Оптимальные траектории касательного пролетас учетом продолжительности активного участка Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.1:629.78

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 3

В. С. Новоселов

ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ КАСАТЕЛЬНОГО ПРОЛЕТА С УЧЕТОМ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ АКТИВНОГО УЧАСТКА

1. Оптимизация траекторий в гравитационном поле обычно проводится в импульсной постановке, что отвечает неограниченной по величине тяге двигателя [1]. Мало изученным является учет влияния продолжительности (или конечной протяженности) участков активного движения [2-5]. Задача учета протяженности участков активного движения не может решаться в классе импульсных переходов при стягивании активных участков в точки. Поэтому указанная задача должна решаться на основе вариационного подхода.

Технические и биологические условия требуют ограниченности тяги или реактивного ускорения. Применение режимов промежуточной тяги (особые управления) для космических траекторий связано с исследованием весьма сложных математических задач, которые в настоящее время не имеют положительного решения [6-8]. Поэтому на активных участках применяют предельные значения тяги или реактивного ускорения, удовлетворяющие необходимым условиям экстремума [3-5].

Расширение технологических задач, решаемых с помощью космических аппаратов, приводит к постановке новых математических задач по оптимизации траекторий в гравитационном поле. Для инспектирования (обслуживания) целесообразно применять маневр касательного пролета или перехвата, который позволяет инспектору некоторое время перемещаться коллинеарно инспектируемому объекту.

В настоящей работе решается задача аналитической оптимизации траекторий компланарного пролета [9] при одном включении маршевого двигателя с учетом конечной протяженности активного участка и при ограничении на величину тяги или реактивного ускорения.

2. Запишем уравнения, которым должна удовлетворять оптимальная компланарная траектория эллиптического касательного пролета, если начальная эллиптическая орбита инспектора соединена с переходным эллипсом одним участком активного движения. Сохраним постановку задачи, предложенную в работе [9], но примем за дополнительную фазовую переменную массу маневрируемого объекта. Введем обозначения для кеплеровых элементов переходной орбиты: e — эксцентриситет, p — фокальный параметр, ш — долгота перицентра от некоторой точки, принятой за начало отсчета полярного угла у. Характеристики начальной орбиты инспектора обозначаем буквой «н», орбиты инспектируемого объекта — буквой «к». В качестве фазовых переменных принимаем радиальную и трансверсальную скорости, величину полярного радиуса, полярный угол и массу космического корабля

Х1 = Vr, Х2 = vv, X3 = r, X4 = у, X5 = m, которые для переходной эллиптической орбиты представим в виде [1, 3, 5] vr = '<eep~ 2 sin /, vv = щГ 2 (1 + e cos/),

r = p(1 + e cos f )-1, у = f + ш, m = m- = const. (1)

© В. С. Новоселов, 2006

Здесь ж — квадратный корень из произведения универсальной гравитационной и массы планеты, ] — истинная аномалия. Переменные в начале переходного эллипса обозначаем индексом «—», а в конце — индексом «+».

В конечной точке следует выполнить условие равенства полярных радиусов г к =

рк(1 + е cos f + ) = р(1 + ек cos fк), f + = рк - и, fK = рк - ик, (2)

а также условие касания переходной и эллиптической орбиты инспектируемого объекта в виде равенства отношений радиальной и трансверсальной скоростей:

v+(v+ )-1 = ук(«к)-1 = ек(1 + ек cos fк)-1 sin fк. (3)

С помощью (1) условию касания (3) можно придать вид

ерк sin(рк - и) = екрsin(рк - ик). (4)

Начальные условия имеют вид (1), если кеплеровы элементы снабдить индексом «н». Для определенности полагаем рк > рн.

Соединяющая начальную и переходную орбиты дуга активного движения определяется решением системы дифференциальных уравнений [3, 5, 10]

dx 1 _1/2 2 _1\ _1 /

—— = х3 (х2 — ее х3 ) + ¡jLurm cos?р,

dx2 -i -1-1

-jj- = —xiX2X3 + jj,urm smip,

dxs dx4 _1 dxs

= 1Г = Х2Х^ ■W = -fi- (5)

Здесь [ ^ 0 — величина расхода массы в единицу времени, ф — угол наклона тяги к полярному радиусу. Эти величины являются управляющими функциями (управлениями). Через ur обозначена постоянная эффективная скорость истечения. Оптимальность понимается в смысле минимума расхода массы

tK

Ф1 = j [¿di = тн - m-,

tH

что равносильно минимизации характеристической скорости

tH+t-

V = Ф2 = / vdt=uren—1/ = /1,игт~1. J m

tH

Управление v представляет собой величину реактивного ускорения. Рассматриваем два варианта: 1) при ограничении на управление [

0 ^ [ ^ а = const > 0 (6)

или 2) при ограничении на управление v

0 < v < в = const > 0. (7)

r+, т. е.

3. Поскольку формулы (1)-(5) явно не содержат время t, функция Гамильтона совместной системы уравнений движения и уравнений Эйлера—Лагранжа будет постоянной [3, 5]:

Н = ¡urm-1(-1 + Ai cos ф + A2 sin ф) — ¡A5 + H = const, (8)

где

H = Ai x—1(x2 — ж2х—1) — A2X1X2X—1 + A3X1 + A4X2X—1. (9)

Во втором варианте множитель перед скобкой в (8) заменяем на v и полагаем A5 = 0. Формула (9) сохраняется без изменения.

Запишем условие стационарности по управлению ф:

дН

—— = 0, —Ai sin ф + Х2 cos ф = 0. (10)

дф

Точки переключения управления ¡ удовлетворяют условию дН

—— = щтГ1 (—1 + Ai cos ф + А2 sin ф) — А5 = 0. (11)

d¡

Во втором варианте для точек переключения управления v, вместо (11), получаем

дН

—— = -1 + Ai cosV> + A2sinV> = 0. (12)

dv

Как и в работе [9], предполагая фазу движения на начальной орбите произвольной, приходим к условию Н = 0, а также к условию трансверсальности в начальной точке

агенРн* cos fH - Af sin fH + эз-у|(1 + eH cos /я)~2 sin fH\g) + Af = 0 (13)

и двум условиям трансверсальности в конечной точке

ек (1 + ек cos fx)sin fxA+ + A+ = 0, (14)

ек( 1 + excos/x)-1 щ^рк1{ек + cos/K)A| +

+Рк(1 + ек cos fx)-1 sin fxA+ ] + A+ =0. (15)

В отличие от работы [9], в связи с увеличением числа фазовых переменных получаем для варианта 1 дополнительное условие трансверсальности

A* Ax* = 0, AHH = 0. (16)

4. Для первого варианта пусть величина тяги двигателя в соответствии с формулой (6) равна своему максимальному значению, а продолжительность активного участка T1 на порядок меньше времени перелета T, т.е.

¡ = a, T.T-1 = £1,

где £1 —безразмерный положительный малый параметр. Введем обозначение a = £1a. Положительная величина a имеет порядок единицы. Выполним замену независимой переменной t = tн + £Т в уравнениях движения (5):

¿X1 _1 2 2 _1 \ ~ _1 ¿X 2 _1 ~ _1

——= £ix3 (ж2 — эз х3 ) + aurx5 cos ф\, —— =£1^1X2X3 aurx5 sin ф\, ат 1 ат2

dx^ dx4 _1 dxs

—— = eixi, ——= £1ж2ж3 , —— = -a, (17)

dT1 dT1 dT1

и в уравнениях Эйлера—Лагранжа [3, 5]:

d^1 , _1 , dÁ2 _1, л N -—=е1{Л2Х2Х3 -А3), -—= е1х3 (-2Aix2 + A2XI - Л4),

dT1 dT1

л _2/2 п 2 _1\ _2 _2

= eiAiXg (ж2 — 2х х3 )— £i\-2xix-2x3 + £\Л4Х2Х3 ,

dT1

dX4

—— =0, А4 = const, dT1

—- = aurXc- 2(—1 + Ai sin ip + A2 cos ф). (18)

dT15

Для второго варианта в соответствии с формулой (7) реактивное ускорение полагаем равным наибольшему допустимому значению в, заменяем aurx-1 на в,Т1 и £1 на T2 и £2, а также опускаем пятые уравнения в формулах (17) и (18).

На участке баллистического движения а = 0 (в = 0) уравнения (5) и (17) имеют решение (1), а уравнения Эйлера—Лагранжа (18) следующее решение [3, 5, 9]:

X1 = A cos f + Ве sin f,

X2 = (1 + еcos f )-1 [-Asin f (2 + еcos f) +B(1 + еcos f )2 + ü] ,

A3 = Eep~í(l + ecos/) [-Asinf + B( 1 + ecos/) + D],

A4 = —ssp^^Ae, A5 = const. (19)

Величины A, В и ü являются постоянными. Во втором варианте опускаем лагранжевый множитель X5.

Экстремальное решение должно удовлетворять полученным выше уравнениям для соответствующих дуг траекторий и условиям стыковки в точке соединения участка активного движения с переходным эллипсом. Эти условия заключаются в равенстве в указанной точке фазовых переменных и лагранжевых множителей. Решение задачи оптимизации траектории пролета будем отыскивать в виде отрезков рядов по степеням £1 или £2. Ограничимся учетом членов нулевого, первого и второго порядков, которые будем отмечать соответственно индексами: нуль, один штрих и два штриха.

5. В нулевом приближении из уравнений (10) и (18) следует = const, j = 1, 3, ф° = const. В первом варианте с помощью (17) и (18) получаем

X0 = urx-1 (-1 + X1 cos ф° + X0 sin ф°) + c, c = const.

По условию (11) c = 0, и поэтому на основании (16)

-1 + X? cos ф0 + X2 sin ф0 = 0. (20)

Для второго варианта соотношение (20) является следствием (12). Для двух вариантов по формулам (10) и (20)

X? = cos ф0, X2 = sin ф0

и по формулам (17)

x0- = xH + V0 cos ф0, x°2- = xH + V0 sin ф0,

x^o — x^H , x0 — xн . (21)

Как и в работе [9], граничные орбиты предполагаем околокруговыми, но в отличие от указанной работы полагаем

22 ен = £ген + £i ен, ек = £1ек + £i ек.

Если эксцентриситеты граничных орбит первого порядка малости, то е'Н = е'к =0. Если, например, эксцентриситет начальной орбиты второго порядка малости, то е'н = 0. Можно представить эксцентриситеты граничных орбит и в виде суммы двух членов первого и второго порядков. В нулевом приближении дуга баллистического движения будет полуэллипсом Гомана с характеристиками [9]

1 3

е° = (рк~рн)(рк +РНУ1, Р° = 2ркрн(рк +Рн), Т0 = ^-дтгге~1(рк + рн)?,

У* = щ>н1№-Р*н), /°-=0, f0+=n, ф = т. А° = 0,

В0 = jeo\l + ео), Do = -^е0(1 + е0)(1 - е0)2.

Из формул (18), (19) и (22) следует X4 = 0.

Фазовые переменные в нулевом приближении будут

X-I == х-i , Хо —— Xn ~Ur¡- 111--— == Хо ~? жз == Xq , х^. —— Хл , (23)

тн - a.T1

х$ = тн — ат\, х®н = 0, х^Н = '<spH2, х3н = рн, х°Ан = р°н.

С помощью (21)—(23) находим начальные приближения длительности активного участка для двух вариантов в масштабах соответствующих переменных T1 и T2:

Л° = тна-1(1 - е-У°и-1), Л° = V0f3-1.

Угловое удаление точки старта от принятого неподвижного направления рН в нулевом приближении не определяется.

6. При исследовании членов первого порядка на основании (8) запишем

£1H = aurт-1(-1 + X1 cosф + X2 sin ф) - aX5 + £1H = 0 + 0(£2).

Поскольку по формулам (9), (19) и (22) X0 = 0, x0 = 0, X4 = 0, H0 = 0, отсюда следует, что и в первом приближении

X5 = x-1 ur (-1 + X1 cos ф + X2 sin ф).

По формулам (16) и (18) получаем

dX5

«As, A5 = AfeáTl=0.

dT1 5

Приходим в первом приближении для варианта 1 к формуле вида (12) и (20)

— 1 + A1 cos ф + A2 sin ф = 0.

Заметим, что для второго варианта это соотношение выполняется в любом приближении. С помощью формулы (10) находим

A1 = cos ф, A2 = sin ф. (24)

Для определения в первом приближении закона изменения направления тяги подставим представления (24) в первое уравнение Эйлера—Лагранжа (18)

-Sü^i^=ei(\02x02i(x¡T1-\¡)+0(e2i), г =1,2. (25)

Вычислим по формуле (19) с помощью (22) нулевое приближение третьего лагранже-вого множителя

п 1 —1 1 п —1

= -эзря2(1 + ео)2(3-ео), 0 < < эзря2. (26)

Проинтегрируем уравнение (25) для первого и второго вариантов

Ф1(Тг) = ф[{0) - Щ>н*Щео)п - Щп),

Ег =urV-¿ (n - &-lm\n{mHm-1)) , E2 = ^fdpH1T¡, Я<(0) = 0. (27) При Ti = 0 будет £i > 0. Функция

1 3

ЛГ(ео) = 1 - - (1 + е0)* (3 - е0) = 1 - аГ:

на отрезке eo G [0,1] положительна, поэтому ф1 и ф'2 монотонно убывают.

Используя (27), проинтегрируем первое уравнение системы (17) для двух вариантов

х'п = эзе'нрн2 sin fH - игф[(0) 1п(тя"г-1) + fi(ri),

х'12 = эзе'нр~* sin - М(0)т2 + F2(t2). (28)

Функции Fi и F2 обладают свойством

1

íi(0) = 0, F2{t2) = t¿Vh P4 [жРнЧ2 + ЛГ(ео)) + Рт2\ > 0. (29)

Выражение í\(t) ввиду его громоздкости не приводится. Отметим, что в конце участка активного движения соотношения (28) принимают вид

= эзе'нр-Ь sin - V^ki0) + Í1(A?). (30)

Согласно (18), A4 = const. Исключаем A4 из уравнений трансверсальности (13) и (15) и приходим, как и в работе [9], к определению нулевого приближения углового положения точки старта при анализе членов первого порядка

tg у0н = (Qhе'н sin шн — Qkе'к sin шк)(Qhе'н cos ш* — Qkе' cos шк)-1,

QH=PHiN(e0), дк = ^(1-ео)1/2(1 + е0). (31)

Входящее в формулу (28) нулевое приближение истинной аномалии начальной орбиты в точке старта определяется по формуле f 0 = — ш н. Если в'н = 0, в'к = 0, то рH = шк. В этом случае принимаем f 0 = рH. По формуле (17) для первого варианта

х2 + £\х!2 = герн2 + £iзде'нрн2 cos f10 + ur In-^—.

T J

mh - aT1

В конце участка активного движения

V\ = ur In —q^———— = Vo + £iV/, V[ = —игт'-ф(m J-)-1, = —aA\

m¡ + £1m1

x'2(Ai) = ase'HpH2 cos f0 + aurA'1(m'l ) 1.

Для второго варианта

x2 + e2x'2 = sepH2 + e2a¡e'HpH2 cos f0 + ¡3t2,

и в конце активного участка

V = V0 + £2V¿, v2 = ^Л2,

x'2{K2) = see'HpH2 cos f10 + ¡3k'2. (32)

С точностью до членов первого порядка малости для двух вариантов по формуле (17) находим

х'з = —е нРн cos f0. (33)

Для первого варианта по формулам (17) и (23)

х4 = pi = рн 1 + Рн В конце активного участка

x'4-(A°1) = p'H1-&-1pH1mHV0+pH1(iepHl2 +ur + V°)A°1. (34)

Для второго варианта

—— 1 - 1 (^spH2 tírj n — á ^rmlnftriffffl 1)

—- 1 ~ о

^Г = V>2~ = VH2 + ^Рн2 T2 + пРЪРн ■

В конце участка активного движения

*Г(Л°) = <р'н2 +Рн(*Р7 + \V°)A°2. (35)

Из условия касания (4) в конечной точке имеем

f= -е'к е^РоРк1 sin fK. (36)

115

Удовлетворим необходимым условиям экстремума в первом приближении. Из непрерывности величин полярных радиусов в начальной и конечной точках переходного эллипса, как и в работе [9], получаем

e1 = -ро(рк + Ph) (е'к cos Ik — е'и cos Iн),

p' = Ро(рк + Ph)-1(рне'к cos fK + Pkе'н cos f°). Из условия трансверсальности (13) при учете формул (19) и (22) находим

А' = -р0 2 eQleHQH sm(p°H - шн). Условие трансверсальности (14), как и в работе [9], приводит к равенствам

(37)

1

1

В' = -^е02е', =-е02(1 - е0)е'. Запишем первое соотношение формулы (24) и условие непрерывности радиальной

(38)

скорости в точке стыковки активного участка и переходного эллипса

А' + Воео/Г = яеоРоЧГ = •

На основании (27), (30) и (38) имеем

fr = e^Caepö* " ^ß0)"1 [(sep"4 - e^plQHV°) e^ sin fH+

+Я(Л°) - l/0 {щГн*Щео)Лг° + ,

1 —i _i Ф'М = -4(1 + е0)/Г + sin/£ + sepH2N(e0)A° + Д4(Л,°). (39)

Заметим, что по формуле (22)

œpo

è - V°B° = iaeeöVo *

(1 + eo)2 -(1 — eo)2

> 0.

(40)

С помощью формул (1), (31), (32) и (37) условие непрерывности трансверсальной скорости в точке стыковки участка активного движения и переходного эллипса принимает вид

Vi = —ж (е'нQh cos f° + е'кQk cos fK) .

Наконец, запишем у'- = x'-, и' = x— — f, yK = = f'K. Все характеристики траектории первого порядка, за исключением входящей в формулы (34) и (35) поправки у'н = IH углового положения точки старта, определены. Указанная величина определяется при рассмотрении членов второго порядка.

7. Найдем величины второго приближения для второго варианта. На основе (17) составляем уравнение

^ = -е1х>124(4)-1 +/3(1 - \ф'2\г2)) +0(4). Отсюда с помощью формул (27)-(29) получаем

х>>(А°2) = V" - аер-*е^ sin/£ + cos f°H - \у°ф'2{0) - С(Л°), (41)

где

G(A^) = вхр^кЪ 1

+

|ae2^1(2 + ЛГ + W2) + ±аеря*У°(3 + 2ЛГ) + il/02

Поправку второго порядка трансверсальной скорости в точке соединения активного и баллистического участков можно определить на основе формулы (1):

//- т -"I / // 1 // -1 1 / / -1 1 -1/ г1-\2 .3/2-1 -1 \ ж2 =£ЕРо Iе ~2Р Рн ~2еРРо ~2РоРн и ) +%Р Ро Рн )• (42)

Расход характеристической скорости второго порядка в^У" найдем приравниванием правых частей формул (41) и (42).

Входящие в формулу (42) поправки второго порядка эксцентриситета и параметра переходного эллипса вычисляются на основании условий непрерывности величины полярного радиуса хз в начале и в конце переходного эллипса. По формулам (17), (28), (30) и (33) находим

(43)

x'3 (Л0) = pн (еН fн sin f 0 + е'2 cos2 f0 - е/ cos f0) + Д(Л0), Д(Л°) = Л° (яр-*е'н sin/0 -0)) iaep-^У°Л°2 Q(2 + ЛГ) +

По формуле (1) с учетом (22)

ХТ = РнРо1 (р" ~Рне" + ^яе0(/1-)2 - е'р'рнр^1 + е^р2^1

= РкРо1 (i1" +№е" - ^№е0(/1+)2 + е'р'ркр^1 + е'2р2кр^ ,

xsx = Рк (ек Гк sin f 0к + е'к cos2 f0 - е'к cos f°) .

Приравниваем xí/ (Л0) и x3-, а также x'3+ и x^, получаем два уравнения для определения p" и е''. После преобразований с помощью формул (37) будем иметь

Р = 2^0

¿е0 ((//+)2 - (Z1-)2) -Р'(е'кРкС<х/к + 4?я®/я)+

+Р0(екрк^'к sin fy + е НР - fh sin fh )--р0(е'^рк1 cos^ + е/Рн1 cosf° ) + Р0РН2Я(Л0)] , (44)

и 1 -1 -1 е = Т2Р0РК РН

¿ео(рк(/1+)2 +Ph(Í1-)2) — р'(е'к cos Ík ~ е'н cos /#)+

+Р0(екf к sin к - е'н f н sin f0)-

-Р0(е'к cos f0K - е/ cos f0H) - Р0Р- Д(Л0)] . (45)

1

В формулы (44) и (45) входит величина f'H, которую ввиду вырожденности задачи не удалось определить в первом приближении. Указанная величина вычисляется при анализе членов второго порядка после исключения Л4 в условиях трансверсальности (13) и (15). Получается соотношение

f 'н(eHQ h cos f0 + e'KQk cos f0K) = -e'Q н sin f0 - e'KQk sin f0K+

+e'

H

зе.РнЦА' + Boeof'-) - pH sin fH(2X¡-e'H cos fH - ASf)

+

+eK

3SpIpk\A' + B0e0f'+) +pk sin f0K(2X°+e'K cos f°K - X'+)~

-PKЛ3+(f'+ - f '-)cosfK] • (46)

Явные представления величин , Л—, приведены в работе [9].

Выражение для V" с помощью формул (37), (41), (44) и (45) можно преобразовать к принятому в работах [3, 9] виду

У" = iaepo 'W (р" ~ \Р0ЬР'2 + е'нР'cos +

+V° QV'2(0) -e0/¿sin/0 + e^cos/^ ^р1Рн2К(А02) + С(А°2). (47)

Если в формуле (47) положить e' = 0 и опустить два последних члена, то получим выражение для поправки второго порядка характеристической скорости импульсного перехвата [9]. Но это совпадение только по форме. Чтобы выделить дополнительную величину расхода характеристической скорости по сравнению с перехватом, в котором расход массы в единицу времени или реактивное ускорение сколь угодно большие, надо учесть формулы (39), (44) и (46).

8. Пусть e' h = eK =0. Нулевое приближение углового положения точки старта уH определяется только во втором приближении на основании формулы (46) в виде

e'É Q h sin(yH - и h ) - e'K Qk sin(yH - ик) = 0, tg yH = (e"H Qh sin uh - e'K Qk sin uk )(e' Q h cos uh - e'K Qk cos ик )-1.

В этом случае A' = 0, по формулам (36) и (37) f'+ = 0, e' = 0, p' = 0, B' = D' = 0. На основании формул (26), (27), (29), (38)-(40) находим

1 / 3 \/ 1 \ — 1

е>- — „-1тД> л 0 (^-2 \0— > ' --

/Г = ( аеря* - АГ ) Ыр0 ~2 ~ V»B») > 0, (48)

(згРн2 - АГ J (®р0 2 " V»B

1 -1W- , ( 1 Л0- , 1 ■-1ТД>

^(0) = -\р0рн42- + (жрн^ - + \рн1У°) А§. (49)

По формулам (38) и (48)

ф2(А°) = -Всео/2- < 0.

Поправка характеристической скорости второго порядка с использованием формул (44) и (47) примет вид

У" = -эз(е^дя сое ¡°н + сое /&) - ^эзео4ря(/Г)2 +

+\у°Ф22(0) - кр1рн\1 - -^oPh'W + G■

Четыре последних слагаемых этого выражения, как показывают формулы (41), (43), (48) и (49), вызваны учетом конечной длительности участка активного движения. Они имеют разные знаки, и может показаться, что предельный случай импульсного перехвата окажется неоптимальным. Однако вычисления показывают, что для указанных слагаемых суммы первых двух и последних двух будут положительными.

9. Поправки второго порядка для минимизируемого функционала, как показывают формулы (47) и (49), не зависят от поправки второго порядка управления ф. Тем самым подтверждается справедливость теоремы об упрощенном аналитическом представлении управляемого процесса [3, 5]. В соответствии с указанной теоремой для построения оптимальной траектории с точностью до членов второго порядка достаточно в уравнениях Эйлера—Лагранжа, условиях трансверсальности и функции H при получении условий ее максимальности ограничиваться членами первого порядка. Однако ввиду вырожденности начального приближения рассматриваемой задачи пришлось привлечь условия трансверсальности первого порядка для определения нулевого приближения углового положения точки старта и второго порядка при нахождении поправки первого порядка указанной величины. При более глубоком вырождении, при котором эксцентриситеты граничных орбит на порядок меньше отношения длительности активного участка ко всему времени движения, нулевое приближение углового положения точки старта определяется с помощью условий трансверсальности второго порядка.

Предложенный в работе метод позволил в явном аналитическом виде определить оптимальную по энергетическому расходу траекторию касательного перехвата второго порядка в двух вариантах: 1) при ограничении (6) на секундный расход массы и 2) при ограничении (7) на величину реактивного ускорения. Если для оптимальных импульсных траекторий эти подходы приводят к одинаковому решению, то при учете конечной длительности активного участка соответствующие оптимальные решения будут отличаться. При этом замена первого ограничения на второе существенно упрощает процедуру построения решения. В результате удалось получить отмеченные выше общие выводы о поправках, вносимых учетом конечной продолжительности активного движения.

Summary

V. S. Novoselov. Optimal traectories of the tangential spacing taking into accout of duration the active section.

The variation method of the optinization complanar trajectories of the tangetial spacing taking into account of duration the active section is proposed. An analitical construction of three degree of approximation in problem of transters between complanar orbits with small eccentricities is given.

Литература

1. Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М., 1990. 448 с.

2. Кузмак Г. Е. Об учете протяженности активных участков при исследовании оптимальных перелетов между близкими околокруговыми некомпланврными орбитами // ДАН СССР. 1968. Т. 181. N1. С. 42-45.

3. Новоселов В. С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. Л., 1972. 317 с.

4. Ильин В. А., Кузмак Г. Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов с двигателями большой тяги. М., 1976. 744 с.

5. Новоселов В. С., Королев В. С. Аналитическая динамика управляемой системы. СПб., 2002. 246 с.

6. Гурман В. И. К вопросу об оптимальности особых режимов движения ракет в центральном поле // Космические исследования. Т. 4. Вып. 4. 1966. С. 499-509.

7. Зеликин М. И., Борисов В. Ф. Синтез в задачах оптимального управления, содержащий траектории с учащающимися переключениями и особые траектории второго порядка // Математические заметки. Т. 47. Вып. 1. 1990. С. 62-73.

8. Азимов Д. М. Аналитические решения для участков промежуточной тяги траекторий ракеты в ньютоновском поле // Прикладная математика и механика. Т. 60. Вып. 3. 1996. С. 426432.

9. Новоселов В. С. Оптимальные одноимпульсные траектории касательного пролета // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 4. С. 108-115.

10. Новоселов В. С. Аналитическая механика систем с переменными массами. Л., 1969. 240 с.

Статья поступила в редакцию 17 ноября 2005 г.