Об одном семействе четырехфазных последовательностей с идеальной периодической автокорреляционной функцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ ЧЕТЫРЕХФАЗНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ИДЕАЛЬНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИЕЙ

М.В.Залешин, В.Е.Гантмахер

ON THE FAMILY OF FOUR-PHASE SEQUENCES WITH IDEAL PERIODIC AUTOCORRELATION FUNCTION

M.V.Zaleshin, V.E.Gantmakher

Институт электронных и информационных систем НовГУ, mikhailzaleshin@gmail.com

Предложено новое правило кодирования четырехфазных последовательностей с идеальной периодической автокорреляционной функцией, которые обладают следующей совокупностью основных характеристик: период — 6(qm-1)/(q-1), пик-фактор стремится к значению 1,2 с ростом периода, простота формирования.

Ключевые слова: четырехфазная последовательность, идеальная ПАКФ, анализ, расширенное поле Галуа, M-последовательность

A new coding rule of four-phase sequences with ideal periodic autocorrelation function is offered. This sequences possess following set of properties: the period i s 6(qm-1)/( q-1), the limit of peak factor is 1.2 as the period approaches infinity, ease of formation. Keywords: four-phase sequence, ideal PACF, analysis, extended Galois field, M-sequence

1. Введение

В основе радиолокационных, навигационных, акустических, спутниковых, мобильных и многих других информационно-технических комплексов лежат различные шумоподобные сигналы. Содержательная часть сигнала определяется с помощью периодических последовательностей, для которых одним из требований является идеальность их периодической автокорреляционной функции (ПАКФ) [1].

Известно немало работ, в которых представлены семейства последовательностей с идеальной ПАКФ, напр., [2-6]. Общим для большинства из этих

последовательностей является лишь условие идеальности ПАКФ. При этом они различаются целым набором характеристик, в частности:

— алфавитом, над которым осуществляется их формирование;

— периодом и плотностью сетки периодов;

— пик-фактором;

— мощностью правила кодирования;

— простотой формирования.

Спрос на последовательности с идеальной ПАКФ и различными совокупностями характеристик из числа приведенных выше в прикладных областях опережает предложение, поскольку конкретные на-

боры требований, предъявляемые к последовательностям, зависят от области применения и особенностей задач, которые решают с их помощью. Объектом нашего исследования являются четырехфазные последовательности.

В связи с вышесказанным, целью работы является синтез семейства четырехфазных последовательностей с идеальной ПАКФ.

2. Семейство четырехфазных последовательностей с идеальной ПАКФ

Построим правило кодирования над расширенным полем Галуа GF(дт), где q=р4, р — простое число, а т >1 и 4 >1. При этом GF! может быть как простым, так и расширенным полем Галуа без уменьшения общности дальнейших выкладок. Таким образом, определим правило кодирования семейства четырех-фазных последовательностей следующей формулой: 1, если dn е Н 0 и Н 3 и Н 8 и Н10 У Н„;

>П

-1, если е Н 2 УН 4 УН 5 УН 6 У Н9

(*)

0, в противном случае. В приведенном правиле кодирования приняты следующие обозначения: i = V-! — мнимая единица; {йп} — М-последовательность периода

qm -1 над расширенным полем Галуа GF(qm); Я =|ет+г|k=0,1,..,, где г=0,1,.,11 — классы степенных вычетов над полем Галуа GF! с первообразным элементом е.

Найдем необходимые и достаточные условия, при выполнении которых последовательности, формируемые на основе правила кодирования (*), имеют идеальную ПАКФ.

Теорема 1. Четырехфазная последовательность {уп}, формируемая на основе правила кодирования (*), имеет идеальную ПАКФ тогда и только тогда, когда характеристика q и степень расширения т

поля Галуа GF (у1") являются нечетными числами.

Доказательство. По построению q-1 должно делиться без остатка на 12. Отсюда вытекает условие нечестности q.

Покажем, что т должно быть нечетным числом. Для этого сначала найдем ПАКФ последовательности, определяемой следующим правилом кодирования: Г 1, если йп еН0 УН3 УН8 УН10 УН11; у'п =^-1, если йп еН2УН4УН5 УН6 УН9;

[ 0, в противном случае. По свойствам М-последовательностей [7]:

Лу(т)=10** (т)+ Е Ях (х-')+ Е Ях (х-')-

к,32ек к,32е12

- ЕЯх(*-')- ЕЯх(*-'),

Ле/1,Л2е/2 jlе/2, >2е/1

где А=

д1 -1 q—1

ях (*)=q

т-2

4?'=Л -Л ; / ={0,3,8,10,11}; /2 ={2,4,5,6,9};

q, если х =o(modqm-1);

0, если х =0(mod А);

1, в противном случае.

Выполнив подстановку Ях (х) и проведя необходимые преобразования, получаем ПАКФ последовательности {уП}:

1, если 0(mod12h);

Яу, (х)=10д-

т-1

-1, если 0(mod6h);

0, в противном случае.

Отсюда следует, что ПАКФ последовательности {уп} определяется формулой:

Яу (х)=[/ТГЯу-(х).

Поскольку для каждого х, кратного двум, но не кратного четырем, значение [гх]'=-1, то {уп} имеет идеальную ПАКФ тогда и только тогда, когда выполнено сравнение 2=6h(mod4). Следовательно, необходимо, чтобы ЗА=1(mod2), т. е. А должно быть нечетным числом. Согласно принятым обозначениям:

„т л т-1

А=^=Е1п

п=0

Для каждого п=0,1,.,т-1 величина 1п является нечетной. Представленная сумма является нечетной тогда и только тогда, когда число слагаемых т также нечетно, т. е. степень расширения поля Га-

луа GF(qm) должна быть нечетным числом. Что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует, что для нечетных значений q и т ПАКФ четырехфазных последовательностей из семейства, сформированного по предложенному правилу кодирования, является идеальной и имеет вид:

Я (х)=|5!т-1, если х=0(mod6h); у [0, в противном случае.

3. Свойства предложенного семейства четырехфазных последовательностей с идеальной ПАКФ

Определим период четырехфазных последовательностей {уп}, формируемых на основе представленного в предыдущем разделе правила кодирования.

Теорема 2. Период четырехфазных последовательностей {уп} с идеальной ПАКФ, формируемых с помощью (*), определяется формулой 6А,

где А =

1,п-1

q-1 "

Доказательство. Достаточно показать, что выполняется равенство уп+6А = уп . Истинность этого

равенства напрямую вытекает из формулы правила кодирования (*) и свойств циклической структуры М-последовательностей [7].

Заметим, что полученный период отличается от периодов известных семейств четырехфазных последовательностей с идеальной ПАКФ, например:

п

— последовательности Ли [4] имеют период, определяемый формулой q +1;

— последовательности Ким-Джанг-Ким-Но [5] имеют период 2p ;

— последовательности Лим-Но [6] имеют период 2N.

Кроме того, известно, что произведение двух последовательностей с идеальной ПАКФ также имеет идеальную ПАКФ, если периоды перемножаемых последовательностей — взаимно-простые числа [8]. Поскольку существуют правила кодирования троичных последовательностей с идеальной ПАКФ и периодом вида h (напр., [9]), то умножая их на четырехфазную последовательность периода шесть, получим семейство четырехфазных последовательностей периода 6h. ПАКФ последовательностей из этого семейства будет идеальной, если выполнено (6,И)=1. Покажем, что это возможно не для всех значений m, т. е. полученное в настоящей работе семейство расширяет сетку периодов четырехфазных последовательностей по сравнению с известными.

Теорема 3. Четырехфазные последовательности, формируемые по правилу кодирования (*), отличаются от произведения последовательностей с идеальной ПАКФ периода шесть и h тогда, когда

степень расширения поля Галуа GF (дт) делится на

три без остатка.

Доказательство. Делители числа шесть — двойка и тройка. Достаточно проверить делимость

h =

дт-1 д-1

на эти же числа. Поскольку h — нечетное

число, то h не делится на два, но может быть кратно трем.

Найдем такие степени расширения т, что И=0(mod3). По построению д=1(той12), т. е. имеет вид д =12с+1, где с — произвольное натуральное число. Отсюда в результате преобразований получаем:

дт-1 = (12с+1)т -1 д-1 12с

=т+3^ 3п-2(4с)п-1.

п=2

Из разложения видно, что И=0(mod3) для каждой степени расширения т, которая кратна трем. Что и требовалось доказать.

Из теоремы следует, что при формировании четырехфазных последовательностей с идеальной ПАКФ по правилу кодирования (*) необходимо использовать такие поля Галуа GF(дт), степень расширения которых делится на три без остатка.

Зная период и значение главного лепестка ПАКФ последовательности {уп}, рассчитаем ее пик-фактор:

Р/у =1,2

д

1

д-1 дт-1(д-1)

Отсюда следует, что с ростом значения характеристики расширенного поля Галуа д значение пик-

фактора р/у стремится к 1,2.

Поскольку предложенное правило кодирования семейства четырехфазных последовательностей с идеальной ПАКФ определяется над расширенными полями Галуа на основе М-последовательности, то его мощность совпадает с мощностью правила кодирования самих М-последовательностей и равняется:

ф1д

(дт-1)

2т

где ф(п) — фи-функция Эйлера.

Аналогичным образом объясняется простота формирования представленного семейства последовательностей, поскольку М-последовательности обладают оптимально малой линейной сложностью и для них существуют эффективные устройства-генераторы.

4. Примеры

Проиллюстрируем работу предложенного правила кодирования четырехфазных последовательностей с идеальной ПАКФ (*) на нескольких примерах.

Пример 1. Положим в качестве параметров расширенного поля Галуа д=13 и т=3 . Для формирования последовательностей найдем необходимые классы степенных вычетов над ОР(13), первообразный элемент которого 6=2 :

Но ={1}; Нз ={8}; н8 ={9}; Н10 ={10}; Н„ ={7}; Н2 ={4}; Н4 ={3}; Н5 ={6}; Н6 ={12}; Н9 ={5}.

Для таких классов степенных вычетов правило кодирования принимает вид:

Г 1, если dn е {1,7,8,9,10}; у =/'п<!-1, если d е {3,4,5,6,12};

0, в противном случае.

Тогда для произвольной М-последовательности над расширенным полем Галуа ОР (133) четырех-фазная последовательность {уп}, формируемая с помощью полученного правила кодирования:

— по теореме 1 имеет идеальную ПАКФ;

— по теореме 2 имеет период 1098;

— обладает пик-фактором р/у «1,3 .

Пример 2. Выберем в качестве параметров расширенного поля Галуа д=25 и т=3 . Поскольку

д=52, то ОР(д) является расширенным полем Галуа. Пусть его первообразный элемент 6 = а, а примитивный многочлен /(а)=а2 +а+2. В этом случае необходимые классы степенных вычетов над ОР(52) имеют следующий вид:

Н0 ={1,4}; Н3 ={4а+2,а+3}; Н8 ={3а+1,2а+4};

Н10 ={а+4,4а+1}; Н11 ={3а+3,2а+ 2}; Н2 ={4а+3,а+2}; Н4 ={3а+2,2а+3}; Н5 ={4а+4,а+1};

Н6 ={2,3}; Н9 ={3а+4,2а+1}.

Для таких классов степенных вычетов правило кодирования принимает вид:

1, если йпе{1,4,а+3,а+ 4,2а+2,2а+

+4,3а+1,3а+3,4а+1,4а+2};

ной техники, что гарантирует достоверность приведенных результатов.

У ='" i

У П

-1, если d е{2,3,а+1,а+ 2,2а+1,2а+

+3,3а+2,3а+4,4а+3,4а+4}; 0, в противном случае. Тогда для произвольной М-последовательности {йп} над расширенным полем Галуа GF(253) четы-рехфазная последовательность {уп}, формируемая с

помощью полученного правила кодирования:

— по теореме 1 имеет идеальную ПАКФ;

— по теореме 2 имеет период 3906;

— обладает пик-фактором pfy «1,25 .

Аналогичным образом выполняется формирование последовательностей для расширенных полей Галуа с произвольными параметрами, удовлетворяющими необходимым и достаточным условиям из теоремы 1.

5. Заключение

Предложено новое семейство четырехфазных последовательностей с идеальной ПАКФ. Эти последовательности обладает следующей совокупностью характеристик:

сГ-1

— период определяется формулой 6 1 , где

q=1(mod12) и т=0(mod3);

— значение пик-фактора стремится к 1,2 с ростом q;

— мощность правила кодирования равняется

ф(дт-1);

2т

— простота формирования обусловлена тем, что правило кодирования основано на М-последова-тельностях с оптимально малой линейной сложностью.

Апробация правила кодирования полученного семейства последовательностей проведена на многочисленных примерах с использованием вычислитель-

1. Ипатов В.П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992. 152 с.

2. Luke H.D. BTP-transform and perfect sequences with small phase alphabet // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst. 1996. V.32. P.497-499.

3. Krengel E.I. New polyphase perfect sequences with small alphabet // Electron. Lett. 2008. V.44. №17. P.1013-1014.

4. Lee C.E. Perfect q-ary sequences from multiplicative characters over GF(p) // Electron. Lett. 1992. V.28. №9. P.833-835.

5. Kim Y.S., Jang S.H., Kim S.H., No J.S. New construction of quaternary sequences with ideal autocorrelation from Legendre sequences. Seoul: ISIT, 2009. P.282-285.

6. Lim T., No J.S. New construction of quaternary sequences with ideal autocorrelation and balance property // ICTC. 2010. V.1. P.395-396.

7. Цирлер Н. Линейные возвратные последовательности // Кибернетический сборник. 1963. №6. С.55-79.

8. Ipatov V.P. Spread spectrum and CDMA: principles and applications. N.Y.: Wiley, 2005. 400 p.

9. Ipatov V.P. Ternary sequences with ideal periodic autocorrelation properties // Radio Engineering and Electronic physics. 1979. №24. P.75-79.

References

1. Ipatov V.P. Periodicheskie diskretnye signaly s optimal'nymi korreliatsionnymi svoistvami [Periodic discrete signals with optimal correlation properties]. Moscow, "Radio i sviaz'" Publ., 1992. 152 p.

2. Luke H.D. BTP-transform and perfect sequences with small phase alphabet. IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., 1996, vol. 32, pp. 497-499.

3. Krengel E.I. New polyphase perfect sequences with small alphabet. Electron. Lett., 2008, vol. 44, no. 17, pp. 1013-1014.

4. Lee C.E. Perfect q-ary sequences from multiplicative characters over GF(p). Electron. Lett., 1992, vol. 28, no. 9, pp. 833-835.

5. Kim Y.S., Jang S.H., Kim S.H., No J.S. New construction of quaternary sequences with ideal autocorrelation from Legen-dre sequences. Seoul: ISIT, 2009, pp. 282-285.

6. Lim T., No J.S. New construction of quaternary sequences with ideal autocorrelation and balance property. ICTC, 2010, vol. 1, pp. 395-396.

7. Zierler N. Lineinye vozvratnye posledovatel'nosti [Linear recursive sequences]. Kiberneticheskii sbornik, 1963, no. 6, pp.55-79.

8. Ipatov V.P. Spread spectrum and CDMA: principles and applications. New York,Wiley, 2005. 400 p.

9. Ipatov V.P. Ternary sequences with ideal periodic autocorrelation properties. Radio Engineering and Electronic physics, 1979, no. 24, pp. 75-79.