CC BY
6Краткие сообщения
УДК 511
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АВТОНОМНЫХ АВТОМАТОВ С МАГАЗИННОЙ ПАМЯТЬЮ
И. Е. Иванов1
В работе приводится короткое доказательство того, что автономные автоматы с магазинной памятью генерируют периодические последовательности. Также приводятся верхние и нижние оценки максимальной длины периода выходной последовательности, которую автономный автомат с заданными характеристиками может сгенерировать.
Ключевые слова: автомат с магазинной памятью, автомат с однобуквенным магазином, периодическая последовательность.
The paper presents a short proof that pushdown transducers without input generate periodic sequences. We also provide lower and upper bounds for the maximal period of output sequence that can be generated by a pushdown transducer with fixed characteristics.
Key words: pushdown transducer, realtime one-counter transducer, periodic sequence.
Введение. Автоматы с магазинной памятью появились в начале 60-х годов прошлого века [1, 2] в контексте задачи описания естественного языка. Для регулярных языков, акцептором которых является конечный автомат, и для контекстно-свободных, акцептором которых является автомат с магазинной памятью, наличие распознающего устройства — довольно продуктивный инструмент их изучения. Для конечного автомата удалось построить достаточно богатую теорию. Основные результаты можно найти в [3-5]. Автоматы с магазинной памятью почти не изучались как функциональная система, т.е. как преобразователи последовательностей. В настоящей работе предпринята попытка разобраться в этой области.
Определения. Инициальным детерминированным автоматом с магазинной памятью будем называть "девятку"
Р = (A,Q,В,г],q0,jo),
где А — входной алфавит, Q — конечное множество состояний, В — выходной алфавит, Г — алфавит памяти (алфавит ленты магазина), ip : AxQx(TuA) —>■ Q — функция переходов, ip : AxQx(TuA) —>■ В — функция выхода, г? : А х Q х (Г U Л) —>■ Г* — функция памяти, до € Q — начальное состояние, 7о € Г* — начальная запись в магазине.
Функционирование Р можно определить с помощью системы канонических уравнений, которые задают в каждый момент времени t состояние автомата g(t), записанное в магазине слово 7(t) и выход автомата b(t) при подаче на вход a(t):
9(0) = Qo, 7(0) = 7о, < z(t) = LSm), ' q(t + l) = <p(a(t),q(t),z(t)), 7(t + l) = S("f(t))r,(a(t),g(t),z(t)), b(t)=tp(a(t),g(t),z(t)),
\
где LS : Г* —>■ Г U {Л} возвращает последний символ при подаче непустого слова и LS(А) = А, а S : Г* —>■ Г* стирает последний символ входного слова и S(X) = А.
Инициальный автомат с магазинной памятью определяет детерминированную функцию / : А* —>■ В*. Обозначим через Л4(А,В) множество детерминированных функций, порождаемых автоматами с магазинной памятью. Отметим, что Л4(А, В) содержит множество ограниченно-детерминированных функций.
1 Иванов Илья Евгеньевич — асп. каф. математической теории интеллектуальных систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ivanov.ilya.rusQgmail.com.
Обозначим п = \Q\, т = |Г|, к = max \r](q,z)\ и будем говорить, что Р € М(п,т,к).
(д,г)е(5хги{л}
Здесь п — число состояний; m — арность (или ширина) магазина; к — максимально возможная длина записи в магазин за один такт.
Будем говорить, что автомат с магазинной памятью Р является автоматом с однобуквенным магазином, если |Г| = 1.
Будем говорить, что автомат с магазинной памятью Р является автономным (без входа), и писать Р € Мо(п,т,к), если = 1.
Цель данной работы — описание свойств выходной последовательности автономного автомата с магазинной памятью.
Периодическое свойство автономных автоматов. Как и в случае конечных автоматов, автоматы с магазинной памятью обладают следующим периодическим свойством.
Теорема 1. Автономный автомат с магазинной памятью Р = (А, Q, В, Г, Lp, -ф, г], <?о, 7о) генерирует периодическую выходную последовательности.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что автомат имеет самую общую функцию выхода, т.е. В = Q х Г U {Л} и ip(a,q,z) = (q,z). Рассмотрим последовательности q(t),j(t),z(t), заданные каноническими уравнениями. Для целого h > 0 определим M(h) = {t\h(t)\^h}.
Если найдется такое натуральное число ho, что |М(Л,о)| = оо, то это означает, что найдутся такие ¿1 и ¿2 из M(ho), что q(t\) = ^(¿г) и 7(ti) = 7(^2)5 а это доказывает периодичность выходной последовательности в силу детерминированности канонических уравнений в автономном случае.
Пусть теперь для любого натурального h выполнено условие \M(h)\ < 00. Заметим, что M(h + 1) D M(h). Значит, начиная с некоторого номера Н будет выполнено условие \M(h)\ > 0 при h > Н и, следовательно, корректно определена последовательность t^ = таxM(h). В последовательности th найдутся такие i/ll < th2, что qit^) = q{th2) и z('th1) = z(th2). Из определения последовательности th следует, что функционирование автомата начиная с моментов th зависит лишь от последнего символа магазина и состояния автомата. Тогда из детерминированности канонических уравнений в автономном случае получаем, что для любого неотрицательного целого г выполнены соотношения l(th 1 +т) = q{th2 +т) и zith,! +т) = z(th2 +т), откуда и следует периодичность последовательностей q(t) и z(t) и выходной последовательности. Теорема доказана.
Верхние оценки периода выходной последовательности. Пусть l.{ I') — минимальная длина периода периодической последовательности, которую Р генерирует. Тогда определим следующую функцию:
L(n,m,k) = max L(P).
Р&Мо(п,т,к)
В работе [6] доказана
Теорема 2. При к > 1 имеет место оценка
L(n,m,k) < V fc_1-J~.
Для оценки длины периода автономного автомата с магазинной памятью удобно пользоваться функциями uj(q,j) : Q х Г* —>■ N U {оо} и ir(q,j) : Q х Г* —>■ Q, которые формально определим следующим образом. Пусть автомат находится в состоянии q, а в магазине лежит слово 7. Если существует такое минимальное положительное количество тактов г работы автомата, что магазин становится пустым, а автомат переходит в состояние q', то положим u)(q, 7) = г, а ir(q, 7) = q', иначе w(<?)7) = 00) а значение 7г(д,7) не определено.
Оценка из теоремы 2 является достижимой в случае автомата с одним состоянием.
Теорема 3. При k > 1 имеет место оценка
L(l,ra,k) = ikm^_~1).
Доказательство. Рассмотрим автономный автомат Р = [A,Q, B,r,(p,tp,r],qo,jo), где Q = {q}, В = Е2, Г = {1, 2,..., т}, qo = q, 70 = А. Функция переходов тривиальна. Функция выхода выдает 1, если магазин пуст, и 0 в остальных случаях. Функцию памяти определим следующим образом:
1к, если 7 = Л; г](а, q, 7) = r](q, 7) = ^ (г + l)fc, если 7 = г < т;
А, если 7 = т,
где натуральное число к > 1. Для данного автомата выпишем систему
w{q, А) = 1 + ku)(q, 1), u{q, 1) = l + ku(q,2),
< u)(q, г) = 1 + kuj(q, г + 1),
oj(q, m — 1) = 1 + kw(q, m), w(q,m) = 1.
Длиной периода в данном автомате можно считать количество тактов работы автомата между пустыми состояниями магазина, т.е. u)(q,\). Из системы видно, что
т
uj(q,\)=Y,kl.
г=0
Теорема доказана.
Оказывается, что в случае, когда алфавит магазина содержит только один символ, верхнюю оценку можно существенно понизить [5]. Теорема 4. При к > 1
L(n, 1, к) < к(.к~%2 + (8к + 32)п.
4 К — z
Нижние оценки периода выходной последовательности. В [6] доказана следующая Теорема 5. При т > 1, к > 1 имеет место оценка
{п-1
15 • 4 э — 19 при т = 2, к = 2;
(h=l)n-ik(m-i)n инаце_
Как и в случае с верхней оценкой, в [7] отдельно был рассмотрен случай с однобуквенным магазином.
Теорема 6. При к > 1 имеет место оценка,
n k(k-l) о 1
Из теорем 4 и 6 получаем Следствие. При k > 1 и п —> оо
Заключение. В настоящей работе представлен обзор результатов автора, касающихся периодических свойств автономных автоматов с магазинной памятью. Приведены доказательство периодичности выходной последовательности и верхние и нижние оценки длины максимального периода. В случае автомата с одним состоянием верхняя и нижняя оценки совпали, а в случае однобуквенного магазина удалось точно найти асимптотику.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Chomsky N. Context-free grammars and pushdown storage // Research Laboratory of Electronics. Massachusetts Institute of Technology. Cambridge, Mass, 1962.
2. Evey R.J. Applications of pushdown-store machines // Proc. AFIPS Fall Joint Computer Conference. Vol. 24. Las Vegas, 1963. 215-227.
3. Кудрявцев В.Б., Алешин C.B., Подколзин A.C. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.
4. Бабин Д.Н. О полноте двухместных о.д.-функций относительно суперпозиции // Дискретн. матем. 1989. 1, вып. 4. 86-91.
5. Бабин Д.Н. Класс автоматов с суперпозициями, не расширяющийся до предполного // Интеллект, системы. 2016. 20, вып. 4. 155-166.
6. Иванов И.Е. Улучшение нижней оценки на максимальную длину периода выходной последовательности автономного автомата с магазинной памятью // Интеллект, системы. 2016. 20, вып. 4. 174-187.
7. Иванов И.Е. Оценка длины периода выходной последовательности для автономного автомата с магазинной памятью с однобуквенным магазином // Интеллект, системы. 2017. 21, вып. 1. 106-140.
Поступила в редакцию 04.10.2017
УДК 519.716.32
НЕЯВНО ПРЕДПОЛНЫЕ КЛАССЫ И КРИТЕРИЙ НЕЯВНОЙ ПОЛНОТЫ В ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКЕ
М. В. Старостин 1
Рассматривается проблема неявной полноты в трехзначной логике. Дано описание системы всех неявно предполных классов и сформулирован соответствующий критерий неявной полноты.
Ключевые слова: неявная выразимость, трехзначная логика, предполные классы.
The problem of implicit expressibility in the three-valued logic is considered. The system of all implicitly maximal classes is described. The corresponding criterion of implicit completeness is formulated.
Key words: implicit expressibility, three-valued logic, maximal classes.
Понятие неявной выразимости было введено А. В. Кузнецовым как одно из обобщений выразимости по суперпозиции [1]. Говорят, что функция явно выразима над системой Е, если она выразима посредством суперпозиций над системой Е U {х}. Множество всех явно выразимых над Е функций называется явно замкнутым классом, и обозначается через Е(Т,). Нетрудно показать, что Е действительно является оператором замыкания [2].
Функция f(x\,... ,хп) называется неявно выразимой над системой Е, если существуют такие функции Ai, Bi € E(Yj), г = 1,..., m, что система уравнений
{Ai(xi,x2, ...,xn,z)= Bi(xi,x2, ■ ■ -,xn,z), A2{x !,x2, ...,xn,z) = B2(x i,x2,.. .,xn,z),
Am(x\, x2,..., xn, z) — Bm(xi, x2,..., xn, z)
эквивалентна уравнению
z — f (x i,..., xn).
Множество всех функций, неявно выразимых над системой Е, называется неявным, расширением, Е и обозначается через /(Е). Операция неявного расширения является оператором замыкания в Р2 [3], однако при k ^ 3 в Pk есть примеры таких систем функций, что /(/(E)) ф /(Е).
Система функций в Pk называется неявно полной, если ее неяное расширение совпадает с Pk-Система функций называется неявно предполной, если она не является неявно полной, но становится
1 Старостин Михаил Васильевич — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: murmolQbk.ru.
