УДК 621.391
АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ ЧЕТЫРЕХФАЗНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ПЕРИОДОМ pq
Ю.Ю.Петрова, А.В.Едемский AUTOCORRELATION OF FOUR-PHASE SEQUENCES WITH PERIOD pq
Iu.Iu.Petrova, A.V.Edemskii
Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]
Предложен метод вычисления периодической автокорреляционной функции четырехфазных последовательностей, сформированных на обобщенных циклотомических классах четвертого порядка по модулю pq. Найдены последовательности с хорошими автокорреляционными свойствами.
Ключевые слова: периодическая автокорреляционная функция, четырехфазные последовательности
We derive the periodic autocorrelation function of four-phase sequences constructed on generalized cyclotomic classes of quartic modulo pq. We have found sequences with good autocorrelation properties. Keywords: periodic autocorrelation function, four-phase sequences
Введение
Четырехфазные последовательности X = {х.}, х. = {+1,+/} , где / — мнимая единица, наряду с бинарными и троичными являются одними из наиболее часто применяемых последовательностей [1]. Важной характеристикой последовательности X является ее периодическая автокорреляционная функция (ПАКФ)
N-1
Хх(т) = ^х.х*.+т, здесь N — период последова-
1 =о
тельности, * — знак комплексного сопряжения. В статье рассматривается метод вычисления ПАКФ четырехфазных последовательностей, сформированных на обобщенных циклотомических классах четвертого порядка по модулю pq.
1. Основные определения
Пусть р, д — нечетные простые числа. Обозначим через 8, g — первообразные корни по модулям р и д соответственно, а Нк =
Лк+4t
= {gk+4t modq, t = 0,1,...,(q - 1)/4 - 1}, k = 0,1,...,3 — циклотомические классы четвертого порядка.
Кольцо классов вычетов Zpq изоморфно прямому произведению Z х Zq относительно изоморфизма f (a) = (a mod p, a mod p | a e Z} [2]. Пусть FkJ = f-\Hk х Ц), Fk d = Г\Нк х {0}), Fdl = f "1({0} х G{) для k, l = 0,1,..., d - 1 и
Fd d = {0}, тогда справедливо разбиение
d
Zpq = U Fk, l . Положим P = {p,2p,...,(q -1)p} и
k, l=0
Q = {q,2q,...,(p - 1)q}.
mod p, t = 0,1,..., (p - 1) / 4 - 1} :
Gk =
В [3] был предложен общий метод вычисления периодической автокорреляционной функции обобщенных циклотомических последовательностей с периодом рд, основанных на обобщенных циклотомических классах Fkl. В следующем разделе применим его к четырехфазным последовательностям.
2. Метод вычисления ПАКФ четырехфазных последовательностей
Если X — четырехфазная последовательность с периодом N = рд , тогда существуют троичные последовательности (ТП) У, Z также с периодом N, такие, что
X = У + iZ. (1)
Обозначим через Ху (т), (т) — ПАКФ ТП У, Z , а через
Y, Z
w = Е у.
.z. } }
— их периодическую взаимно корреляционную функцию (ПВКФ).
Согласно (1) и определению ПАКФ, имеем
N-1
^X(Т) = Е (У + Щ + т" +т),
1 =0
следовательно,
^(т) = Ху(т) + (т) + /(Г2,у(т) - ГУ,,,(т)). (2)
Таким образом, для расчета ПАКФ четырех-фазной последовательности достаточно найти Ху (т), (т), гу Z (т). Метод вычисления периодических автокорреляционных и взаимно корреляционных функций был предложен в [3]. В частности, было показано, что если
[1, если ieFlk,(к,/)е!,
UY(i)=<!-1, если ieFlk,(k,l)eJ.
l,k'
10 в остальных случаях, то для ПАКФ ТП справедливо взаимно-однозначное соответствие:
XY (т) » ^ S(l, k; да, n) + ^ S(l, k; да, n) -
А если же p = q(mod 8), то
(l,k)e/; (да,п)е/
(l,k)e/;
(m,n)^J
- Vs(l,k;да,n) - ^S(l,k; да, n),
Z-i
(l,k)e/; (да, n)Gj
(3)
(l,k )eJ; (да, n)e!
где £(/, k; да, и) — матрица спектров разностей классов вычетов (СРКВ) Flк и Fmn по составному модулю N = pq , введенная в [3] Здесь рассматриваем ее частный случай, когда d = е = 4 .
Таким образом, согласно (2), этот же метод можно применять для анализа и синтеза четырехфаз-ных последовательностей. Анализ ПАКФ последовательностей, сформированных на основе классов Fk 1,
позволил выделить ряд регулярных правил кодирования последовательностей с неплохими автокорреляционными свойствами. Одно из таких правил представлено в следующем разделе.
и ... и К .,, i = 0,1,2,3
1 +1,1 3-1,3 > 5
UX (j) =
3. Четырехфазные последовательности Уитмена
ПУсть ^ = ^,0 ^ ^ +
и четырехфазная последовательность X с периодом pq сформирована по правилу кодирования:
1, если у е D0 и Р,
/; если ] е D1, (4)
- 1, если у е D2 и Q, '
- i, если у е D3.
Отметим, что если 4 = НОД(р - 1, q - 1), то Di
являются обобщенными циклотомическими классами Уитмена [4,5].
Теорема 1. Если последовательность X сформирована по (4), то:
1. Xх (т) е {-1, - 1 + 2i, р - q + 1, q - р - 3} для
т = 1,..., pq - 1 при р = q + 4(mod8).
2. Xх(т) е {-1, - 1 + 2i, р - q + 1, q - р - 3} для т = 1,..., pq - 1 при р = q(mod8) .
Доказательство. Формулы для СРКВ циклото-мических классов четвертого порядка приведены в [6]. Применяя метод расчета ПАКФ, предложенный в [3], получаем, что если р = q + 4(mod8), то Xх (т) будет соответствовать расширенный СРКВ: ( -1 -1-2 -1 -1 + 2i р - q
-1 + 2i -1 -1-2i -1 р - q+1
-1 -1 + 2i -1 -1-2i р - q+1
-1-2i -1 -1+2i -1 р - q+1
- р + q - 3 - р + q - 3 - р + q - 3 - р+q - 3 pq
( -3 -1 1 -1
-1
-3 -1 1
1 -1
-3 -1
-1 1 -1
-3
p - q + 1|
p - q+1 p - q+1 p - q+1
- р + q - 3 - р + q - 3 - р + q - 3 - р + q - 3 pq Что и доказывает теорему 1. Следствие. Если р = q + 4(mod8), то
|Хх (т) = тах{р - q +1, q - р - 3} .
Заключение
Предложен метод вычисления периодической автокорреляционной функции четырехфазных последовательностей, сформированных на обобщенных циклотомических классах четвертого порядка по модулю pq. Найдены последовательности с хорошими автокорреляционными свойствами.
LUke H.D., Schotten H.D., Hadinejad-Mahram H. Binary and quadriphase sequences with optimal autocorrelation properties: A survey // IEEE Trans. Info. Theory. 2003. V.IT-49, P.3271-3282.
Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987. 416 с. Едемский В.А., Разуваева Е.Г. О вычислении периодических корреляционных функций дискретно-кодированных последовательностей с периодом pq // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2011. №65. С.68-72. Whiteman A.L. A family of difference sets // Illinois J. Math. 1962. V.6. Р.107-121.
Антонова О.В., Павлова А.В. О линейной сложности последовательностей Уитмена четвертого порядка. // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2012. № 68. С.123-125. Едемский В.А., Гантмахер В.Е. Синтез двоичных и троичных последовательностей с заданными ограничениями на их характеристики. В.Новгород: НовГУ, 2009. 189 с.
Bibliography (Transliterated)
LUke H.D., Schotten H.D., Hadinejad-Mahram H. Binary and quadriphase sequences with optimal autocorrelation properties: A survey // IEEE Trans. Info. Theory. 2003. V.IT-49, P.3271-3282.
Aierlend K., Rouzen M. Klassicheskoe vvedenie v sovre-mennuiu teoriiu chisel. M.: Mir, 1987. 416 s. Edemskii V.A., Razuvaeva E.G. O vychislenii periodiche-skikh korreliatsionnykh funktsii diskretno-kodirovannykh posledovatel'nostei s periodom pq // Vestnik NovGU. Ser.: Tekhn. nauki. 2011. №65. S.68-72.
Whiteman A.L. A family of difference sets // Illinois J. Math. 1962. V.6. Р.107-121.
Antonova O.V., Pavlova A.V. O lineinoi slozhnosti po-sledovatel'nostei Uitmena chetvertogo poriadka. // Vestnik NovGU. Ser.: Tekhn. nauki. 2012. № 68. S.123-125. Edemskii V.A., Gantmakher V.E. Sintez dvoichnykh i tro-ichnykh posledovatel'nostei s zadannymi ogranicheniiami na ikh kharakteristiki. V.Novgorod: NovGU, 2009. 189 s.
2.
3
4.
5
6.
2.
3
4.
5
6.