Автокорреляция четырехфазных последовательностей с периодом pq Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ ЧЕТЫРЕХФАЗНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ С ПЕРИОДОМ pq

Ю.Ю.Петрова, А.В.Едемский AUTOCORRELATION OF FOUR-PHASE SEQUENCES WITH PERIOD pq

Iu.Iu.Petrova, A.V.Edemskii

Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]

Предложен метод вычисления периодической автокорреляционной функции четырехфазных последовательностей, сформированных на обобщенных циклотомических классах четвертого порядка по модулю pq. Найдены последовательности с хорошими автокорреляционными свойствами.

Ключевые слова: периодическая автокорреляционная функция, четырехфазные последовательности

We derive the periodic autocorrelation function of four-phase sequences constructed on generalized cyclotomic classes of quartic modulo pq. We have found sequences with good autocorrelation properties. Keywords: periodic autocorrelation function, four-phase sequences

Введение

Четырехфазные последовательности X = {х.}, х. = {+1,+/} , где / — мнимая единица, наряду с бинарными и троичными являются одними из наиболее часто применяемых последовательностей [1]. Важной характеристикой последовательности X является ее периодическая автокорреляционная функция (ПАКФ)

N-1

Хх(т) = ^х.х*.+т, здесь N — период последова-

1 =о

тельности, * — знак комплексного сопряжения. В статье рассматривается метод вычисления ПАКФ четырехфазных последовательностей, сформированных на обобщенных циклотомических классах четвертого порядка по модулю pq.

1. Основные определения

Пусть р, д — нечетные простые числа. Обозначим через 8, g — первообразные корни по модулям р и д соответственно, а Нк =

Лк+4t

= {gk+4t modq, t = 0,1,...,(q - 1)/4 - 1}, k = 0,1,...,3 — циклотомические классы четвертого порядка.

Кольцо классов вычетов Zpq изоморфно прямому произведению Z х Zq относительно изоморфизма f (a) = (a mod p, a mod p | a e Z} [2]. Пусть FkJ = f-\Hk х Ц), Fk d = Г\Нк х {0}), Fdl = f "1({0} х G{) для k, l = 0,1,..., d - 1 и

Fd d = {0}, тогда справедливо разбиение

d

Zpq = U Fk, l . Положим P = {p,2p,...,(q -1)p} и

k, l=0

Q = {q,2q,...,(p - 1)q}.

mod p, t = 0,1,..., (p - 1) / 4 - 1} :

Gk =

В [3] был предложен общий метод вычисления периодической автокорреляционной функции обобщенных циклотомических последовательностей с периодом рд, основанных на обобщенных циклотомических классах Fkl. В следующем разделе применим его к четырехфазным последовательностям.

2. Метод вычисления ПАКФ четырехфазных последовательностей

Если X — четырехфазная последовательность с периодом N = рд , тогда существуют троичные последовательности (ТП) У, Z также с периодом N, такие, что

X = У + iZ. (1)

Обозначим через Ху (т), (т) — ПАКФ ТП У, Z , а через

Y, Z

w = Е у.

.z. } }

— их периодическую взаимно корреляционную функцию (ПВКФ).

Согласно (1) и определению ПАКФ, имеем

N-1

^X(Т) = Е (У + Щ + т" +т),

1 =0

следовательно,

^(т) = Ху(т) + (т) + /(Г2,у(т) - ГУ,,,(т)). (2)

Таким образом, для расчета ПАКФ четырех-фазной последовательности достаточно найти Ху (т), (т), гу Z (т). Метод вычисления периодических автокорреляционных и взаимно корреляционных функций был предложен в [3]. В частности, было показано, что если

[1, если ieFlk,(к,/)е!,

UY(i)=<!-1, если ieFlk,(k,l)eJ.

l,k'

10 в остальных случаях, то для ПАКФ ТП справедливо взаимно-однозначное соответствие:

XY (т) » ^ S(l, k; да, n) + ^ S(l, k; да, n) -

А если же p = q(mod 8), то

(l,k)e/; (да,п)е/

(l,k)e/;

(m,n)^J

- Vs(l,k;да,n) - ^S(l,k; да, n),

Z-i

(l,k)e/; (да, n)Gj

(3)

(l,k )eJ; (да, n)e!

где £(/, k; да, и) — матрица спектров разностей классов вычетов (СРКВ) Flк и Fmn по составному модулю N = pq , введенная в [3] Здесь рассматриваем ее частный случай, когда d = е = 4 .

Таким образом, согласно (2), этот же метод можно применять для анализа и синтеза четырехфаз-ных последовательностей. Анализ ПАКФ последовательностей, сформированных на основе классов Fk 1,

позволил выделить ряд регулярных правил кодирования последовательностей с неплохими автокорреляционными свойствами. Одно из таких правил представлено в следующем разделе.

и ... и К .,, i = 0,1,2,3

1 +1,1 3-1,3 > 5

UX (j) =

3. Четырехфазные последовательности Уитмена

ПУсть ^ = ^,0 ^ ^ +

и четырехфазная последовательность X с периодом pq сформирована по правилу кодирования:

1, если у е D0 и Р,

/; если ] е D1, (4)

- 1, если у е D2 и Q, '

- i, если у е D3.

Отметим, что если 4 = НОД(р - 1, q - 1), то Di

являются обобщенными циклотомическими классами Уитмена [4,5].

Теорема 1. Если последовательность X сформирована по (4), то:

1. Xх (т) е {-1, - 1 + 2i, р - q + 1, q - р - 3} для

т = 1,..., pq - 1 при р = q + 4(mod8).

2. Xх(т) е {-1, - 1 + 2i, р - q + 1, q - р - 3} для т = 1,..., pq - 1 при р = q(mod8) .

Доказательство. Формулы для СРКВ циклото-мических классов четвертого порядка приведены в [6]. Применяя метод расчета ПАКФ, предложенный в [3], получаем, что если р = q + 4(mod8), то Xх (т) будет соответствовать расширенный СРКВ: ( -1 -1-2 -1 -1 + 2i р - q

-1 + 2i -1 -1-2i -1 р - q+1

-1 -1 + 2i -1 -1-2i р - q+1

-1-2i -1 -1+2i -1 р - q+1

- р + q - 3 - р + q - 3 - р + q - 3 - р+q - 3 pq

( -3 -1 1 -1

-1

-3 -1 1

1 -1

-3 -1

-1 1 -1

-3

p - q + 1|

p - q+1 p - q+1 p - q+1

- р + q - 3 - р + q - 3 - р + q - 3 - р + q - 3 pq Что и доказывает теорему 1. Следствие. Если р = q + 4(mod8), то

|Хх (т) = тах{р - q +1, q - р - 3} .

Заключение

Предложен метод вычисления периодической автокорреляционной функции четырехфазных последовательностей, сформированных на обобщенных циклотомических классах четвертого порядка по модулю pq. Найдены последовательности с хорошими автокорреляционными свойствами.

LUke H.D., Schotten H.D., Hadinejad-Mahram H. Binary and quadriphase sequences with optimal autocorrelation properties: A survey // IEEE Trans. Info. Theory. 2003. V.IT-49, P.3271-3282.

Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987. 416 с. Едемский В.А., Разуваева Е.Г. О вычислении периодических корреляционных функций дискретно-кодированных последовательностей с периодом pq // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2011. №65. С.68-72. Whiteman A.L. A family of difference sets // Illinois J. Math. 1962. V.6. Р.107-121.

Антонова О.В., Павлова А.В. О линейной сложности последовательностей Уитмена четвертого порядка. // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2012. № 68. С.123-125. Едемский В.А., Гантмахер В.Е. Синтез двоичных и троичных последовательностей с заданными ограничениями на их характеристики. В.Новгород: НовГУ, 2009. 189 с.

Bibliography (Transliterated)

LUke H.D., Schotten H.D., Hadinejad-Mahram H. Binary and quadriphase sequences with optimal autocorrelation properties: A survey // IEEE Trans. Info. Theory. 2003. V.IT-49, P.3271-3282.

Aierlend K., Rouzen M. Klassicheskoe vvedenie v sovre-mennuiu teoriiu chisel. M.: Mir, 1987. 416 s. Edemskii V.A., Razuvaeva E.G. O vychislenii periodiche-skikh korreliatsionnykh funktsii diskretno-kodirovannykh posledovatel'nostei s periodom pq // Vestnik NovGU. Ser.: Tekhn. nauki. 2011. №65. S.68-72.

Whiteman A.L. A family of difference sets // Illinois J. Math. 1962. V.6. Р.107-121.

Antonova O.V., Pavlova A.V. O lineinoi slozhnosti po-sledovatel'nostei Uitmena chetvertogo poriadka. // Vestnik NovGU. Ser.: Tekhn. nauki. 2012. № 68. S.123-125. Edemskii V.A., Gantmakher V.E. Sintez dvoichnykh i tro-ichnykh posledovatel'nostei s zadannymi ogranicheniiami na ikh kharakteristiki. V.Novgorod: NovGU, 2009. 189 s.

2.

3

4.

5

6.

2.

3

4.

5

6.