CC BY
35
В. С. Новоселов
ОПТИМАЛЬНЫЙ ДВУХИМПУЛЬСНЫЙ КАСАТЕЛЬНЫЙ ПРОЛЕТ С ЗАДАННОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ
1. Основное упрощение при постановке задач оптимальных переходов в гравитационном поле — предположение об импульсном изменении скорости разгона или торможения с помощью химического двигателя [1].Но даже при таком упрощающем предположении численные исследования обнаружили сложную структуру возможных переходов [1, 2]. Этим объясняется отсутствие точных аналитических решений для задач переходов, исключая задачи переходов между круговыми орбитами и выровненными компланарными эллиптическими орбитами. Качественные исследования приходится выполнять на основе приближенных аналитических решений [3, 4]. Техническое использование космических аппаратов приводит к постановке новых задач. Для инспектирования (обслуживания) тел, обращающихся на околоземных орбитах, целесообразно использовать маневр касательного пролета или перехвата [5, 6]. При решении некоторых технологических задач инспектирования требуется, чтобы относительная скорость пролета была равна наперед заданной величине. Это приводит к усложнению задачи двухимпульсного перехода. Заметим также, что при построении эффективных методов численного определения характеристик космических маневров можно исходить из результатов аналитических теорий по явному определению оптимальных начальных приближений [7].
В настоящей работе предложена общая вариационная схема оптимального построения двухимпульсного компланарного касательного пролета с заданной относительной скоростью встречи в точке контакта. Явно определены первые два приближения для базовой модельной задачи, в которой начальная орбита инспектора и орбита инспектируемого тела имеют малые эксцентриситеты.
2. Отличие постановки предлагаемой статьи от работы [6] заключается в том, что вводится второй реактивный импульс. Величина этого импульса обеспечивает заданную относительную скорость касательного пролета. Используются обозначения цитированной работы. При этом характеристики начальной орбиты инспектора обозначаем буквой «н». Характеристики первой и второй переходных орбит — индексами «1» и «2», угловые переменные этих орбит символами «—» для начального положения и для конечного положения «+». Характеристики орбиты инспектируемого объекта, называемой орбитой контакта, обозначаем буквой «к».
Запишем три независимых условия равенства полярных радиусов в точках приложения импульсов
рн(1 + e1 COS fl ) = pl(l+ eH COS /н)? fl = ^н ^1? /н = ^н ^н?
Pl(l + ек COS /к) = Рк(1 + e1 COS f+), fк = ^к — <^к f+ = ^к — ^1, (1)
p2(1 + ек COS /к) = Рк(1 + е2 COS fl), fl = ^к - ^2-
Условия касания второй переходной орбиты и орбиты контакта по аналогии с работой [6] можно взять в виде
е2pl1 sin fl = e^pl1 sin /к. (2)
© В.С. Новоселов, 2007
С учетом формулы (1) для первого импульсного приращения скорости имеем
seeip1 2 sin f1 — ЭЗвнРн 2 sin/H = Vi COS фх,
(3)
_ i 11
азрн 2(1 + eHcosfH)(pl -pi) = Vising.
Соответственно, для второго импульса
-I _ -I I
же2р2 2 sin f2 — же1р1 2 sin f+ = V2 COS ^2,
(4)
1 - -sep-1 (1 + eK cos /к) (p| - pi) = V2 sin Ф-2 .
Здесь V1 и V2 —характеристические скорости, ^1 и ^2 —углы наклона тяги к радиусу-вектору.
Для удобства вычислений заданную относительную скорость контакта запишем в _ 1
виде veep к2, ^ = const > 0. Векторы скоростей в точке контакта отличаются на вектор указанной величины, который направлен для рассматриваемого в статье случая рк > рн в сторону, обратную скорости инспектируемого объекта. Поэтому получаем два условия
—1 _1 0 1 ^г2 = ^е2р2 2 sin/2~ = 2 Sin/к, Хк = 1 - К1 + 2ек COS /к + е^)“2 ?
(5)
_ 1 _ 1_ vv2 = гер2 2 (1 + е2 cos /2~“) = гехкРк 2 (1 + екcos/к).
Легко убедиться, что из трех уравнений (2) и (5) независимых будет только два. Получили 9 независимых уравнений (1)—(5) для определения 12 неизвестных, именно — кеплеровых элементов е1,р1, ^1, е2,р2, ^2, двух полярных углов точек старта и контакта у>н, ^к и четырех управляющих параметров V1, V2, ^1, ^2 Из третьего уравнения формулы (1) и второго уравнения формулы (5), рассматриваемых в качестве системы двух линейных уравнений относительно не обращающихся в нуль неизвестных 1 + ек cos /к и 1 + е2 cos fl, получаем равенство нулю соответствующего определителя или
р2 = Хкрк- (6)
3. Дополнительные уравнения получим на основе условий трансверсальности задачи минимизации суммарной характеристической скорости V1 + V2 Как и в работе [6], предполагаем фазу движения на начальной орбите произвольной. Отсюда получаем равенство нулю функции Гамильтона H совместной системы уравнений движения Эйлера—Лагранжа, а также условие трансверсальности в точке старта для независимой вариации Д/н:
8зенрн 2 (ах cos /н - А2 sin /н + £Е lpl А3 (1 + ен cos /н) 2 sin /н) + А4 =0. (7)
В отличие от работы [6] в точке контакта будет только одна независимая вариация, например, Д(^>к = Д/к. Учитывая формулы (1) и (5), для фазовых переменных запишем
Дгк = екрк(1 + ек COS /к)~2 sin /кД/к,
_1
Avr2 = ееекрк 2 (Хк cos /кА/к + sin /кДхк),
AvV2 = гер* 2 (-екХк Sin /кА/к + (1 + ек COS /к) Дхк) >
Дхк = —г^ек sin /к(1 + 2ек cos /к + е^5Д/к.
Подстановка этих значений в общее условие трансверсальности [3, 4, 6] приводит к уравнению трансверсальности в точке приложения второго импульса
эзекрк 2 (а+ cos /к - sin /к + А^"8е“ ^ (1 + ек COS /к)-2 sin /к) + А| -
_1_ 2
- z/8seKpK 2 (1 + 2eKcos/K + е2)_5 [д+ ((1 + е2) cos/к)+
+ e^1+COS2 /к)) — А+ ек sin /к(ек + COS /к)] =0- (8)
Как следует из цитированных работ, лагранжевы множители А1, А2, А3 зависят от трех произвольных постоянных A, B, D уравнений Эйлера—Лагранжа. Лангранжев множитель А4 является постоянным и выражается через постоянную A тех же уравнений:
А4 = —sepi 2 Ае\.
Четыре уравнения можно получить [3,4] на основании условий непрерывности лагранжевых множителей Вейерштрасса—Эрдмана в точке старта
А^ = cos ^1, А^ = sin ^1 (9)
и в точке контакта
А+ = cos ^2, А+ = sin ^2- (10)
Имеем систему 15 уравнений (1)—(5), (7)—(10) для определения 15-и неизвестных:
еьрь W1, е2,р2, W2, <£>н, ¥>к, V1, V2, ^1, ^2, A, B, D.
4. Для выяснения качественных особенностей перелета с ограничением в виде заданной относительной скорости контакта и сравнения с результатами работ [3, 6] построим первые два аналитические приближения в задаче с граничными околокруговыми орбитами
ен еен ек еек
где е — безразмерный положительный малый параметр, ен и ек — величины порядка единицы. Неизвестные величины отыскиваем в виде отрезков рядов по степеням е. Члены нулевого приближения отмечаем индексом «о», а коэффициенты при е и е2, соответственно, штрихом и двумя штрихами.
Положим е = 0 и получим решение указанных выше уравнений для начального приближения. Уравнения (1) и (2) дают
р° = рн(1 + е1 COS f1°l) = рк(1 + е1 COS /1°+),
(11)
р2 = рк(1 + е° COS/2° ), е°(р°) 1 sin/2° =0-
Возможны два варианта: 1) v — порядка е, v = ev', v' > 0 — порядка единицы и 2) v — конечная положительная величина. В первом варианте по формуле (6) р° = рк. Из формулы (11) е° sin /°~ = 0, е° cos /°~ = 0, т. е. е2 = 0. Нулевым приближением первого варианта оказывается оптимальный двухимпульсный перелет между компланарными круговыми орбитами, для которого угловое положение точки старта ^н не определяется [3].
е2 = ^(2 - V), р2 = (1 - ^)2Рк, /Т = п. (12)
Заметим, что для задач инспекции V < 1. Действительно, вычитая из скорости инспектируемого объекта г;к = 8зрк 2 (1+2ее^со8/к+е2ек2)2 заданную относительную скорость _ 1
1Уеерк 2, должны получить положительную скорость инспектора после второй отсечки двигателя. Для варианта 2 в начальном приближении получаем задачу оптимального двухимпульсного перехода с круговой орбиты радиусом рн на эллиптическую орбиту с элементами (12), для которой [3, 4]
е1 = (Рк - Рн)(Рк + Рн)-1, Р? = = 2ркРн(Рк + Рн)-1, ^0 = ^0 = ^Н,
^к = ^ + ^н, V? = азРн1 ((р!)*-р!) , ^1 = 1,
1 (13)
Щ = жРк1 ((! - "Ы - (р!)^) , Ф2 = |,
Ао=0, в0 = \, Д, = ±(1-е?2), /1°-=0, /Г+ = 7Г.
Для первого варианта в формуле (13) надо положить V = 0. Как в первом, так и во втором вариантах угловое положение точки старта ^Н в начальном приближении не определяется.
5. Исследование членов порядка е начнем с условий трансверсальности. С помощью (13) и явного вычисления нулевого приближения для лагранжевых множителей [3, 4, 6] приведем уравнения (7) и (8) в первом приближении к виду
гее'нрн 2 N1smf° = А4~, Щ = 1 - ±(1 + е^)г (2 - е^) > О,
; (14)
аге’крк 2 N2smf° = А4+, N2 = I - \{1 - е\)^ {2 + е\) >0.
Поскольку А4 = const, А4_ = А+ = А4, на основании (14) получаем
е'нрн 2 Ni sin(^° - шн) - е'крк 2 N2 sin(^° - шк) = 0. (15)
Принимая во внимание (13), отсюда можно определить нулевое приближение полярного
угла точки старта:
о _ e’^Ni sin LOH + 2 N2 sin UJK
e'HpH 2 N-1 COS LVH + e'KpK 2 N2 COS UJK
н н 1 н к к
Можно записать явное выражение поправки первого порядка постоянной A в виде
А' = — А48З 1р12 е\ = е'не1 (1 + el) 2 N1 sin(<y5° — и>н). (17)
Два первых уравнения системы (1) дают
е1 = р1(рн + рк)-1(ен COS /н — ек COS /к),
_ (18) р1 = —р1 (рн + рк) 1 (ркен COS /н + рнек COS /к) -
Формулы (14)—(16) применимы как для первого, так и для второго вариантов.
На основании третьего уравнения системы (1), а также формул (5) и (6) имеем для первого варианта
е2 = (ек - 4г/ек cos /° + 4г/ 2) 2, р'2 = -2г/рк,
cosf2— = (e2)-l(eKcosfK - 2v/) sinf2— = (e2)-leKsinf,
(19)
и для второго варианта
e2 = -(1 - v2)eK cos fK, p2 = 2v(1 - v)pKeK cos f
v(2 - v)/2- = -(1 - v)2eKsin fK.
(2О)
Выделим члены порядка е в уравнениях импульсного приращения первой характеристической скорости (3):
seef (pi) 2 Д + v^°^i = азрн 2 < sin /°,
v( = + ((РЇ)ї ~pl) e'ncosfn
(21)
С учетом (12), (19) и (20) запишем первое уравнение формулы (4) соответственно для вариантов 1 и 2:
гфї) 2еї/і+ + ^2°^2 =
-жрк 2 < sin /,
-ае(1 - г/)рк 2 sin /,
(22)
Из второго уравнения формулы (4) получим
V2 = «p
-l
к
2 ((РЇ) 2^2 - (Pi) 2PlJ + (P°22 -Pl2)eKCOs/^
(23)
В формуле (23) для первого варианта pO заменяется на pK, величина p2 по формуле (19) на-2v/pK. Для второго варианта по формуле (12) p2 заменяется на (1 - v)2pK, величина p2 по формуле (20) заменяется на 2v(1 - v)pKeK cos fK. В результате соответственно для первого и второго вариантов формулу (23) приведем к виду
V2 = -*pK
^(Pl) 2Рі + ((РЇ)2 -pi) 4 CO s/=
+
-«v Pk
О.
(24)
С помощью формул (1), (13), (14), (21) и (24) получаем поправку первого порядка к сумме характеристических скоростей для первого и второго вариантов:
^1+^2 = se [Рк2 N2eK cos f° - pH 2 N ieH COS /° +
-«v'pK
О.
(25)
При V7 = 0 формулы (24) и (25) дают выражение соответствующих поправок для двух-импульсного перелета корабля-инспектора на орбиту инспектируемого объекта.
2
l
2
А! + Во е0/! — — 01, А + Вово/^ — "02 •
(26)
Для второго варианта уравнения (21), (22) и (26) позволяют получить
(27)
1
А'VI + аз(1 - 1/)рк 2 йш /°
Для первого варианта в формуле (27) надо положить V — 0.
Поправки первого порядка к углам наклона характеристических скоростей найдем по формулам (22), (26) и (27). После учета формул (13)—(15) и (17) будем иметь для второго варианта получим
В случае первого варианта полагаем V — 0.
Формулы (12), (13), (19) и (20) позволяют записать приближенные выражения кеплеровых элементов орбиты, а также истинной аномалии корабля-инспектора после контакта соответственно для вариантов 1 и 2:
где /К — п + — шк, величина определяется формулой (16).
6. Проведенное исследование показало следующее. Общая вариационная схема построения оптимального перелета с заданной относительной скоростью касательного пролета усложняется по сравнению с задачами касательного пролета и двухимпульсно-го перелета. Увеличивается число переменных за счет характеристик орбиты корабля-инспектора после второго импульса. Система полученных уравнений может быть вырожденной, если среди характеристик граничных орбит и величины относительной скорости пролета будут малые параметры. Для вырожденных случаев начальное исследование целесообразно выполнить аналитически.
В работе для базовой задачи с околокруговыми орбитами построены два первых приближения. Оказалось необходимым рассматривать два варианта: заданная относительная скорость имеет порядок малости эксцентриситетов или указанная величина является конечной. Существенное уменьшение второго импульса на величину заданной относительной скорости пролета для первого варианта выполняется в первом приближении, а для второго варианта — в нулевом приближении. Во втором варианте отсутствует предельный переход к двухимпульсному переходу при стремлении относительной скорости пролета к нулю. Расход характеристических скоростей первого порядка не
1
(е2 — 4г/ек соэ /° +4г/2)2,
(1 — 2v)pк
v(2 — V) — (1 — V2 )ек 008 /К,
[ (1 — V) (1 — V +2veк 008 /К)рк, аг^[вк 81п /к(вк 008 /К — 2v)-1],
—v-1(1 — v)(2 — V)— 1 вк cos /к,
зависит от полученных в конце работы выражений угловых переменных первого порядка. Указанные величины будут определять расход второго порядка. Характеристические скорости второго порядка могут быть определены по типу работ [3, 6]. Однако эти выражения оказываются громоздкими и в отличие от отмеченных переменных менее полезны для уточнения исходных данных при численном исследовании. Имеется существенное отличие первой переходной орбиты и первой характеристической скорости от таких же величин для импульсного касательного перелета.
Summary
V. S. Novoselov. The optimal two-impulse tangential passage with the given relative velocity.
The variation method of the optimization of the coplanar two-impulse tangential passage with the given relative velocity is proposed. The analytical construction of two successive approximations in the problem of passage for boundary orbits with small eccentricities is given.
Литература
1. Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета. М., 1990. 448 с.
2. Агапонов С. В. Глобальная оптимальная жесткая встреча без ограничения на время // Вестн. Ленингр. ун-та. 1985. № 15. С. 83-85.
3. Новоселов В. С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. Л., 1972. 317 с.
4. Новоселов В. С., Королев В. С. Аналитическая динамика управляемой системы. СПб., 2002. 246 с.
5. Баринов К. Н., Бурдаев М. Н., Мамон П. А. Динамика и принципы построения орбитальных систем космических аппаратов. М., 1975. 232 с.
6. Новоселов В. С. Оптимальные одноимпульсные траектории касательного пролета // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика, механика, астрономия. 2005. Вып. 4 (№25).
С. 108-115.
7. Новоселов В. С. Начальные приближения оптимальных траекторий для космической навигации // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2004. Вып. 1-2. С. 30-35.
Статья поступила в редакцию 15 марта 2007 г.
