applies a dividend barrier strategy and shareholders cover the deficit at the time of ruin so that the company can continue its functioning after the ruin. The existence of the strategies maximizing either the dividends amount or the profit of shareholders is proved both for discrete and continuous time.
Key words: discounted dividends, profit, barrier strategies.
Введение. Де Финетти [1] был первым, кто рассмотрел страховую компанию как акционерное общество и предложил в качестве критерия оптимальности ее работы величину выплаченных акционерам дивидендов. Было установлено (см. [2-4]), что с точки зрения максимизации выплаченных акционерам за время работы компании дивидендов оптимальной является барьерная стратегия, т.е. все поступающие премии выплачиваются в качестве дивидендов, пока уровень капитала не окажется ниже барьера. Однако сам Де Финетти установил, что при использовании такой стратегии разорение компании неизбежно. Диксон и Уотерс [5] рассмотрели ситуацию, когда акционеры в состоянии покрыть убытки компании при
1 Карапетян Нарине Вигеновна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
разорении и, таким образом, избежать банкротства, и предложили искать оптимальную стратегию с точки зрения дохода акционеров, т.е. разницы между величиной полученных дивидендов и убытками при разорении.
В данной статье рассматривается модель с бесконечным временем работы компании, т.е. после разорения страховая компания может продолжить свою деятельность с нулевого или некоторого положительного капитала у (в случае доплаты от акционеров). Проводится оптимизация стратегии работы компании как с точки зрения полученных дивидендов, так и с точки зрения чистого дохода акционеров, т.е. с учетом средств, затраченных на покрытие убытков при разорении и возвращение капитала компании на уровень у.
Модель с дискретным временем. Пусть уровень выплаты дивидендов равен п € 2, а начальный капитал есть х ^ п (х € 2). За один шаг капитал компании может увеличиться на 1 с вероятностью р, уменьшиться на 1 с вероятностью д и не измениться с вероятностью г. Если капитал превышает уровень п, то компания выплачивает акционерам дивиденды. Если же капитал становится меньше 0, то акционеры вкладывают свои средства, чтобы капитал стал равен у ^ п (у € 2).
Теорема 1. Пусть тх(п) — дисконтированные дивиденды, а V — коэффициент дисконтирования. Тогда тх(п) имеет вид тх(п) = 1ад~ 2"2, где оа2 — корни уравнения урЬ2 + (иг — + ид = 0,
С1 = да2 — ра1, С2 = ра2 — даУ, Ап = С2(а2 — 1)аП — С1(1 — а1)агП.
Доказательство. Дисконтированные дивиденды тх(п) описываются уравнением
тх(п) = v(pmx+l(n) + гтх(п) + дтх-1(п)) при 1 ^ х ^ п — 1 (1)
с граничными условиями
т0(п) = v(pml (п) + гт0(п) + дту (п)), тп(п) = v((p + г)тп(п) + дтп-1(п) +р).
Будем искать решение в виде ах, тогда уравнение (1) перепишется как vpа2 + (т — 1)а + vд = 0. Соответственно тх(п) имеет вид А(п)ах + В(п)ахх, где А(п), В(п) находятся из граничных условий. □
Теорема 2. Пусть (Зх(п) — дисконтированный доход акционеров. Тогда (Зх(п) имеет вид (Зх(п) =
, где Д,4 = С\ — (у + 1)д(а2 — 1)а2 , А в = С2 — (у + 1)д(1 — 0:1)0;™, а Ап определяется в теореме 1.
Доказательство. Действуем, как и при доказательстве теоремы 1. Единственное отличие заключается в граничном условии (при х = 0)
во (п) = v(pвl (п) + гво(п) + дву (п) — д(у + 1)). □
Теорема 3. Оптимальный барьер существует как с точки зрения выплаченных дивидендов, так и с точки зрения полученных доходов, причем в первом случае он равен тах(х,у).
Доказательство. Исходя из того, что а2 > 1, а а1 € (0,1), получим, что приращение тх(п) за единицу времени всегда отрицательно, т.е. дивиденды убывают по п и оптимальным является наименьшее возможное значение барьера п. С учетом того, что рассматривалась модель с х,у ^ п, это означает, что п = тах(х, у).
Приращение вх(п) за единицу времени при больших п отрицательно (стремится к 0 снизу). Следовательно, максимум достигается при некотором конечном п. □
Теорема 4. Пусть х — начальный капитал и уровень возвращения у ^ х. Тогда оптимальной стратегией компании (относительно выплаченных дивидендов) является у = х = п.
Доказательство. Рассмотрим приращение величины дивидендов по у при п = х. Оно положительно, т.е. максимум достигается при у = х. □
Модель с непрерывным временем. Рассмотрим модель Крамера-Лундберга работы страховой компании с непрерывным временем. Тогда и(Ь) = и(0) + сЬ — Б(Ь), Ь ^ 0, — капитал компании в момент Ь,
где и(0) — начальный капитал, с — постоянная скорость поступления премий, Б(Ь) = ^Yj — процесс выплаты возмещений. Количество N(Ь) требований, поступивших к моменту Ь, — пуассоновский процесс с параметром Л, не зависящий от размеров требований Yj, являющихся независимыми, одинаково распределенными случайными величинами с плотностью р(у) и функцией распределения Е(у). Если В(Ь) — дивиденды к моменту Ь, то капитал компании с учетом дивидендных выплат есть X(Ь) = и(Ь) — В(Ь). Пусть Ь — значение дивидендного барьера, т.е. дивиденды выплачиваются со скоростью с только при X (Ь) = Ь.
Теорема 5. Пусть V(х,Ь) — ожидаемые дисконтированные дивиденды, выплаченные до первого разорения; К(х, Ь) — ожидаемые дисконтированные убытки, выплаченные до первого разорения; Тх время
работы компании до первого 'разорения. Если поступающие требования распределены экспоненциально с параметром ц, то
= {г + ^х-{з + ^х = _гегЬ+ях _ 8еяЬ+гх__х =
у ' 7 г (г + ц)егЬ — в{в + ц)е3^ у ' 7 сцг(г + ц)егЬ — в{в + ц)езЬ' И у ' "
где г, в — корни уравнения сЬ2 + (сц — X — 5)Ь — 5ц = 0.
Доказательство см. в [5]. □
Перейдем теперь к определению величины дивидендов и убытков, если компания возобновляет работу после разорения начиная с некоторого уровня у. Тогда ожидаемые дисконтированные дивиденды у{х, Ь) при бесконечном времени работы компании и начальном капитале х можно записать как
Ее-&Тх
У(х, Ъ) = У(х, Ъ) + У(у, Ь)Ее Тх = У(х, Ъ) + У(у, Ъ)-
1 — Ее—Ту'
Убытки акционеров при возобновлении работы компании после разорения имеют вид
к(Х,Ь) = Я(Х,Ь) + (у + «У) Ее-"-.
Окончательно ожидаемый дисконтированный доход акционеров есть
Ъ) = У{х, Ъ) - П(х, Ъ) - уЕе~&т* + (у(у, Ъ) - П(у, Ъ) - уЕе~*ту)~ _ Е&_6Ту.
-&тх
Теорема 6. Пусть распределение требований экспоненциальное с параметром ц. Тогда оптимальной дивидендной стратегией, максимизирующей как доход акционеров Ш{х,Ь), так и полученные ими дивиденды У{х,Ь), при фиксированном начальном капитале х и уровне возвращения у является Ь = тах(х, у).
Доказательство. Введем следующие обозначения: ф\{у) = г + ц — , ф2(у) = в + Ц ~ Тогда
по теореме 5 можем записать
_ ф1(у)егх -ф2(у)езх _ ФЛу)егх ~ Ф2(у)езх - ±(ГегЬ+зх - зезЬ+гх)(1 + уц)
Х' ' ~ гфг(у)егЬ - sф2(y)esb, ' ~ гфг(у)егЬ - зф2(у)езЬ '
Дифференцируя эти выражения по Ь и используя свойства корней г € (0, ^р), в € (—/х, 0), получаем, что производные отрицательны, т.е. максимум достигается при наименьшем возможном Ь. Поскольку х,у ^ Ь, это дает Ь = тах(х, у). □
Теорема 7. Пусть х — начальный капитал и уровень возвращения у ^ х. Тогда оптимальной стратегией компании является у = х = Ь для максимизации дивидендов и у = 0 для максимизации дохода.
Доказательство. Подставляем Ь = х в выражения для величины дивидендов и дохода и дифференцируем по у. Получаем У{х,х) > 0, а Ш'у{х,х) < 0, что и доказывает утверждение теоремы. □ Автор выражает благодарность научному руководителю Е.В. Булинской за постановку задачи и полезные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. De Finetti B. Su un'impostazione alternativa della teoria collettiva del rischio // Trans. XV Int. Congress Actuaries. 1957. 2. 433-443.
2. Bulhmann H. Mathematical Metods in Risk Theory. Berlin: Springer-Verlag, 2005.
3. Жанблан-Пике М., Ширяев А.Н. Оптимизация потока дивидендов // Успехи матем. наук. 1995. 20. 257-277.
4. Gerber H.U., Shiu E.S. W. On optimal dividend strategies in the compound Poisson model // North Amer. Actuarial J. 2005. 10, N 2. 76-93.
5. Dickson D.C.M, Waters H.R. Some optimal dividend problems // ASTIN Bull. 2004. 34, N 1. 49-74.
Поступила в редакцию 25.05.2011
