Параметрические триномы со знакопеременной группой Галуа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.642.8 UDK 519.642.8

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ТРИНОМЫ СО PARAMETRIC TRINOMIALS WITH

ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ ГРУППОЙ ГАЛУА ALTERNATING GALOIS GROUPS

Сергеев Александр Эдуардович Sergeev Alexander Eduardovich

к.ф.-м.н., доцент Cand.Phys.-Math.Sci, associate professor

Потемкина Людмила Николаевна Potemkina Ludmila Nikolaevna

аспирантка postgraduate student

Кубанский государственный университет, Kuban State University,

Краснодар, Россия Krasnodar, Russia

В статье построены многочлены 3-ей, 4-ой и 5-ой In this article, we construct polynomials of third,

степеней с группами Галуа A3, A4 и A5 fourth and fifth degrees with Galois groups as

соответственно. Также строятся примеры многочленов A3 , A4 and A5 respectively. In addition, we

n -ой степени с группами Галуа изоморфными give examples of polynomials different degrees

транзитивной подгруппе группы An, но как with Galois groups isomorphic transitive subgroup

показывают вычисления на Maple для 3 < n < 11 of group An, but calculations with help Maple

группа Г алуа этих многочленов будет изоморфна An . show that Galois groups of this p°lyn°mials is An.

Приводится также обзор известных результатов по Also Polynomials with An as Galois groups are

нахождению многочленов с группами Галуа An shown

Ключевые слова: ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ Keywords: ALTERNATING GROUp

ГРУППА, РЕЗОЛЬВЕНТА МНОГОЧЛЕНА, RESOLVENT OF pOLYNOMIAL,

ДИСКРИМИНАНТ МНОГОЧЛЕНА DISCRIMINANT ОТ pOLYNOMIAL

Как известно, в общем случае вычисление группы Г алуа многочленов является трудоемкой работой. Для многочленов степени от 2 до 5 известны критерии, позволяющие вычислять группы Галуа. Построим параметрические триномы третей, четвертой, пятой и n-ой степеней с группами Галуа A3, A4, A5 и An соответственно. Также для целых n > 7 покажем, как можно построить бесконечное число триномов степени n, группа Галуа которых над полем Q изоморфна альтернативной группе Галуа An.

Трином третьей степени

Для этого случая имеется ровно два вида триномов: x3 + ax+b и x3 + ax2 + b. Известно, что для того, чтобы группа Галуа данных полиномов была изоморфна знакопеременной группе A3 необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия [1]:

1) данный полином должен быть неприводимым над основным полем (т.е. над полем Q);

2) его дискриминант D(f) должен быть квадратом некоторого элемента поля Q.

Для реализации группы A3 надо решить диофантово уравнение:

- 4a3 - 27Ь2 = k2 (1)

для триномов вида х3 + ax + Ь и

- 4a3Ъ - 27Ъ 2 = k2 (2)

для триномов вида х3 + ах2 + Ъ .

Найдем частное решение для уравнения (1): пусть а = 3с, Ъ = 2с, тогда D(/) = 22 • 33 • с2 •(- с -1) = k2 ^ с = -3k2 -1. Следовательно, а = 3(^2 -1) и

Ъ = 2(^2 - 1).

Таким образом, трином (1) имеет следующий параметрический вид:

f (х) = х3 + 3(^ 2 -1)х + 2(^ 2 - 1),

и его дискриминант есть квадрат: D(f) = [2 • 32 • k •(- 3k2 -1)]2. Поэтому его группа Г алуа GalQf @ А3.

Пример 1. Пусть k = 2, тогда многочлен f (х) = х3 - 39х - 26 -

неприводим над полем Q, дискриминант D(f) = (б2 • (-13))2, поэтому группа

Г алуа данного многочлена над Q изоморфна А3.

Найдем частное решение для уравнения (2): пусть а = 3с, Ъ = 2с2, тогда

D(У) = 22 • 33 • с4 •(- 2с -1) = k2 ^ с = 3k +1 . Следовательно, а = 3(^ +1) и

Ь = 2 •

( зк2 +1Л2

Таким образом, мы получили многочлен

/ (х) = х3 + 3 •

Зк 2 +1 - 2

• х 2 + 2 •

Зк 2 +1 - 2

и его дискриминант есть квадрат: Б( /) =

2 • З2 • к •

(Зк2 +1л

Поэтому его

группа Галуа Оаід/ @ А3.

Таким образом, можно получить бесконечно много триномов с группой Г алуа А3.

Трином четвертой степени

Для триномов четвертой степени известно, что для того, чтобы группа Галуа данного полинома была изоморфна знакопеременной группе А4, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия [1]:

1) данный полином должен быть неприводимым над основным полем (т.е. над полем 2);

2) его дискриминант должен быть квадратом некоторого элемента поля 2;

3) резольвента г(х) = х3 - Ьх2 + (ас - 4й)х - (а2й - 4Ьй + с2), где а, Ь, с, й -коэффициенты данного полинома, должна быть неприводима над основным полем 2.

Дискриминантом для данного многочлена является выражение вида £(/) = 44Ь3 -33а4. Сделаем так, чтобы он был квадратом в поле 2; пусть а = 4с, Ь = 3с (с є 2), тогда: Б(/) = 4433 с3 - 3344 с4 = 44 (3с)3 (1 - с). Пусть теперь

1 - с = 3сґ , ґ є 2 \ {0} , тогда с =

3ґ2 +1

и Б(/) = 44

___________ 3ґ2 = 4434ґ2

(3ґ2 +1)3 (3ґ 2 +1 (3ґ2 +1)4

4 3

Теорема 1. Пусть многочлен /(х) = х4 +—-— х + —-— является

3ґ2 +1 3ґ2 +1

неприводимым над полем 2 и ґ є 2 \{0}. Тогда группа Галуа этого многочлена над полем 2 изоморфна А4 , если многочлен

/ ч 3 12 16

г (х) = х-------------------------------------------х-неприводим над полем 2.

3ґ2 +1 (3ґ2 +1)2

2

2

1

Доказательство. Дискриминант данного многочлена есть

2

D( f) =

42321 (3t2 +1)2

, т.е. является квадратом некоторого элемента поля Q

Резольвента для этого многочлена имеет вид r(x) = x3----12— x -^—16 ,

3t2 +1 (3t2 +1)2

и, если она неприводима, то, согласно вышеприведенным условиям, группа Г алуа GaQf @ A4.

3

Пример 2. Пусть t = l, тогда f (x) = x4 + x + — - неприводим над Q,

резольвента r(x) = x3 - 3x -1 - неприводима над Q, дискриминант

многочлена D(f) = Sl = 92. Следовательно, по теореме 1, группа Галуа этого многочлена изоморфна A4 над полем Q .

Замечание. 1) Можно доказать, что если 3t2 +1 не есть квадрат рационального числа, то многочлен r(x) неприводим над Q;

2) как показывают вычисления на Maple, многочлен r(x) до t < 10000 всегда является неприводимым над Q.

Трином пятой степени

Для триномов пятой степени известно, что для того чтобы он имел группу A5 в качестве группы Галуа, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия [2]:

1) данный многочлен должен быть неприводимым над основным полем (т.е. над полем Q);

2) его дискриминант должен быть квадратом некоторого элемента поля Q ;

3) резольвента g(z) = (z3 - 5az2 + 15a2z + 5a3 )2 - D(f (x))z , где D(f (x)) -дискриминант многочлена f(x) не имеет корней в поле Q .

Дискриминантом для данного многочлена имеет вид D(f) = 55 b4 + 44 a5. Сделаем так, чтобы он был квадратом в поле Q : пусть a = 5c, b = 4c (c є Q),

тогда Б(Р) = 5544 с4 + 4455 с5 = 55(4с)4(1 + с). Пусть теперь 1 + с = 5к 2, ( к є 2\{0}), тогда с = 5к2 -1, следовательно, Б(/) = 5644к2(5к2 -1)4 .

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть многочлен /(х) = х5 + 5(5к2 -1)х + 4(5к2 -1) является неприводимым над полем 2 и к є 2 \{0}. Тогда, группа Галуа этого многочлена над полем 2 изоморфна А5, если многочлен g(г) неприводим над полем 2.

Доказательство. Дискриминант данного полинома есть 5644к2(5к2 -1)4, т.е. является квадратом некоторого элемента поля 2.. Многочлен g(г) имеет вид:

g(г) = (г3 - 25(5к2 -1)г2 +15 • 52(5к2 -1)2г + 54(5к2 -1)3 )2 - 5644к2(5к2 -1)4г, и если многочлен g (г) - неприводим над полем 2, то по

вышеприведенным условиям, группа Галуа данного полинома над полем 2 изоморфна А5.

Пример 3. Пусть к = 1, тогда многочлен / (х) = х5 + 20 х + 16 -

неприводим над 2 , многочлен g(г) = (г3 - 100г2 +15 • 802 г + 54 • 64)2 - 5648 г -неприводим над 2 . Следовательно, по теореме 2, группа Галуа данного многочлена изоморфна А5 .

Трином п-ой степени

Рассмотрим полином п -ой степени /(х) = хп + ах + ь . Для того чтобы он имел группу Ап в качестве группы Г алуа, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) данный полином должен быть неприводимым над основным полем (т.е. над полем 2);

2) его дискриминант должен быть квадратом некоторого элемента поля Q;

3) резольвента не должна иметь корней в поле 2 .

Замечание. 1) Резольвента даже для многочлена степени > 9 еще не построена;

2) для многочлена даже восьмой степени известно, что для различия всех транзитивных подгрупп группы £8 построены три резольвенты. Чем больше степень многочлена, тем больше резольвент необходимо, чтобы различить все транзитивные подгруппы группы 8п

Дискриминант данного полинома вычисляется по следующей формуле: Б(/(х)) = (-1)п(п-1)/2ппЬ(п-1) + (-1)(п-1)(п-2)/2(п - 1)(п-1)ап .

Найдем частное решение диофантова уравнения Б(/) = и2, и е Q, т.е. имеем уравнение:

(-1)п(п-1)/2ппЬ(п-1) + (-1)(п-1)(п-2)/2(п - 1)(п-1)ап = и2. (3)

Пусть а = пс, Ь = (п - 1)с, где п - нечетное число. Решая диофантово уравнение (3), находим, что одним из частных решений его являются:

^пк2 - (-1)п(п-1)/2 ^

а = п •

(-1)

(п-1)(п-2)/2

Ь = (п -1) •

^пк2 - (-1)п(п-1)/2 Л

(-1)

(п-1)(п-2)/2

где п - нечетное число.

Тогда данный многочлен можно записать в параметрической форме:

^/„2

/(х) = хп + п •

пк2 - (-1)

7-1)

п(п-1) / 2 Л

(п-1)(п-2)/2

2

х + (п -1) •

п(п-1)/2 Л

пк2 - (-1)

(-1)(п-1)(п-2)/2

Следовательно, дискриминант данного полинома над полем Q есть квадрат:

п+1 /

0(1 (х)) =

п-1

2 • к •

(п -1)

пк2 - (-1)п(п-1)/2 Л 2 (-1)

(п-1)(п-2)/2

для нечетных п .

Теперь рассмотрим случай, когда числа п - четные. Снова положим а = пс , Ь = (п -1)с . Решая диофантово уравнение (3), находим, что одним из

частных решений его являются:

( ( і\п(п-1)/2

а = п

(-1)”

(„ - 1)к2 -(-1)(”-^)(”-2)'2

Л (

, Ь = (п -1)^

(-1)

г(п-1)/2

(п - 1)к2 -(- 1)(п-1)(п-2)/2

п

где п - четное число.

Тогда данный многочлен запишется в виде:

С ( т\п(п-1)/2 ^ С ( 1)п(п-1)/2

f( x) = x n + n

(-1)”

(n - 1)k2 -(- 1)(n-1)(n-2)/2

Л Г

• x + (n -l) •

(n - l)k2 -(- l)(n-l)(n-2)/2

Вычисляя дискриминант этого тринома, получим, что он есть квадрат в поле Q и имеет вид:

-|2

п

(- 1)п(п-1)/2

D(f (x)) =

n 2 • (n - l)2 • k •

(n - l)k2 -(- l)(n-l)(n-2)/2

для четных n .

Осталось показать, что резольвента не имеет корней над полем Q . Но, к сожалению, на данный период времени не существует утверждения для нахождения резольвенты для данного полинома. Поэтому мы пока не можем утверждать, что данный полином имеет группу Ап в качестве группы Галуа. Мы лишь можем говорить о том, что найденная группа данного многочлена будет являться транзитивной подгруппой группы Ап, при условии, что сам многочлен / (х) неприводим над Q.

Таким образом, справедлива гипотеза:

Гипотеза. Группа Оаід/ @ Ап.

Пример 4. Пусть п = 11, к = 2. Тогда многочлен /(х) = х11 - 495х - 450 -неприводим над Q, дискриминант его является квадратом в поле Q и его группа Галуа является подгруппой группы Ап, однако, как показывают вычисления на Маріє, Оа!дА11.

Пример 5. Пусть n = 10, k = 2. Тогда многочлен f (x) =

x>0 - 2 x - 9

7 35

неприводим над Q, дискриминант его является квадратом в поле Q и его группа Галуа является подгруппой группы л10, однако, как показывают вычисления на Maple, GqIqA10 .

(4)

Триномы степени n > 7

Будем рассматривать триномы следующего вида:

f(X) = X” + aXm + b , ab Ф 0 где n > m > 0 положительные целые числа.

Теорема 3. Пусть n > 7 и m нечетное число, взаимно-простое с n, так что З < m < n - 4. Также, пусть p - простое, не делящее mn(n - m), которое

n-1

расщепляется в поле Q (у(-1) 2 п ), если п - не квадрат натурального числа, и д - другое простое число, не делящее рпт(п - т). Тогда существуют целые числа г и 5, удовлетворяющие условию (5):

(5(п - т) - г, п) = 1, 0 < 5 < п, 0 < г < п - т (5)

Также существует такое натуральное число і взаимно-простое с д такое, что:

vp

( n+1 Л

L 2 +(-1) т nq 2

n+1

= 1 (т.е. p||(L2 + (-1) 2 nq2) )

(6)

Далее, пусть Л = -є Q и t =

nt

n + (- l)(n+l) /212

, где t0 определено равенством:

t0 =(-1)”

m n-m

m (n - m)

(7)

Тогда трином ^(X) = хп + ^гхт + г5 е ] сепарабелен и его группа

Галуа над 2 изоморфна знакопеременной группе Ап [3].

Пример 6. Положим п = 25 и т = 17. Тогда р = 3, д = 7, г = 7, 5 = 22, ^ = 40,

t =

1717 • 8s•72

З • 25

27

. Получаем трином вида:

Ft [X ] = X 25 +

1717 • 8s • 72 З • 2527

X17 +

1717 • 8s • 72 З • 2527

є Q[X].

По теореме 3, Оа!д (¥, (X)) @ А25.

Теорема 4 [3]. Пусть п>7 простое число и т- нечетное такое, что 3 < т < п - 4. Пусть далее д - простое, не делящее тп(п - т), £ -

n

n

7

рациональное целое число взаимно-простое с пд, к - рациональное целое число взаимно-простое с т, и п - целое число такое, что 0<п<. Тогда

1 і ^ п(о

1 = ------ГЁ Q , и ' = ------------------7°-т------

пуд п + (- 1)(п+1)/212

, где где г0 определено равенством:

'0 =(- 1)п

т ( \п-т

т (п - т)

(8)

Тогда трином ^(X) = хп + ггхт + г5 е 2[х] (где г и 5, удовлетворяют условию (5) сепарабелен и его группа Галуа над 6 изоморфна альтернативной группе Ап .

Пример 7. Положим п = 17 и т = 13. Тогда д = 5, I = 3, к = 1, п = 0, г = 3,

5 = 13, І = -

1312 • 23 • 52

17

16

. Получаем трином вида

1312 • 23 • 52

17

16

X13 +

1312 • 23 • 52

17

16

13

є Q[ х ].

По теореме 4, Оа1д (^ (X)) @ Ап.

Теорема 5 [3]. Пусть п > 8 и т взаимно-простое число с п, причем т-четное и такое, что 3 < т < п - 3. Также, пусть д - простое не делящее

тп(п - т), которое расщепляется в поле 6^(- 1)(п+2)/2 т(п - т)^, если т(п - т) -

не квадрат натурального числа, и р - другое простое число не делящее дпт(п - т) . Тогда существуют целые числа г и 5 , удовлетворяющие условию (5) и натуральное число I взаимно-простое с р такое, что:

т(п - т)р2 +(-1)2 і2 = 1 (т.е. д | (т(п - т)р2 + (-1)2 і2). (9)

т(т-1)/2 (п - т)(п-т-1)/2 £ - _

Далее, пусть 1 =------^------е 6 и г = г 0 + (-1)212, где г0 определено

равенством і0 = (- 1)п

т ( \п—т

т (п - т)

п

п

п

3

п

V

Тогда трином ^(X) = Xп + trхm + г5 е б[х] сепарабелен и его группа

Галуа над 6 изоморфна альтернативной группе Ап.

Пример 8. Пусть п = 12, т = 7. Тогда имеем: р = 17, д = 11, г = 2,

s = 5, t =

77 • 54 • 112 1211 •172

. Получаем трином вида:

Ft [ X ] = X12 +

77 • 54 •ll2 1211 • 172

X 7 +

77•54 • 112 1211 •172

є Q[X] .

По теореме 5, Оа!д (^ (X)) @ А12.

Используя эти теоремы можно построить бесконечно много триномов вида ^(X) = хп + ггхт + г5 для п >7, группа Галуа которых будет изоморфна альтернативной группе Ап .

5

2

Список используемой литературы

1. Kappe L., Warren B. An elementary test for the Galois group of a quartic polynomial // Amer. Math. Monthly. - 1989. - vol. 4. - p. 133-137.

2. Постников, М.М. Теория Галуа. М.: Факториал, 2003.

3. Alain H. and Salinier S. Rational Trinomials with the Alternating Group as Galois Group, // Number Theory, 90 (2001), 113-129.