Верхние и нижние оценки дивидендов в дискретной модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

60

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5

1) b* есть 'решение уравнения

r2Coerob* + r2lClerib* + ((v2 - ц2)C2 + 2v^C3) cos цЬ*evb* + ((v2 - ц2)С3 - 2vC sin¡j.b*evb* = 0,

2) b0 есть решение уравнения

r02(Co - Do)er0b° + r2(Ci - Di)erib° + ((v2 - ц2)^ - D2) + 2v^C3 - D3)) cos ^Vb° + +((v2 - ц2^ - D3) - 2v^ - D2)) sin txb0evb° = 0. Константы Cj, Dj ,j = 0,1, 2, 3, находятся из систем Ac = b и Ad = b'. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 07-01-00362-а.

Автор выражает благодарность научному руководителю Е.В. Булинской за постановку задачи и полезные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. De Finetti B. Su un'impostazione alternativa della teoria collettiva del rischio // Transactions of the XVth Int. Congress of Actuaries. Vol. 2. 1957. 433-443.

2. Gerber H. U. An Introduction to Mathematical Risk Theory. Philadelphia: Huebner Foundation, 1979.

3. Dickson D.C.M. Insurance Risk and Ruin. Cambridge University Press, 2005.

4. Dickson D.C.M, Waters H.R. Some optimal dividends problems // ASTIN Bulletin. 2004. 34, N 1. 49-74.

5. Gerber H.U., Shiu E.S.W., Smith N. Maximizing dividends without bankruptcy // ASTIN Bulletin. 2006. 36, N 1. 5-23.

6. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: РХД, 2000.

Поступила в редакцию 05.11.2008

УДК 519.21

ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ОЦЕНКИ ДИВИДЕНДОВ В ДИСКРЕТНОИ МОДЕЛИ

Д. А. Ярцева1

Для дискретной модели капитала страховой компании, использующей барьерную стратегию, изучены свойства математического ожидания дисконтированных дивидендов, полученных до разорения. В предположении, что в случае разорения компании акционеры покрывают убытки и поднимают капитал до некоторого уровня, давая возможность продолжить работу, исследуется дисконтированная прибыль. Получены верхние и нижние оценки как дивидендов, так и прибыли.

Ключевые слова: дисконтированные дивиденды, дискретная модель, верхние и нижние границы.

A discrete model of capital of an insurance company using a barrier strategy is considered. Properties of the expected discounted dividends until ruin are studied. Assuming that the company can function after ruin and its shareholders cover the deficit and raise the capital up to some positive level, the total expected discounted profit is studied. Upper and lower bounds for dividends and profit are obtained.

Key words: discounted dividends, discrete-time model, upper and lower bounds.

Введение. Модель. Пусть S—i,i ^ 1, — капитал компании к началу i-го года, начальный капитал компании So = x. Последовательность ежегодных выплат задается независимыми, одинаково распределенными случайными величинами . Ежегодный приход премий полагается постоянным и равным

1 Ярцева Дарья Андреевна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5

61

целому числу с. Рассматривается барьерная стратегия выплаты дивидендов: п — уровень, начиная с которого выплачиваются дивиденды, йг — дивиденды, полученные за г лет. Капитал компании и дивиденды описываются следующим образом:

Яг = тЦ5г_1 + (с - (г),п], йг = й- + [б— + (с - (г) - п]

+

Пусть ръ = = £),£ = 0, к, и < с < к < п. Коэффициент дисконтирования равен а. В работе исследуются свойства величин ух — математических ожиданий дисконтированных дивидендов, полученных до момента разорения, если ¿>о = х, х = 0, п. Также изучаются величины и)х — математические ожидания дисконтированной прибыли в предположении, что в момент разорения акционеры компании не только покрывают величину убытка, но и поднимают капитал компании до уровня у.

В работах [1] и [2] были выведены системы уравнений для отыскания Ух. В статье [1] были найдены решения в случае с = 1, а в [2] — в случае, когда величины (г принимают значения с +1 и с - 1. Новизна данной работы состоит в том, что помимо величин Ух рассматриваются величины —х (для случая непрерывного времени введенные впервые в [3]), предложен метод нахождения оценок величин Ух и —х и приведен явный вид оценок в случае двухточечных распределений величин

Используя формулу полной вероятности, можно установить, что для Ух справедливы соотношения

Ух = а(роУх+е + Р1Ух+е_ 1 + ... + Рх+сУо), 0 ^ х <к - с;

Ух = а(роУх+с + Р1Ух+с_1 + ... + РкУх+с_к), к - с ^ х <п - с; Ух = а(ро(Уп + х + с - п) +Р1(Уп + х + с - 1 - п) + ...

... + 'Рх+с_пУп + ... + Рк Ух_к+с), п - с ^ х ^ п,

а — удовлетворяют следующим уравнениям:

■х = а(Ро-х+с + ... + Рх+с-о + Рх+с+1(-у - 1 + Ыу) + ...

... + Рк(-у - (к - с - х) + ■у)), 0 ^ х < к - с;

■х = а(Ро ■х+с + Р1-х+с_1 + ... + Рк ■х+с_к), к - с ^ х <п - с;

■х = а(Ро (■п + х + с - п) + ... + Рх+с_п-п+

+Рх+с_п+1-п_1 + ... + Рк ■х_к+с), п - с ^ х ^ п.

Таким образом, изучается решение системы линейных уравнений г = Аг + Ь, где А = (а^)п=о,Ь = (Ь0,..., Ьп)т, а г = (г0,..., гп)т соответствует у = (у0,..., уп)т или ■ = (-0,..., ■п)т. Выберем матричную норму ||А|| = т&хг^^ |, тогда для матриц вышеописанных систем ||А|| < 1. Используя результаты из [4], получаем следующую теорему.

Теорема 1. Каждая система имеет единственное решение, которое может быть получено при помощи метода простой итерации.

Следствие 1. Если все а^ и Ьг неотрицательны, то гг ^ 0. Следствие 2. Если в системе для дивидендов Ьг ^ Ьг_1, то Уг ^ Уг_1.

Верхние и нижние оценки. Построим верхние и нижние оценки для дисконтированных дивидендов. Для этого выберем два числа ¿1 < ¿2, 0 ^ Ь ^ к,1 = 1, 2, и положим Р = Р((г = ¿1) + Р((г = ¿2),

Я = Р ((г = Ь1).

Лемма. Если Р1 фиксированы для Ь = ¿¡, I = 1, 2, то дисконтированные дивиденды растут при д, возрастающем от 0 до Р.

Используя эту лемму, можно шаг за шагом менять распределение (г, чтобы увеличить или уменьшить дивиденды.

Теорема 2. Для распределения = Ь) = рг^ = 0,к, верхняя граница ух, х = 0,п, задается

распределением двузначной случайной величины (г, для которой Р((■ = 0) = ^с1=о Р1 и Р((г = с + 1) = 1=с+1 Р1. Нижняя граница задается распределением случайной величины (", для которой Р( = с-1) =

Т.сс1тиР^> = к) = т.1ст- _

Следующая теорема показывает, как верхние и нижние оценки для юх, х = 0,п, выводятся при произвольных распределениях величин

Теорема 3. Для уох справедливы неравенства и)х ^ х + с?7 х = 0, п, при всех с1, таких, что с! ^ а( 1 — а)-1 Е(с — £1) — п, и и>х ^ х + И, х = 0, п, при всех И, таких, что И ^ а( 1 — а)-1 Е(с — £1).

Доказательство. Основная идея доказательства состоит в том, чтобы заменить систему уравнений IV = Аи] + Ь на систему у = Ау + Ас1 — (I + Ь, где ух = уох — х = 0,п, а (1Х — некоторые числа.

62

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2009. №5

Тогда, используя следствие 1, можно утверждать, что если Ас1 — (I + Ь ^ 0 (покомпонентно), то ух ^ 0 и, следовательно, и)х ^ йх, х = 0, п. Вектор с! ищется как линейная комбинация векторов (1,1,... , 1) и (0,1,...,п).

Рассмотрим другой способ нахождения верхних и нижних оценок.

Теорема 4. Пусть г — решение уравнения г = Аг + Ь, где ||А|| < 1. Тогда для любого вектора ф, состоящего из ограниченных функций, удовлетворяющих неравенствам ф ^ Аф + Ь, имеет место (покомпонентное) неравенство ф ^ г. С другой стороны, ф ^ г для ограниченных ф, удовлетворяющих неравенствам ф ^ Аф + Ь.

Для случайных величин принимающих два значения 0 и к с вероятностями р и 1—р соответственно, величины ух и -шх являются функциями р. Если искать компоненты векторов функций ф и ф из теоремы 4 в линейном виде, то верны следующие две теоремы.

Теорема 5. Для всех 0 ^ р ^ 1 имеют место неравенства

тах(0, Ь(р — 1) + -их(1)) ^ Ух(р) ^ ш1п(с(1 — а)-1р, й(р — 1) + Ух(1)),

где Б = тах(кх)х=^, (I = тт(кх)х=-^, а кх = ух( 1) при 0 ^ х < к-с и кх = (ух(1)-аух_^к_с)(1))(1-а)~1 при к — с ^ х ^ п.

Теорема 6. Для всех р е [0,1]

тах(до + Wx(0), Ь(р — 1) + Wx(1)) ^ Wx(p) ^ тт(7р + Wx(0),d(p — 1) + Wx(1)),

где £> = тах(кж)ж=о^, <1 = тт(кх)х=^,

{а(у + к — с — х + wx+c(1) — Wy(1))(1 — а)-1, 0 ^ х < к — с; а^х+с(1) — Wx-(fc-c)(1))(1 — а)-1, к — с ^ х ^ п — с;

а^п(1) — wx-(k-c)(1) + с + х — п)(1 — а)-1, п — с < х ^ п,

7 = тах(Лж)ж=о^, ц = т1п(Лж)ж=о^ и \х имеет тот же вид, что и пх, но с заменой Ь]х{1) на и)х(0).

В случае, когда р = 0 или р = 1, матрица системы для ух или wx имеет одну ненулевую диагональ, что позволяет находить решение системы в явном виде.

Утверждение. Для Ух(1) имеют место следующие представления: Ух(1) = а^+1(а2с(1 — а)-1 + а(с — п + х + с{] + 1))) при 0 ^ х < п — с, где ] = [п~с~х\, и ух(1) = а2с( 1 — а)-1 + а(с — п + х) при п — с ^ х ^ п.

Также можно искать квадратичные ф и ф. Теорема 7. Для всех 0 ^ р ^ 1

Ьр2 + (гЪх — Ь)р + Wx(0) ^ Wx(p) ^ ¿р2 + (гЪх — d)p + Wx(0),

где Й = тах(Лж)ж=о^, (I = т1п(Лж)ж=о^7 ъих = Ь]х{1) — гих^), а \х вычисляются следующим образом,: \х = а(й]х+с — Wy)(1 — а)-1 при 0 ^ х < к — с, Хх = а(гох+с — Wx-(k-c))(1 — а)-1 при к — с ^ х ^ п — с, Хх = а(гдп — Wx-(k-c))(1 — а)-1 при п — с < х ^ п. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 07-01-00362-а.

Автор выражает признательность Е. В. Булинской за ценные замечания и помощь при подготовке данной работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. C'laramunt M.M., Märmol M, Alegre A. A note on the expected present value of dividends with a constant barrier on the discrete time model // Bulletin of the Swiss Association of Actuaries. 2003. N 2. 149-159.

2. Buhlman H. Mathematical methods in risk theory. Heidelberg: Springer-Verlag, 1970.

3. Dickson D.C.M., Waters H.R. Some optimal dividends problems // ASTIN Bulletin. 2004. 34, N 1. 49-74.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

Поступила в редакцию 05.11.2008