Оптимальное управление, всюду плотная обмотка тора и простые числа Вольстенхольма Текст научной статьи по специальности «Математика»

60

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №4

4. Wall C.T.C. A note on symmetry of singularities // Bull. London Math. Soc. 1980. 12, N 3. 169-175.

5. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 1. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука, 1982.

Поступила в редакцию 20.09.2017

УДК 512.623.3+517.977.5

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ, ВСЮДУ ПЛОТНАЯ ОБМОТКА ТОРА И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ВОЛЬСТЕНХОЛЬМА

Д. Д. Киселев1

В заметке с помощью теории Галуа и информации о распределении простых чисел Вольстенхольма строится задача оптимального управления, в которой управление за конечное время пробегает всюду плотную обмотку k-мерного тора для любого наперед заданного натурального k ^ 249 998 919.

Ключевые слова: обмотка тора, теория Галуа, простые числа Вольстенхольма. In this paper, using Galois theory and the knowledge of the Wolstenholme primes distribution, we construct an optimal control problem where the control runs an everywhere dense winding of a k-dimensional torus for arbitrary natural k ^ 249 998 919 given in advance.

Key words: torus winding, Galois theory, Wolstenholme primes. Рассмотрим обобщенную задачу Фуллера вида

г

J (x) = / (x,Cx)dt ^ min (1)

J о

на траекториях управляемой системы

|x(n)| ^ 1, ж € V; x(k)(0) = xk, 0 ^ k ^ п — 1,

где V — конечномерное евклидово пространство достаточно высокой размерности M (можно взять любое число M > 2n) со скалярным произведением (•, •), а C — некоторый невырожденный самосопряженный линейный оператор. Функция x(t) считается абсолютно непрерывной вместе со своими n — 1 производными. Управление u(t) = x(n)(t) € Li(0; +rc>). Поскольку в указанных предположениях задача (1) является выпуклой, то существование глобально оптимального решения равносильно разрешимости системы принципа максимума Понтрягина; при любых начальных условиях такое решение существует и единственно (см. [1]). Ясно, что для минимизации интеграла в (1) необходимо как можно быстрее выйти на особый режим x = u = 0; весь вопрос в том, насколько сложным может быть соответствующее управление.

Определим [п/2]-элементное множество B С R решений системы:

2 n

Im Л (ix + j) = 0, j=i

' (—1)n-1Re n(ix + j) > 0, (2)

j=i

x > 0.

\

1 Киселев Денис Дмитриевич — канд. физ.-мат. наук, ст. преп. каф. информатики и математики Всерос. акад. внешней торговли, г. Москва, e-mail: denmexmath@yandex.ru.

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №4

61

Всюду ниже многочлен fn(x) степени n — 1 определен условиями вида2:

2 n

xfn(x2 )=ImJJ(ix + j), (3)

j=1

где i — мнимая единица. В работе [1] показано, что линейная независимость над Q любых k элементов множества B влечет существование в задаче (1) оптимального управления, за конечное время пробегающего всюду плотную обмотку k-мерного тора. Таким образом, возникает следующая

Задача. Пусть Vb — Q-линейная оболочка, порожденная элементами множества B из (2). Какой может быть размерность dimQ Vb ?

В работе [1] было выведено достаточное условие равенства dimQ VB = [n/2]: An-1 ^ GalQ(fn). Также в [1] показано, что для всех n < 17 искомое вложение имеет место: при n < 17 группа GalQ(fn) содержит знакопеременную группу An-i.

Напомним, что простое число q > 3 называется простым числом Вольстенхольма (см. [2]), если число Бернулли Bq-3 = 0(mod q). На сегодняшний день известны лишь два простых числа Вольстенхольма: 16 843 и 2124 679, причем, согласно [2], других простых чисел Вольстенхольма на отрезке [5, 109] нет.

В работе [3] установлен следующий результат.

Теорема 1. Пусть q = 2(mod3) — такое нечетное простое число, что многочлен f4(x) неприводим над Fq, а число p = 3 + q + 3qk также простое для некоторого натурального k. Если число 2p + 3 является простым и не является простым числом Вольстенхольма, то Ap ^ GalQ(fp+1), кроме, быть может, случая, когда p = (rst — 1)/(rs — 1) для некоторого простого r и некоторых натуральных r, s.

В настоящей заметке доказывается следующий результат.

Теорема 2. Для простого p = 499 997837 имеет место вложение Ap ^ GalQ(fp+1). Простое число p является максимальным среди всех простых чисел, которые удовлетворяют теореме 1 и для которых выполнено неравенство 2p + 3 ^ 109.

Доказательство. Заметим с помощью системы компьютерной алгебры Maple V, что числа

p = 499 997837, 2p + 3 = 999 995 677

являются простыми. Более того, число p представимо в виде p = 3 + q + 3qk для простого q = 77 471 и натурального k = 2151. Простое число q = 2(mod3), а многочлен f4(x) неприводим над полем Fq, так как после деления на старший коэффициент он представляется в виде

f4(x) = x3 — 126x2 + 1869x — 3044

и не имеет корней в поле Fq.

Проверим, что p не представляется в виде (rst — 1)/(rt — 1) ни для какого простого r и натуральных s, t. Для этого заметим, что имеется разложение на простые множители

p — 1 = 22 ■ 13 ■ 179 ■ 53 717,

откуда необходимо rt € {4, 13, 179, 53 717}. Остается только заметить, что для простого l € {179, 53 717} натуральное число (p — 1)/l не сравнимо с 1 по модулю l. Наконец, (p —1)/4 не сравнимо с 1 по модулю 4, а число (13 — 1)p + 1 = 5 ■ 132 ■ 546 197 не является степенью числа 13. Итак, простое p удовлетворяет всем условиям теоремы 1, а потому имеется вложение Ap ^ GalQ(fp+i).

Наконец, с помощью Maple V нетрудно проверить, что простое p = 499 997 837 является максимальным простым числом, которое удовлетворяет условиям теоремы 1 и для которого 2p + 3 ^ 109. Теорема доказана.

Следствие. В задаче (1) при n = 499 997838 для любого натурального k ^ 249 998 919 существует оптимальное управление (если, конечно, выбрать оператор C согласно [1]), проходящее за конечное время половину всюду плотной обмотки k-мерного тора, отвечающей положительному направлению времени.

2Многочлен fn(x) называется многочленом ЗЗеликмна-Локуциевского.

62

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2018. №4

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зеликин М.И., Киселев Д.Д., Локуциевский Л.В. Оптимальное управление и теория Галуа // Матем. сб. 2013. 204, № 11. 83-98.

2. McIntosh R.J., Roettger E.L. A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes // Math. Comput. 2007. 76. 2087-2094.

3. Kiselev D.D. Applications of Galois theory to optimal control // CEUR Workshop Proc. 2017. 1894. 50-56.

Поступила в редакцию 04.10.2017

УДК 511

АВТОМАТЫ С ОДНОБУКВЕННЫМ МАГАЗИНОМ

КАК ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

И. Е. Иванов1

Приводятся нижняя и верхняя оценки на максимальную длину периода выходной последовательности автомата с однобуквенным магазином в зависимости от характеристик автомата и периода входной последовательности.

Ключевые слова: автомат с магазинной памятью, автомат с однобуквенным магазином, периодическая последовательность.

We give lower and upper bounds of max period of output sequence for realtime one-counter transducers depending on the characteristics of the transducer and period of input sequence.

Key words: pushdown transducer, realtime one-counter transducer, periodic sequence.

Введение. Автоматы с магазинной памятью появились во второй половине прошлого века в связи с задачей описания естественного языка. Н. Хомский [1] и Р. Эви [2] показали эквивалентность автоматов с магазинной памятью и контекстно-свободных языков.

Очень скоро стало понятно, что класс контекстно-свободных языков устроен сложнее регулярных. Появились примеры алгоритмически неразрешимых задач, которые были алгоритмически разрешимы в случае конечного автомата [3]. Оказалось, что классы детерминированных и недетерминированных автоматов с магазинной памятью задают разные множества языков [4].

Полученные в общем случае подобные результаты приводили к тому, что математики рассматривали более узкие и более простые подклассы автоматов.

Конечные автоматы-преобразователи с операциями суперпозиции и обратной связи рассмотрены в работах [5-7]. В настоящей работе исследуется поведение одного автомата-преобразователя с однобуквенным магазином.

Определения. Инициальным детерминированным автоматом с магазинной памятью будем называть "девятку"

P = (A,Q,B, Г,р,ф,п,9о, Yo),

где A — входной алфавит, Q — конечное множество состояний, B — выходной алфавит, Г — алфавит памяти (алфавит ленты магазина), ^ : AxQ х (ГиА) ^ Q — функция переходов, ф : AxQx(rUA) ^ B — функция выхода, n : A x Q x (Г U A) ^ Г* — функция памяти, qo € Q — начальное состояние, Yo € Г* — начальная запись в магазине.

Функционирование P можно определить с помощью системы канонических уравнений, которые задают в каждый момент времени t состояние автомата q(t), записанное в магазине слово Y(t) и выход автомата b(t) при подаче на вход a(t):

1Иванов Илья Евгеньевич — асп. каф. математической теории интеллектуальных систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ivanov.ilya.rus@gmail.com.