CC BY
17
УДК 519.863
А. С. Уразов1
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ИЕРАРХИЧЕСКИХ КОНТРОЛИРУЮЩИХ СТРУКТУР*
Для реализации эффективных инспекций и борьбы с коррупцией в условиях нехватки доверенных лиц в работе предлагается использовать многоуровневые иерархические структуры. Рассматриваются теоретико-игровые модели таких структур, изучается задача их организации. Определяется оптимальная стратегия проверок в иерархии. Приводятся результаты численного моделирования для примера налогообложения малых предприятий.
Ключевые слова: коррупция, иерархические структуры, теоретико-игровые модели.
1. Введение. Задача контроля за правильностью действий большой группы агентов является весьма актуальной. Подобные задачи возникают и в государственных инспекциях, и в крупных корпорациях при взаимодействии сотрудников с проверяемыми лицами и клиентами. Не последнюю роль в таких взаимодействиях играет возможность возникновения коррупции, поскольку создаются предпосылки для взаимовыгодного сговора проверяющих и проверяемых в ущерб интересам организатора инспекции. Весьма эффективным инструментом для борьбы с противоправными действиями сотрудников и создания эффективного надзора могут служить многоуровневые иерархические структуры, обеспечивающие правильное поведение всех агентов и предотвращающие возможность коррупции. Выбору оптимальных параметров таких структур, позволяющих организовать контроль с минимальными затратами, посвящена настоящая статья.
Данная работа во многом перекликается с двумя направлениями исследований. Во-первых, это исследования, посвященные проблеме коррупции в государственных органах в общем (см. обзоры в [1, 2]) и в налоговых инспекциях в частности [3, 4]. Но в отличие от указанных работ, в которых вероятность вскрытия факта дачи взятки является экзогенным параметром, в настоящей статье эта вероятность полагается зависящей от стратегии инспекции. Отметим также, что далее в качестве примера будет приведена налоговая инспекция, хотя основные результаты могут быть перенесены на инспекции других типов без существенных изменений.
Другим смежным направлением являются исследования, посвященные организации иерархических структур [5, 6]. В указанных работах изучается оптимальная иерархическая структура фирмы с точки зрения предельного объема ответственности каждого сотрудника, исследуется зависимость расходов на содержание такой структуры от ее размера, но возможность сговора между агентами не рассматривается.
Настоящая статья является продолжением работ [7, 8], в которых описывается оптимальная организация многоуровневых иерархических инспекций в предположении о возможности привлечения к проверкам достаточного числа надежных, неподкупных инспекторов — доверенных лиц организатора. На практике такое допущение не всегда справедливо. Поэтому предлагается рассмотреть ситуацию, в которой руководитель является единственным заведомо честным контролером и время от времени осуществляет проверки самостоятельно.
2. Формальная модель. Представим, что контролирующий орган (центр) возглавил руководитель, который хочет организовать эффективную инспекцию, обеспечивающую законопослушное поведение контролируемых агентов. Для проведения инспекции привлекаются рациональные риск-нейтральные сотрудники, которые максимизируют свой ожидаемый доход с учетом зарплат, штрафов, взяток и, если это выгодно, готовы принять взятку от проверяемых в обмен на "нужный" результат проверки. Для предотвращения сговора между агентами руководитель самостоятельно совершает некоторое количество проверок т в течение периода (года).
Пусть N — число контролируемых агентов. Каждый из них характеризуется значением случайного фактора (например, доходом) I G [/„,ь,- Аш.х]- с известной функцией распределения F(I).
1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: antonQurazov.me
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00778-а) и РГНФ (проект № 11-32-00204а1).
8 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1
Конкретное значение I является частной информацией агента. Все агенты должны совершить некоторое действие (уплатить налог) из множества возможных действий Т0, причем каждое действие характеризуется затратами t на его осуществление. Информация об осуществленном действии поступает в центр. Правильное с точки зрение центра действие описывается функцией (/). Значения случайного фактора I упорядочены по возрастанию (I). Агенты предполагаются рациональными и риск-нейтральными, поэтому в отсутствие контроля каждый из них выбирает действие ¿о(/тт)-
Контролирующая система имеет иерархическую структуру. Непосредственный контроль агентов осуществляют инспекторы 1-го уровня. Проверка агента, совершившего действие ¿о, происходит с вероятностью pi(¿о). Стоимость проверки фиксирована и составляет с\. В отчете о проверке инспектор должен указать правильное действие агента. В ходе проверки он всегда выясняет истинное значение однако может за взятку указать t\ < ty(I). Если в отчете указывается t\ > tо, то агент наказывается штрафом /о (¿1 — i0), где /о > 1 — заданный коэффициент штрафа. Затем проводятся проверки инспекторами 2-го уровня с вероятностью P2(ta,ti) и стоимостью проверки сг и т.д. Если проверка на 1-м уровне, проводимая с вероятностью pi(to,... ,ti-1), выявляет, что на (I — 1)-м уровне нарушение было не полностью вскрыто, то все агенты нижестоящих уровней г = 0,1,...,/ — 1, связанные с данным делом, наказываются по итогам проверки штрафами /¿(^ — ti-1). Проверка на верхнем к-м уровне осуществляется руководителем инспекции и всегда раскрывает значение tк = (I).
Таким образом, стратегия Р организации инспекции включает количество уровней к и вероятности проверок Pi(ta) P2(ta,ti),... ,Pk(to,ti,... i) как функции от сообщений, поступивших с предшествующих уровней. Штрафные коэффициенты /j и затраты с% на проведение проверки на каждом уровне в данной модели являются экзогенными параметрами.
3. Необходимые условия оптимальности. Прежде всего определим условия, гарантирующие правильное поведение всех агентов. Для I € {0, — 1} рассмотрим коалицию Ki, включающую нескольких агентов нулевого уровня и всех инспекторов от уровня 1 до уровня I, проверяющих их работу. Стратегия Т такой коалиции задается функциями to(I),ti (I),... ,ti (I), определяющими действия агентов и сообщения инспекторов в случае проверки какого-либо агента из этой коалиции.
Назовем стратегию Р устойчивой к отклонению коалиции , если в условиях честного поведения агентов верхних уровней I + 1,..., к — 1 суммарный выигрыш ее членов достигает максимума при честном поведении, т. е. при tr(I) = ¿q(7), г = 0,..., / . Если Р устойчива к отклонению всевозможных коалиций Ki, I = 0,..., к — 1, то такую стратегию будем называть устойчивой к коалиционным отклонениям.
Определим стратегию, минимизирующую расходы на проверку в классе устойчивых к коалиционным отклонениям. При честном поведении ожидаемые затраты на одного агента составят
-^тах
С(Р) = J Pl(P, 7)(ci + Р2(Р, Л(с2 + ... + pfc_!(P, 7)(cfc_i +pk(P, I)ck) ...) dF(I).
-Гтт
Оптимальные вероятности проверок для устойчивых к коалиционным отклонениям стратегий были найдены в работе [7] и определяются следующим утверждением.
Утверждение 1. Оптимальные вероятности проверок в стратегии, устойчивой к коалиционным отклонениям, удовлетворяют условиям
s-2
2 S Ii
Pl(to) = -Г, Ps(to,tl, ■ ■ ■ Л-l) = "TT?--(1)
/о "U ,
Ji
i=0
для любых f,Q ^ t\ ^ ... ^ ts-1 < t(Imax), s = 2,..., k.
Отметим, что на практике часто в ходе проверки выявляется не факт коррупции (уголовное преступление), а лишь невыполнение служебных обязанностей агентов. Максимальное наказание при этом — увольнение с "волчьим билетом", т.е. без возможности в будущем занимать определенные должности. Таким образом, наказание связано с потерей будущих доходов в связи с переходом на низкооплачиваемую работу после увольнения. Пусть si — зарплата инспектора уровня I за время одной проверки, а после увольнения он может рассчитывать на альтернативную зарплату sait. В случае
увольнения эквивалентное значение единовременного штрафа составит a(si — sait), где а = (1 — 8)/8 — коэффициент приведения, 8 — коэффициент дисконтирования, относящийся к периоду одной проверки. Величина fi определяется из соотношения /¡At = a(si — sait); гДе At = tl(Imax) — ^(1т-т) — максимальный возможный выигрыш от нарушения, откуда
, , Ч o(sl - «ait)
M*i) =-Xt-'
Пусть затраты на проверку рациональным инспектором уровня г€{1,...,& — 1} равны его зарплате Si (постоянные издержки отсутствуют). Для заданных si,...,sk~i оптимальные вероятности проверок определяются согласно (1). Предположим, что затраты на выборочные проверки организатором инспекции равны 0, а всего возможно провести не более m таких проверок (за год). Тогда должно выполняться соотношение
N
Р1 • • • • • Рк ■ N = ---------- < m, (2)
/о + St (si + • • • + Sfc-i - (А; - l)sait)
откуда
к —2
At (N \ п ^
Sk-l > ---JO + {к - 1 )Salt - > •
а \т /
1=\
Ожидаемые затраты на проверку одного агента 0-го уровня составят «1 , «2 , 4,-1
C{s) =
/о /о + - «аи) "' /о + + • • • + - (к - 2Кй)' Поскольку С (в) возрастает по задача оптимизации примет вид
* (£ - /о) + (к- 1)8* -
= То + и + ^-М^^) + "' + /о + + • • • + - (А - 2)5а10 ~~' "Г (3) при ограничениях
^ «аЦ; ^ — 1, . .. , & 1.
Введем новые переменные по формулам
А = аs¡l^t/foAt, ¿1 = ««¿//оДг, } I.....к -2. (4)
В новых обозначениях выражение (3) примет вид
д.Л 4 , , , + \
C{d) = — di
а \ 1 + di — Л "' 1 + di + ... + 4_3 - (к - 3)А 1 + di + ... + dk-2 - (к - 2)А Г Проводя еще одну замену
N 44
v = —— + А, «1 = 1, щ = 1 + У dj — (i — 1)А, / 2...../.- — 1, (5)
mfo ^
получим задачу
A tí U3-U2 + X t , uk-i-uk-2 + A v-uk-Л . С [и) = — \ v,2 — и\ + А Н---Ь ... Н---1--—> mm (b)
а \ и2 ик-2 т,-1 ) и
при ограничениях
ui = 1, щ+i ^ щ, i 2.....к — 2.
Справедливо следующее
Утверждение 2. Заработные платы инспекторов «i,... ,sk-1 оптимальной стратегии организации инспекции при нулевых затратах на проверку организатором определяются из соотношения
Щ = + Si-1 • j, — A, i = 2,..., к, 9 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1
где и\ = 1, \ и V определены в (4) и (5), а и^ ..., — решение системы
ик-2 = щ-1 = и?/(щ+1 + А), г = 2,... - 2.
Отметим, что при увеличении расходов на проверку руководителем с 0 до значение оптимальных ожидаемых издержек в расчете на одного агента 0-го уровня увеличится не более чем на с&т/Л/".
4. Результаты расчетов. Рассмотрим модельный пример организации иерархической структуры для контроля за уплатой налогов малыми предприятиями с усредненными данными по 2008 году в московском регионе. Требуется организовать проверку N = 100 000 налогоплательщиков, годовой доход которых распределен в интервале [0,1] млн долларов со средним /avg — 400 000$. Фирма с доходом I должна заплатить налог to(I) = tl при t = 0.2, т.е. средний налог составляет 80 000$. Штрафной коэффициент налогоплательщика равен /о = 4. Каждый рациональный инспектор совершает 5 проверок в месяц (60 в год). Его альтернативная зарплата за время одной проверки равна sait = 140$ или 700 $ в месяц. Годовая ставка дисконта равна ^annual = 0.1, что соответствует 5 = 0.0018 за время одной проверки. Стоимость проверки лидером составляет = 100 000$.
Прежде всего рассмотрим вопрос о существенности ограничения (2) при указанном наборе значений параметров модели. Для этого предположим, что необходимое количество доверенных лиц все же удается привлечь к проверке, причем их затраты на проверку положим равными затратам лидера. Оценим необходимое количество доверенных лиц п(к) для реализации оптимальных вероятностей проверок в контролирующих структурах при различных к (рис. 1).
Рис. 1. Необходимое число доверенных лиц
Как следует из результатов вычислений, для разумного числа уровней не удается уменьшить необходимое количество доверенных лиц до 1-2. В практически интересных случаях количество таких инспекторов превышает 9. Таким образом, ограничение (2) оказывается существенным.
Обозначим иот(к) процентное отношение издержек на проверку к среднему налоговому сбору для структуры с к уровнями при заданном т. Далее рассмотрим влияние количества возможных проверок организатором на величину ш. Сравним результаты оптимизации для следующих сценариев: полная занятость руководителя проверками (т = 60), его частичная занятость (т = 30) и без ограничения на число проверок (в этом случае будем использовать обозначения С и ш). Также приведем результаты при т = 1. Этот случай соответствует однократной проверке руководителем в течение года. На рис. 2 представлены графики оиео(к), оозо(к) и ш\(к) при к = 3,..., 20. На рис. 3 подроб-
нее изображена наиболее интересная с практической точки зрения область к = 4,..., 10. Конкретные значения затрат на проверку С в расчете на одного плательщика для указанных выше сценариев представлены в табл. 1.
Результаты вычислений показывают, что контролирующие структуры с 7-8 уровнями вполне удовлетворительны с практической точки зрения. Уже при к = 7 доля издержек в среднем налоговом сборе для случая полной занятости руководителя (т = 60) не превосходит 5%. При т = 30 эта величина лишь немногим более (5.55%). Даже для случая т = 1 инспекция с 8 уровнями позволяет организовать контроль за уплатой налогов с приемлемым значением ои = 10%. Дальнейшее увеличение количества уровней не приносит значительного сокращения затрат, но существенно усложняет систему. Таким образом, отсутствие доверенных лиц в системе может быть компенсировано привлечением к проверкам руководителя инспекции полностью или частично с приемлемым увеличением
со, %
1 ......... со
— со60 ---со30
- СО!
ч^ _____
3 5 7 9 11 13 15 17 19 к Рис. 2. Отношение издержек к среднему налоговому сбору
ю,%
45 6 7 8 9 10 к
Рис. 3. Отношение издержек к среднему налоговому сбору (к = 4,..., 10)
Таблица 1 Расходы на проверку С
к С Сбо Сзо Сг
3 3 709.52 13 744.04 19 657.65 110490.50
4 3 079.77 6 922.08 8 938.10 29 817.37
5 2 776.60 5 051.29 6 221.35 16313.01
6 2 601.72 4 225.29 5 066.08 11603.51
7 2 489.62 3 769.80 4 442.53 9 339.44
8 2 412.70 3 484.52 4057.11 8 040.91
9 2 357.36 3 290.59 3 797.29 7 209.33
10 2316.16 3151.05 3611.33 6 635.43
11 2 284.69 3 046.41 3 472.28 6 217.48
12 2 260.16 2 965.42 3 364.82 5 900.58
13 2 240.75 2901.17 3 279.59 5 696.71
14 2 225.19 2 849.19 3 210.56 5 453.78
15 2 212.59 2 806.43 3153.69 5 290.99
16 2 202.32 2 770.78 3106.17 5155.47
17 2 193.88 2 740.72 3 065.99 5 041.06
18 2 186.92 2 715.13 3 031.65 4 950.97
19 2 181.16 2 693.14 3 002.05 4 864.46
20 2 176.37 2 674.12 2 976.54 4 785.29
(на ^ 1.5 — 2%) доли издержек в валовом налоговом сборе. С другой стороны, в отличие от величин о;, абсолютные значения издержек С увеличиваются значительно: в ^ 1.5 раза для т = 60 и в « 3.5 раза для т = 30 по сравнению со случаем без ограничений.
10 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1
Приведем подробные результаты численной оптимизации для к = 7 (табл. 2). Величина пг обозначает необходимое число рациональных инспекторов. Зарплаты указаны за одну проверку.
Таблица 2
Результаты численной оптимизации (fc = 7)
Без ограничения m = 60 m = 30 m = 1
С 2489.62 3769.80 4442.53 9339.44
ш 3.11% 4.71% 5.55% 11.67%
Пг 871 655 618 514
PI 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500
Р'2, 0.5216 0.3604 0.3222 0.1843
РЗ 0.5361 0.3651 0.3256 0.1849
Pi 0.5442 0.3669 0.3267 0.1851
Р5 0.5487 0.3675 0.3271 0.1851
Р6 0.5513 0.3678 0.3272 0.1851
PI 0.5527 0.3678 0.3272 0.1851
Si 1430 2 635 3098 6 362
S2 2 473 6 924 9179 33 758
S3 4 351 18 581 27763 181 770
S4 7 738 50 265 84 553 981453
S5 13 846 136 389 258100 5 301997
S6 24 863 370 489 788443 28645120
Отметим, что для каждого сценария вероятности проверок на уровнях 2-7 приблизительно равны. Действительно, pi = щ-\/щ. При А = 0 оптимальное решение задачи (6) имеет вид и* = г = 1,... ,к. Функция С(и) непрерывна по щ и А в исследуемой области. Поскольку при выбранных значениях параметров А и 0, имеем pi и l/v1^ = const, i ^ 2.
5. Выводы. В работе была рассмотрена проблема контроля за деятельностью большого количества агентов в условиях возможности коррупционного сговора. В качестве эффективной меры предложено организовать многоуровневую иерархическую контролирующую структуру. Показано, что даже при наличии в системе лишь рациональных инспекторов, максимизирующих свое благосостояние, оказывается возможным обеспечить честное поведение всех агентов за счет личных проверок организатором. В качестве примера рассмотрена модель налогообложения малых предприятий. Для этого примера эффективной представляется структура с 7-8 уровнями проверок. Отсутствие доверенных лиц приводит к заметному росту расходов на организацию инспекции. Тем не менее их доля в налоговом сборе остается на приемлемом уровне, показывая 1.5-2%-й рост по сравнению с аналогичной структурой, в которой доверенные лица присутствуют в необходимом количестве.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Левин М. И., Цирик M. JI. Математическое моделирование коррупции // Экономика и математические методы. 1998. 34. № 4. С. 34-55.
2. Сатаров Г. А. Антикоррупционная политика. Учебное пособие. М.: Фонд ИНДЕМ, 2004.
3. Chancier P., Wilde L. Corruption in tax administration // J. Public Economics. 1992. 49. N 3. P. 333-349.
4. Hindriks J., Keen M., Muthoo A. Corruption, extortion and evasion // J. Public Economics. 1999. 74. N 3. P. 395-430.
5. Keren M., Levhari D. The internal organization of the firm and the shape of average costs // The Bell J. Economics. 1983. 14. N 2. P. 474-486.
6. Qian Y. Incentives and loss of control in an optimal hierarchy // Review of Economic Studies. 1994. 61. N 3. P. 527-544.
7. Васин A.A., Николаев П.В., У разов А. С. Механизмы подавления коррупции // Журнал Новой экономической ассоциации. 2011. № 10. С. 10-30.
8. Васин A.A., Николаев П.В., Уразов A.C. Об оптимальной организации контролирующей структуры // Докл. АН. 2012. 444. № 3. С. 262-265.
Поступила в редакцию 15.05.12
OPTIMAL PARAMETERS OF HIERARCHICAL CONTROLLING STRUCTURES
Urazov A. S.
To implement an effective inspection and supress corruption in case of reliable inspectors' deficiency we propose to use multi-level hierarchical controlling structure. The paper considers game-theoretic models of such structures and examines a problem of their organization. We obtain the optimal auditing strategy and provide an example of its application for small business taxation.
Keywords: corruption, hierarchical structures, game-theoretic models.
