CC BY
33
ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ КАСАТЕЛЬНОЙ ВСТРЕЧИ
B. С. Новоселов
C.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, профессор, decan@apmath.spbu.ru
1. Одной из задач аналитической механики, связанных с движением в центральном гравитационном поле, является исследование вариационной схемы выбора оптимальных траекторий при разгоне и торможении маршевым двигателем с учетом различных дополнительных условий. Наиболее трудным условием представляется отказ от традиционного импульсного рассмотрения участков активного движения [1, 2]. Вторым дополнительным условием может служить требование касания траектории инспектора и инспектируемого объекта в точке контакта с заданной, в том числе и нулевой относительной скоростью [3-5]. Базовой для околоземного маневрирования и полета к планетам солнечной системы является задача построения оптимальных траекторий переходов между околокруговыми орбитами [6]. Если начальная фаза движения принимается произвольной, то, как показано в статьях [7, 8], на оптимальной по минимуму расхода топлива траектории разгон и торможение должны выполняться при наибольшем секундном расходе или при наибольшем реактивном ускорении.
В настоящей работе проводится оптимизация касательной встречи в центральном гравитационном поле с заданной относительной скоростью в конце второго участка включения двигателя. В отличие от [3, 5], активные участки не являются импульсными и в отличие от [4] проводится оптимальное изменение относительной скорости встречи до требуемой величины с помощью второго включения двигателя. Принято ограничение на величину реактивного ускорения, так как построение оптимальной траектории с ограничением на величину секундного расхода топлива связано с большими трудностями [4].
2. Рассматривается компланарная задача движения в центральном гравитационном поле с двумя разгонными включениями двигателя, создающего реактивное ускорение в = const > 0. Первое включение на время Т. в точке старта и второе — на время Т2 в конце участка баллистического движения. Минимизируется сумма характеристических скоростей Vi + V2, Vi = вТ., V2 = вТ2, что равносильно минимуму расхода топлива [4]. Сохраняем основные обозначения [3-6]. Для кеплеровых элементов e — эксцентриситет, p — фокальный параметр, ш —долгота перицентра. Характеристики начальной орбиты снабжаем буквой «н», орбиты инспектируемого объекта, называемой орбитой контакта, буквой «к». В рассматриваемой задаче рк > рн. Истинную аномалию f баллистической орбиты снабжением следующими символами: для начальной точки «—», для конечной точки «+». Фазовые переменные — радиальную и трансверсальную скорости, полярный радиус и полярный угол — обозначаем xi, i = 1, 2, 3, 4; угол наклона тяги к полярному радиусу — через ф,
Применяется методика работ [6,9] введения малого параметра е = 1/2(Т. + Т2)Т-1, где T — время всего перелета. Исследование проводится асимптотически с помощью построения разложений по степеням е. Величины нулевого порядка отмечаем индексом «О», первого и второго порядков — одним и двумя штрихами. Для удобства вычисле-
© В. С. Новоселов, 2009
ний, как и в статье [5], заданную относительную скорость контакта записываем в виде vкрк1/2, v = const > 0, но полагаем v = v0 + ev^ Здесь к — квадратный корень из произведения универсальной гравитационной постоянной и массы центрального тела. Как и в статьях [3-5], для эксцентриситетов начальной орбиты инспектора и орбиты контакта полагаем
' 2 " ' 2 "
ен = еен + е ен, ек = еек + е ек-
Связь скоростных переменных баллистической орбиты инспектора после контакта и орбиты инспектируемого объекта имеет вид, указанный в статье [5]. Отсюда следуют те же условия трансверсальности в точке контакта. Получаем совпадающее с цитированной работой нулевое приближение
ео = (Рк -рн)(рк + Рн)к, Ро = 2ркрн(рк + Рн)к,
шо = ^к = п + ^н,
V.0 = кр-1/2 ((1 + ео)12 - 1), V0 = кр-1/2 ^1 - v0 - (1 - ео)1/2) ,
т° = ^,х-ч„к+Р„)W, ФЧ = ^, т» = e-‘v;\ j = i,2.
Малый параметр уточняется по нулевому приближению
e = l(V10 + V2°)(i3T0)-1. (1)
Для удобства вычислений за методический параметр е можно принять величину того же порядка, что и (1), но имеющую простой вид, например единицы, умноженной на десять в целой отрицательной степени.
Начальное значение углового положения точки определяется на основе уравнений трансверсальности первого порядка в том же виде, так и в статье [5]. Имеем существенное отличие от соответствующего значения для перелета с одним включением двигателя [3, 4]. Указанное различие связано с экстремальным свойством суммы квадратов первых двух лагранжевых множителей (сопряженных переменных) в точках соединения дуг баллистического и активного движений [9]. Разные условия на конце участка баллистического движения для оптимальных траекторий с одним и двумя включениями двигателя приводят к различным представлениям лагранжевых множителей. Хотя величину v можно, в частности, выбрать так, чтобы отпала необходимость во втором включении двигателя, но по-прежнему положение точки старта будет отличаться от положения точки после старта для перелета с одним включением. Поэтому предельный переход к оптимальному перелету с меньшим числом включений двигателя отсутствует.
3. Регуляризация дифференциальных уравнений движения на участках работы двигателя выполняется с помощью введения вспомогательных независимых переменных т. и Т2. Для первого участка t = ¿н+ет., т. £ [0, Л.], еЛ. £ [0, Т.] и для второго t = ¿к+ет2, т2 £ [0, Л2], еЛ2 £ [0,Т2]. Величины Л. и Л2 будут порядка единицы. Регуляризованные уравнения приводятся в работах [3, 6, 9]. С помощью уравнения Эйлера—Лагранжа,
отвечающего радиальной скорости хі, в первом по £ приближений находим закон изменения угла наклона тяги:
ф'і (ті) = Ф'і (°) + аз тз + Ъз т2, і' = 1 2 аі =-хрн3/2Жі(е0), ЛГі(е0) = 1 - ^(1 + е0)1/2(2 - е0) > 0, (2)
“/ЗРн1. «2 = ^е0(1 - е0)1/2рк3/2, &2 = -^/
Здесь в = е-1"в является регуляризованной верхней границей реактивного ускорения и имеет порядок единицы. По формуле (2) величина ф. монотонно уменьшается. Зависимость от времени ф2 более сложная. При V? < V*, V2* = а2рк величина ф2 монотонно возрастает. Если V? > V*, то при т2 < т*, где т* = /З-1^*, монотонно возрастает, при т2 = т| имеет max Ф2 = ф^О) + затем монотонно убывает. Если к тому
же ^2° > 2V2*, то при т2 > 2т* величина ф ' становится меньше ф ' (0).
Определение начальных поправок углов наклона тяги ф' (0) формулы (2) связано с вычислением x. на основе дифференциальных уравнений активного движения и удовлетворением граничных условий, а также условий сшивания баллистической дуги и дуг активного движения. Получена следующая поправка первого приближения для начального отклонения от трансверсального направления тяги в точке старта:
ф1 (0) — (1 + ео)1/2[(2Жіе0 1 — 1)еНsin/Н + Fi(Л1)] ^1 — ео + (1 + ео)1/2^
Fi (Л?) = ^Л°Рн1/2 [хеорн1 + 2(1 + е0)-1/2Рн1/21/1° - "“W)2
(3)
Поправка начального угла наклона тяги второго включения двигателя будет
ф2(0) = —(1 — е0)1/2 [(2N2e0 1 + 1 — v°)eK sin /К + F2 (Л2)](1 + e0 + (1 — v°)(l — ео)1/2) 1,
Ж2 = 1 — -(1 — ео)1^2(2 + ео) > 0,
-^(Лз) = Л2рк1^2[-хе0рк1 + -(1 - е0)1^2(4 - e0)pK1^2V2 + ->с 1(Vr20)2].
(4)
Если участки активного движения можно считать импульсными, то Л° = 0, F; (Л°) = 0 и выражения (3) и (4) совпадут с соответствующими значениями статьи [3], в которой, однако, формула (3) в явном виде не получена.
4. Изменение трансверсальной скорости на дугах активного движения определяется уравнением [6]
^ = e^x'^xl)-1 +Р{1 - ^е2ф'2(т,')). (5)
В моменты отсечки двигателя Tj = Лj = Л° + еЛ; + е2Л; , при этом Vj = Vj° + eVj + e2 Vj ,
V0 = д; vj = Mj, v;' = m;: . 12
Исходя из условий касания с заданной относительной скоростью (v0 + ev')крк1/2, можно записать для точки касания
Ж2(^к) = КРк1/2 [1 - v0 - e(v' - ек cos /к)] + e2X2 (¿к), х2 (íK) = хрк1/2 [ек cos /к - ek/¿ sin /к + ^°eK sin /к] •
Выполняя интегрирование уравнения (5) и удовлетворяя граничным условиям, для поправок первого порядка характеристических скоростей получаем
Величина У/ совпадает с поправкой характеристической скорости статей [3, 4]. Сумма двух поправок (6) соответствует статье [5]. Величины V/ и У/ не зависят от поправок первого порядка наклона тяги (3) и (4), что можно было ожидать на основании теоремы [6, 9] о точности вычисления управлений.
Второе приближение характеристической скорости стартового активного участка получено в статье [4]. Поправку второго порядка характеристической скорости участка контакта представим в виде
Входящая в выражение (7) величина Ф2(0), согласно (4), линейно зависит от Л^. При л2 = о и V0 = 0 получается поправка второго порядка финишной характеристической скорости двухимпульсного перехода [6].
5. Отметим особенности предлагаемой аналитической теории касательной встречи. В нулевом приближении имеем двухимпульсный перелет между компланарными круговыми орбитами с радиусами, равными средним с точностью до вторых степеней эксцентриситетов расстояниями граничных орбит от притягивающего центра. Второй импульс уменьшается в зависимости от величины требуемой относительной скорости контакта. Тяга ортогональна к полярному радиусу. Старт может осуществляться из любой точки начальной орбиты.
В первом приближении однозначно определяется нулевое приближение углового положения точки старта, а также поправки первого порядка для двух характеристических скоростей. Угол наклона тяги изменяется в зависимости от времени. Тяга перестает быть трансверсальной даже в моменты включения двигателя. Полученный в первом приближении закон изменения угла наклона тяги не влияет на расход характеристических скоростей первого порядка, но определяет расход второго порядка. На уровне
V2 = -1/4крн1/2 (1 + eo)1/2 (1 - eo)eH cos /Н+
+ крк1/2 1 - ^(1 -е0)1/2(3 + е0) ексоэ/к - v'xpKlj2. (6)
^2 — х2 (¿к) — х2 +2^2°V’/ (0) + G(A2).
(7)
Здесь определяется при выделении членов второго порядка [6] в соотношении xp-V2(1 + еcos f +). Принято обозначение
второго приближения аналитические выражения становятся громоздкими и могут использоваться лишь для качественных выводов при упрощающих предположениях.
Можно было рассматривать две шкалы единиц измерения: орбитальную и разгонную. В первой принять за единицу времени Т0, а во второй 1/2(Т0 + Т20). По формуле (1) отношение единиц времени равно е-1. Если реактивное ускорение в в единицах первой шкалы полагать равным е-1/3, где /3 ускорение во второй системе, то отношение единиц длины будет е-1, а скорости, вычисленные в разных системах, численно равными. Однако переход от одной системы к другой требует специального преобразования лагранжевых множителей [6, 9]. Поэтому оказалось проще использовать только одну шкалу, а при исследовании разгонных участков выполнять вспомогательную замену независимой переменной.
Литература
1. Ильин В. А., Кузмак Г. Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов с двигателями большой тяги. М.: Наука, 1976. 744 с.
2. Охоцимский Д. Е. Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета. Учебное пособие. М.: Наука, 1990. 448 с.
3. Новоселов В. С. Оптимальные одноимпульсные траектории касательного пролета // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия, 2005. Вып. 4. С. 108-115.
4. Новоселов В. С. Оптимальные траектории касательного пролета с учетом продолжительности активного участка // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия, 2006. Вып. 3. С. 109-120.
5. Новоселов В. С. Оптимальный двухимпульсный касательный пролет с заданной относительной скоростью // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия, 2007. Вып. 4. С. 144-150.
6. Новоселов В. С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. Л.: Изд-во ЛГУ, 1972. 318 с.
7. Гурман В. И. К вопросу об оптимальности особых режимов движения ракет в центральном поле // Космические исследования. Т. 4. Вып. 4. 1966. С. 499-509.
8. Новоселов В. С. Об особом оптимальном по расходу топлива управлении в гравитационном поле // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления, 2007. Вып. 2. С. 54-61.
9. Новоселов В. С., Королев В. С. Аналитическая механика управляемой системы. Учебное пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. 298 с.
Статья поступила в редакцию 18 сентября 2008 г.
