Асимптотическое построение оптимального многопараметрического перелета. 2. Второе и третье приближения Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2009. Вып. 3

УДК 531.1:629.76 В. С. Новоселов

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПЕРЕЛЕТА.

2. ВТОРОЕ И ТРЕТЬЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

1. В статье [1] сформулирована задача оптимизации многопараметрического перелета и построены нулевое и первое приближения. Особенностями исследования являются отказ от традиционного импульсного рассмотрения участков активного движения [2, 3] и учет ограничений на время перелета и скорость касательной встречи. Применяется развитая в книгах [4, 5] вариационная схема аналитической оптимизации траекторий в гравитационном поле, построенная на основе принципа максимума. Начальная орбита и орбита контакта являются близкими и круговыми. Перелет состоит из трех участков: баллистического и двух участков включения двигателя, создающего предельное реактивное ускорение /. Поскольку эллиптическая траектория баллистического участка близка к круговой, то для ее описания используются элементы Лагранжа. За методический малый параметр принято отношение разности радиусов граничных орбит к радиусу начальной орбиты е = (гк — гн)г—1. Для определенности принимаем гк > гн. Буквами «н» и «к» отмечаем соответственно характеристики начальной орбиты и орбиты контакта. Характеристики начала и конца переходного эллипса снабжаем индексами «—» и «+». Кроме значений радиусов граничных орбит постановка задачи учитывает следующие параметры: 1) приведенное реактивное ускорение /3 = ев, где /3 порядка единицы; 2) характеристики относительной скорости контакта, взятой в долях орбитальной скорости инспектируемого объекта в виде ev' + £2v + £3v , где v' ,v и v порядка единицы; 3) параметр а, определяющий слабое ограничение на длительность полета [1].

2. В настоящей работе исследование проводится с точностью до третьего порядка малости относительно величины е. Как и в статье [1], штрихами отмечаем члены соответствующих порядков, члены нулевого по е порядка - индексами нуль. За фазовые переменные Xj,j = 1,4, принимаем радиальную и трансверсальную скорости, полярный радиус и полярный угол. Управление, которым является угол наклона тяги к полярному радиусу, обозначаем через ф. По теореме [4, 5] о допустимости упрощенного определения управлений при решении задачи с точностью до е3 необходимые условия экстремума, в том числе условия трансверсальности и уравнения для лагранже-вых множителей, можно удовлетворять с точностью до е2. Поэтому дифференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа для первого лагранжевого множителя, как и в статье [1], принимаем в виде

^-«Wdr'-AS). d)

ат

Новоселов Виктор Сергеевич — доктор физико-математических наук, профессор кафедры механики управляемого движения факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 190. Научные направления: аналитическая динамика управляемых систем, управление движением в гравитационном поле, вариационные методы механики. E-mail: [email protected].

© В. С. Новоселов, 2009

где т - вспомогательная независимая переменная такая, что Ст = £ сИ. Из [1] следует

Ai = cos ф + 0(є3), Л2 = sin ф + 0(є3), Ag = -шгн 2,

1 7Г

ж? = 0, x°2 = serH2, Х°3 = гн, ^0=2' ^

На основании формул (І) и (2) получаем

= 0 + 0(є3), ф=—+єф' + є2ф , ф'’ = const, ф = const.

dT 2

Будем обозначать вспомогательную независимую переменную на первом активном участке через ті, на втором - т2, а ее значение в конце соответствующего активного участка через Лі, i =1, 2. Для характеристических скоростей запишем

Vi = єЗЛі = є^І + є2^' + є3^'", V0 = 0. (3)

В статье [І] при сохранении членов порядка є было получено

1-і 1 _і 7Г

V( = 4ЖГН 2 , = (- - l/)serH 2, Фг = ^ + єф'і,

где ж - квадратный корень из произведения универсальной гравитационной постоянной на массу центрального тела. Постоянные величины ф[ в первом приближении не определялись. Фазовые переменные на первом активном участке имели вид

х\ =0, х-2 = эзгн 2 + є/?ті, жз = rH, Х4 = 0. (4)

Соответственно на втором активном участке

Xi = Xl(tк) =0, X2 = X+ + є(3т2,

+ _

X2 — ^^^н

1 - є ( і + z/ - eV^

X3 = Гн(1 + є), X4 = п. (Б)

Выполним интегрирование уравнений движения (см. [1], формула (12)) для активных участков, сохраняя величины третьего порядка малости по £. Начинаем с уравнения изменения радиальной скорости х\. Для первого участка с учетом (4) получим

х\{т{) = -£2РФ[п +£3/Зт1(азгн2т1 -ф1). (6)

В конце участка на основании (2) и (6)

х± = -£2У{ф[ - £3(У1 ф[ + У{ф1) + £3азгн 2/3~1У12. (7)

Для второго участка с учетом (5)

Ж1^+ + Т2) = х\ - £2(Зф'2Т2 + £3/3Т2 ^ЖГН 2г2 - ^Ж2Гд2/3-1 - -02 ^ • (8)

В точке контакта Х1(£+ + Т2) =0, поэтому на основании (8) имеем

Х1 = е2^2^2 + е3(^2^2 + У2Ф1) + ^83Гн 5 - У2'^ • (9)

105

Дифференциальное уравнение для трансверсальной скорости (8) статьи [1] при сохранении членов порядка £3 на основании (4) и (5) примет вид

ж = ‘fc f1 - Г*'‘

Отсюда получаем

Х2Ы) = х2\Ті=0 + є/Зті ( 1 - тЄ2гФі2 ) , х2\Т1=0 = эзгн2, х2\Т2=о = х2 . (10)

С учетом формулы (3), приравнивая Х2^) правой части формулы (3) статьи [1], на-

ходим

— oci-y* о — dJ / *

н +ev; + e2v;'+e4v---v;^

X = ж/й — є

—>-

-1/5 3 , 1

+ є2

-і /3 1

8 + 21''-1' 1

(11)

Для величины полярного радиуса на основании (б)-(9) и дифференциального урав-

drq 2

нения -^г- =£ xi получим на активных участках

X3 = const, xз(т і )= x- = /н, X3^2) = x+ = /н(1 + є). (12)

В результате интегрирования уравнения ^г- = є2х2х^1 с помощью (10) и (11) определим изменение полярного угла

1

ж4(ті) = Ж4 + є2азгн 2 Ті + ^ІЗг-^тІ,

Ха{т2) = х\ + є2азгн 2 r2 - є3гн хт2

-ІД

Ж)н 2 (о + + у2 - ~JT2

Угловые положения первой и второй точек отсечки двигателя будут равны

г- = е^Гн2!/^-1 + ezv'2p-lr^\

^4 (^к) = ~\~ £ £0Гн 2 V^i (3 — trH У^(3

.11

ж/н

(о + Z//) + 0^2

(13)

3. Представления (7), (9), (11)—(13) приравняем соответствующим выражениям (2) статьи [1] для фазовых переменных х^ в точках начала и конца переходного эллипса. При этом примем во внимание полученные в [1] первые приближения для элементов Лагранжа и фокального параметра

Ь' = 0, к'=\> Р'=\г н-

Из соотношения

h sin x- + k cos x- = p(x3 ) 1 — 1

3

І0б

отвечающего полярному радиусу начальной точки переходного эллипса, и формул (12) и (13) находим

к = р г—1, к = р г—1. (14)

Соответственно с помощью формулы для полярного радиуса конечной точки переходного эллипса имеем

к =-\, к =\~Р Гн1 +р Гн1 - Н х4+ + \{х^)2. (15)

По формулам (14) и (15) находим

Р = -^гн, р" = (і + 4/Гж4+ + (ж4+)2) . (16)

На баллистическом участке радиальная скорость представлялась в виде [1]

Х\ = 83р~2 (/гзІПЖ4 — ксОБХ^).

Отсюда для начальной точки переходного эллипса с учетом (14)—(16) получим разложение

і г /1 .. 1 \ і

(17)

_ 1

2 ,, 3 , 1 ,,, 1 ,

---£ Н ~\~ £ ( —Ха ----- Н -\- —Н

V 2 4

Приравняем правые части (7) и (17):

к = аз 1г1У{ф[ = -ф[,

к" = аз 1г£ + У['ф[ + У{ф'[^ + - г^У[2(3 (18)

Соответствующие вычисления для конечной точки переходного эллипса приводят с использованием (9) к выражениям

Ь = аз 1г^ф'2 + ^х + = ^ ф'2 + ^х+,

к = £Е_1Г]| [^У2ф2 + У2ф2 + У2 ф2^ - ^ж4+ + ^х4+ +

+ г^/З-1^ (^эзгн5 - . (19)

Сопоставим (18) и (19):

Ф1 - (1 - 4^2 = 2x4+, (20)

ф[ - (1 - А-у')ф2 = ~^х4+ + А{у[2 - У22 + ^эзгнгУ2') +

+ ае-1^ (У2>2 - УЖ) + 2 (х''+ - х4-^ + 4ж^1г| (у2 ф2 - V?фС) ■ (21)

В статье [1] показано, что Ф2 = -Ф1. Отсюда с помощью формулы (20) получим

х4+ = (1 - 2^1)ф'1 = -(1 - 2^)Ф2. (22)

107

Проведя разложения по степеням е выражения трансверсальной скорости баллистического полета

х2 = хр~ 2 (1 k cos Ж4 + h sin Ж4), для начальной точки переходного эллипса на основе формул (11), (15), (16) запишем

н

V

13 1,

128 _ 4:

h - іх4+

1

+ 0^1

(23)

Соответствующие вычисления для трансверсальной скорости конца баллистического участка дают

7 1

23 В , 1....... 1 f+ Л п 1 / Л К л А /2

128-3" +2" + 4*4Г ~4Х4 +8(1~41/)Ф2

(24)

Формулы (22)—(24) приводят к следующим поправкам второго и третьего порядков для суммарной характеристической скорости:

V + V2 = ж/н

3 1 , ,

----1—V — V

8 2

V + К, = ж/

9 В

-------Vі л--v —V Л-(1—2Vі) 1(ж4+)2

32 3 2 4 ' 4 /

4. Изменение полярного угла на переходном эллипсе при использовании элементов Лагранжа Н и к определяется интегралом площадей вида [6]

J(1 + hsinХ4 + A:cosx4)_2iix4 = азр~5(£к _ Ті — Т2).

(2Б)

Здесь, согласно статье [1], = 7гае_17н (1 + |е) — ест, далее Т\ и Т2 ~~ длительности

участков активного движения для основной независимой переменной Ь. Выделяя в (25) члены различных порядков, получаем

ж4+ = — азгн 2 (<т + У//?-1 + Уа'Д-1) = — эзотн 2 — -ж2Гн2(1 — 2г/)/?-1,

Ж4+ — Ж4 = — — 7Г — Ж4+ +4/l +

- (а + У//?-1 + У2'/Г1) - /Г1 (V, + V2

х4 — Х4 — — —7Г

3 " f f

- + 4/1 ж4+ + (ж4+)2

— + V//? 1 + V2f3 x) - - (уг + V2 j /3 1 + /3 1 (V1 +V2

1

2

+

2

4

1

2

3

2

ж/

І0В

Соотношения (22) и (26) определяют управления первого порядка

3 1 —

ф[ = -ф'2 = -азсггнг(1 -2z/)_1 - -ае2Гн2Д-1. (27)

В статье [1] отмечалось, что и' < Поэтому ф[ <0, ф'2 > 0.

Условия трансверсальности (9) статьи [1] можно представить в виде

Ak + Bh + C = 0, C = —&-2p2H, H = A, (28)

где A, B,C - постоянные интегрирования уравнений Эйлера-Лагранжа на баллистическом участке; A - лагранжев множитель, отвечающий слабому ограничению на длительность перелета. Учитывая полученные [1] значения A0 = B0 = C0 = 0, A0 =

X' = 0, А' = —ф[ = ф2, В' = С = 0, с помощью (28) находим

C" = — ж-2гн A", A'k' + B'h' — ж-2гн A" = 0,

А" = 1-эз2гн2 (ф'2 - ф[). (29)

Из формул (27) и (29) следует, что A > 0.

5. Для определения управлений второго порядка Ф1 и Ф2 рассмотрим условие Вейерштрасса-Эдмана непрерывности первого лагранжевого множителя в точках соединения активных и баллистического участков. На основании формулы (2), а также формулы (14) статьи [1] имеем

cos ф = A cos x4 + B sin x4 + CGi. (30)

Функцию G\ можно принять [6] в виде G\ = 2 + 0(h2 + к2) i. Уравнение (30) в конце первого участка активного движения во втором приближении дает

A = —ф1 — (1 — 2v)-1x4+.

Соответственно для начальной точки второго активного участка

А" =ф2 + (1 - 2v')-1x+ - jx'+.

Отсюда находим

Фі + Ф2 — + 2(1 — 2z/) 1 ) х4+. (31)

Из уравнений (21) и (31) с использованием формул (18), (23), (24), (26) и (27) получим

ф1 = —а + Ьж4+, ф2 = а + ж4+ ( - — 2(1 — 2г/) 1 — b

a = (1 — 2v/)

л-l

^ — ^жгн 2сг — ж2гн2/3 Х(1 — — 2г/ 2 + v )

2 21 2Б 2

(32)

Ь=(1-2г/) ( + — v' + v + 2г/

І09

6. Выше дано полное аналитическое построение оптимального перелета третьего порядка в зависимости от параметров: радиусов граничных орбит гн и гк, характеристик слабого ограничения на длительность полета а и относительной скорости контакта

качественные выводы. На уровне второго приближения тяга перестает быть трансвер-сальной. На первом участке активного движения направление тяги смещено в сторону полярного радиуса, а на втором участке - на такую же величину в обратную сторону. Полученная на основе анализа членов третьего порядка формула (32) показывает, что выражение поправок к углу наклона тяги в указанном приближении становится более сложным.

Результаты представлены в виде конечных формул для членов разложений трех порядков по малому параметру є = (гк — ,гн)г-'1. Можно их записать и в суммарном виде. Так, для минимальной суммы характеристических скоростей с учетом членов третьего порядка получено выражение

Построенная аналитическая теория дает также решения задач с частичным учетом отмеченных выше факторов. При /3 = те имеем импульсный перелет. Если

V1 = V = V = 0, то приходим к перелету с мягким контактом. Если 3 = те и V1 = V = V = 0, то получаем аналитическое представление оптимального импульсного компланарного перехода между круговыми орбитами с ограничением на время [7]. При этом надо учесть, что ограничение на длительность перелета в настоящей работе несколько отличается от принятого в статье [1].

Литература

1. Новоселов В. С. Асимптотическое построение оптимального многопараметрического перелета. 1. Нулевое и первое приближения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 1. С. 103—108.

2. Ильин В. А., Кузмак Г. Е. Оптимальные перелеты в космическом пространстве с двигателями большой тяги. М.: Наука, 1976. 744 с.

3. Охоцимский Д. Е, Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета: учеб. пособие. М.: Наука, 1990. 448 с.

4. Новоселов В. С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1972. 317 с.

5. Новоселов В. С., Королев В. С. Аналитическая механика управляемой системы: учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. 298 с.

6. Новоселов В. С. Варьирование динамических моделей движения: учеб. пособие. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1983. 108 с.

7. Новоселов В. С. Оптимальная траектория импульсного перехода между близкими круговыми орбитами со слабым ограничением на время // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1989. Вып. 1. С. 76—80.

Vі , а также приведенного реактивного ускорения /?. Можно сделать некоторые

+

+ (1 - 2^)

Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем. Статья принята к печати 5 марта 2009 г.